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泛函分析基础(2015年加强版) ,设(,d x]0,1为闭区间]0,1上赋予度量]为定义在3的哪些子集构成3的线性子空间【[0,2],Cπ【为赋范空间,,,n nx Xαα∈[0,1]上的∞和1不为等价范数∞中除有限个坐标之外均为.p【19】.X '∈【190E 是X 的真闭子空间.y X ∈【23固定,考虑3的线性子空间}33:0x =为赋范空间,M 为X 的线性子空间】 为赋范空间*,.f X ∈【31】Banach 空间Y 为赋范空间为一系列有界线性算子【1,【34】】存在唯一的[0,1],x C ∈,<∞-∞<},n e 为和{:n f n ≥的子空间,,M N ⊥是线性子空间并对于∞中只有有限多个零项的序列构成的子空间,,n x 是赋范空间(,)B xε≠∈使得M,=根据下确界的重要条件，得0inf{d. (略)n n a t .对于n n na t -+2n n b t nb t -++)()g t -<是一个有理数,且().t{()|s f t s 中任何两个不同元素之间的距离均为且有不可数多个.,则这些不相交的小球每一个必含有,,n n x y ∃∈).→+∞②2中元素e 1,0,1,0,.n⎫-⎪⎭{|n e n =≥,0,).下面证明M 是有界闭集但不是紧集.2(,0)1,n d e =<故M 是有界集有2(,)n m d e e ⎛= 2时,则必有0,0,N ∃>当.M .,)d 是完备的的闭子集定义映射,T Tx =,)|Tx Ty Tx =3的哪些子集构成3的线性子空间3).2,x =且3x 11x =+的0≥且2x ≤},1,2.i =)1,0,y M ∈,,1,2,3i =2,1,M α=}:,[,].n n i a t a t a b +∈∈容易验证在通常多项式的加法和与实数的乘法运算下有()(p t p t α且易验证加法与数乘满足线性空间的八个条件},n t 线性无关},n t 是X 的不是Y 的线性子空间∈K ,有()p t α为赋范空间,,n n x y ,y α→→∞和1不为等价范数110|()|max t x t dt ∈=≤⎰⎰使得()[0,1],x t C ∀∈[0,1],C 使得nx ∞>∞中除有限个坐标之外均为不为Banach ∞的线性子空间.1111,,,,,0,0,.23n⎫⎪⎭则()n x ∈})n 是一个Cauchy 列.,n >则()()1110,,0,,,,,0,,12n m x x n n m⎛⎫-= ⎪++⎝⎭10(,).1n m n =→→+∞+故{}()n x 是Cauchy 111,,,,12n n n ⎫⎪++⎭,则()()11sup 0(1n n k k k x x x x n n ≥-=-=→+),n →+∞但x M ∉,故M 不完备.}}:lim 0n n x ∞→∞∈=,由例1.3.6知0C)10,,,,,n n x x C +∈存在),,,0,0,,n x M ∈()11sup sup n k k k k k n x x x ≥≥+-=→时).中稠密.故0C 是M 的完备化空间上定义线性泛函(=(),[1,1].f x x t dt x C ∈-） sup ()sup 212n n f x n ∈∈=- ⎪⎝⎭()x t ⇔在(1,0)-上符号相同且},n e 为,1,i j n ≤≤唯一确定,,n α∈K ,n β∈K 1111n n n nx e e y e e αααββ=++=++,11,,,nni ii i i j i i ij i j ee e βαβαβγ===∑∑∑00,x ⇔=),,n α∈K 12212222120,n n n n n nn n γγαγγγα⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪≥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭①满足①式,则由11nni i ij i j αβγ==∑∑所定义的映射是一个内积Hilbert 空间为H 的闭线性子空间.求证:M 为H[1,1]odd C -[1,1],even C ∈-Hilbert 空间{sup,x y =,,n k 有0,=即j e ),j j x e e e 固定,考虑3的线性子空间}33:0Z x =上的线性泛函2311(,)f x x x a x =到3上的所有保范延拓的有界线性泛函.3中定义范数1x x =首先证{12max ,f a a =因为对12(,,0)x x Z ∀∈∈又若取(sgn x =3,定义F ,Z 有()F x }时,有F故,此时F 是f 到3上的保范延拓.32★4-4.设X 为赋范空间,M 为X 的线性子空间,0.x X ∈ 求证0x M ∈当且仅当任取,0,Mf X f'∈=都有0()0.f x ="":⇒若0,x M ∈则{},n x M ∃⊂且0().n x x n →→∞ 因,f X '∈且0,Mf=则()()0()lim lim 0.n n n n f x f x x →∞→∞===""⇐:反证法.