高中数学选修2-2 北师大版 第一章 4 数学归纳法 学案

高手支招3综合探究1.不完全归纳法与数学归纳方法的异同以及在“归纳——猜想——证明”中的组合应用我们在研究问题时,还常常用到一般归纳法,即从特殊到一般的思维方法,举例如下:1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,…,我们由此发现并得出如下结论：1+2+3+…+（n-1）+n+(n-1)+…+3+2+1=n2(n∈N),这就是考察具有1+2+3+…+（n-1）+n+(n-1)+…+3+2+1特征的某几个式子的数值后，发现了蕴含其中的共性之后而得到的一个结论.这种思维方法(或推理方法)我们称之为不完全归纳法.因此由不完全归纳法得到的结论未必正确,接下来的问题就是确认由归纳法得到的结论的正确性.确认的方法是什么呢？或许结论不正确,那么可寻找一反例推翻该结论;或许结论正确,那么我们需对此予以严格的证明.如何证明？注意到1＋2＋3＋…＋(n-1)＋n＋(n-1)＋…＋3＋2＋1＝n2(n∈N),实际上是n＝1,2,3,…的无穷多个等式的概括写法,因此要证明上述等式,就需要对n＝1,2,3,…的无穷多个等式逐一证明.事实上,这是做不到的.而数学归纳法不需要全部验证.他只需,从首项开始即验证n=1时等式成立.然后再假设n=k时成立,证明n=k+1时成立,从而使得所有的项都适合了.显然数学归纳法是归纳法的一种,并且是一种完全归纳法.它得出的结论是正确的.它的优点是可以解决无限项的问题,但是不足是只能解决与自然数n相关的问题.这样,不完全归纳法与完全归纳法组合起来就可以解决很多问题.我们一般先通过不完全归纳法猜想到一个命题,然后用数学归纳法证明这个问题的正确性.从而使得他们完美地结合在一起.2.用数学归纳法证明不等式的优缺点我们在前面学习证明不等式时,已经学习了使用反证法、分析法、比较法、综合法来证明不等式,还没接触过数学归纳法.但是在数列和函数中,有大量的关于自然数的不等式,如何证明它们呢？这就需要数学归纳法.由于与自然数有关的不等式多是以数列和函数为载体,所以数列和函数的相关知识,如数列通项的递推公式、定义、函数的单调性等都应该及时巩固.在证明过程中,我们还会用到作差比较法、等价转化、分析法、反证法、放缩法等作为辅助手段,所以这些方法和技巧我们要熟悉.数学归纳法证明不等式有它的局限性,它只能用来证明与自然数有关的不等式.而其他证明不等式的方法运用比较广泛.但具体运用时,各自都有自己的具体要求,比如数学归纳法就有严格的两个步骤,反证法就有严格的格式(必须先假设结论的否命题,再推出矛盾,最后否定假设,肯定原命题),分析法也有自己的格式(综合法的逆过程),综合法是广泛运用已知的定理、性质、推论等来证明.但是与自然数有关的不等式其他方法不如数学归纳法来得简洁,在数学归纳法的第二步中,也经常使用反证法、分析法、综合法、放缩法等作为辅助手段.高手支招4典例精析【例1】用数学归纳法证明:tanαtan2α+tan2αtan3α+…+tan(n-1)αtannα=(tannα-ntanα)cotα(n∈N+).思路分析：按照数学归纳法的思路,我们首先验证n=1时,然后假设当n=k时命题成立,并证明当n=k+1时命题也成立.还要结合分析法来证明.证明：(1)当n=1时,左边=0=右边,命题成立;(2)假设n=k时,tanαtan2α+tan2αtan3α+…+tan(k-1)αtankα=(tankα-ktanα)cotα∴当n=k+1时，tanαtan2α+tan2αtan3α+…+tan(k -1)αtankα+tankαtan(k+1)α=(tankα-ktanα)cotα+tankαtan(k+1)α=cotα［tankα-ktanα+tankαtan(k+1)αtanα］.若能证明上式＝［tan(k+1)α-(k+1)tanα］cotα即可,为此只需证明tankα-ktanα+tankαtan(k+1)αtanα＝tan(k+1)α-(k+1)·tanα,即证tankα［1+tan(k+1)αtanα］=tan(k+1)α-tanα,上式显然成立,即n=k+1时,等式成立.综上,由(1)(2)知，对n ∈N +原等式都成立.【例2】利用数学归纳法证明:(3n+1)·7n -1(n ∈N *)能被9整除.思路分析：第一步当n=1时,可计算(3n+1)·7n -1的值,从而验证它是9的倍数.第二步要设法变形成为“假设”+“9的倍数”的形式,进而论证能被9整除.证明：(1)当n=1时,(3×1+1)×71-1=27,能被9整除,所以命题成立.(2)假设当n=k(k ∈N *)时命题成立,即(3k+1)·7k -1能被9整除.那么当n=k+1时,[3(k+1)+1]·7k+1-1=(3k+4)·7k+1-1=(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1=[(3k+1)·7k -1]+3·7k+1+6·(3k+1)·7k=[(3k+1)·7k -1]+7k (21+6×3k+6)=[(3k+1)·7k -1]+9·7k (2k+3).由归纳假设知,(3k+1)·7k -1能被9整除,而9·7k (2k+3)也能被9整除,故[3(k+1)+1]·7k+1-1能被9整除.这就是说,当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切n ∈N *,(3n+1)·7n -1能被9整除.【例3】已知数列{b n }是等差数列,b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145.(1)求数列{b n }的通项公式b n ;(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和,试比较S n 与31log a b n+1的大小,并证明你的结论. 思路分析：本题是考查数列的基础知识和数学归纳法运用以及归纳猜想,分类讨论思想的一道综合题目,能充分展现我们的创新思维.解：(1)设数列{b n }的公差为d,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=,3,11452)110(1010,1111d b d b b ∴b n =3n-2. (2)证明:由b n =3n-2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+2-31n )=log a ［(1+1)(1+41)…(1+2-31n )］, 而31log a b n+1=log a 313+n ,于是,比较S n 与31log a b n+1的大小⇔比较(1+1)·(1+41)…(1+2-31n )与313+n 的大小.取n=1,有(1+1)= 38＞34=3113+•,取n=2,有(1+1)(1+41)＞38＞37=3123+⨯， 推测:(1+1)(1+41)…(1+2-31n )＞313+n （*） ①当n=1时,已验证(*)式成立.