辅助角公式专项训练答案

《辅助角公式》专题2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

我们知道sin()6x π+= 那么sin cos cos sin 66x x ππ+=1cos 22x x - cos x xcos x x + sin π12－3cos π12cos )x x -x xsin15cos15o o +【辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)】问题 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程．a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b2x x ⎛⎫+⎪⎭ ＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2)． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2， 其中φ(a ，b )决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用． 试一试 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π2. (1)sin x ＋cos x ＝ ；(2)sin x －cos x ＝ ；(3)3sin x ＋cos x ＝_____________；(4)3sin x －cos x ＝_____________；(5)sin x ＋3cos x ＝_____________；(6)sin x －3cos x ＝_____________.【当堂训练】【求周期】1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=的最小正周期。

2.求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。

小结：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。

高一数学上学期高频考点突破：专题17 辅助角公式与图像变换模块一：辅助角公式 辅助角公式：() sin cos y a b αααϕ=+=+，其中tan baϕ=，ϕ所在的象限由a b ，的符号确定． 考点1：辅助角公式例1.（1）函数()sin cos()6f x x x π=++的最小值和最小正周期分别是( )A ．πB ．1-，πC ．2πD ．1-，2π【解答】解：函数1()sin cos()sin sin sin()623f x x x x x x x ππ=++=-=+，故函数的最小正周期等于221ππ=， 当22x k ππ=-，k z ∈时，函数有最小值等于1-．故选：D ．例2.设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6g π的值．【解答】解：（Ⅰ）221cos2()23sin()sin (sin cos )23sin 1sin 2231sin 22xf x x x x x x x x π-=---=-+=-+sin 212sin(2)13x x x π==-+，令222232k x k πππππ--+，求得51212k x k ππππ-+， 可得函数的增区间为[12k ππ-，5]12k ππ+，k Z ∈．（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得2sin()13y x π=-的图象；再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()2sin 1y g x x ==+的图象，()2sin 166g ππ∴==例3.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πϕϕϕϕπ=+-+<<，其图象过点(6π，1)2．（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在[0，]4π上的最大值和最小值．【解答】解：()I 函数211()sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πϕϕϕϕπ=+-+<<，又因为其图象过点(6π，1)2． ∴2111sin(2)sin cos sin()(0)226622cos πππφϕϕϕπ=⨯+-+<< 解得：3πϕ=()II 由（1）得3πϕ=，211()sin 2sin cos cos sin()222f x x x πϕϕϕ∴=+-+1sin(2)26x π=+ ∴1()sin(4)26g x x π=+ [0x ∈，]4π74[,]666x πππ∴+∈ ∴当462x ππ+=时，()g x 取最大值12； 当7466x ππ+=时，()g x 取最小值14-． 例4.已知函数2()sin cos cos 2222x x xf x =+-．（Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0A x B A ωϕ++>，0ϕ>，[0ϕ∈，2))π的形式，并指出()f x 的周期；（Ⅱ）求函数()17,12f x ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）11cos 133()sin 2(sin cos ))222242x f x x x x x π+=+-=+-=+-．故()f x 的周期为2π． （Ⅱ）由1712x ππ，得55443x πππ+．因为3())242f x x π=+-在5[,]4ππ上是减函数，在517[,]412ππ上是增函数．故当54x π=时，()f x 有最小值而()2f π=-，17()212f π=<-，所以当x π=时，()f x 有最大值2-．模块二：图像变换A ωϕ、、对函数()sin y A x ωϕ=+的图象的影响⑴ ϕ对()sin y x ϕ=+的图象的影响．函数()sin y x ϕ=+(0)ϕ≠的图象，可以看做是把sin y x =图像上的各点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平移ϕ个单位而得到的．（可简记为左""+右""-） 即sin y x=00ϕϕ>−−−−−−→<时向左时向右平移ϕ个单位得()sin y x ϕ=+⑵ω对()sin y x ϕ=+的图象的影响．函数sin y x ω=(01)ωω>≠，的图象，可以看做是把sin y x =的图象上的各点的横坐标都缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到的．