若0,x M ∉因为M 是闭集,故()0,0.x M d ρ=> 则根据定理4.1.7,则,f X '∃∈使得01,0,()0Mf ff x d ===>，与条件矛盾. 34●4-17.设X 为Banach 空间,Y 为赋范空间,(,)n T B X Y ∈为一系列有界线性算子,设任取{},n x X T x ∈都是Y 中的Cauchy 列,求证:存在常数0,C ≥使得任取1,.n n T C ≥≤35 ●4-18.在上题中又设Y 为Banach 空间,求证:存在(,),T B X Y ∈使得任取,,n x X T x Tx ∈→且1sup .n n T T ≥≤因为{}n T x 是Y 中的Cauchy 列,则{}n T x 是有界集,即,x X ∀∈有sup .n n T x ∈<+∞因为X 是Banach 空间,故由一致有界原则有sup ,n n T ∈<+∞即0,c ∃>使得对,n ∀有.n T c ≤若Y 完备,则,Tx Y ∃∈使得n T x Tx →(参考定理2.4.5的证明), 且lim lim sup ,n n n n n n Tx T x T x T x →∞→∞∈==≤⋅故sup .n n T T ∈≤36★4-20.设X 为赋范空间,,,n n x x X x ∈⇀.x 求证:{:1}.n x span x n ∈≥ 若n x ⇀x ,则,f X '∀∈有()().n f x f x →若{}:1,n x span x n ∉≥则{}(),:10.n d x span x n d ≥=> 根据定理4.1.7知,存在{}:1,1,0,n span x n f X f f≥'∈==且()0f x d =>与()()n f x f x →相矛盾.1,级数1n ≥∑.∞)1,,,n x ∈定义1()nn i i i f x y x ==∑是定义在1上的线性泛函且1max n f ≤=1,级数1n n n y x +∞=∑收敛,故lim n →∞1,都有sup (n n f x ∈根据一致有界原则,得sup ,n n f ∈<+∞即1sup max sup .i n i nn y y ≤≤∈∈=<+∞∞中只有有限多个零项的序列构成的子空间)()1,,,,,,,n n x y y y →=式中k y =并计算;T 逆算子定理矛盾?21∞有Tx (1,1,,1,)x =(全为1),111,,,,,2Tx n ⎛⎫= ⎪⎝⎭且1,1,x Tx == 1sup 1,x Tx Tx >=≥=故 1.T =()()1121212:,,,,,2,,,,,,k k k k T y y y y x y y ky ky ky -++=→= 111,1,,1,,,,k k y k k ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭项故,k y X ∈且()11,2,,,1,1,,k T y k X -=∈ 11,(),k k k y x T y k k -===→+∞→+∞故1T -无界.这与开映射定理不矛盾,因为X 不完备.取1010,0,,0,,,n n x X n -⎛⎫ ⎪=∈ ⎪⎝⎭个因为110,(,),n m x n m n m =-→→∞所以但是当n →∞时,有(0,0,,0,),n x X →∉故。
BMOA到Bloch型空间的加权复合算子吴燕; 熊东红; 张学军【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2011(026)003【总页数】9页(P303-311)【关键词】有界性; 紧性; 加权复合算子; 超球; BMOA空间; Bloch型空间【作者】吴燕; 熊东红; 张学军【作者单位】湖南师范大学数学与计算机科学学院湖南长沙410081【正文语种】中文【中图分类】O174.56设X、Y是B上两个由全纯函数构成的空间,φ:B→B全纯,ψ∈H(B),从空间X到Y 的加权复合算子Tψ,φ定义为:Tψ,φ(f)=ψ.f◦φ(f∈X).容易看到这样定义的Tψ,φ是一个线性算子,大量的数学工作者在不同函数空间上对Tψ,φ进行了研究,在单复变情形,和本文直接相关的参考文献就有很多,如文献[1-6]等,至于多变量情形则更是举不胜举,如文献[7-21]等.涉及到多变量Bloch型空间复合型算子的有界性和紧性问题,其有界性和紧性充要条件的给出是一个比较棘手的问题,很多数学工作者做了大量的工作,多圆柱情形代表性的工作如[7-9]等;至于单位球情形,利用传统的Bloch型空间的范数很难给出有界性和紧性的充要条件,要借助于Bergman度量和Finsler度量以及原有的范数相结合才能有效的解决这个问题,这方面的工作如文献[10-12]等;至于其他区域,一些数学工作者也做过一些工作,如文献[13]等.本文主要探讨单位球上BMOA空间到Bloch型空间上加权复合算子的有界性和紧性条件,就在最近文献[3]在单位圆上给出了Hardy空间到Bloch型空间上加权复合算子的有界性和紧性条件,早些时候文献[5-6]在单位圆上探讨了类似问题.但是,单位圆中这些处理办法很难移植到多复变的单位球上,本文欲借用Finsler度量(可参见文献[10-11]等)来弥补这方面的缺陷,给出相应的充要条件.