②假设n=k(k≥1)时(*)式成立,即(1+1)(1+41)…(1+231-k )＞313+k , 则当n=k+1时,(1+1)(1+41)…(1+231-k )(1+2)1(31-+k )＞313+k ·(1+1k 31+), =1323++k k 313+k ∵(1323++k k 313+k )3-(343+k )3 =2223)13(49)13()13)(43()23(++=+++-+k k k k k k ＞0, ∴3331)1(343)23(1313++=+>+++k k k k k , 从而(1+1)(1+41)…(1+2-k 31)(1+1-k 31)＞31)1(3++k ,即当n=k+1时,(*)式成立, 由①②知,(*)式对任意正整数n 都成立. 于是,当a ＞1时,S n ＞31log a b n+1,当0＜a ＜1时,S n ＜31log a b n+1. 【例4】设数列{a n }满足:a n+1=a n 2-na n +1,n=1,2,3,…(1)当a 1=2时,求a 2,a 3,a 4,并由此猜测a n 的一个通项公式;(2)当a 1≥3时,证明对所有的n≥1,有(i)a n ≥n+2; (ii)111a ++211a ++311a ++…+n a +11≤21. 思路分析：首先我们先猜想一下数列的通项公式,然后再运用数学归纳法,注意要用n=k 时的假设.(1)解:由a 1=2,得a 2=a 12-a 1+1=3,由a 2=3,得a 3=a 22-2a 2+1=4,由a 3=4,得a 4=a 32-3a 3+1=5,由此猜想a n 的一个通项公式:a n =n+1(n≥1).(2)证明:(i)用数学归纳法证明:①当n=1时,a 1≥3=1+2,不等式成立.②假设当n=k 时不等式成立,即a k ≥k+2,那么a k+1=a k (a k -k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1=2k+5≥k+3.也就是说,当n=k+1时,a k+1≥(k+1)+2,据①和②,对于所有n≥1,有a n ≥2.(ii)由a n+1=a n (a n -n)+1及(i),对k≥2,有 a k =a k -1(a k-1-k+1)+1≥a k-1(k-1+2-k+1)+1=2a k-1+1,……a k ≥2k-1a 1+2k-2+…+2+1=2k-1(a 1+1)-1,于是k a +11≤111a +·121-k ,k≥2. ∑=n k 1k a +11≤111a ++111a +∑=n k 2121-k =111a +∑=n k 11-k 21≤312121+≤+a =21. 【例5】求证：1n C +22n C +33n C +…+n n n C =n·2n-1.思路分析：这是一个有关组合数的问题,它的明显特征是每个组合数的系数与组合数的上标相同,同时它又是一个正整数命题,这就决定了它的证明方法的多样性.证法一:（1）当n=1时,左边=C 11=1=20=右边,等式成立;（2）假设n=k 时等式成立,即1k C +22k C +33k C +…+k k k C =k·2k-1,∴当n=k+1时,左边=11+k C +221+k C +…+k k k C 1++(k+1)11++k k C=0k C +1k C +2(1k C +2k C )+…+k(1-k kC +k k C )+(k+1)k k C =(0k C +1k C +…+k k C )+2(1k C +22k C +…+k k k C )=2k +2·k·2k-1=(k+1)·2k =右边,等式也成立;由(1)(2)知等式对n ∈N *都成立.证法二:f(n)=00n C +1n C +22n C +33n C +…+n n n C ,①f(n)=n n n C +(n-1)1-n n C +…+1n C +00n C ,②由①+②得:2f(n)=n(0n C +1n C +22n C +33n C +…+n n n C )=n·2n ,∴f(n)=n·2n-1.【例6】自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量,n ∈N *,且x 1＞0.不考虑其他因素,设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比,死亡量与2n x 成正比,这些比例系数依次为正常数a,b,c.(1)求x n+1与x n 的关系式;(2)猜测:当且仅当x 1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明)(3)设a ＝2,b ＝1,为保证对任意x 1∈(0,2),都有x n ＞0,n ∈N *,则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论.思路分析：实际应用问题要建模,本题的模型为数列模型.然后研究前几项来猜想结论什么时候成立,再运用数学归纳法证明.解:(1)从第n 年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为ax n ,被捕捞量为bx n ,死亡量为cx n 2,因此x n+1-x n =ax n -bx n -cx n 2,n ∈N *.(*)即x n+1=x n (a-b+1-cx n ),n ∈N *(**)(2)若每年年初鱼群总量保持不变,则x n 恒等于x 1,n ∈N *,从而由(*)式得x n (a-b-cx n )恒等于0，n ∈N *,所以a-b-cx 1=0.即x 1=c b a -. 因为x 1＞0,所以a ＞b.猜测:当且仅当a ＞b,且x 1=cb a -时,每年年初鱼群的总量保持不变. (3)若b 的值使得x n ＞0,n ∈N *由x n+1=x n (3-b-x n ),n ∈N *,知0＜x n ＜3-b,n ∈N *,特别地,有0＜x 1＜3-b.即0＜b ＜3-x 1.而x 1∈(0,2),所以b ∈(0,1］由此猜测b 的最大允许值是1.下证当x 1∈(0,2),b=1时,都有x n ∈(0,2),n ∈N *①当n=1时,结论显然成立.②假设当n=k 时结论成立,即x k ∈(0,2),则当n=k+1时,x k+1=x k (2-x k )＞0.又因为x k+1=x k (2-x k )=-(x k -1)2+1≤1＜2,所以x k+1∈(0,2),故当n=k+1时结论也成立.由①②可知,对于任意的n ∈N *,都有x n ∈(0,2).综上所述,为保证对任意x 1∈(0,2),都有x n ＞0,n ∈N *,则捕捞强度b 的最大允许值是1.【例7】已知函数f(x)=ax-23x 2的最大值不大于61,又当x ∈［41，21］时，f(x)≥81. (1)求a 的值;(2)设0＜a 1＜21,a n+1=f(a n ),n ∈N *.证明a n ＜11+n . 思路分析：本题主要考查函数和不等式的概念,考查数学归纳法,以及灵活运用数学方法分析和解决问题的能力.在用数学归纳法证明不等式的过程中,充分利用了数列递推关系式a n+1=f(a n )=-23a n 2+a n 的函数单调性,需注意命题的递推关系式中起点位置的推移. (1)解:由于f(x)=ax-23x 2的最大值不大于61所以f(3a )=62a ≤61,即a 2≤1.