即sin y x =的横坐标101ωω>−−−−−−−→<<时缩短时伸长到原来的1ω倍得sin y x ω=．⑶A (0)A >对()sin y A x ωϕ=+的图象的影响函数sin y A x =（0A >且1A ≠）的图象，可以看做是sin y x =的图象上各点的纵坐标都伸长(1)A > 或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．即sin y x =的纵坐标101A A >−−−−−−−→<<时伸长时缩短到原来的A 倍得sin y A x =．考点2：图像变换例5.（1）要得到函数sin 2y x =的图象，需要将函数sin(2)6y x π=+的图象( )A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度 【解答】解：sin(2)sin[2()]612piy x x π=+=+，∴要得到函数sin 2y x =的图象，需要将函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移12π个单位．故选：D ．（2）将函数()sin(2)3f x x π=-的图象向左平移(0)a a >个单位得到函数()sin 2g x x =的图象，则a 的最小值为( ) A ．3πB ．6πC ．23π D ．12π 【解答】解：将函数()sin(2)3f x x π=-的图象向左平移(0)a a >个单位得到sin(22)3y x a π=+-的图象，而已知得到函数()sin 2g x x =的图象，2203a k ππ∴-=+，k Z ∈，a ∴的最小值为6π，故选：B ．（3）为了得到函数()sin(3)4f x x π=+的图象，需对函数()cos()g x x =的图象所作的变换可以为( )A ．先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的13，纵坐标不变，再向右平移12π个单位B ．先向左平移4π个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的13，纵坐标不变 C ．先向左平移34π个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的13，纵坐标不变D ．先向右平移34π个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变 【解答】解：()cos()g x x =的图象先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的13，纵坐标不变，得到：cos3y x =，再向右平移12π个单位，得到cos(3)sin(3)sin(3)4244y x x x ππππ=-=-+=+ 即：函数()sin(3)4f x x π=+的图象．故选：A ．（4）若函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，||)2πϕ<的图象如图所示，则为了得到()f x 图象，只需将函数()sin g x A x ω=的图象( )A ．向左平移6π个长度单位 B ．向左平移3π个长度单位 C ．向右平移6π个长度单位D ．向右平移3π个长度单位【解答】解：由题意，1A =，74()123T πππ=⨯-=， 22Tπω∴==， ()sin(2)f x x ϕ∴=+，∴将7(12π，1)-代入可得71sin(2)12πϕ-=⨯+，解得：7322122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，解得：23k πϕπ=+，k Z ∈，||2πϕ<，3πϕ∴=，可得：()sin(2)3f x x π=+，∴为了得到()sin 2()6f x x π=+图象，只需将函数()sin 2g x x =的图象向左平移6π个单位长度即可． 故选：A ．课后作业：1．要得到函数cos2y x =的图象，只需将函数cos(2)6y x π=-的图象( )A ．向左平移12π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向右平移6π个单位【解答】解：要得到函数cos2y x =的图象，只需将函数向左平移12π个单位即可，即cos[2()]cos2126y x x ππ=+-=． 故选：A ．2．为了得到函数3sin()5y x π=+的图象，只需把3sin()5y x π=-的图象上所有的点( )A ．向右平移5π个单位长度 B ．向左平移5π个单位长度C ．向右平移25π个单位长度 D ．向左平移25π个单位长度 【解答】解：只需把3sin()5y x π=-的图象上所有的点向左平移25π个单位长度，即可得到函数3sin()5y x π=+的图象，故选：D ．3．求函数cos cos()()3y x x x R π=+-∈的最大值和最小值．【解答】解：cos cos()3y x x π=+-cos cos cossin sin33x x x ππ=++3cos 2x x =+cos sin sin )66x x ππ=+)6x π=-，1cos()16x π--，max y ∴=min y =4．已知函数2()2sin cos f x x x x =-． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）将函数()y f x =的图象右移6π个单位得到()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间．【解答】解：（1）函数2()2sin cos sin 22sin(2)3f x x x x x x x π=-==--故函数的周期22T ππ==． （2）将函数()y f x =的图象右移6π个单位得到()y g x =的图象，得到2()2sin(2)3y g x x π==-- 由2222222332k x x k ππππππ---+，k Z ∈．解得：71212k x k ππππ++， 函数()y g x =的单调递增区间为7[]1212k x k ππππ++，k Z ∈．5．已知函数22()sin cos cos ()f x x x x x x R =--∈． （1）求()f x 的单调递增区间； （2）求函数()f x 在区间[6π-，]3π上的最大值和最小值． 【解答】解：（1）函数22()sin cos cos cos222sin(2)6f x x x x x x x x π=--=-=-+．令3222()262k x k k Z πππππ+++∈， 解得：2()63k x k k Z ππππ++∈， 故函数的单调递增区间为：2[,]()63k k k Z ππππ++∈，（2）由于63xππ-，所以52666x πππ-+， 所以当6x π=-时，函数的最大值为1，当6x π=时，函数的最小值为2-．。