【相关文献】[1]Ohno S,Zhao Ruhan.Weighted composition operators on the Bloch space[J].Bull Austral Math Soc,2001,63:177-185.[2]Zhang Xuejun,Xiao Jianbin.Weighted composition operator between two analytic function spaces[J].Adv in Math(China),2006,35(4):453-462.[3]陈晓捷,叶善力.从Hardy空间到加权Bloch型空间的加权复合算子[J].数学研究,2010,43(3): 211-222.[4]张学军.p-Bloch空间上的复合算子和加权复合算子[J].数学年刊,2003,24(6):711-720.[5]Zhao position operators from Bloch type spaces to Hardy and Besov spaces[J]. J Math Anal Appl,1999,233:749-766.[6]Bourdon P,Cima J,Matheson pact composition operators on BMOA[J].Trans Amer Math Soc,1999,351:2183-2196.[7]Zhou Zehua,Shi pact composition operators on the Bloch space in polydiscs[J]. Science in China(Ser A),2001,44(3):286-291.[8]Hu position operators between Bloch-type spaces in thepolydisc[J].Science in China(Ser A),2005,48(supp.):268-282.[9]徐辉明,刘太顺.多圆柱上不同Bloch型空间之间的加权复合算子[J].数学年刊,2005,26A(1): 61-72.[10]Chen Huaihui,Gauthier position operators onµ-Bloch spaces[J].Canad J Math, 2009,61(1):50-75.[11]刘竟成,李菊香,张学军.超球上Bloch型空间之间复合算子再刻划[J].数学学报,2007,50(3): 711-720.[12]张学军,李菊香.Cn中单位球上μ-Bloch空间之间的复合算子[J].数学物理学报,2009,29A(3): 573-583.[13]Zhou Zehua,Shi pactness of composition operators on the Bloch space inclassical bounded symmetric domains[J].Michigan Math J,2002,50:381-405.[14]Zhang Xuejun,Xiao Jianbin.Weighted composition operators between μ-Bloch spaces on the unit ball[J].Science in China,2005,48A(10):1349-1368.[15]张学军,李菊香.Cn中单位球上μ-Bloch空间之间的复合算子[J].数学物理学报,2009,29A(3): 573-583.[16]王雄亮.多圆柱上Bergman空间到Bloch空间的复合算子[J].数学研究,2010,43(2):141-150.[17]刘竟成,张学军.单位球上小Bloch型空间之间的加权复合算子[J].数学物理学报,2010,30A(4): 804-907.[18]张学军,刘竟成.加权Bergman空间到μ-Bloch空间的复合算子[J].数学年刊,2007,28A(2):255-266.[19]Zhang Minzhu,Xu position operators on α-Bloch spaces of the unitball[J].Acta Math Sinica(Einglish Series),2007,23(11):1991-2002.[20]Zhou Zehua,Chen Renyu.Weighted composition operator from F(p,q,s)to Bloch type spaces on the unit ball[J].Int J Math,2008,19(8):899-926.[21]张学军,李菊香,肖建斌.Cn中空间F(p,q,s)到的复合算子[J].数学年刊A辑,2008, 29(6):789-800.[22]张学军.Cn中Dirichlet型空间和Bloch型空间上的加权Ces aro算子[J].数学年刊A辑,2005, 26(1):139-150.[23]Zhu Kehe.Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball[M].New York:Springer-Verlag, 2005.[24]Ortega J,Fabrega J.Pointwise multipliers and Corona type decomposition in BMOA[J]. Ann Inst Fourier(Grenoble),1996,46:111-137.[25]Rudin W.Function Theory in the Unit Ball of Cn[M].New York:Springer-Verlag,1980.。
