构造函数在解题中的应用(改3)

构造函数法在解题中的应用构造函数法在解题中的应用摘要：函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中的应用越来越广泛。

本文就构造函数这一方法在不等式、数列、方程有解及恒成立问题等方面的应用举例说明。

关键词：函数思想；构造函数；不等式；方程；应用函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题并解决问题。

因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。

函数思想在数学应用中占有重要的地位，应用范围很广。

函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、三角函数、不等式、数列、解析几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。

根据需要，构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法，这种方法也已渗透到中学数学中。

首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。

其次数量关系是数学中的一种基本关系。

现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。

因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。

下面我们举例说明构造函数的方法在解题中的应用。

一、构造函数解决有关不等式的问题有些不等式证明和比较大小的问题，如能根据其结构特征，构造相应的函数，从函数的单调性或有界性等角度入手，去分析推理，证明过程就会简洁又明快。

例1：若，则的大小关系是。

分析：式中各项的结构相同，只是字母不同，故可构造函数进行判断。

解：构造函数，易证函数在其区间是单调递增函数。

例2(2008年山东理)：已知函数其中为常数。

当时，证明：对任意的正整数，当时，有证法一：因为，所以。

当为偶数时，令则（）所以当时，单调递增。

又，因此恒成立，所以成立。

当为奇数时，要证，由于，所以只需证，令，则（），所以，当时，单调递增，又，所以当时，恒有，即命题成立。

构造函数在高中数学解题中的应用
作者：严俊
来源：《成才之路》 2015年第31期
摘要：在高中数学中，构造函数是常见方法之一。

文章结合教学实践，探讨如何通过构造函数思想解决数学问题。

关键词：函数；高中数学；解题应用
高中数学中的转化思想，是将未知、陌生的问题转化成熟悉的问题。

通过对已知条件及结论的分析，构造出函数、方程、不等式、向量、复数等辅助元素，进而联系条件和结论找到解题途径。

这称为构造法。

在高中数学中，构造函数是常见方法之一，有构造高次函数、构造指数函数、构造一次函数、构造二次函数、构造分式函数、构造三角函数函数及构造可求导函数等多种类型。

一、构造高次函数解题
二、构造指数函数解题
三、构造一次函数解题
四、构造二次函数解题
五、构造分式函数解题
六、构造三角函数解题
七、构造可导函数解题
八、结束语
函数是高中数学的重点内容之一，利用构造函数思想解题较为普遍。