① 又x ∈［41,21］时f(x)≥81,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥,81)41(,81)21(f f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-813234,81832a a .解得a≥1.② 由①②得a=1. (2)证明:(i)当n=1时,0＜a 1＜21,不等式0＜a n ＜11+n 成立; 因f(x)＞0,x ∈(0,32),所以0＜a 2=f(a 1)≤61＜31,故n=2时不等式也成立.(ii)假设n=k(k≥2)时,不等式0＜a k ＜11+k 成立, 因为f(x)=x-23x 2的对称轴为x=31,知f(x)在［0, 31］为增函数,所以由0＜a k ＜11+k ≤31得0＜f(a k )＜f(11+k ),于是有 0＜a k+1＜11+k -23·2)1(1+k +21+k -21+k =21+k -)2()1(242+++k k k ＜21+k , 所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(i)(ii)可知,对任何n ∈N *,不等式a n ＜11+n 成立. 【例8】(2006湖南高考,理19)已知函数f(x)=x-sinx,数列{a n }满足:0＜a 1＜1,a n+1=f(a n ),n=1,2,3,….求证：（1）0＜a n+1＜a n ＜1;(2)a n+1＜61a n 3. 思路分析：本题结合函数的单调性,来证明不等式.然后,利用数学归纳法来证明.证明：(1)先用数学归纳法证明0＜a n ＜1,ｎ＝1,2,3,…(i)当n=1时,由已知显然结论成立.(ii)假设当n=k 时结论成立,即0＜a k ＜1.因为0＜x ＜1时,f′(x)=1-cosx ＞0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在[0,1]上连续,从而f(0)＜f(a k )＜f(1),即0＜a k+1＜1-sin1＜1.故n=k+1时,结论成立.由(i)(ii)可知,0＜a n ＜1对一切正整数都成立.又因为0＜a n ＜1时,a n+1-a n =a n -sina n -a n =-sina n ＜0,所以a n+1＜a n ,综上所述0＜a n+1＜a n ＜1.(2)设函数g(x)=sinx-x+61x 3,0＜x ＜1.由(1)知,当0＜x ＜1时,sinx ＜x, 从而g′(x)=cosx -1+22x =-2sin 22x +22x ＞-2(2x )2+22x =0. 所以g(x)在(0,1)上是增函数.又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0,所以当0＜x ＜1时,g(x)＞0成立.于是g(a n )＞0,即sina n -a n +61a n 3＞0. 故a n+1＜61a n 3. 【例9】(2007天津高考，理21)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=λa n +λn+1+(2-λ)2n (n ∈N *),其中λ＞0.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n }的前n 项和S n ;(3)证明存在k ∈N *,使得kk n n a a a a 11++≤对任意n ∈N *均成立.思路分析：本题以数列的递推关系式为载体,主要考查等比数列的前n 项和公式\,数列求和\,不等式的证明等基础知识与基本方法,考查归纳\,推理\,运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.(1)解法一:a 2=2λ+λ2+(2-λ)·2=λ2+22,a 3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)·22=2λ3+23,a 4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)·23=3λ4+24,由此可猜想出数列{a n }的通项公式为a n =(n-1)λn +2n ,以下用数学归纳法证明.①当n=1时,a 1=2,等式成立.②假设当n=k 时等式成立,即a k =(k-1)λk +2k ,那么,a k+1=λa k +λk+1+(2-λ)·2k=λ(k -1)λk +λ·2k +λk+1+2k+1-λ·2k=［(k+1)-1］λk+1+2k+1.这就是说,当n=k+1时等式也成立,根据①和②可知,等式a n =(n-1)λn +2n 对任何n ∈N *都成立. 解法二:由a n+1=λa n +λn+1+(2-λ)·2n (n ∈N *),λ＞0,可得1)2()2(111+-=-+++n n n n n n a a λλλλ, 所以{n n na )2(λλ-}为等差数列,其公差为1,首项为0,故n n a λ-(λ2)n =n-1, 所以数列{a n }的通项公式为a n =(n-1)λn +2n .(2)解:设T n =λ2+2λ3+3λ4+…+(n -2)λn-1+(n-1)λn ,①λT n =λ3+2λ4+3λ5+…+(n -2)λn +(n-1)λn+1.②当λ≠1时,①式减去②式,得(1-λ)T n =λ2+λ3+…+λn -(n-1)λn+1=λλλ--+112n -(n-1)λn+1, T n =λλλλλ-----++1)1()1(1212n n n =2211)1()1(λλλλ-+--++n n n n . 则S n =2212)1()1(λλλλ-+--++n n n n +2n+1-2. 当λ=1时,T n =2)1(-n n ,这时数列{a n }的前n 项和S n =2)1(-n n +2n+1-2. (3)证明:通过分析,推测数列{n n a a 1+}的第一项12a a 最大.下面证明:n n a a 1+＜12a a =242+λ,n≥2,③ 由λ＞0,知a n ＞0,要使③式成立,只要2a n+1＜(λ2+4)a n (n≥2),因为(λ2+4)a n =(λ2+4)(n-1)λn +(λ2+4)2n ＞4λ·(n -1)λn +4×2n =4(n-1)λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2a n+1,n≥2, 所以③式成立.因此,存在k=1,使得n n a a 1+≤k k a a 1+=12a a 对任意n ∈N *均成立. 高手支招5思考发现1.数学归纳法是不完全归纳法,它的优点是克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,是一种科学的方法,使我们认识到由繁到简,由特殊到一般,由有限到无穷.2.用数学归纳法证明不等式的命题,在把n=k 的不等式转化为n=k+1的不等式成立的命题时,证明不等式的基本方法如:比较法、分析法、综合法、放缩法等,仍然是证题的常用方法.3.在证明整除性问题和几何问题时,当n=k+1时,要与n=k 比较,尝试n 增加1时,代数式或元素(如点、线、圆)增加了多少,做到有目标的变形.。

