最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测卷(含答案解析)
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一、选择题
1．某快递公司的四个快递点,,,ABCD呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,ABCD四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则
A．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种
B．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种
C．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种
D．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种
2．从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( )
A．12 B．11 C．10 D．9
3．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．设,,(0,1)abc，则1ab，1bc，1ca（ ）
A．都不大于2 B．都不小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个大于2
5．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．
A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人
B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分
D．在数列{an}中，a1＝1,23a,36a,410a，由此归纳出{an}的通项公式
6．设k1111Sk1k2k32k,则1kS( )
A．k1S2k1 B．k11S2k12k1 C．k11S2k12k1 D．k11S2k12k1
7．用反证法证明命题①：“已知332pq，求证：2pq”时，可假设“2pq”；命题②：“若24x，则2x或2x”时，可假设“2x或2x”.以下结论正确的是（ ）
A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确
8．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申、乙酉、丙戌，…，癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（ ）
A．乙亥年 B．戊戌年 C．庚子年 D．辛丑年
9．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( )
A．12 B．14 C．16 D．18
10．定义*AB，*BC，*CD，*DA的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )
A．*BD，*AD B．*BD，*AC C．*BC，*AD D．*CD，*AD
11．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i＝1，2，…，10)个人的水桶需Ti分钟，假设Ti各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( )
A．从Ti中最大的开始，按由大到小的顺序排队
B．从Ti中最小的开始，按由小到大的顺序排队
C．从靠近Ti平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队 D．任意顺序排队接水的总时间都不变
12．已知0x，不等式12xx，243xx，3274xx，…，可推广为1naxnx ，则a的值为( )
A．2n B．nn C．2n D．222n
二、填空题
13．类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a的正四面体的内切球半径为__________．
14．如图是一个三角形数阵，满足第n行首尾两数均为n，,Aij表示第2ii行第j个数，则100,2A的值为__________．
15．某同学在解决一道数学题时发现01212323434234345445567----222222222222，，，，，依此规律可以求得112nkkk关于n的最简表达式为__________．
16．已知函数xfxxe，1'fx是函数fx的导数，若1nfx表示'nfx的导数，则2017fx__________．
17．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为_________．
18．在平面几何中，正三角形ABC的内切圆半径为1r，外接圆半径为2r，则1212rr，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球半径为1R，外接球半径为2R，则12RR__________．
19．36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为223623，所以36的所有正约数之和为22222222133223232232312213391，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为__________．
20．面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为(1,2,3,4)iai，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为，若31241234aaaak，则12342234Shhhhk．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为(1,2,3,4)iSi，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为(1,2,3,4)iHi，若31241234SSSSK，则1234234HHHH等于_____________．
三、解答题
21．设等差数列na的前n项和为nS，23a，4521Sa，数列nb的前n项和为nT，满足11b，*11nnnbTTnN.
（1）求数列na、nb的通项公式；
（2）记nnnacT，*nN，证明：122214ncccnn.
22．当*nN时，111111234212nSnn，11111232nTnnnn
（Ⅰ）求1S，2S，1T，2T；
（Ⅱ）猜想nS与nT的关系，并用数学归纳法证明.
23．数列na满足*21nnSannN.
（1）计算1234,,,aaaa，并由此猜想通项公式na；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
24．数列na满足*2NnnSnan.
（1）计算123aaa、、，并猜想na的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
25．在数列{}na，{}nb中，12a，14b，且na，nb，1na成等差数列，nb，1na，1nb成等比数列（*nN）.
（1）求2a，3a，4a及2b，3b，4b；
（2）根据计算结果，猜想{}na，{}nb的通项公式，并用数学归纳法证明.
26．记Sn=1+2+3+…+n，Tn=12+22+32+…+n2．
（Ⅰ）试计算312123,,SSSTTT的值，并猜想nnST 的通项公式．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想试计算Tn的通项公式，并用数学归纳法证明之．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解．
【详解】
（1）A→D调5辆，D→C调1辆，B→C调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次，
（2）A→D调4辆，A→B调1辆，B→C调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次，
故选D
【点睛】
本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．
2．B
解析：B
【分析】
由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案.
【详解】
由题意，列出树形图，如图所示
由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选B.
【点睛】
本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
3．D
解析：D
【分析】
假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁．
【详解】
假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，
假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，
假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾，
假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意，
所以是丁打碎了玻璃；
故选：D
【点睛】
本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．
4．D
解析：D
【解析】
分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案.
详解:因为1116abcbca与都不大于2矛盾,所以A错误.
若1315,,2,343abab所以B错误.
若111,,,222abc则a>2,b>2,c>2,所以C错误. 故答案为D
点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.
5．C
解析：C
【解析】
分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.
详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；
由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；
平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理；
在数列{an}中，a1＝1,23a,36a,410a，由此归纳出{an}的通项公式，是归纳推理，因此选C.