这需要学生熟悉函数的形式及函数性质，才能选对函数模型，从而既解决问题，又事半功倍。

参考文献：
[1]高飞.构造函数证明不等式[J].高中数学教与学,2006(09).
[2]傅仕玲.用构造法证明不等式[J].数学教学通讯,2009(21).。

高中数学解题中构造函数的有效应用王㊀勇(福建师范大学第二附属中学ꎬ福建福州３５００１５)摘㊀要:在高中数学解题训练中ꎬ教师应帮助学生掌握多种多样的解题方法ꎬ构造函数即为其中之一ꎬ能帮助学生优化解题步骤ꎬ提升解题的正确率.文章针对高中数学解题中如何有效应用构造函数法作探讨ꎬ并罗列部分解题实例.关键词:高中数学解题ꎻ构造函数ꎻ不等式中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－００５０－０３收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:王勇(１９８１.２－)ꎬ男ꎬ福建省永泰人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀构造函数属于构造法的一种ꎬ从本质上来说是对转化思想的运用ꎬ把复杂化㊁抽象化㊁陌生化的数学问题转变成简单化㊁具体化㊁熟悉化的函数问题ꎬ让学生结合函数方面的相关知识进行解题.１有效构造函数ꎬ解答不等式类试题例１㊀请证明不等式｜ａ＋ｂ｜１＋｜ａ＋ｂ｜ɤａ１＋｜ａ｜＋ｂ１＋｜ｂ｜成立.分析㊀通过对题目中的不等式形式与结构认真观察ꎬ发现这三个分式部分的结构比较类似ꎬ据此可以有效应用构造函数的方法ꎬ构造出函数ｆ(ｘ)＝ｘ１＋ｘ.以此为前提ꎬ结合函数的单调性对题设中的不等式进行证明ꎬ最终根据题目的具体类型ꎬ灵活引入构造函数法ꎬ让他们找到明确的解题思路ꎬ借助函数的性质完成对不等式证明类试题的解答[１].解析㊀结合题意可以构造出函数ｆ(ｘ)＝ｘ１＋ｘꎬ通过推理能够得到函数ｆ(ｘ)在区间(－ɕꎬ－１)与(－１ꎬ＋ɕ)上分别呈现出单调递增的性质ꎬ而且根据不等式的性质可知｜ａ＋ｂ｜ɤ｜ａ｜＋｜ｂ｜ꎬ由此能够得到｜ａ＋ｂ｜１＋｜ａ＋ｂ｜ɤ｜ａ｜＋｜ｂ｜１＋｜ａ｜＋｜ｂ｜＝ａ１＋｜ａ｜＋｜ｂ｜＋ｂ１＋｜ａ｜＋｜ｂ｜ɤａ１＋｜ａ｜＋ｂ１＋｜ｂ｜ꎬ从而证明原不等式的成立.２有效构造函数ꎬ解答方程方面试题例２㊀已知方程３ｘ＋４ｘ＋５ｘ＝６ｘꎬ求该方程的解.分析㊀在这道例题中ꎬ题干中给出的方程形式较为特殊ꎬ未知数ｘ位于指数位置ꎬ各个项之间不仅无法合并ꎬ也难以进行分解ꎬ如果纯粹利用方程方面的知识很难求解.此时教师可以提示学生结合方程与函数之间的关系进行分析ꎬ使其根据原方程式构造函数ꎬ基于此找到解题思路[２].解析㊀通过对原方程移项能够转变为３ｘ＋４ｘ＋５ｘ－６ｘ＝０ꎬ两边同时除以６ｘꎬ进一步转化之后可以０５得到(３６)ｘ＋(４６)ｘ＋(５６)ｘ－１＝０.构造函数ｆ(ｘ)＝(３６)ｘ＋(４６)ｘ＋(５６)ｘ－１ꎬ则有ｆ(１)＝１ꎬｆ(２)<１ꎬｆ(３)＝０.由此可以确定原方程有一个解ｘ＝３.由于(３６)ｘꎬ(４６)ｘꎬ(５６)ｘ在Ｒ上均为严格的单调递减ꎬ那么函数ｆ(ｘ)在Ｒ上同样是严格的单调递减ꎬ当ｘ<３时ꎬｆ(ｘ)>ｆ(３)＝０ꎻ当ｘ>３时ꎬｆ(ｘ)<ｆ(３)＝０.综上ꎬ该方程只有一个解ꎬ即为ｘ＝３.３有效构造函数ꎬ解答比较大小试题例３㊀已知θɪ(０ꎬπ６)ꎬａ＝ｌｎ(２ｃｏｓ２θ－１)２(２ｃｏｓ２θ－１)２ꎬｂ＝ｌｎ(ｃｏｓθ－１)２(ｃｏｓθ－１)２ꎬｃ＝ｌｎ(ｓｉｎθ－１)２(ｓｉｎθ－１)２ꎬ那么ａꎬｂꎬｃ之间的大小关系是什么?分析㊀通过观察题干中的式子发现ａꎬｂꎬｃ三个表达式较为一致ꎬ这时可以采用整体思想仔细审视各个表达式ꎬ找出它们特征一样的部分ꎬ然后利用自变量ｘ表示出来ꎬ由此构造出函数.当构造函数完成以后ꎬ就能够把复杂的比较大小问题转变成自变量进行比较的问题[３].解析㊀根据题意可以构造函数ｆ(ｘ)＝ｌｎ(ｘ－１)２(ｘ－１)２ꎬ通过观察可知ｆ(２－ｘ)＝ｆ(ｘ)ꎬ函数ｆ(ｘ)的图象关于ｘ＝１对称.因为ｆᶄ(ｘ)＝２[１－ｌｎ(ｘ－１)２](ｘ－１)３ꎬ当１<ｘ<２时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ函数ｆ(ｘ)呈单调递增ꎬ当０<ｘ<１时ꎬ函数ｆ(ｘ)呈单调递减.㊀根据θɪ(０ꎬπ６)可以得到０<ｓｉｎθ<１２<３２<ｃｏｓθ<１ꎬ所以ｆ(ｃｏｓθ)<ｆ(ｓｉｎθ)ꎬ即为ｃ>ｂ.根据对称性能够得到ｆ(２ｃｏｓ２θ)＝ｆ(２－２ｃｏｓ２θ)ꎬ由于３２<２ｃｏｓ２θꎬ则０<２－２ｃｏｓ２θ<１２.又因为２－２ｃｏｓ２θ－ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ２θ－ｓｉｎθ＝ｓｉｎθ(２ｓｉｎθ－１)<０ꎬ即０<２－２ｃｏｓ２θ<ｓｉｎθ<１２.由此可以确定ｆ(２－２ｃｏｓ２θ)>ｆ(ｓｉｎθ)ꎬ即为ａ>ｃ.综上可得ａ>ｃ>ｂ.