1.1 归纳推理教学过程：一：创设情景，引入概念师：今天我们要学习第一章：推理与证明。

那么什么是推理呢？下面请大家仔细看这段flash，体验一下flash动画中，人物推理的过程。

（学生观看flash动画）。

师：有哪位同学能描述一下这段flash动画中的人物的推理过程吗？生：flash中人物通过观察，发现7只乌鸦是黑色的于是得到推理：天下乌鸦一般黑。

师：很好！那么能不能把这个推理的过程用一般化的语言表示出来呢？生：这是从一个或几个已有的判断得到一个新的判断的过程。

师：非常好！（引出推理的概念）。

师：推理包括合情推理和演绎推理，而我们今天要学的知识就是合情推理的一种——归纳推理。

那么，什么是归纳推理呢？下面我们通过介绍数学中的一个非常有名的猜想让大家体会一下归纳推理的思想。

（引入哥德巴赫猜想）师：据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，这3个等式。

大家看这3个等式都是什么运算？生：加法运算。

师：对。

我们看来这些式子都是简单的加法运算。

但是哥德巴赫却把它做了一个简单的变换，他把等号两边的式子交换了一下位置，即变为：10=3+7，20=3+17，30=13+17。

大家观察这两组式子，他们有什么不同之处？生：变换之前是把两个数加起来，变换之后却是把一个数分解成两个数。

师：大家看等式右边的这些数有什么特点？生：都是奇数。

师：那么等式右边的数又有什么特点呢？生：都是偶数。

师：那我们就可以得到什么结论？生：偶数=奇数+奇数。

师：这个结论我们在小学就知道了。

大家在挖掘一下，等式右边的数除了都是奇数外，还有什么其它的特点？（学生观察，有人看出这些数还都是质数。

）师：那么我们是否可以得到一个结论：偶数=奇质数+奇质数？（学生思考，发现错误！）。

生：不对！2不能分解成两个奇质数之和。

师：非常好！那么我们看偶数4又行不行呢？生：不行！师：那么继续往下验证。

（学生发现6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7……）师：那我们可以发现一个什么样的规律？生：大于等于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。