辅助角公式专项训练(主观题安徽2012高考数学)1⑵ 将函数f (x)的图像向右平移 m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若 0 m 求m 的值。

1(,)。

6 2 (1)求的值;1 ，纵坐标不变，得到函数y g(x)的2 图像，求函数y g(x)在区间0,— 上的最值。

43.已知函数f (x) 2cos xsin(x —)(1)求函数f (x)的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合; (2)求函数f (x)图像的对称轴方程。

1.已知函数f(x) in x 4 COSX 。

(1)右 COSX4 13 ，求f (x)的值; 2.已知函数 f(x) 珈2xsin cos 2xcos^si n (- )(0 2 2 )，其图像过点 ⑵ 将y f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的2(1 )求f(x)的单调递减区间；(2)函数f(X )的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数? (1 )求f (x)的值域；(2)求f (x)的对称中心。

(1)求函数f (x)的最小正周期和图像的对称轴方程;(2)求函数f (x)在区间 一，一上的值域。

12 24.已知函数 f (X )2a cos 2 x bsin xcosx 弓，且f(0)5.设 f (x) cos(x 2r ) 2cos 2 -, x 26.已知f(x) COs(2x 3) 2sin(x 4)sin(x37.已知函数 f (x) cos(§ x)cos(§ x),g(x) (1) 求 f (x)的最小正周期;f (x)g (x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的x 的集合。