４有效构造函数ꎬ解答最值方面试题例４㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｅ３ｘ－１ꎬｇ(ｘ)＝１３＋ｌｎｘꎬ如果ｆ(ｍ)＝ｇ(ｎ)ꎬ那么ｎ－ｍ的最小值是什么?分析㊀本道题目较为特殊ꎬ通过分析可知要用到逆向推理法ꎬ按照 ｎ－ｍ的最小值㊁确定ｎ与ｍ的表达式㊁构造函数㊁研究函数的单调性㊁计算出最小值 的步骤进行解题.其中确定ｎ和ｍ的表达式时需要结合题意引入新的变量ｔꎬ然后后续解题步骤根据ｔ的取值问题展开ꎬ最终轻松㊁简便地求出ｎ－ｍ的最小值.解析㊀结合题意令ｆ(ｍ)＝ｇ(ｎ)＝ｔ(ｔ>０)ꎬ则１３＋ｌｎｎ＝ｔꎬｌｎｎ＝ｔ－１３ꎬｎ＝ｅｔ－１３ꎻｅ３ｍ－１＝ｔꎬ３ｍ－１＝ｌｎｔꎬｍ＝１３(ｌｎｔ＋１).则ｎ－ｍ＝ｅｔ－１３－１３(ｌｎｔ＋１).构造函数Ｈ(ｔ)＝ｅｔ－１３－１３(ｌｎｔ＋１)(ｔ>０)ꎬ则Ｈᶄ(ｔ)＝ｅｔ－１３－１３ １ｔ.可以得到Ｈᶄ(ｔ)在区间(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬ而且当ｔ＝１３时ꎬＨᶄ(ｔ)＝０ꎬ所以ꎬ当０<ｔ<１３时ꎬＨᶄ(ｔ)<０ꎬＨ(ｔ)单调递减ꎻ当ｔ>１３时ꎬＨᶄ(ｔ)>０ꎬＨ(ｔ)单调递增ꎬ即ｔ＝１３时ꎬＨ(ｔ)取得极小值也就是最小值.㊀１５则Ｈ(１３)＝１－１３(ｌｎ１３＋１)＝２＋ｌｎ３３.所以ｎ－ｍ的最小值是２＋ｌｎ３３.５有效构造函数ꎬ解答数列方面试题例５㊀已知函数ｆ(ｘ)＝１＋ｌｎ(ｘ＋１)ｘ(ｘ>０)ꎬｆ(ｘ)>ｋｘ＋１恒成立ꎬ整数ｋ的最大值是３ꎬ请证明(１＋１ˑ２)(１＋２ˑ３)(１＋３ˑ４) [１＋ｎ(ｎ＋１)]>ｅ２ｎ－３.解析㊀根据１＋ｌｎ(ｘ＋１)ｘ>３ｘ＋１ꎬ得ｌｎ(ｘ＋１)>３ｘｘ＋１－１＝２－３ｘ＋１>２－３ｘ.设ｘ＝ｋ(ｋ＋１)ꎬ则ｌｎ[１＋ｋ(ｋ＋１)]>２－３ｋ(ｋ＋１)＝２－３(１ｋ－１ｋ＋１)(其中ｋ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬｎ).所以ｌｎ{(１＋１ˑ２)(１＋２ˑ３)(１＋３ˑ４) [１＋ｎ(ｎ＋１)]}>２ｎ－３(１－１２＋１２－１３＋ ＋１ｎ－１ｎ＋１)＝２ｎ－３(１－１ｎ＋１)>２ｎ－３ꎬ由此能够得到(１＋１ˑ２)(１＋２ˑ３)(１＋３ˑ４) [１＋ｎ(ｎ＋１)]>ｅ２ｎ－３.６有效构造函数ꎬ解答几何方面试题例６㊀设ｌ是曲线Ｃ:ｙ＝ｌｎｘｘ在点(１ꎬ０)处的切线ꎬ(１)切线ｌ的方程是什么?(２)请证明:除切点(１ꎬ０)以外ꎬ曲线Ｃ位于切线ｌ的下方.分析㊀本题第(１)问比较简单ꎬ这里不多做赘述ꎬ难点在于第(２)问ꎬ从表面上来看是一道解析几何类试题ꎬ其实实质上是一道轨迹方程类问题ꎬ如果仅仅使用几何方法难以顺利解题ꎬ要引入构造函数的方法ꎬ可设函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘｘꎬ为证明曲线Ｃ在切线ｌ的下方ꎬ除切点以外ꎬ只需证明不等式ｘ－１>ｌｎｘｘ成立即可.解析㊀(１)根据ｙ＝ｌｎｘｘ可以得到ｙᶄ＝１－ｌｎｘｘ２.当ｘ＝１时ꎬｙᶄ＝１－ｌｎ１１２＝１ꎬ即曲线Ｃ:ｙ＝ｌｎｘｘ在点(１ꎬ０)处切线的斜率是１ꎬ曲线Ｃ:ｙ＝ｌｎｘｘ在点(１ꎬ０)处的切线方程为ｙ＝ｘ－１.(２)结合题意能够把原问题转变为ｘ－１>ｌｎｘｘ(ｘ>０ꎬ且ｘʂ１)ꎬ也就是ｘ－１－ｌｎｘｘ>０ꎬ此时构造函数ｇ(ｘ)＝ｘ－１－ｌｎｘｘꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｘ２－１＋ｌｎｘｘ２.当ｘ>１时ꎬｘ２－１>０ꎬｌｎｘ>０ꎬ则ｇᶄ(ｘ)>０ꎬ故ｇ(ｘ)呈单调递增.由于ｘ>１ꎬ所以ｇ(ｘ)>ｇ(１)＝０.当０<ｘ<１时ꎬｘ２－１<０ꎬｌｎｘ<０ꎬ则ｇᶄ(ｘ)<０ꎬ故ｇ(ｘ)呈单调递减ꎬ所以ｇ(ｘ)>ｇ(１)＝０.综上可得ꎬ恒有ｇ(ｘ)>０(ｘʂ１)ꎬ所以除切点以外ꎬ整个曲线Ｃ都位于切线ｌ的下方.总而言之ꎬ在高中数学解题教学活动中ꎬ构造函数有着极为广阔的运用空间ꎬ适用于不少类型的试题.教师应以学生透彻理解并牢固掌握函数概念㊁性质等理论知识为前提ꎬ结合实际题目内容选择合适的函数形式进行构造ꎬ使其灵活借助构造函数的优势简化解题步骤ꎬ降低试题难度ꎬ不断增强学生有效应用构造函数的意识ꎬ同时积累更多的解题经验.参考文献:[１]魏春华.构造函数在高中数学解题中的应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(１５):１７－１９.[２]张远.构造函数在高中数学解题中的应用分析[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２０(２１):８－９.[３]李鸣.论高中数学解题中构造函数的有效应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２０(３１):６６－６７.[责任编辑:李㊀璟]２５。

