15.2分式的运算15．2.1分式的乘除第1课时分式的乘除教学目标课题15.2.1第1课时分式的乘除授课人素养目标 1.经历探索分式的乘除运算法则的过程，渗透类比转化的思想.2.理解并掌握分式的乘除法法则，能运用法则对分式进行乘、除运算.3.能解决一些与分式乘除有关的实际问题．教学重点运用分式的乘除法法则进行运算．教学难点分子、分母为多项式的分式乘除运算.教学活动教学步骤师生活动活动一：提出问题，导入新课设计意图开始安排两个具有实际背景的问题，意在体现分式的乘除运算是由实际需要产生的，是研究某些问题时不可或缺的运算，从而引起学生的兴趣.【问题导入】问题1一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的mn时，水面的高度为多少？问题2大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的多少倍？教师提出问题，请大家小组讨论，待讨论完成请两位学生板书问题的答案：问题1长方体容器的高为Vab，水面的高度为Vab·mn.(分式乘法)问题2大拖拉机的工作效率是am hm2/天，小拖拉机的工作效率是bnhm2/天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的am÷bn倍．(分式除法)如何计算Vab·mn和am÷bn呢？让我们一起进入本课的学习！【教学建议】对这两个问题，教学中只要学生考虑列式，并由所列式子识别出它们是分式的什么运算即可．至于如何进行运算则是下面要学习的内容.活动二：类比探究，获取新知设计意图通过回顾分数的乘除法法则，引出分式的乘除法法则，温故而知新，不仅有利于接受新知识，还能让学生体会由数到式的过程.探究点分式的乘除法你还记得分数的乘除法法则吗？带着问题完成下面练习：34×25＝3×24×5；56×27＝5×26×7；34÷25＝34×52＝3×54×2；56÷27＝56×72＝5×76×2.根据上面的计算，回忆一下分数的乘除法法则：乘法法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母．除法法则：一个数除以一个分数，等于乘上这个分数的倒数.类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？类似于分数，分式有：乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.【教学建议】教师可让学生先自主思考后，再引导学生一起完成练习和分数乘除法法则的回忆总结.【教学建议】教学中应首先出现文字表述，在学生理解后，可以适时地提出如何用式子表达例(教材P136例3)如图①，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a＞1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1) m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg.(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2－1) m2，单位面积产量是500 a2－1kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a－1)2m2，单位面积产量是500（a－1）2 kg/m2. ∵a＞1，∴(a－1)2＞0，a2－1＞0.[或∵a ＞1，∴ (a －1)2－(a 2－1)＝(a 2－2a ＋1)－(a 2－1)＝－2(a －1)＜0，即(a －1)2＜(a 2－1)．]∴500a 2－1＜500（a －1）2，所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高. (2)500（a －1）2÷500a 2－1＝500（a －1）2·a 2－1500＝（a ＋1）（a －1）（a －1）2＝a ＋1a －1.所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的a ＋1a －1倍. 【对应训练】甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修(a 2－4) m ，乙工程队每天修(a －2)2 m (其中a>2)，甲工程队修900 m 所用时间是乙工程队修600 m 所用时间的多少倍？分析：根据题意，分别表示出甲工程队修900 m 所用时间和乙工程队修600 m 所用时间，再将两时间相除即可求解. 解：甲工程队修900 m 所用时间为900a 2－4天，乙工程队修600 m 所用时间为600（a －2）2天，由题意可得900a 2－4÷600（a －2）2＝900（a ＋2）（a －2）·（a －2）2600＝3a －62a ＋4，∴甲工程队修900 m 所用时间是乙工程队修600 m 所用时间的3a －62a ＋4倍. 得出结论，旁白中给出严格的数学证明．教学中，教师应根据学生的基础和认知能力等具体情况，灵活处理.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.分式乘法的法则是什么？用式子如何表示？2.分式除法的法则是什么？用式子如何表示？3.分式乘除法的运算结果应化成什么？ 【知识结构】 【作业布置】1.教材P 146～147习题15.2第1，2，10，11题.2.相应课时训练．板书设计15.2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除 第1课时 分式的乘除 1． 分式的乘法法则：a b ·c d ＝a·cb·d .2． 2.分式的除法法则：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a·db·c.教学反思本节课是从实际背景问题切入，让学生明白分式乘除是由实际需要产生的，研究不可或缺，引发学生兴趣，继而从分数的乘除法法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法法则，培养学生类比的探究能力，加深对“从特殊到一般”的数学思想的认识，同时让学生在自主探究、合作交流中感受探索的乐趣和成功的体验.解题大招一 分式乘除法有意义的条件例1 若x ＋2x －1÷xx －1有意义，求x 的取值范围．分析：解：由题意可得⎩⎨⎧x －1≠0，x≠0，即x 的取值范围是x≠1且x≠0.解题大招二 含整式的分式乘除的解法含整式的分式乘除的解法跟分式与分式的乘除的解法相同，只是整式与分式进行乘除运算时，整式可以看作分母是1的“分式”．例2 计算：(1)－3a 24b 2÷(－6a 2b)； (2)x 2－4x x ÷(x 2－16)．解：(1)－3a 24b 2÷(－6a 2b)＝－3a 24b 2·(－16a 2b )＝3a 224a 2b 3 ＝18b3； (2)x 2－4x x ÷(x 2－16)＝x （x －4）x ·1（x ＋4）（x －4）＝x （x －4）x （x ＋4）（x －4） ＝1x ＋4. 解题大招三 与分式的乘除有关的取值合适型化简求值的方法按照解题大招二的分式乘除法的运算步骤化简后，取一个使原分式有意义的值，代入计算即可．对于除法的取值还需特别注意既不能使原分数的分母为0，也不能使除式为0．例3 先化简分式a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－aa ＋1，然后请你选取一个合适的a 的值代入，求分式的值．解：原式＝（a ＋1）（a －1）（a ＋1）2÷a （a －1）a ＋1＝（a ＋1）（a －1）（a ＋1）2·a ＋1a （a －1）＝1a. ∵a 取0，1，－1时，原式无意义，∴当a ＝3时，原式＝13(答案不唯一)．培优点 整体思想与分式乘除的化简求值例 先化简，再求值：2x ＋1÷x 2x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0.分析：2 x＋1·（x＋1）2x2＝2（x＋1）x2.∵x2－x－1＝0，∴x2＝x＋1，∴原式＝2（x＋1）x＋1＝2.解：原式＝。
第五章分式与分式方程知识点1：分式的概念1、分式的定义：一般地，用A,B表示两个正式，A÷B可以表示成AB的形式。
如果B中含有字母，那么称AB为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。
分式需要满足的三个条件：（1）是形如AB的式子；（2）A,B都整式；（3）分母B中必须含有字母。
分式有意义的条件：分母不能为0.分式无意义的条件：分母等于0.分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.知识点2：分式的性质2、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
字母表示：AB =A·CB·C，AB=A÷CB÷C(C≠0，其中A,B,C均是整式)运用条件：（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算；（2）“乘（或除以）”的对象必须是同一个不等于0的整式。
3、分式的符号法则法则内容：分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中两个，分式的值不变。
字母表示：AB =−A−B=−−AB=−A−B知识点3：分式的约分与通分4、分式的约分约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即A·CB·C =AB（C为整式且C≠0）.约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，那么先分解因式，再约去分子、分母的公因式。
最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
5、分式的通分通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
用字母表示：将AB 和CD通分，AB=A·DB·D，CD=B·CB·D（分母都为B·D）。
通分的步骤：（1）将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解；（2）确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的积；（3）将分子、分母同乘一个因式，使分母变为最简公分母。