4对称，求当x0,-时，y g(x)的最大值。

3 29.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。

(1 )求f(—)的值；(2)求f (x)的最值。

310.已知向量 mn (si nA cos A)，n (、、3, 1)，rrnign 1，且 A 为锐角。

《辅助角公式应用》专题2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名 授之以鱼，不若授之以渔。

化下列代数式为一个角的三角函数1sin 22αα+；cos αα+；a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b2x x ⎛⎫+⎪⎭＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2)． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2， 【求周期】1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=的最小正周期。

2.求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。

小结：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。

【求值】1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=的最大值。

2.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 53.2)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。

4.已知)4x y πθ+=+，)4x y πθ-=-，求证：221x y +=【求单调区间】 求函数x x y 4sin 4cos 3+=的单调递增区间。

（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈已知函数()3f x x x =-，求：（1）求函数()f x 的周期、最大值以及取得最大值自变量x 的取值范围.（2）求函数()f x 的单调区间、对称中心.（3）函数()f x 由函数sin y x =的图像如何变换得到的？【求值】已知函数f(x)=x sin 32-+sinxcos x 。

降幂公式、辅助角公式应用降幂公式(cosα)^2=(1+cos2α)/2 (sinα)^2=(1-cos2α)/2(tanα)^2=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式如下直接运用二倍角公式就是升幂，将公式Cos2α变形后可得到降幂公式： cos2α=(cosα)^2－(sinα)^2=2(cosα)^2－1=1－2(sinα)^2 cos2α=2(cosα)^2－1,(cosα)^2=(cos2α+1)/2co s2α=1－2(sinα)^2,(sinα)^2=(1-cos2α)/2 降幂公式例10、（2008惠州三模）已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2+-= （I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0)(πx x f 在的值域. 解：x x x x f cos sin sin 3)(2+-=x x 2sin 2122cos 13+-⨯-= 232cos 232sin 21-+=x x 23)32sin(-+=πx （I ）ππ==22T （II ）∴20π≤≤x ∴34323πππ≤+≤x ∴ 1)32sin(23≤+≤-πx 所以)(x f 的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--232,3 点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。

例11、（2008广东六校联考）已知向量a ＝(cos 23x ，sin 23x )，b ＝(2sin 2cos x x ，-)，且x ∈[0，2π]．（1）求b a+（2）设函数b a x f +=)(+b a⋅，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。

解：（错误！未找到引用源。

）由已知条件： 20π≤≤x ， 得：33(coscos ,sin sin )2222x x x x a b +=+-2 x x sin 22cos 22=-= （2）2sin 23sin 2cos 23cossin 2)(xx x x x x f -+=x x 2cos sin 2+= 23)21(sin 21sin 2sin 222+--=++-=x x x ，因为：20π≤≤x ，所以：1sin 0≤≤x所以，只有当： 21=x 时， 23)(max =x f ，0=x ，或1=x 时，1)(min =x f点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等知识。

第7节 辅助角公式【基础知识】函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．sin cos ))a b αααααβ++其中辅助角β由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b 我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。

【规律技巧】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为)sin(ϕω+=x A y 的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．om【典例讲解】例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.（11cos 2αα- （2）ααcos sin +（3αα （4）ααcos 4sin 3-例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式.（1）sin cos αα-（2）ααsin cos - （3）cos αα-例3、若sin(50)cos(20)x x +++= ，且0360x ≤< ，求角x 的值。

例42)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。

【针对训练】(1)3cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=________________（化为)sin(βα+A ()0A >的形式）(2) 、关于x 的方程12sin x x k=有解，求实数k 的取值范围。