构造函数在高中数学解题中的应用魏春华(福建省福州格致中学鼓山校区㊀３５００１４)摘㊀要:构造函数在高中数学解题中应用广泛ꎬ但其对学生分析问题的能力要求较高.教学中为使学生掌握构造函数的相关思路与技巧ꎬ并在解题中灵活应用ꎬ促进学生解题能力更好的提升ꎬ应注重结合相关例题ꎬ为学生展示构造函数的具体应用.关键词:构造函数ꎻ高中数学ꎻ解题ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)１５－００１７－０３收稿日期:２０２２－０２－２５作者简介:魏春华(１９８１.３－)ꎬ女ꎬ福建省福州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀函数是高中的重要内容ꎬ也是学生学习的一个难点ꎬ它贯穿于整个高中学习过程ꎬ数学中的构造函数是指基于对数学问题的合理抽象㊁深入理解ꎬ以及对初高中所学过的基本初等函数的认识ꎬ运用一个新的函数对原函数进行转化ꎬ以达到顺利求解问题的一种方法.构造函数是高中数学的重点与难点ꎬ对于学生的分析问题和解决问题的能力要求比较高ꎬ许多学生对题目理解困难ꎬ找不到破题之处ꎬ为使学生更好的掌握这一方法ꎬ既要做好相关理论知识的讲解ꎬ提高学生运用构造函数解题的意识ꎬ又要注重为学生展示其在解题中的具体应用过程ꎬ使学生更好的把握相关的应用细节与应用技巧ꎬ在这个过程中需要渗透构造的数学思维ꎬ并且需提升学生的运算能力.例１㊀(２０２０年全国数学高考一卷的２１题)已知函数的ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ(１)当ａ＝ｅ时ꎬ求曲线ｙ＝ｆ(ｘ)在点(１ꎬｆ(１))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积ꎻ(２)若ｆ(ｘ)ȡ１ꎬ求ａ的取值范围.此题的第二小题ꎬ很多学生在考试时候ꎬ由于题干十分的简单ꎬ不知该如何下手ꎬ直接求解不等式ꎬ似乎很难作答ꎬ然而如果尝试移项方式转化成恒成立问题ꎬ通过解决最值问题ꎬ就简化了求解的思路ꎬ进而可以快速的解出问题的答案.解析㊀方法一:若ｆ(ｘ)ȡ１ꎬ则ｆ(ｘ)－１ȡ０ꎬ即ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ－１ȡ０恒成立ꎬ令ｇ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ－１ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１－１ｘ(ａ>０ꎬｘ>０)ꎬｇᵡ(ｘ)＝ａｅｘ－１＋１ｘ２ꎻʑｇᵡ(ｘ)>０ꎬｇᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上递增ꎬ当ｘң０时ꎬｇᶄ(ｘ)ң－ɕꎬ当ｘң＋ɕ时ꎬｇᶄ(ｘ)ң＋ɕꎬʑ存在唯一的ｘ０使得ｇᶄ(ｘ０)＝０ꎬ即在(０ꎬｘ０)上ｇᶄ(ｘ)<０ꎬ(ｘ０ꎬ＋ɕ)上ｇᶄ(ｘ)>０ʑｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｇ(ｘ０)＝ａｅｘ０－１－ｌｎｘ０＋ｌｎａ－１由ｇᶄ(ｘ０)＝ａｅｘ０－１－１ｘ０＝０ꎬ得ａｅｘ０－１＝１ｘ０ꎬ得ｌｎａ＋ｘ０－１＝－ｌｎｘ０ꎬ代入ｇ(ｘ０)得ｇ(ｘ０)＝１ｘ０＋ｘ０＋２ｌｎａ－２ȡ２＋２ｌｎａ－２＝２ｌｎａȡ０ꎬʑａȡ１方法二:ȵｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａꎬʑｆ(ｘ)＝ｅｌｎａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ＝ｅｌｎａ＋ｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡ１ʑｅｌｎａ＋ｘ－１＋ｌｎａ＋ｘ－１ȡｌｎｘ＋ｘ＝ｅｌｎｘ＋ｌｎｘꎬ令７１ｇ(ｘ)＝ｅｘ＋ｘꎬ即ｇ(ｌｎａ＋ｘ－１)ȡｇ(ｌｎｘ)显然ｇ(ｘ)单调递增ꎬ所以ｌｎａ＋ｘ－１ȡｌｎｘꎬ即ｌｎａȡｌｎｘ－ｘ＋１ꎬ令ｈ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘ＋１ꎬｈᶄ(ｘ)＝１ｘ－１＝０ꎬｘ＝１ꎬ得到ｘɪ(０ꎬ１)时ꎬｈᶄ(ｘ)>０ꎬｈ(ｘ)递增ꎻｘɪ(１ꎬ＋ɕ)时ꎬｈᶄ(ｘ)<０ꎬｈ(ｘ)递减ꎻʑｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(１)＝０ꎬｌｎａȡ０ꎬａȡ１.构造函数问题很具有挑战性ꎬ需要学生细心的观察能力和运算的能力ꎬ找到问题的突破口ꎬ构造出合理的函数从而解决问题.构造函数的问题应用十分的广泛ꎬ构造函数是对所学函数知识的综合应用ꎬ所有的基本初等函数都是构造问题的基础.构造满足条件的函数ꎬ要求对所有的基本初等函数的性质有深刻的理解ꎬ并能灵活的运用ꎬ常见的有以下几种情况:１利用构造函数分析极值点极值点问题是高中数学函数部分的常见问题.运用构造函数分析极值点问题时需要明确原函数与导函数之间的关系ꎬ通过求导进行合理的转化ꎬ众所周知ꎬ一些原函数通过求导往往可转化成二次函数ꎬ而二次函数的根与函数的极值点相对应ꎬ认识到这一点也就不难分析出原函数极值点个数㊁极值点分布以及相关参数的范围.例２㊀设函数ｆ(ｘ)＝ｘ２＋ｍｌｎ(１＋ｘ)有两个极值点ꎬ则实数ｍ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.(－１ꎬ１２)㊀㊀㊀Ｂ.(０ꎬ１２)Ｃ.(０ꎬ１２]㊀Ｄ.(－１ꎬ１２]分析㊀解答该题可按照如下思路进行:两个极值点ң导函数在定义域内存在不同的两根ң构造函数ң结合函数性质进行解答.解析㊀ｆ(ｘ)的定义域为(－１ꎬ＋ɕ)ꎬ设两个极值点分别为ｘ１ꎬｘ２ꎬ且－１<ｘ１<ｘ２ꎬ则由ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得２ｘ２＋２ｘ＋ｍ＝０ꎬ令ｇ(ｘ)＝２ｘ２＋２ｘ＋ｍꎬ要想满足题意ꎬ应满足ｇ(－１)>０ꎬｇ(－１２)<０ꎬ从而解得０<ｍ<１２ꎬ选择Ｂ项.２利用构造函数研究函数性质研究函数的性质有两种思路:思路一ꎬ将函数转化为基本函数ꎻ思路二ꎬ构造新的函数ꎬ运用导数进行研究.高中数学中ꎬ有些题目并未给出函数的具体表达式ꎬ对于这种抽象函数ꎬ需要学生运用所学ꎬ通过认真审题ꎬ借助构造函数巧妙的切入ꎬ在此基础上借助导函数的相关性质ꎬ分析原函数的单调性㊁极值情况.