北京市2016届高三数学文一轮复习专题突破训练：立体几何

[考情分析]在高考立体几何的解答题中，常常出现翻折问题与探索性问题，此类问题要求学生要有较强的空间想象能力和准确的计算能力．翻折问题是空间几何与平面几何转化的集中体现，处理这类题的关键是抓住两图的特征关系；探索性问题常常是在条件不完备的情况下探讨某些结论是否成立，处理这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．预计2025年高考可能会考查以下几点：(1)证明平行(垂直)关系、空间角的计算与翻折问题结合；(2)证明平行(垂直)关系、空间角的计算与探索性问题结合；(3)翻折问题与探索性问题的综合．考点一立体几何中的翻折问题例1(2024·山东泰安模拟)如图1，四边形ABCD为矩形，BC＝2AB，E为AD的中点，将△ABE，△DCE分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE，如图2所示．(1)求证：AD∥平面BCE；(2)若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值．解(1)证明：在题图2中，分别取BE，CE的中点M，N，连接AM，DN，MN，由题图1知，BC＝2AB，且E为AD的中点，则AE＝AB，所以AM⊥BE，又因为平面ABE⊥平面BCE，平面ABE∩平面BCE＝BE，AM⊂平面ABE，所以AM⊥平面BCE，同理可得，DN⊥平面BCE，所以AM∥DN.又因为AM＝DN，所以四边形AMND为平行四边形，所以AD∥MN，又AD⊄平面BCE，MN⊂平面BCE，所以AD∥平面BCE.(2)在题图1中，因为∠AEB＝45°，∠DEC＝45°，所以BE⊥CE.以E为原点，EB，EC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则E (0，0，0)，A 22，0，22，D 0，22，2222，22，0所以EA →＝22，0，22，ED →＝0，22，22设平面ADE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·EA →＝0，n ·ED →＝0，x ＋z ＝0，y ＋z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－1，－1，1)，又FA →＝0，－22，22，设直线FA 与平面ADE 所成的角为θ，则sin θ＝|FA →·n ||FA →||n |＝21×3＝63，所以直线FA 与平面ADE 所成角的正弦值为63.翻折问题的解题关键点1.(2024·湖北宜昌模拟)如图1，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝BC ＝DC ＝2，AB ＝4，E 为AB 的中点，以DE 为折痕把△ADE 折起，连接AB ，AC ，得到如图2的几何体，在图2的几何体中解答下列两个问题．(1)证明：AC ⊥DE ；(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角D －AE －C 的余弦值．①四棱锥A －BCDE 的体积为2；②直线AC 与EB 所成角的余弦值为64.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)证明：如图，在题图1中，连接CE ，因为DC ∥AB ，DC ＝12AB ，E 为AB 的中点，所以DC ∥AE ，DC ＝AE ，所以四边形ADCE 为平行四边形，所以AD ＝CE ＝DC ＝AE ＝2，同理可证DE ＝2，在题图2中，取DE 的中点O ，连接OA ，OC ，CE ，则OA ＝OC ＝3，因为AD ＝AE ＝CE ＝DC ，所以DE ⊥OA ，DE ⊥OC ，又因为OA ∩OC ＝O ，所以DE ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以AC ⊥DE .(2)若选择①：因为DE ⊥平面AOC ，DE ⊂平面BCDE ，所以平面AOC ⊥平面BCDE 且交线为OC ，所以过点A 作AH ⊥OC 于H ，则AH ⊥平面BCDE ，因为S 四边形BCDE ＝23，所以V A －BCDE ＝2＝13×23×AH ，所以AH ＝3＝OA ，所以AO 与AH 重合，所以AO ⊥平面BCDE ，建立空间直角坐标系，如图，则O (0，0，0)，C (－3，0，0)，E (0，1，0)，A (0，0，3)，平面DAE 的一个法向量为CO →＝(3，0，0)，设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为CE →＝(3，1，0)，CA →＝(3，0，3)，·CE →＝0，·CA →＝0，＋y ＝0，＋3z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－3，－1)，设二面角D －AE －C 的大小为θ，则|cos θ|＝|CO →·n ||CO →||n |＝33×5＝55，易知二面角D －AE －C 的平面角为锐角，所以二面角D －AE －C 的余弦值为55.若选择②：因为DC ∥EB ，所以∠ACD 即为异面直线AC 与EB 所成的角，在△ADC 中，cos ∠ACD ＝AC 2＋4－44AC ＝64，所以AC ＝6，所以OA 2＋OC 2＝AC 2，所以OA ⊥OC ，因为DE ⊥平面AOC ，DE ⊂平面BCDE ，所以平面AOC ⊥平面BCDE ，且交线为OC ，所以AO ⊥平面BCDE ，建立空间直角坐标系，如图，则O (0，0，0)，C (－3，0，0)，E (0，1，0)，A (0，0，3)，下同选①.考点二立体几何中的探索性问题例2(2024·湖北武汉期末)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，且ED ＝FB ＝1.(1)求证：EC ⊥平面ADF ；(2)在线段EC 上是否存在点G (不含端点)，使得平面GBD 与平面ADF 的夹角为45°？若存在，指出点G 的位置；若不存在，请说明理由．