《数学归纳法》导学案【学习目标】了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.【重点难点】重点：能用数学归纳法证明难点：理解数学归纳法证思路.模块一: 自主学习，明确目标（1）设(){}p n 是一个与正整数相关的命题集合,如果证明起始命题1p (或0p )成立; 在假设p ｋ成立的前提下，推出p ｋ+１也成立，()p n 对一切正整数都成立.（2）归纳法步骤:① 证明当n 取第一个值n 0时命题成立；② 假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.模块二：合作释疑例1.归纳法证明++++++312111n n n …n 31＞109（n ＞1，且N ∈n ）．例2. 用数学归纳法证明32n+2－8 n －9()N ∈n 能被64整除．模块三：巩固训练，整理提高一．课堂总结通过本节课的学习，你有哪些收获？1．知识上2．思想方法上3.反思二．课堂测试1.数学归纳法证明1＋21＋31＋…＋121-n ＜n （n ＞1）的过程中，第二步证明从n =k 到n =k ＋1成立时，左边增加m 个项，则m 等于( ) (A) 2k －1 (B) 2k －1 (C) 2k (D) 2k ＋12.数学归纳法证明（n ＋1）（n ＋2）…（n ＋n ）=2n ·1 · 3…（2 n －1）()N ∈n 时，证明从n =k 到n =k ＋1的过程中，相当于在假设成立的那个式子两边同乘以( )(A) 2k ＋2 (B)（2k ＋1）（2k ＋2） (C) 122++k k(D) ()()12212+++k k k 3.已知()111()123f n n N n*=++++∈L ,证明不等式()2n f n >时, ()12k f +比()2k f 多的项数为( )A. 12k -B. 12k +C. 2kD.21k +【作业】 1.*11111,23421n n n N +++++≤∈-L .2用数学归纳法证明:n 为奇数时，n n x y +能被x +y 整除.3对一切正整数N,是比较2n 与2n 的大小，并证明你的结论.[答案]例1[解析]（1）当n=2时，左=13+14+15+16=5760>5460=910，成立． （2）假设n=k 时，有1k+1+1k+2+1k+3+⋯+13k >910那么1k+2+1k+3+⋯+13(k+1)=1k+1+1k+2+1k+3+⋯+13k +13k+1+13k+2+13k+3−1k+1>910+13k+1+13k+2+13k+3−1k+1=910 即n =k +1时命题也成立，从而 原不等式对n ∈N ，且n >1成立．例2[解析]当n=1 的时候上面的式子 = 34−8−9=64 成立假设 当n=k 的时候32k+2－8 k －9能够被64整除 当n=k+1式子= 32k+4－8 k －17=9[32k+2−8k −9]+64k +64因为32k+2－8 k －9能够被64整除∴9[32k+2−8k −9]+64k +64能够被64整除 n=k+1时，成立根据上面的由知道用数学归纳法证明32n+2－8 n －9()N ∈n 能被64整除． 课堂测试1[答案]C2[答案]D3[答案]C。

1.设f (n )＝＋…＋(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )．111123n n n +++++12nA ．B ．C ．D ．121n +122n +112122n n +++112122n n -++2．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数有( )．A ．1B ．1或2C ．1,2,3D ．1,2,3,43．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)能被9整除”的过程中，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时，只需展开( )．A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)34．证明＜1＋＋…＋＜n ＋1(n ＞1)，当n ＝2时，中间式等于( 22n +111234++12n )．A ．1B ．1＋C ．1＋D ．1＋121123+111234++5．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( )．A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －26．若命题A (n )(n ∈N ＋)，当n ＝k (k ∈N ＋)时，命题成立，则有n ＝k ＋1时，命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N ＋)时，命题成立，则有( )．A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都错7．用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为__________．8．用数学归纳法证明“当n 为正偶数时，x n －y n 能被x ＋y 整除”，第一步应验证n ＝__________时，命题成立；第二步归纳假设成立，应写成______________．9．用数学归纳法证明凸n 边形的对角线的条数：f (n )＝n (n －3)(n ≥3且n ∈N ＋)．1210．已知n ≥2，n ∈N ＋，求证：·…·111111357⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.1121n ⎛⎫+> ⎪-⎝⎭参考答案1.答案：D 解析：f (n )＝1111,1232n n n n+++⋅⋅⋅++++f (n ＋1)＝，111112322122n n n n n ++⋯+++++++∴f (n ＋1)－f (n )＝.11111212212122n n n n n +-=-+++++2.答案：B 解析：当n ＝1时，左边＝1×2＝2，右边＝3－3＋2＝2，等式成立．当n ＝2时，左边＝1×2＋2×3＝8，右边＝3×22－3×2＋2＝8，等式成立．当n ＝3时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＝20，右边＝3×32－3×3＋2＝20，等式成立．当n ＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，右边＝3×42－3×4＋2＝38，等式不成立．3.答案：A 解析：当n ＝k 时，k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3＝k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3－k 3，只需展开(k ＋3)3即可．4.答案：D 解析：当n ＝2时，分母从1依次到4，则中间式为1＋.111234++5.答案：B 解析：增加的对角线条数为n －1.6.答案：B 解析：只能对大于或等于n 0的所有正整数成立，而小于n 0的正整数不确定．7.答案：k 3＋5k ＋3k (k ＋1)＋6　解析：采用配凑法，必须利用归纳假设．8.答案：2　x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除　解析：因为n 为正偶数，故第一个值应为n ＝2，第二步假设n 取第k 个正偶数，即n ＝2k 时成立，故应假设x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除．9.答案：证明：(1)∵三角形没有对角线，∴n ＝3时，f (3)＝0，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥3且k ∈N ＋)时命题成立，即f (k )＝k (k －3)．12则当n ＝k ＋1时，凸k 边形由原来k 个顶点变为k ＋1个顶点，对角线条数增加k －1.∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1＝k (k －3)＋k －1＝ (k ＋1)[(k ＋1)－3]．1212∴当n ＝k ＋1时，命题成立．∴对于任意的n ∈N ＋且n ≥3，凸n 边形对角线的条数为f (n )＝n (n －3)．1210.证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋1433=43>(2)假设n ＝k 时，原不等式成立．即.那么当n ＝k ＋1时，11111111352121k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋯⋯+⋅+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭要使n ＝k ＋1时，原不等式成立，只需证明1121k ⎛⎫⋅+ ⎪+⎝⎭1.2=，12>，只需证2k ＋1＋＋2＞2k ＋3，即＞0.>121k +121k +∵k ≥2，∴＞0.121k +显然成立，即当n ＝k ＋1时，原不等式成立．由(1)(2)可知，对任何n ∈N ＋(n ≥2)，原不等式均成立．。