例３㊀已知定义在(－π２ꎬπ２)上的函数ｆ(ｘ)的导函数为ｆᶄ(ｘ)ꎬ若ｆᶄ(ｘ)＝ｔａｎｘ [ｆ(ｘ)＋ｘ]ꎬ且ｆ(０)＝０ꎬ则下列结论正确的是(㊀㊀).Ａ.ｆ(ｘ)是增函数㊀Ｂ.ｆ(ｘ)是减函数Ｃ.ｆ(ｘ)有极大值㊀Ｄ.ｆ(ｘ)有极小值分析㊀此题为抽象函数问题ꎬ题中没有明确的函数解析式ꎬ需要学生认真审题ꎬ对已知条件进行等价转换ꎬ运用求导的逆运算ꎬ确定原函数以及导函数的具体表达式ꎬ通过计算㊁比较其与零的大小关系ꎬ确定其是递增的还是递减的以及是否存在极值.解析㊀ȵｆᶄ(ｘ)＝ｔａｎｘ [ｆ(ｘ)＋ｘ]ꎬｘɪ(－π２ꎬπ２)ꎬʑｆᶄ(ｘ)ｃｏｓｘ－ｆ(ｘ)ｓｉｎｘ＝ｘｓｉｎｘꎬʑ[ｆ(ｘ)ｃｏｓｘ]ᶄ＝ｘｓｉｎｘ.令ｆ(ｘ)ｃｏｓｘ＝ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘ＋Ｃꎬȵｆ(０)＝０ꎬʑＣ＝０ꎬʑｆ(ｘ)ｃｏｓｘ＝ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘꎬｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘｃｏｓｘꎬʑｆᶄ(ｘ)＝ｔａｎｘ [ｆ(ｘ)＋ｘ]＝ｔａｎｘ[ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘｃｏｓｘ＋ｘ]＝ｔａｎ２ｘȡ０ꎬʑ函数ｆ(ｘ)在(－π２ꎬπ２)上单调递增ꎬ选择Ａ项.３利用构造函数求解或证明参数范围求解参数范围是高中数学的热门题型.不同习题的解题思路不尽相同ꎬ需要学生深入的理解给出的已知条件ꎬ通过构造新的函数化陌生为熟悉.其中８１对于题干中形式相同的已知条件ꎬ往往需要采用 同构 的思路进行分析.通过对已知条件进行变形ꎬ构建新的函数ꎬ通过对新函数性质的研究ꎬ得出要求解的参数范围.例４㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ(１－ｌｎｘ)ꎬ设ａꎬｂ为两个不相等的正数ꎬｂｌｎａ－ａｌｎｂ＝ａ－ｂꎬ证明:２<１ａ＋１ｂ<ｅ.分析㊀本题的难点是要找到１ａꎬ１ｂ与ｆ(ｘ)之间的关系ꎬ通过对已知条件的变形整理ꎬ观察ꎬ从而设１ａ＝ｘ１ꎬ１ｂ＝ｘ２ꎬ原不等式转化为２<ｘ１＋ｘ２<ｅꎬ前者的证明可以构建新函数ꎬ利用极值点偏移得证.证明:通过对条件ｂｌｎａ－ａｌｎｂ＝ａ－ｂ的变形ꎬ得到ｂ(ｌｎａ＋１)＝ａ(ｌｎｂ＋１)ꎬ即ｌｎａ＋１ａ＝ｌｎｂ＋１ｂꎬ即１ａ(１－ｌｎ１ａ)＝１ｂ(１－ｌｎ１ｂ)ꎬ故ｆ(１ａ)＝ｆ(１ｂ)ꎬ所以可以设１ａ＝ｘ１ꎬ１ｂ＝ｘ２ꎬ不妨设０<ｘ１<１ꎬｘ２>１原不等式转化为２<ｘ１＋ｘ２<ｅꎬ证明ｘ１＋ｘ２>２时ꎬ若ｘ２>２ꎬ不等式恒成立ꎻ若１<ｘ２<２ꎬ要证ｘ１＋ｘ２>２ꎬ即证ｘ１>２－ｘ２ꎬ而０<２－ｘ２<１ꎬ根据ｆ(ｘ)在(０ꎬ１)上递增ꎬ即证ｆ(ｘ１)>ｆ(２－ｘ２)ꎬ即证ｆ(ｘ２)－ｆ(２－ｘ２)>０在１<ｘ２<２上恒成立ꎬ令ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(２－ｘ)ꎬｇᶄ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)－ｆᶄ(２－ｘ)＝－ｌｎｘ－ｌｎ(２－ｘ)＝－ｌｎ[ｘ(２－ｘ)]ꎬ因为１<ｘ<２ꎬ故０<ｘ(２－ｘ)<１ꎬ故－ｌｎ[ｘ(２－ｘ)]>０ꎬ所以ｇᶄ(ｘ)>０ꎬ故ｇ(ｘ)在(１ꎬ２)上为增函数ꎬ所以ｇ(ｘ)>ｇ(１)＝０ꎬ故ｆ(ｘ２)－ｆ(２－ｘ２)>０ꎬ所以ｘ１＋ｘ２>２得以证明.４利用构造函数计算变量的值计算变量的值在高中数学中较为常见.解答该类型题常常需要借助函数的单调性ꎬ因此ꎬ灵活运用多种手段正确的判断函数在定义域内的单调性是解题的关键.其中对于较为复杂的数学习题需要构建新的函数ꎬ以降低解决问题的难度.例５㊀已知实数ｘꎬｙ满足ｌｎ(４ｘ＋３ｙ－６)－ｅｘ＋ｙ－２ȡ３ｘ＋２ｙ－６ꎬ则ｘ＋ｙ的值为(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀㊀Ｂ.１㊀㊀㊀Ｃ.２㊀㊀㊀Ｄ.３分析㊀该题干虽然较为简单ꎬ但却是指数与对数的综合ꎬ难度较大ꎬ如思路不正确难以得出正确答案.解答该题需要对已知的条件进行变形ꎬ由不同到相同ꎬ从无形到形似ꎬ构建出两个新的函数ꎬ通过对两个新函数单调性的分析ꎬ找到两个函数特殊的点ꎬ问题便迎刃而解.解析㊀ȵｌｎ(４ｘ＋３ｙ－６)－ｅｘ＋ｙ－２ȡ３ｘ＋２ｙ－６ꎬʑｌｎ(４ｘ＋３ｙ－６)ȡｅｘ＋ｙ－２＋３ｘ＋２ｙ－６ʑｌｎ(４ｘ＋３ｙ－６)－(４ｘ＋３ｙ－６)ȡｅｘ＋ｙ－２－(ｘ＋ｙ－２)－２令ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘꎬｘ>０ꎬｇ(ｘ)＝ｅｘ－ｘ－２.ｆᶄ(ｘ)＝１－ｘｘꎬ当０<ｘ<１时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ函数ｆ(ｘ)递增ꎻ当ｘ>１时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ函数ｆ(ｘ)递减ꎬ则ｆ(ｘ)ｍａｘ＝ｆ(１)＝－１ꎻｇᶄ(ｘ)＝ｅｘ－１ꎬ当ｘ<０时ｇᶄ(ｘ)<０ꎬｇ(ｘ)单调递减ꎻ当ｘ>０时ꎬｇᶄ(ｘ)>０ꎬｇ(ｘ)单调递增ꎬｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｇ(０)＝－１ꎬ又ȵｆ(ｘ)ȡｇ(ｘ)ꎬʑｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)＝－１ꎬ此时４ｘ＋３ｙ－６＝１ꎬｘ＋ｙ－２＝０ꎬ解得ｘ＝１ꎬｙ＝１ꎬ则ｘ＋ｙ＝２ꎬ选择Ｃ项.高中数学构造函数思路灵活多变ꎬ难度较大ꎬ在构建函数过程中ꎬ需要对问题仔细的分析ꎬ对函数的表达式认真的观察ꎬ明确解题的思路和方向ꎬ从而有效的解决数学问题.构造函数法是高中数学解题中的一种重要方式ꎬ教师教学中既要注重不同构造思路的讲解ꎬ也要在平时的教学过程中让学生亲身体会构造函数的具体应用过程.同时ꎬ鼓励学生做好解题的总结与反思ꎬ使其在训练中吸取经验教训ꎬ不断的提高构造函数的应用水平ꎬ使学生在提高解题能力的同时ꎬ发展其数学核心素养ꎬ从而实现综合能力的提升.参考文献:[１]王晶珍.构造法在高中数学解题中的应用研究[Ｊ].中学数学ꎬ２０２１(０５):４７－４８.[２]章君.解析构造函数在高中数学解题中的应用[Ｊ].中学课程辅导(教师通讯)ꎬ２０２０(２４):７６－７７.[责任编辑:李㊀璟]９１。