bloch空间上复合算子的闭值域Bloch空间是研究复合算子闭值域的重要数学空间，它和其他空间有很多共同的性质，但又有很大的不同。
因此，Bloch空间在数学研究中起着至关重要的作用。
首先，要了解复合算子闭值域，最重要的是理解Bloch空间。
Bloch空间是一种特殊的几何空间，它可以用来描述线性绑定多个变量的复合算子的闭值域。
这类空间具有以下特性：1）线性变换；2）函数可积性；3）向量可积性；4）向量空间的克罗内克积和向量的平方积。
这多种性质使得它能够对复合算子的闭值域进行全面有效的分析。
其次，要了解复合算子闭值域，还需要研究算子频域理论。
算子频域理论是一种重要的复合算子理论，可以用来描述复合算子闭值域。
算子频域理论的主要思想是将复合算子的频率分解成多个简单的频率，并应用Bloch空间中的数学结构来进行分析。
算子频域理论可以实现复合算子的频率变换，从而实现复合算子闭值域的准确测量。
第三，复合算子闭值域的测量非常困难，因为它往往会涉及到超大维度的数学计算。
在这种情况下，Bloch空间被广泛用于复合算子闭值域的分析，因为它通过简单的线性变换可以大大减少复数运算的维度。
在给定的一组复合算子的闭值域范围内，用Bloch空间的线性变换可以计算出不同的结果，从而提高了测量的效率。
最后，Bloch空间在复合算子闭值域的研究中发挥着重要作用。
它提供了一种有效的方法，可以通过简单的线性变换实现复杂的复合算子闭值域的测量。
它也可以用来帮助分析复合算子的频率，从而更好地理解复合算子的闭值域的特征。
Bloch空间是研究复合算子闭值域的重要数学空间，它的优势在于可以通过简单的线性变换来提高复合算子的测量效率。
总之，Bloch空间是研究复合算子闭值域的重要数学空间，它可以通过简单的线性变换实现复杂的复合算子闭值域的测量，还可以用来帮助测量算子频域。
它是数学研究中重要的数学空间，值得深入研究。
量子力学讲义第4章第四章量子力学的表述形式（本章对初学者来讲是难点）表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。
为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比：矢量（欧几里德空间）量子力学的态（希尔伯特空间）基矢),,(321e e e~三维本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维任意矢展开∑=ii i e A A任意态展开∑=nn n a ψψ),,(z y x e e e),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系),,(?θe e e r取不同表象),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换不同表象之间可以进行变换由此可见，可以类似于矢量A，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。
为此，我们将① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间；② 给出态和力学量算符在该空间的表示；③ 建立各种不同表示之间的变换关系。
最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。
4.1希尔伯特空间狄拉克符号狄拉克符号“”~类比：),,(z y x A A A欧氏空间的矢量 A→坐标系中的分量),,(?θA A A r……….)(rψ →表象下的表示)(p C……….引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。
一、希尔伯特空间的矢量定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般是无限维的。
1、线性：①c b a =+；②a b λ=。
2、完备性：∑=nn n a a 。
3、内积空间：引入与右矢空间相互共轭的左矢空间∑==?+nn n a a a a *;)(:。
定义内积：==*ab b a 复数，0≥a a 。
1=a a ~归一化；b a b a ,~0=正交；m n n m δ=~正交归一；)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。
函数空间与算子理论函数空间与算子理论是数学中重要的两个概念。
函数空间指的是一类函数的集合，而算子理论则是研究线性算子的性质和特征的数学分支。
本文将介绍函数空间的定义和性质，并探讨算子理论的相关概念和应用。
一、函数空间函数空间是指由特定性质的函数构成的集合。
常见的函数空间有连续函数空间C(X)、可微函数空间C^1(X)、Lp空间等。
以连续函数空间C(X)为例，其中X表示一个拓扑空间。