归纳推理一、教学目标1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

3．情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。

二、教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、引入新课归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。

归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。

也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。

拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。

由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。

”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。

这里就有着归纳推理的运用。

从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 (二)、例题探析例1、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。

解：考察一些多面体，如下图所示：将这些多面体的面数（F ）、棱数（E ）、顶点数（V ）列出，得到下表：从这些事实中，可以归纳出：Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２例2、如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小，试猜测结论。

直接证明与间接证明例1 已知a 、b 、c 0>，求证：()()33322213a b c a b c a b c ++≥++++。

例2 当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大。

例3 已知三个关于x 的方程240x mx -+=，()21160x m x +-+=，223x mx m ++100+=中，至少有一个方程有实根，求实数m 的取值范围。

参考答案例1：分析：不等式中的a 、b 、c 为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的平均数定理，再据不等式性质推导出证明的结论。

证明：∵222a b ab +≥，a 、b 、c 0>，∴()()()222a b a b ab a b ++≥+， ∴()332222222a b a b ab ab a b a b ab +++≥+=+，∴3322a b a b ab +≥+。

同理：33223322,b c b c bc a c a c ac +≥++≥+，将三式相加得()3332222222a b c a b ab b c bc a c ac ++≥+++++。

∴()()()()3333223223223a b c a a b a c b b a b c c c a c b ++≥++++++++()()222a b c a b c =++++。

∴()()33322213a b c a b c a b c ++≥++++。

评注：在运用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件。

例2：分析：应用分析法证题时，语气总是假定的，通常用“欲证A 只需证B ”的语句，在证明过程中一个终结代替另一个终结时，必须注意它们间的等价性。

证明：设圆和正方形的周长为L ，依题意，圆的面积为22L ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，正方形的面积为24L ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此本题只需证明22L ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>24L ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