构造辅助函数在高等数学中的应用摘要：证明等式和不等式是高等数学中的常见问题，证明方法也多种多样。

论文通过几个例子，从研究题目的条件和结论人手，巧妙构造适当的辅助函数进行解题，既能简化证明，又能培养学生的创新思维能力。

构造辅助函数是数学解题的一个很好的工具，辅助函数是使问题转化的桥梁，通过恰当的构造辅助函数可以帮助我们解决很多数学问题，使问题简单化，构造辅助函数的方法是多种多样的，有时需要巧妙的灵活运用，构造辅助函数法还需要进一步探索和总结如何构造辅助函数是高等数学解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律 文章通过详尽的实例讲明了辅助函数在中值问题不等式恒等式函数求极限讨论方程的根及计算积分求函数值中的运用关键词：构造辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；在解题过程中，如果用思维定势来探求解题途径比较困难时，我们不妨换一下思维角度，从问题的结构和特点出发，构造一个与问题相关的辅助函数，实现问题的转化，从而使问题得到证明。

本文通过对高等数学中中值问题、不等式的证明、恒等式的证明、函数求极限问题、讨论方程的根及计算积分求函数值这几类问题，应用构造辅助函数进行求解，从不同题型总结归纳了辅助函数的思想和具体的方法一、有关中值定理命题的证明的应用1.1构造辅助函数证明中值存在性问题设()x f ，()x g 在[]b a ,连续，在()b a ,可导。

()()0==b f a f 而[]b a x ,∈∀，()0≠x g 证明至少存在一点∈ξ()b a ,使()()()()ξξξξf g g f ''=分析：由于所证命题含有导数形式，我们大胆猜想它积分后的形式。

为此我们分下面几步走：(一) 将结论化为()()()()x f x g x g x f ''=(二) 移项并同时除以()x g 2得：()()()()()0''2=-x g x f x g x g x f (三) 求积分，并令之为()x F ()()()()()()()()()()()()x g x f a g a f x g x f dt t g t f t g t g t f x F x=-=-=⎰02'' 则()x F 就是我们要找的辅助函数。

构造函数法在高考压轴题中的应用构造函数法是高中数学中的一种重要解题方法，它在解决复杂问题时能够提供简洁明了的解题思路，同时也在高考压轴题中扮演着重要的角色。

本文将从构造函数法的基本概念、解题思路以及在高考压轴题中的应用等方面进行探讨。

一、构造函数法的基本概念构造函数法是通过找到一个函数表达式，使得该函数满足一定的条件，从而解决复杂的问题。

其基本思路是构造一个函数f(x)，使得f(x)满足问题中所给定的条件，然后通过简化问题或者利用函数的性质来解决问题。

二、构造函数法的解题思路在使用构造函数法解题时，需要根据问题的特点选择合适的函数形式，并尝试通过构造函数来满足问题中给定的条件。

通常情况下，构造函数可以选择为多项式函数、三角函数、指数函数等。

还需要注意对构造的函数进行合理的简化和整理，以便更好地解决问题。

三、构造函数法在高考压轴题中的应用构造函数法在高考压轴题中的应用非常广泛，特别是在数学和物理这类理科科目中。

下面我们将通过具体的题目来看一下构造函数法在高考压轴题中的应用。

1. 几何题：已知三角形内切圆半径为r，求三角形面积S与r的关系。

这类题目通常可以利用构造函数法中的三角函数来解决。

可以构造函数f(x) = tanx，利用三角函数的性质和三角形内切圆的性质，通过建立方程组来求解得出S与r的关系。

2. 函数题：已知函数y=f(x)，求证函数的单调性。

这类题目通常可以利用构造函数法中的多项式函数来解决。

可以构造函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，然后利用导数的性质和函数的性质来判断函数的单调性。