(3)、已知46sin 4m x x m -=-，求实数m 的取值范围。

(4)、利用辅助角公式化简：()sin 801cos50︒︒︒【练习巩固】1.已知函数1()cos 4f x x x =-。

与角有关的辅助线训练（三）（通用版）试卷简介:训练学生在把复杂图形转化为基本图形的基础上优化思路和方法（侧重平行和延长）。

一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，AB∥CD，∠1 =70°，∠2=60°，求∠3的度数．解：如图，过点G作GH∥AB.______________________________∴∠4=180°-∠2-∠5=180°-60°-70°=50°∴∠3=180°-∠4=180°-50°=130°横线处应填写的过程恰当的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：要求∠3的度数，首先看题中已知的条件，可以用AB∥CD来导角，但是没有两平行线被第三条直线所截的结构，所以考虑过点G作GH∥AB，架桥，构造新图形，然后利用平行导角，把条件往中间集中求解．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质2.如图，AB∥CD，∠1 =70°，∠2=60°，求∠3的度数．解：如图，延长AB交EF于点H.______________________________∵∠2=60°∴∠3=60°+70°=130°横线处应填写的过程恰当的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：要求∠3的度数，首先看题中已知的条件，可以用AB∥CD来导角，但是没有两平行线被第三条直线所截的结构，所以考虑延长AB，构造两平行线被第三条直线所截的结构，然后利用平行、外角来导角求解．试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理3.已知，如图，AB∥CD，∠A=55°，∠C=60°，∠1=20°，求∠AEF的度数.解：如图，过点E作GH∥AB.________________________∵∠1=20°∴∠2=∠GEC-∠1=60°-20°=40°∴∠AEF =∠2+∠3=40°+55°=95°横线处应填写的过程恰当的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行线的性质4.已知，如图，AB∥CD，∠A=55°，∠C=60°，∠CEF=20°，求∠AEF的度数.解：如图，延长AE交CD于点G.________________________∵∠C=60°∴∠AEC=55°+60°=115°∵∠1=20°∴∠AEF=∠AEC-∠1=115°-20°=95°横线处应填写的过程恰当的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理5.已知：如图，CE平分∠ACD，点F是CA延长线上的一点，FG∥EC交AB于点G．若∠1=60°，∠2=20°，求∠BAC的度数．解：如图，延长CA交GF于点H.______________________________∵∠BAC是△AGH的一个外角∴∠BAC=∠2+∠4∵∠2=20°∴∠BAC=20°+60°=80°横线处应填写的过程恰当的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理6.已知：如图，CE平分∠ACD，点F是CA延长线上的一点，FG∥EC交AB于点G．若∠1=60°，∠2=20°，求∠BAC的度数．解：如图，过点A作AH∥FG.∵FG∥CE∴FG∥AH∥CE___________________∵∠1=60°∴∠4=60°∴∠BAC=∠3+∠4=20°+60°=80°横线处应填写的过程恰当的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理7.已知：如图，AB∥EF.求证：∠ABC+∠CEF-∠C=180°.证明：如图，延长FE交BC于点G._____________________________∴∠1+∠2-∠C=180°∴∠ABC+∠CEF-∠C=180°横线处应填写的过程恰当的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理8.已知：如图，AB∥EF.求证：∠ABC+∠CEF-∠BCE=180°.证明：如图，过点C作CG∥EF._____________________________∴∠2+∠1-∠4=180°即∠ABC+∠CEF-∠BCE=180°横线处应填写的过程恰当的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线。

辅助角公式专题训练教学目标1、会将(、不全为零）化为只含有正弦得一个三角比得形式２、能够正确选取辅助角与使用辅助角公式教学重点与难点 辅助角公式得推导与辅助角得选取教学过程一、复习引入(１）两角与与差得正弦公式=________＿___＿_____＿____; =＿_＿____＿＿＿_＿_____＿_＿____、(2）利用公式展开＝＿＿_____＿＿_＿________； 反之,＝____＿_＿＿_＿__、尝试:将以下各式化为只含有正弦得形式,即化为得形式（１） (２)二、辅助角公式得推导对于一般形式(、不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦得三角比形式？)sin()cos sin (cos sin 22222222βααααα++=++++=+b a b a b b a ab a b a 其中辅助角由确定,即辅助角（通常）得终边经过点,我们称上述公式为辅助角公式，其中角为辅助角、三、例题反馈例1、试将以下各式化为得形式、（1） （２)（3) (4)例2、试将以下各式化为（）得形式、（１) (2）（3)例3、若,且，求角x 得值、例4、若,且 ,求得值、四、小结思考 (1）公式中角如何确定？(2）能否会将（、不全为零）化为只含有余弦得一个三角比得形式？五、作业布置１、 把化为得形式 =_______＿_____＿＿_ 、2、 关于x 得方程有解,求实数k 得取值范围、３、已知，求实数ｍ得取值范围、4、利用辅助角公式化简：5、已知函数、（１)若，,求得值；（2)将函数得图像向右平移m个单位，使平移后得图像关于原点对称，若,求m得值、6、已知函数，其图像过点(１)求得值；(2)将函数得图像上各点得横坐标缩短到原来得,纵坐标不变,得到函数得图像，求函数在区间上得最值、７、已知函数、（1）求函数得最小正周期及取得最大值时x得取值集合;(2)求函数图像得对称轴方程、8、已知函数,且,、(1）求函数得单调递减区间;(２）函数得图像经过怎样得平移才能使所得图像对应得函数成为奇函数？９、设函数、（1)求得值域;(２)求函数图像得对称中心坐标、10.已知函数、(1）求函数得最小正周期与图像得对称轴方程；(2）求函数在区间上得值域、1１、已知函数、（1）求得最小正周期;(2）求函数得最大值，并求使取得最大值得ｘ得集合、１２、设函数，若函数与得图像关于直线x=1对称,求当时,函数得最大值、１3、已知函数、(１)求得值；(２）求函数得最值、1４、已知向量，，,且A为锐角、（1)求角A得大小；（2）求函数得值域、。

辅助角公式专项训练5(1)若 COSX 石，X i ，，求 f (X )的值;求m 的值。

(1 )求函数f (X)的最小正周期及取得最大值时X 的取值集合; (2)求函数f (X)图像的对称轴方程。

4.已知函数 f (x) 2acos 2 x bsinxcosx 3，且 f (0) 3， f(-)-。

2 2 4 2(1 )求f(x)的单调递减区间；(2)函数f (X)的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？1.已知函数f(x)73 . in x 41 COS X 。

4 (2)将函数f (X)的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称, 2.已知函数 f(X )sin 2XS in 2 2 COS XCOS 」si n(— )(0 2 2 )，其图像过点1(6,2)。