[学习目标] 1.了解数学归纳法原理.2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识点一 归纳法及分类由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法，归纳法可以分为完全归纳法和不完全归纳法，完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象；不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径.完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后，得出一般结论的推理方法，又叫枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法.思考 下面的各列数都依照一定规律排列，请在括号里填上适当的数. (1)1,5,9,13,17，( )；(2)23，1,1 12，2 14，3 38，( )； (3)34，58，12，922，1132，( )； (4)32,31,16,26，( )，( )，4,16,2,11. 答案 (1)21；(2)8116；(3)1344；(4)8 21.知识点二 数学归纳法1.数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立. 2.应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题. (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3)步骤②的证明必须以“假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件.思考 (1)对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N *)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？(2)多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答案 (1)a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14.猜想数列的通项公式为a n ＝1n .不能保证猜想一定正确，需要严密的证明.(2)①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.条件②事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K ＋1块也倒下.题型一 用数学归纳法证明恒成立例1 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *).证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立. (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2) ＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2k ·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)·2＝2k ＋1·1·3·…·(2k －1)·[2(k ＋1)－1]＝右边.∴当n ＝k ＋1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原等式均成立.反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项.跟踪训练1 用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)(n ∈N *).证明 (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13×1×(4×12－1)＝1，左边＝右边，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)，则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2 ＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(2k －1)＋(2k ＋1)2 ＝13(2k ＋1)[k (2k －1)＋3(2k ＋1)] ＝13(2k ＋1)(2k 2＋5k ＋3)＝13(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋3) ＝13(k ＋1)(4k 2＋8k ＋3) ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]， 即当n ＝k ＋1时，等式成立. 由(1)(2)知，对一切x ∈N *等式成立. 题型二 证明不等式问题例2 已知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＞n ＋1成立.证明 由已知条件可得b n ＝2n (n ∈N *)， ∴所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，左边＞右边，∴不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立. 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)＞k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时，不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式，得2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，∴2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立.由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原不等式均成立.反思与感悟 用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用.跟踪训练2 用数学归纳法证明对一切n ∈N *,1＋122＋132＋… ＋1n 2≥3n2n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立.(2)假设当n ＝k 时，不等式成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，只需证3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3.因为3(k ＋1)2k ＋3－⎣⎡⎦⎤3k2k ＋1＋1(k ＋1)2＝34(k ＋1)2－1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1] ＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)≤0，所以3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时不等式成立.由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立.题型三用数学归纳法证明整除问题例3求证n∈N*时，a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除.证明(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题成立.由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立.反思与感悟用数学归纳法证明数的整除性问题时，关键是从当n＝k＋1时的式子中拼凑出当n＝k时能被某数整除的式子，并将剩余式子转化为能被该数整除的式子.跟踪训练3用数学归纳法证明对于任意非负整数n，A n＝11n＋2＋122n＋1能被133整除.证明(1)当n＝0时，A0＝112＋12＝133，能被133整除.(2)假设当n＝k(k≥0)时，A k＝11k＋2＋122k＋1能被133整除，那么当n＝k＋1时，A k＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122－11)·122k＋1＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋133·122k＋1，能被133整除.由(1)(2)可知，对于任意非负整数n，A n都能被133整除.题型四用数学归纳法解决平面几何问题例4已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分.证明(1)当n＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f(1)＝1×(1－1)＋2＝2(部分)，所以命题正确.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即k 个符合条件的平面把空间分为f (k )＝k (k －1)＋2(部分)，当n ＝k ＋1时，第k ＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k 部分，故f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k (k －1)＋2＋2k ＝k (k －1＋2)＋2＝(k ＋1)[(k ＋1)－1]＋2(部分)， 即当n ＝k ＋1时，命题也成立.根据(1)(2)，知n 个符合条件的平面把空间分成f (n )＝n (n －1)＋2部分.反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 增加到k ＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k 与k ＋1之间的递推关系.跟踪训练4 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f (n )＝n (n －1)2.证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数f (k )＝12k (k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线的交点个数为k ， 从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，命题成立.由(1)(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立.因弄错从n ＝k 到n ＝k ＋1的增加项致误例5 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *).错解 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，显然左边＞右边，即n ＝1时不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12.那么，当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＞k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12 ＝(k ＋1)＋12，即n ＝k ＋1时，不等式成立.由①②得1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *)成立.错因分析 以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的不止一项，应是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k项，并且k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12也是错误的. 正解 ①当n ＝1时， 左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，所以左边＞右边，即n ＝1时不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12，那么，当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋...＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋...＋12k ＋2k ＞k ＋12＋2111 (222222)k k k k k k k ++++++个＝k ＋12＋2k 2k ＋2k ＝k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12. 所以n ＝k ＋1时，不等式成立.由①②可知，n ∈N *时1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12.防范措施 当n ＝k ＋1时，可以写出相应增加的项，然后再结合数学归纳法证明.1.用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n＝1－a n ＋11－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证当n ＝1时，左边计算所得的式子是( ) A.1 B.1＋a C.1＋a ＋a 2 D.1＋a ＋a 2＋a 4答案 B解析 当n ＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是1＋a ，故选B. 2.用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＞1324(n ≥2)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，不等式的左边( ) A.增加了一项12(k ＋1)B.增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)C.增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1D.增加了一项12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1答案 C解析 n ＝k 时，左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，①n ＝k ＋1时，左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1)，②比较①②可知C 正确.3.已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是______.答案 2k解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项.4.用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)第一步应验证________. 答案 n ＝3时是否成立解析 n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3时是否成立.5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *).依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________. 答案 S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可.有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.2.归纳假设的作用.在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设.3.利用归纳假设的技巧.在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.4.数学归纳法的适用范围.数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项及前n项和等问题中.一、选择题1.某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得()A.当n＝4时命题不成立B.当n＝6时命题不成立C.当n＝4时命题成立D.当n＝6时命题成立答案 A解析因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立.2.满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n等于()A.1B.1或2C.1,2,3D.1,2,3,4答案 C解析 当n ＝1,2,3时满足，当n ＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，右边＝3×42－3×4＋2＝38.所以左边＞右边，即n ＝4不满足.3.记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( )A.π2B.πC.3π2D.2π 答案 B解析 由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.4.k (k ≥3，k ∈N *)棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( )A.f (k )＋k －1B.f (k )＋k ＋1C.f (k )＋kD.f (k )＋k －2答案 A解析 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))；….猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面.5.用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( ) A.7 B.8 C.9 D.10答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 6.用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( )A.2k ＋1B.2(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1).二、填空题7.用数学归纳法证明关于n 的恒等式，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，表达式为_______________________________________. 答案 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)28.用数学归纳法证明n 3＋5n 能被6整除的过程中，当n ＝k ＋1时，式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为____________.答案 (k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6解析 (k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋1＋3k 2＋3k ＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k 2＋3k ＋6＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.∵k (k ＋1)为偶数，∴3k (k ＋1)能被6整除，∴(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.9.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程中，第二步假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到的式子为________.答案 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k 解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1等式的左边增加了一项.10.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立.由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立.上述证明的错误是________.答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符.三、解答题11.已知f (n )＝(2n ＋7)3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意正整数n ，f (n )被m 整除，猜测出最大的m 的值，并用数学归纳法证明你的猜测是正确的.解 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除.证明如下：当n ＝1,2时，由上得证.假设当n ＝k (k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k ＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k ＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)， ∴f (k ＋1)能被36整除.∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 的值为36.12.设f (x )＝2x x ＋2，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N *). (1)求x 2，x 3，x 4的值；(2)归纳数列{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明.解 (1)x 2＝f (x 1)＝23，x 3＝f (x 2)＝2×2323＋2＝12＝24，x 4＝f (x 3)＝2×1212＋2＝25. (2)根据计算结果，可以归纳出x n ＝2n ＋1.证明：①当n ＝1时，x 1＝21＋1＝1，与归纳相符，归纳出的公式成立. ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，公式成立，即x k ＝2k ＋1， 那么，x k ＋1＝2x k x k ＋2＝2×2k ＋12k ＋1＋2＝42k ＋4＝2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，公式也成立.由①②知，当n ∈N *时，x n ＝2n ＋1. 13.在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)，求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测数列{a n }，{b n }的通项公式，证明你的结论.解 由题意得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2，n ∈N *. 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由a 1＝2，b 1＝4可得结论成立. ②假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，b k ＋1＝a 2k ＋1b k ＝(k ＋1)2(k ＋2)2(k ＋1)2＝(k ＋2)2＝[(k ＋1)＋1]2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②可知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切n ∈N *都成立.。