C(X)是由定义在X上的连续函数构成的集合。
函数空间具有一些重要的性质。
首先，函数空间是线性空间，即任意两个函数的线性组合仍然属于该函数空间。
其次，函数空间可以定义范数，使得它成为一个赋范空间。
范数可以度量函数的大小和距离，常用的范数包括无穷范数和Lp范数。
函数空间的重要性在于它可以描述和分析各种类型的函数。
例如，在信号处理中，连续函数空间C(X)可以描述信号的连续性和平滑性。
在概率论中，Lp空间可以描述概率密度函数的特征。
二、算子理论算子理论是研究线性算子的性质和特征的数学分支。
在数学中，算子指的是将一个函数映射到另一个函数的映射。
常见的算子包括微分算子、积分算子和傅里叶变换等。
线性算子具有一些重要的性质。
首先，线性算子是可加性的，即对于任意两个函数，算子对它们的加法和数量乘法满足线性性质。
其次，线性算子可以用矩阵表示，使得其性质可以通过矩阵的代数计算来研究。
算子理论在数学和物理学中有广泛的应用。
在微分方程和偏微分方程中，算子可以描述方程的性质和解的特征。
在量子力学中，算子可以表示物理量的测量和变换。
三、函数空间与算子理论的联系函数空间和算子理论有密切的联系。
通过构造适当的算子，可以将函数从一个空间映射到另一个空间。
例如，在傅里叶变换中，函数可以从时域映射到频域，通过一系列算子的作用实现变换。
函数空间和算子理论的研究也相互促进。
通过函数空间的分析，可以得到算子的性质和特征。
而通过算子的性质，可以研究函数空间的结构和变换。
第2"卷第2期 2018年4月哈尔滨理工大学学报JO U R N A L O F H A R B I,^ UN IV ER SITY O F S C IE ：N C E A N D T E C H N O L O G YV ol. 23 N o. 2 A pr. 2018Banach 空间的jg 算子樊丽颖，张佳宁，曹丽萍，宋婧婧(哈尔滨理工大学应用数学系，黑龙江哈尔滨150080)摘要：为了研究Banach 空间算子的一些几何性质，给出了 1算子和弱1算子的定义；讨论了 1算子和弱1算子的性质，进一步得到了算子具有1性质的充分必要条件、1算子与具有1性质的空间之间的关系，研究了 1算子空间的定义及此空间的性质，得到了 1算子是紧算子的判别条件， 给出了自反空间一个新的特征。
关键词:1算子；自反空间；弱1算子;1算子空间D O I ：10.15938/j . jliust . 2018.02.025中图分类号！ 0177.7文献标志码：A文章编号：1007-2683(2018)02-0140-04p-operator in Banach SpacesF A N L i -y i n g，Z H A N GJ i a -n i n g ，C A OL i -p i n g ，S O N GJ i n g -j i n g(D ep artm en t of A pplied M athem atics，H a rb in U n iversity of Science a n d T echnology，H arb in 150080 , C h in a)Abstract ；To study some geometric properties of Banach space operator ，the definitions of the 1-operator andweak 1-operator were given ，and t he properties of the 1-operator and weak 1-operator were discussed . Sufficient and necessary conditions for t he operator witli 1-property were obtained . The relationship between properties of 1-operator and the space which has 1-property were discussed . The definition of 1-operator space and the property of this space were studied . The conclusion was obtained that 1-operator is a compact operator ，and a new feature of reflexive space was given .K eywords :1_operator % reflexive space ; weak 1-operator ; 1-operator space〇引言众所周知，对定义在Banach 空间而取值于另一B a n a h 空间的有界线性算子[1-7]，其变域的结构在 算子结构的研究中起主要作用，文[1]引入了 NUC 算子以及UKK 算子，并对它的性质进行了讨论，得 到了 N UC 算子是U K K 的、算子是N U C 的充要条 件、算子C 是NUC 算子，则算子C 是N U S 算子等结论，作者将定义1算子和弱1算子，这类算子与具有1性质的空间以及弱1性质的空间有密切的关 系，证明自反空间1算子为弱1算子等结论。