(1)求的值; ⑵ 将y f (X )的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 一 ，纵坐标不变，得到函数y g(x)的2 图像，求函数 y g(x)在区间0,— 上的最值。

43.已知函数f (x)2cos xsin(x ——。

4对称，求当x 0, 时，y g(x)的最大值。

329.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。

(1 )求f(§)的值；(2)求f (x)的最值。

10.已知向量 mn (si nA,cosA)，n (、_3, 1)，rrnign 1，且 A 为锐角。

(1)求角A 的大小；(2)求函数f(x) cos2x 4cos xsin A(x R)的值域。

5.设 f (x) COS (X 2cos 2 X, x 2 (1 )求f (x)的值域；(2)求f (x)的对称中心。

6.已知f(x) COS (2x 扌 2S "(x 4)S "(x (1)求函数f (x)的最小正周期和图像的对称轴方程;(2)求函数f (x)在区间 一，一 上的值域。

12 27.已知函数 f (x) cos(- x)cos( x), g(x) 3 3 1sin2x 〕。

我们把()sin cos a x b x x θ+=+(其中角所在的象限由a , b 的符号确定,角的值由tan baθ=确定),称作辅助角公式,该公式在高考中考查频率非常高,且常和三角函数的性质结合在一起进行考查.1．所涉及的公式（要熟记,是三角函数式变形的基础） 降幂公式：221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==2.关于()sin cos a b αααϕ+=+的说明(1)使用范围：三个特点：① 同角（均为α）,②齐一次,③正余全(2)表达式变为：sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭② 二找：由221⎛⎫⎛⎫+=,故可看作同一个角的正余弦（称ϕ为辅助角）,如cos ϕϕ==,可得：)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+③ 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+(3)举例说明：sin y x x =+① 12sin 22y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭②1cos sin 2cos sin sin cos 23333y x x ππππ⎛⎫==⇒=+ ⎪⎝⎭③ 2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(4)注意事项：① 在找角的过程中,一定要找“同一个角”的正余弦,因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式,所以构造的正余弦要同角② 此公式不要死记硬背,找角的要求很低,只需同一个角的正余弦即可,所以可以从不同的角度构造角,从而利用不同的公式进行合角,例如上面的那个例子：12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,可视为1sin cos 266ππ==,那么此时表达式就变为： 2sin sin cos cos 66y x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,使用两角差的余弦公式：2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以,找角可以灵活,不必拘于结论的形式.找角灵活,也要搭配好对应的三角函数公式. 当然,角寻找的不同,自然结果形式上也不一样,但2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用~）③ 通常遇到的辅助角都是常见的特殊角,这也为我们的化简提供了便利,如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦,那么可用抽象的ϕ来代替,再在旁边标注ϕ的一个三角函数值. 3.规律探究（1）观察式子：主要看三点① 系统：整个表达式是以正余弦为主,还是正切（大多数情况是正余弦）,确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）② 确定研究对象：是以作为角来变换,还是以的表达式（例如2x ）看做一个角来进行变换. ③ 式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次）,若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式,那么很有可能要使用合角公式,其结果成为()()sin f x A x ωϕ=+的形式.例如：齐二次式：2sin 2cos sin 2y x x x =-+,齐一次式：sin cos 6y x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭（2）向“同角齐次正余全”靠拢,能拆就拆,能降幂就降幂：常用到前面的公式221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==,2sin cos sin2ααα=（还有句老话：平方降幂） 例如：sin cos 6y x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭,确定研究对象了：,也齐一次,但就是角不一样（一个是,一个是6x π+）那么该拆则拆,将cos 6x π⎛⎫+⎪⎝⎭打开11sin sin sin cos 2222y x x x x x ∴=+-=+ 于是就可合角了【例1】.（2016山东文17）设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =---.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再把得到的图像向左平移π3个单位,得到函数()y g x =的图像,求π6g ⎛⎫⎪⎝⎭的值.（2）由（1）知()f x π2sin 213x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）,得到y =π2sin 13x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像,再把得到的图像向左平移π3个单位,得到y 2sin 1x =的图像,即()2sin 1.g x x =所以ππ2sin 166g ⎛⎫=+=⎪⎝⎭【例2】（2016天津理15）已知函数()ππ4tan sin cos 23f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）讨论()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.（2）令π23z x =-,函数2sin y z =的单调递增区间是()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .由πππ2π22π232k x k -+-+剟,得π5πππ1212k x k -++剟,k ∈Z . 设ππ,44A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,π5πππ,1212B x k x k k ⎧⎫=-++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟,易知ππ,124A B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.又πππ12462T ⎛⎫---=< ⎪⎝⎭,所以当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间ππ,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间ππ412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.1.（2016山东理7）函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是（ ）. A ．π2 B ． C ．3π2D ．2π2. （2016浙江文11）已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>,则A =________,b =________.3．（2016上海文5）若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为,则常数a = ．4．（2014全国丙文14）函数sin y x x =-图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移______个单位长度得到.5.（2016全国丙理14）函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移___________个单位长度得到.6.（2015安徽文）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.7.（2015北京文）已知函数()2sin 2xf x x =- （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.8.（2015重庆文）已知函数()21sin22f x x x =. （1）求()f x 的最小周期和最小值；（2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数()g x 的图像.当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()g x 的值域.9.（2015福建文）已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）将函数()f x 的图像向右平移π6个单位长度,再向下平移（0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图像,且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）求证：存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得()00g x >．答案1. B【解析】 由()()22()2sin cos cos sin sin 22f x x x x x x x ⎤=+-==⎦π2sin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以最小正周期是. 故选B.；【解析 】2π2cos sin 2214x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,所以A =1b =.3．3±【解析 】由辅助角公式可知函数()f x 5=,故3a =±． 4.π35.2π3【解析 】由πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,显然函数π2s i n 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像可由π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像至少向右平移6.【解析 】（1）因为()()2sin cos cos21sin 2cos2f x x x x x x =++=++=π214x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,所以()f x 的最小正周期2π2ππ2T ω===.（2）因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,则πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,所以()max 1f x =+()min 0f x =.7. 【解析】（1）()21cos sin sin sin 22x xf x x x x x -=-=-=+π2sin 3x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭函数()f x 的最小正周期2πT =.8.【解析】（1）()()211sin 2sin 21cos 2222f x x x x x ==-+1sin 2cos 2sin 222232x x x π⎛⎫=--=--⎪⎝⎭．因此()f x 的最小正周期为π,最小值为．（2）由条件可知：()sin 23x g x f x π⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当,2x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时有,2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,从而sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,那么sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭12,22⎡⎢⎣⎦,故()g x 在区间,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上的值域是12,22⎡-⎢⎣⎦. 9.【分析】（1）先利用二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()π10sin 56f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,然后利用2πT ω=求最小正周期；（2由函数()f x 的解析式中给减π6,再将所得解析式整体减去得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-,当sin x 取1时,()g x 取得最大值105a +-,列方程求得13a =,从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得()00g x >,可解不等式()00g x >,只需解集的长度大于1,此时解集中一定含有整数,由周期性可得,必存在无穷多个互不相同的正整数0x ．（2（i ）将()f x 的图像向右平移π6个单位长度后得到10sin 5y x =+的图像,再向下平移()0a a >个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图像．又函数()g x 的最大值为2,所以1052a +-=,解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得()00g x >,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得010sin 80x ->,即04sin 5x >．由45<知,存在0π03α<<,使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知,当()00,πx αα∈-时,均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π,所以当()()002π,2π+πx k k k αα∈+-∈Z 时,均有4sin 5x >． 因为对任意的整数,()()000π2π+π2ππ213k k ααα--+=->>,所以对任意的正整数,都存在正整数()()002π,2ππk x k k k αα∈++-∈Z ,使得4sin 5k x >． 即存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得()00g x >．。