通过以上例题，可以看出构造函数法在高考压轴题中的应用非常灵活和多样化。

在解题时，我们不仅需要灵活选择构造的函数形式，还需要熟练掌握函数的性质和运用数学知识来解决问题。

四、结语构造函数法作为高中数学中的一种重要解题方法，不仅在解决复杂的问题时起到了重要作用，而且在高考压轴题中的应用也是非常广泛的。

构造函数法在高考压轴题中的应用【摘要】构造函数法是一种在高考压轴题中应用广泛的重要数学方法。

本文首先介绍了构造函数法的基本概念，然后分析了其在数学、物理、化学和生物题中的具体运用。

在高考备考中，熟练掌握构造函数法可以帮助学生快速解决复杂问题，提高解题效率。

构造函数法不仅在高考中具有重要性，也在实际生活和工作中有着广泛的应用价值。

本文总结了构造函数法在高考备考中的策略，提出了有效的学习方法和技巧。

通过深入了解和熟练运用构造函数法，学生们可以更好地备战高考，取得优异成绩。

【关键词】构造函数法、高考压轴题、基本概念、数学题、物理题、化学题、生物题、重要性、实际应用价值、高考备考、策略、应用。

1. 引言1.1 构造函数法在高考压轴题中的应用构造函数法是一种常用的数学解题方法，在高考压轴题中具有重要的应用价值。

通过构造函数法，我们可以将复杂的问题转化为简单的数学形式，从而更容易解决。

在高考数学试题中，构造函数法常常被用来解决一些较难的问题，特别是那些需要创造性思维和灵活性的题目。

构造函数法的基本思想是通过构造一个满足特定条件的函数来解决问题。

这个函数可以是任意的形式，只要它符合题目给出的条件和要求。

通过构造函数，我们可以将问题简化为一个函数的求解问题，从而更容易找到答案。

在高考数学试题中，构造函数法常常被用来解决几何、代数、概率等各种类型的问题。

通过构造一个适当的函数，我们可以更快地找到问题的解，提高解题效率。

构造函数法在高考压轴题中的应用非常重要。

掌握这一方法可以帮助我们更好地解决复杂的数学问题，提高解题的准确性和效率。

在备考高考时，我们应该加强对构造函数法的理解和应用，提高自己的解题能力。

2. 正文2.1 构造函数法的基本概念构造函数法是一种通过构造合适的函数来解决特定问题的数学方法。

在数学中，构造函数法通常被用来解决求解方程、优化问题、函数性质等各种类型的数学题目。

构造函数的选择往往能简化问题的求解过程，提高解题效率。

２(２－ｔ) ２２－ｔ＋４＝４－２２.因此ｍ的取值范围应为ｍ>４－２２.点评㊀本例题中ꎬ将参数ｍ分离出ꎬ化为ｍ>ｆ(ｔ)的形式ꎬ只需再求出ｆ(ｔ)的最大值Ｐꎬ则当ｍ>Ｐ时ꎬ不等式恒成立.由此可以得知ꎬ分离参数以后ꎬ只需求出目标函数的最值即可.㊀㊀五㊁换元化简当表达式繁杂或者条件与结论关系不明确时ꎬ可以考虑采用换元方法ꎬ使题目变得简化ꎬ关系明显ꎬ便于求解问题.例５㊀设对所有实数ｘꎬ不等式ｘ２ｌｏｇ２４(ａ＋１)ａ＋２ｘｌｏｇ２２ａａ＋１＋ｌｏｇ２(ａ＋１)２４ａ２>０恒成立ꎬ求ａ的取值范围.略解㊀设ｕ＝ｌｏｇ２ａ＋１２ａꎬ则不等式可以化为３ｘ２＋[(ｘ－１)２＋１]ｕ>０.上式对所有实数ｘ都成立的充要条件是ｕ>０.再由ｌｏｇ２ａ＋１２ａ>０ꎬ易求得０<ａ<１.点评㊀依题意表达式多而繁ꎬ但各系数中实际都含有ｌｏｇ２ａ＋１２ａꎬ可以采用换元方法简化问题.㊀㊀参考文献:[１]吴叹.摭谈含参不等式恒成立问题[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１９(１５):３９－４０.[２]黄雄林.从一道２０１８年全国高考题说起 函数与含参不等式问题的求解策略[Ｊ].福建中学数学ꎬ２０１９(０２):４３－４４.[３]刘元德.含参不等式问题的三种求解策略[Ｊ].语数外学习(高中版中旬)ꎬ２０１８(０１):２９.[４]焦海贵.从一道试题看含参不等式证明的通性通法[Ｊ].高中数学教与学ꎬ２０１８(２３):３６－３７.[５]谭忠选.含参不等式恒成立问题的三种解法对比[Ｊ].中学生数学ꎬ２０１９(２１):６１.[责任编辑:李㊀璟]构造函数在高中数学解题中的应用周晓琳(江苏省南通市天星湖中学㊀２２６００９)摘㊀要:高中阶段ꎬ数学学科是一门基础学科ꎬ与初中数学相比ꎬ学科知识难度明显增加ꎬ因而实际教学中ꎬ如何高效解答习题是非常重要的.高中数学解题中ꎬ构造函数法是一种比较常见的解题方法ꎬ其能够转化抽象数学问题ꎬ减小解题难度ꎬ利于激发学生数学解题兴趣ꎬ同时提高解题效率.基于此ꎬ针对高中数学解题中构造函数法的应用ꎬ本文进行了简单地论述.关键词:构造函数ꎻ高中数学解题ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１９－００２６－０２收稿日期:２０２０－０４－０５作者简介:周晓琳(１９８４.４－)ꎬ江苏省南通人ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:数学文化渗透的高中校本课程研究ꎬＧＨ２０１８１４６.㊀㊀一㊁概述构造函数法类似于构造方程法ꎬ高中数学教学中函数知识与方程间联系紧密ꎬ合理应用构造函数法ꎬ利于培养并提高学生数学解题能力ꎬ特别是在几何与代数类型数学题干信息求解中有明显的适用性.数学题目实际求解过程中ꎬ将数学问题转换为形式简单的函数ꎬ以此简化求解过程ꎬ准确解答题目ꎬ为学生思维创造性发展创造条件.