课题：数学归纳法及其应用举例【教学目标】1．使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．2．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．3．培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．4．努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．5．通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解【教学方法】类比启发探究式教学方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学程序】第一阶段：输入阶段——创造学习情境，提供学习内容1．创设问题情境，启动学生思维(1) 不完全归纳法引例：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．(2) 完全归纳法对比引例：有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明．在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．2．回顾数学旧知，追溯归纳意识（从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳．）(1) 不完全归纳法实例：给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式．(2) 完全归纳法实例：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况．3．借助数学史料, 促使学生思辨（在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？）问题1 已知n a ＝22)55(+-n n （n ∈N ），(1)分别求1a ；2a ；3a ；4a ．(2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）问题2 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n ∈N 时，122+n 一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．问题3 41)(2++=n n n f , 当n ∈N 时，)(n f 是否都为质数？验证： f （0）＝41，f （1）＝43，f （2）＝47，f （3）＝53，f （4）＝61，f （5）＝71，f （6）＝83，f （7）＝97，f （8）＝113，f （9）＝131，f （10）＝151，…，f （39）＝1 601．但是f （40）＝1 681＝241，是合数． 第二阶段：新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用，搭建新知结构4． 搜索生活实例，激发学习兴趣（在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程．孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验．）实例：播放多米诺骨牌录像关键：(1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下．搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．5． 类比数学问题, 激起思维浪花类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式d n a a n )1(1-+=：(1) 当n ＝1时等式成立； (2) 假设当n ＝k 时等式成立, 即d k a a k )1(1-+=, 则d a a k k +=+1=d k a ]1)1[(1-++, 即n ＝k ＋1时等式也成立． 于是, 我们可以下结论： 等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=对任何n ∈*N 都成立．（布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．）6． 引导学生概括, 形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1) 证明当n 取第一个值0n 时结论正确；(2) 假设当n ＝k (k ∈*N ，k ≥0n ) 时结论正确, 证明当n ＝k ＋1时结论也正确． 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确．这种证明方法叫做数学归纳法． 第三阶段：操作阶段——巩固认知结构，充实认知过程7． 蕴含猜想证明, 培养研究意识（本例要求学生先猜想后证明，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．）例题 在数列{n a }中, 1a ＝1, nn n a a a +=+11(n ∈*N ), 先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论．8． 基础反馈练习, 巩固方法应用（课本例题与等差数列通项公式的证明差不多，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，因此我把它作为练习，这样既考虑到学生的能力水平，也不冲淡本节课的重点．练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明，与前者是一个对比与补充．通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．）(1)用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n －1）＝2n ．(2)首项是1a ，公比是q 的等比数列的通项公式是11-=n n q a a ． 9． 师生共同小结, 完成概括提升(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；(3) 数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．10． 布置课后作业, 巩固延伸铺垫在数学归纳法证明的第二步中，证明n ＝k ＋1时命题成立, 必须要用到n ＝k 时命题成立这个假设．这里留一个辨析题给学生课后讨论思考：用数学归纳法证明： 1222221132-=+++++-n n (n ∈*N )时, 其中第二步采用下面的证法： 设n ＝k 时等式成立, 即1222221132-=+++++-k k , 则当n ＝k ＋1时, 12212122222111132-=--=++++++++-k k kk ． 你认为上面的证明正确吗？为什么？教后反思：1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n 有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n ＝k ＋1命题成立时必须要用到n ＝k 时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．。