专题3两角和与差的三角函数（一）两角和与差的余弦C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；【点拨】①简记为：“同名相乘，符号反”．②公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ．③公式中的α，β不仅可以是任意具体的角.角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．（二）两角和与差的正弦S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；【点拨】①简记为：“异名相乘，符号同”．②公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，还可以是任意形式的“整体”.（三）两角和与差的正切T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；.T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ【点拨】1公式T α±β只有在α≠2π＋k π，β≠2π＋k π，α±β≠2π＋k π(k ∈Z )时才成立，否则就不成立.②当tan α或tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T α±β处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法．③变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，如tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)，1－tan αtan β＝tan tan tan()αβαβ++．1＋tan αtan β＝tan tan tan()αβαβ--．（四）辅助角公式函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．4sin(2cos sin πααα±=±.题型一公式的正用【典例1】【多选题】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，若点A 、B 的坐标分别为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则以下结论正确的是（）A ．3cos 5α=B ．3cos 5β=C ．()cos 0αβ+=D ．()cos 0αβ-=【答案】AD(0,π)β∈，则tan()αβ+的值为______．【典例3】（2023·江苏·高一专题练习）已知tan ,4αα=-是第四象限角．(1)求cos sin αα-的值；(2)求ππcos ,tan 44αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．正用公式问题，一般属于“给角求值”、“给值求值”问题，应该通过应用公式，转化成“特殊角”的三角函数值计算问题．给角求值问题的策略：一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值．题型二公式的变用、逆用【典例4】（2022春·江苏泰州·高一江苏省姜堰第二中学校联考阶段练习）已知sin100cos100M =︒-︒，44cos 78cos 46cos12)N =︒︒+︒︒，1tan101tan10P -︒=+︒，那么M ，N ，P 之间的大小顺序是（）A ．M N P <<B ．N M P<<C ．P M N<<D ．P N M<<A cos15︒︒B ．2cos 15sin15cos75︒︒︒-C ．2tan 301tan 30︒︒-D ．1tan151tan15︒︒+-【答案】AD【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.(1)1－tan75°1＋tan75°；(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)；(3)tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°．【答案】（1）3-；（2）222；（3【解析】尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．详解：(1)原式＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°tan(45°－75°)＝33-．(2)因为(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°×tan44°＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，所以原式＝222．(3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝tan25°＋tan35°1－tan25°tan35°＝，∴tan25°＋tan35°＝3(1－tan25°tan35°)∴tan25°＋tan35°．【规律方法】1.“1”的代换：在T α±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．2．若α＋β＝4π＋k π，k ∈Z ，则有(1＋tan α)(1＋tan β)＝2．3．若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．题型三给值求值【典例7】（2023·江苏·高一专题练习）已知34sin sin ,cos cos 55+=+=αβαβ，则cos()αβ-=（）A ．12-B ．13-C ．12D ．34取得最大值，则πcos 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C D【典例9】（2021春·江苏南京·高一校考阶段练习）已知cos 27βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1sin 22αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2απ<<π，02βπ<<，求：(1)cos2αβ+的值；tanαβ+的值.(2)()给值求值问题的解题策略．(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．(2)常见角的变换．①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．题型四给值求角【典例10】（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知()0παβ∈，，，1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-=（）A ．5π4B ．π4C ．π4-D ．3π4-1,0,,cos 222π2a a βαββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求αβ+的值．解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小（极易由于角的范围过大致误）；(2)根据(1)所得范围来确定求tan α、sin α、cos α中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．题型五三角函数式化简问题【典例12】（2022春·江苏镇江·高一统考期末）计算：70cos10︒︒=︒（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可.【详解】【典例13】（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）已知，且()(),22k k k k ππαβπα+≠+∈≠∈Z Z ，则()tan tan αβα+=___________.1.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，33,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型六三角恒等式证明问题【典例14】（2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习）求证：(1)22sin cos 1sin cos 1cot 1tan αααααα+=-++；(2)在非直角三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=【典例15】（2023·高一课时练习）求证：(1)当18045()k k αβ+=⋅︒+︒∈Z 时，(1tan )(1tan )2αβ++=；(2)当180()k k αβγ++=⋅︒∈Z 时，tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据正切两角和公式求解即可.（2）根据正切两角和公式求解即可.【详解】（1）因为18045()k k αβ+=⋅︒+︒∈Z 所以(1tan )(1tan )αβ++1tan tan tan tan αβαβ=+++()()1tan 1tan tan tan tan αβαβαβ=++-+()()1tan 451801tan tan tan tan k αβαβ=++⋅-+ ()1tan 451tan tan tan tan αβαβ=+-+ 11tan tan tan tan αβαβ=+-+2=.即证：(1tan )(1tan )2αβ++=.（2）因为180()k k αβγ++=⋅︒∈Z 所以tan tan tan αβγ++()()tan 1tan tan tan αβαβγ=+-+()()tan 1801tan tan tan k γαβγ=⋅--+ ()tan 1tan tan tan γαβγ=--+tan tan tan αβγ=⋅⋅.即证：tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅.【总结提升】三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）5cos 12π=（）A B C D2．（2023·江苏·高一专题练习）化简tan tan 44A A ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．2tan AB ．2tan A-C ．2tan 2AD ．2tan 2A-，，1,2b =，且a b ⊥，则()tan 45θ-︒的值是（）A ．1B ．3-C．3D ．134．（2023·江苏·高一专题练习）若1tan θ-=+，则cot 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）．A ．12B C D ．1【答案】C5．（2023·江苏·高一专题练习）在ABC 中，若cos 5A =，cos 13B =-，则cos()A B +等于（）A ．1665-B ．3365C ．5665D ．6365-6．（2023·江苏·高一专题练习）若cos 5θ=-且(,π)2θ∈，则πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A B．410+-C D 7．（2022春·江苏苏州·高一统考期中）已知02α<<，02β<<，且()sin 5αβ-=-，12sin 13β=，则sin α=（）A ．6365B ．5665C ．3365D ．1665-合，将角α的终边绕O 点顺时针旋转π3后，经过点()3,4-，则sin α=（）A B C D ．9．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）对任意的锐角αβ､，下列不等关系恒成立的是（）A ．()sin cos cos αβαβ+<+B ．()cos sin sin αβαβ+<+C ．()sin cos cos αβαβ-<+D ．()cos sin sin αβαβ-<+【答案】ACA ．1sin15222-=-B ．sin20cos10cos160sin102-C ．sin1212ππ=D ．sin105=11．（2023·江苏·高一专题练习）化简：πtan 3π13αα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭______．12．（2023秋·陕西西安·高一西安市第六中学校考期末）已知α，β满足04α<<，44β<<，3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π12sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ-=______．13．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）求sin 36sin15sin 39cos36cos15sin 39︒︒︒-︒︒+︒的值．()cos ,sin b ααβ=- ，且a b ⊥ ．(1)求()cos αβ+的值；(2)若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且tan 3α=-，求2αβ+的值．︒︒+︒︒+︒︒=，tan10tan20tan20tan60tan60tan101tan20tan30tan30tan40tan40tan201︒︒+︒︒+︒︒=，tan33tan44tan44tan13tan33tan131︒︒+︒︒+︒︒=．(1)尝试再写出一个相同规律的式子；(2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式，并对你写出的恒等式进行证明．。