数学解题过程中ꎬ要注意所构造的函数必须要满足以下内容:(１)函数与原题联系紧密.(２)创建的函数能够确保便于应用常规解题方法解答题目.(３)值域㊁单调性㊁奇偶性及周期性等方面ꎬ函数要符合题干要求ꎬ提高函数６２准确性.(４)根据题干条件构造函数.函数构造过程中ꎬ首先要全面分析命题条件㊁结论及特点ꎬ在提取其中逻辑与构想基础上ꎬ参考题目条件重新组合ꎬ一次获得满足解题要求的构造函数ꎻ此外还要观察并分析函数ꎬ联系分析条件与结论ꎬ最终获得正确结论.该解题方法逻辑性强ꎬ且解题方便ꎬ适用范围大ꎬ已成为高中数学解题中一种比较常见的解题方法.㊀㊀二㊁高中数学解题中构造函数法的具体应用１.利用构造函数比较式子大小比如比较ａｎ与ｂｎ两个式子的大小.分析:通过观察这两个数可以看出ꎬ其有相同的指数但底数不同.因而ꎬ实际解题过程中ꎬ可通过构造幂函数ｙ＝ｘｎꎬ利用该函数单调性判断两个算式的大小.(１)如果ｎ>０ꎬ在(－ɕꎬ＋ɕ)区间范围内函数ｙ＝ｘｎ为单调递增ꎬ所以ａｎ与ｂｎ的大小取决于ａ与ｂ的大小ꎬ即假若ａ>ｂꎬ那么ａｎ>ｂｎꎬ反之则ａｎ<ｂｎ.(２)如果ｎ<０ꎬ在(－ɕꎬ０)和(０ꎬ＋ɕ)内函数ｙ＝ｘｎ分别为单调递减ꎬ因此ａｎ与ｂｎ的大小与ａ与ｂ的大小关系恰恰相反ꎬ即假若ａ>ｂ>０ꎬ那么ａｎ<ｂｎꎬ反之若０<ａ<ｂꎬ则ａｎ>ｂｎ.通过构造函数对比几个数的大小ꎬ是函数单调性应用的重要体现ꎬ此种情况下实际学习中ꎬ必须要了解构造函数的单调性ꎬ通过单调性对比函数大小.一般ꎬ构造函数是日常比较常用的初等函数或其复合形式ꎬ因此利用构造函数对比算式大小ꎬ了解一次㊁二次㊁指数㊁对数㊁幂函数及三角函数图象与单调性是非常重要的.２.构造二次函数解答数学题数学解题中ꎬ比如已知ａ㊁ｂ㊁ｃɪＲꎬ且ａ＋ｂ＋ｃ＝１ꎬａ２＋ｂ２＋ｃ２＝１ꎬ求ａ的取值范围.解答㊀ｂ＋ｃ＝１－ａꎬｂ２＋ｃ２＝１－ａ２ꎬ那么构造函ｆ(ｘ)＝２ｘ２－２(ｂ＋ｃ)ｘ＋ｂ２＋ｃ２＝(ｘ－ｂ)２＋(ｘ－ｃ)２ȡ０是恒成立的ꎬ因此Δ＝４(ｂ＋ｃ)２－８(ｂ２＋ｃ２)ɤ０ꎬ换言之４(１－ａ)２－８(１－ａ２)ɤ０ꎬ由此求出－１/３ɤａɤ１.该题目解答过程中ꎬ将ｂ＋ｃ与ｂ２＋ｃ２视为一个整体ꎬ以此为二次函数ｆ(ｘ)＝２ｘ２－２(ｂ＋ｃ)ｘ＋ｂ２＋ｃ２的构造创造了条件ꎬ最后借助二次函数性质获求出最终结果.３.构造函数应用于分解因式比如分解因式ａ３＋ｂ３＋ｃ３－３ａｂｃ.该题目属于三元三次多项式ꎬ结构特殊且根与系数联系紧密ꎬ因而实际解题过程中ꎬ基于ａ㊁ｂ㊁ｃ三个单位构建三根三次多项式函数ꎬ利用函数求解问题.具体解题过程主要为:假设函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－ａ)(ｘ－ｂ)(ｘ－ｃ)＝ｘ３＋ｙｘ２＋ｚｘ＋ｒꎬ得出ａ＋ｂ＋ｃ＝－ｙꎬａｂ＋ａｃ＋ｂｃ＝ｚꎬａｂｃ＝－ｒꎬ获得以下三个公式:ｆ(ｘ)＝ａ３＋ｙａ２＋ｚａ＋ｒ＝０ꎬｆ(ｘ)＝ｂ３＋ｙｂ２＋ｚｂ＋ｒ＝０与ｆ(ｘ)＝ｃ３＋ｙｃ２＋ｚｃ＋ｒ＝０.结合这三个等式ꎬ推导出(ａ３＋ｂ３＋ｃ３)＋ｙ(ａ２＋ｂ２＋ｃ２)＋ｚ(ａ＋ｂ＋ｃ)＋３ｒ＝０ꎬ并求出最终结果ꎬ即ａ３＋ｂ３＋ｃ３－３ａｂｃ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ２＋ｂ２＋ｃ２－ａｂ－ａｃ－ｂｃ).４.构造一次函数解答数学题解决以下问题时ꎬ可通过构造一次函数有效提高解题效率.假设不等式为２ｘ－１>ｍ(ｘ２－１)ꎬ其满足｜ｍ｜ɤ２的所有值条件下不等式恒成立ꎬ求未知数ｘ取值范围.解答该类型题目是ꎬ首先可将不等式转换为(ｘ２－１)ｍ－(２ｘ－１)<０ꎬ在此基础上构造一次函数即ｆ(ｍ)＝(ｘ２－１)ｍ－(２ｘ－１)(｜ｍ｜ɤ２).然后结合该一次函数图象基本性质得到ｆ(－２)<０ꎬ最后代入未知数ｘ求出其最终取值范围.５.构造可导函数假若ｘɪ(０ꎬ＋ɕ)ꎬ求证１１＋ｘ<ｌｎｘ＋１ｘ<１ｘ.证明㊀假设１＋１ｘ＝ｔ(ｘ>０)ꎬ所以ｔ>１ꎬｘ＝１ｔ－１ꎬ那么原不等式就可转换为１－１ｔ<ｌｎｔ<ｔ－１.构造ｆ(ｔ)＝ｔ－１－ｌｎｔ(ｔ>１)ꎬ即ｆᶄ(ｔ)＝１－１ｔ>０ꎬ因此在(１ꎬ＋ɕ)内ｆ(ｔ)是单调递增ꎬ因此ｆ(ｔ)>ｆ(１)＝０ꎬ即ｌｎｔ<ｔ－１.又构造ｇｔ()＝ｌｎｔ－１＋１ｔｔ>１()ꎬｇᶄ(ｔ)＝１/ｔ－１/ｔ２＝(ｔ－１)/ｔ２>０ꎬ因此在(１ꎬ＋ɕ)上ｇ(ｔ)是单调递增ꎬ因此ｇ(ｔ)>ｇ(１)＝０ꎬ即ｌｎｔ>１－１ｔ.因而原不等式是成立的.此过程中ꎬ采用换元法简化原不等式对数的真数部分ꎬ并构造两个可导函数ꎬ以此证明原不等式成立ꎬ其在不等式证明中应用比较广.综上所述ꎬ随着新课标改革的深入推进ꎬ高中数学学科教学中ꎬ函数教学是非常重要的内容ꎬ应用构造函数法已成为解决数学问题的重要应用思想ꎬ对解题效率与学生解题能力的提高具有非常重要的意义.因此ꎬ高中学习阶段ꎬ老师要引导学生深入了解构造函数法解题思想应用的作用ꎬ了解函数性质及形式ꎬ灵活应用该方法解决实际学习生活中遇到的问题ꎬ从根本上提高自身数学解题能力ꎬ获得更加准确地结果.㊀㊀参考文献:[１]孙云涛.解析构造函数在高中数学解题中的应用[Ｊ].中学数学ꎬ２０１９(１９):３３－３４.[２]蒋刘熠.构造函数在解题中的应用例析[Ｊ].中学数学ꎬ２０１９(０３):５８ꎬ６０.[责任编辑:李㊀璟]７２。