《辅助角公式》专题2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

1cos 2x xcos x xcos x x + sin π12－3cos π12cos )x x -x xsin15cos15o o + (两种方法)【辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)】问题 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程．a sin x ＋b cos x＝a 2＋b2x x ⎛⎫+⎪⎭＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b2)． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2， 其中φ(a ，b )决定． 辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．试一试 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)sin x ＋cos x ＝ ；(2)sin x －cos x ＝_________ ____；(3)3sin x ＋cos x ＝_____________；(4)3sin x －cos x ＝_____________；(5)sin x ＋3cos x ＝_____________；(6)sin x －3cos x ＝_____________. 【当堂训练】1sin 2αα+；3cos 2x xcos αα+；x x +sin cos αα- cos 22x x +【求周期】1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=的最小正周期。

2.求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。

降幕公式、辅助角公式练习(I )求函数f (x)地最小正周期(II)求函数f (x)地最大值及f (x)取最大值时x 地集合.5. (北京)(15)(本小题共13分)已知函数 f(x) 2cos 2x sin 2x(I)求f ()地值；3(n)求f (x)地最大值和最小值6. (北京)(15)(本小题共13分)已知函数 f (x) 2cos 2x sin 2 x 4cosx .(I)求f (—)地值；3(n)求f (x)地最大值和最小值.(I )函数f (x)地图象可由函数 g(x)地图象经过怎样变化得出?(n)求函数h(x) f(x) g(x)地最小值，并求使用h(x)取得最小值地x 地集合.10.(湖南)16.(本小题满分12分)已知函数f(x) .3sin2x 2sin 2x .(I)求函数f (x)地最大值；(II )求函数f (x)地零点地集合.(浙江) (11) 函数 f(x) (浙江) (⑵ 函数 f(x) (湖南) 16. (本小题满分sin(2x -) 2sin 2 x 地最小正周期是2sin (2x)地最小正周期是4212分)已知函数 f(x) sin2x 2sin x9.(湖北)16.(本小题满分12分)已经函数f (x)cos 2 x sin 2 x,g(x)11 -sin2x 241. 2. 1.33.(山东卷)(本小题满分12分)设函数f (x )=cos(2 x +)+sin 2 x .3(1)求函数f(x)地最大值和最小正周期.1.(广东卷)函数y 2 COS 2(XA.最小正周期)1 是()4B. 最小正周期为地偶函数C.最小正周期为—地奇函数 2D.最小正周期为—地偶函数28.(安徽卷)已知函数 f(x) 3sin x cos x(0), y f (x)地图像与直线 y 2地两个相邻交9.点地距离等于,则f (x)地单调递增区间是( A. [k 存k Z B. [k11 0 ZC.[k6】，k Z D. [k9.. (安徽卷) 设函数m <3 CCS & 2I = ------- ? +- -----------2，其中韵,则导数匚匚地取A.10. (江西卷) 函数 24. (上海卷) 函数 27. (上海卷) 函数 30. 值范围是(C.［屈囚D.[屁]f (x) (1 . 3 ta nx)cosx 地最小正周期为(3 22y 2cos x sin 2x 地最小值是 2 f (x) 2cos x sin 2x 地最小值是 (北京)(本小题共12分)已知函数f(x) 2sin(x)cos x .(I)求f (x)地最小正周期; (n)求f (x)在区间—,一上地最大值和最小值6 21 c 1⑵ 设ABC 为 ABC 地三个内角，若cosB=—, f （_）-,且C 为锐角，求sin A324取最小值.9.（年天津）已知函数 f （x ） asinx bcosx （ a 、b 为常数，a 0, x R ）在x 一处取得最小值43则函数y f （— x ）是（）43A.偶函数且它地图象关于点（，0）对称 B .偶函数且它地图象关于点 （3 ,0）对称234.（山东卷）（本小题满分12分）设函数f （x ）=2. 2 ■sin xcos cosxsin2sin x (0(1)求.地值;在 ABC 中，a,b,c 分别是角 A,B,C 地对边，已知a 1,b-；3、.2f (A) T ，求角 C.44.（重庆卷） （本小题满分13分，（I ）小问（n ）小问6分.）设函数 f (x) (sin x cos x)2 2cos 2 x(0）地最小正周期为（I ）求 地最小正周期.（n ）若函数y g （x ）地图像是由y f （x ）地图像向右平移个单位长度得到 2,求y g （x ）地单调3、（广东）已知函数f (x) (1cos2x)sin 2 x,x R ,则 f (x)是(A、最小正周期为 地奇函数 B 、最小正周期为 —地奇函数2C 最小正周期为 地偶函数D、最小正周期为 -地偶函数4.（海南、宁夏文科卷）函数 f （x ） cos2x 2sin x 地最小值和最大值分别为（A. — 3,1 6.（广东）若函数B. — 2,2C. — 3,—2D. — 2,-f (x) sin 2x -(x R),则 f (x)是(2A. 最小正周期为丄地奇函数2B. 最小正周期为 n 地奇函数C. 最小正周期为2冗地偶函数D. 最小正周期为 n 地偶函数增区间.)3C. 奇函数且它地图象关于点(二,0)对称 D •奇函数且它地图象关于点(，0)对称213.(广东理科卷)已知函数f(x) (si nx cosx)si nx ,x R ,则f(x)地最小正周期是 ________________________辅助角公式在咼考二角题中地应用对于形如y=asinx+bcosx 地三角式，可变形如下： y=as in x=bcosx由于上式中地；a b 2 -a* b 2地平方和为1,故可^a 2a b 2 =迹。