解(1)证明：以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，E (0，0，1)，F (1，1，1)，∴EC →＝(0，1，－1)，DA →＝(1，0，0)，DF →＝(1，1，1)EC ·DA →＝0，EC ·DF →＝1－1＝0，∴EC ⊥DF ，EC ⊥DA ，又DA ∩DF ＝D ，DA ，DF ⊂平面ADF ，∴EC ⊥平面ADF .(2)设EG →＝λEC →(0<λ<1)，则点G 的坐标为(0，λ，1－λ)，DG →＝(0，λ，1－λ)，易知B (1，1，0)，则DB →＝(1，1，0)．设平面GBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·DG →＝λy ＋（1－λ）z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取y ＝1－λ，则x ＝λ－1，z ＝－λ，则n ＝(λ－1，1－λ，－λ)，∵平面GBD 与平面ADF 的夹角为45°，且平面ADF 的一个法向量为EC →＝(0，1，－1)，∴cos45°＝|n ·EC →||n ||EC →|＝12（1－λ）2＋λ2×2，又0<λ<1，解得λ＝1 3，∴G为线段EC上靠近点E的三等分点．探索性问题的解题策略(1)条件探索性问题①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性．③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．(2)结论探索性问题首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．2.(2024·四川成都树德中学模拟)如图1，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AB＝2，BC＝3，AD＝4，线段AD的垂直平分线与AD交于点E，与BC交于点F，现将四边形CDEF沿EF折起，使C，D分别到点G，H的位置，得到几何体ABFEHG，如图2所示．(1)判断线段EH上是否存在点P，使得平面PAF∥平面BGH.若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由；(2)若AH＝22，求平面ABH与平面BGH所成角的正弦值．解(1)当P为线段EH的中点时，平面PAF∥平面BGH.证明如下：由题易知EH＝2，GF＝1，EH∥GF，因为P为线段EH的中点，所以HP＝GF＝1，HP∥GF，所以四边形HPFG是平行四边形，所以HG∥PF，因为PF⊂平面PAF，HG⊄平面PAF，所以HG∥平面PAF.连接PG，因为PE∥GF，PE＝GF＝1，所以四边形PEFG 是平行四边形，所以PG ∥EF ，且PG ＝EF ，又EF ∥AB ，EF ＝AB ，所以PG ∥AB ，PG ＝AB ，所以四边形ABGP 是平行四边形，所以PA ∥BG ，因为PA ⊂平面PAF ，BG ⊄平面PAF ，所以BG ∥平面PAF .因为HG ∩BG ＝G ，HG ，BG ⊂平面BGH ，所以平面PAF ∥平面BGH .(2)因为AH ＝22，AE ＝EH ＝2，所以AE 2＋EH 2＝AH 2，所以AE ⊥EH ，又EF ⊥EA ，EF ⊥EH ，所以EA ，EF ，EH 两两垂直．故以E 为原点，EA ，EF ，EH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz ，则A (2，0，0)，B (2，2，0)，H (0，0，2)，G (0，2，1)，所以AB →＝(0，2，0)，BH →＝(－2，－2，2)，BG →＝(－2，0，1)．设平面ABH 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，·AB →＝0，·BH →＝0，y 1＝0，2x 1－2y 1＋2z 1＝0，取z 1＝1，得m ＝(1，0，1)．设平面BGH 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，·BH →＝0，·BG →＝0，2x 2－2y 2＋2z 2＝0，2x 2＋z 2＝0，取x 2＝1，得n ＝(1，1，2)．设平面ABH 与平面BGH 所成的角为θ，则|cos θ|＝|m ·n ||m ||n |＝32×6＝32，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－34＝12，所以平面ABH 与平面BGH 所成角的正弦值为12.课时作业1．如图，在Rt △ABC 和Rt △DBC 中，AB ＝AC ，BC ＝2BD ＝2，∠A ＝90°，∠D ＝90°，将△ABC 翻折到△A ′BC 的位置，使二面角A ′－BC －D 的大小为30°，E 为边CD 上的点，且CE ＝2ED .(1)证明：BC ⊥A ′E ；(2)求直线A ′D 与平面A ′BC 所成角的正弦值．解(1)证明：取BC 的中点F ，连接A ′F ，EF ，如图，由A ′B ＝A ′C ，得A ′F ⊥BC .又BC ＝2BD ＝2，则CD ＝3，CE ＝233，∠BCD ＝30°，CF ＝1，∴EF 2＝CE 2＋CF 2－2CE ·CF cos30°＝13，∴EF 2＋CF 2＝13＋1＝43＝CE 2，∴EF ⊥CF ，即EF ⊥BC ，又EF ∩A ′F ＝F ，EF ，A ′F ⊂平面A ′EF ，∴BC ⊥平面A ′EF ，∵A ′E ⊂平面A ′EF ，∴BC ⊥A ′E .(2)∵A ′F ⊥BC ，EF ⊥BC ，∴∠A ′FE 为二面角A ′－BC －D 的平面角，∴∠A ′FE ＝30°.以F 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则A ，32，B (1，0，0)，C (－1，0，0)，，32，故BC →＝(－2，0，0)，A ′B→，－32，A ′D→0，设平面A ′BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·BC →＝0，·A ′B →＝0，2x ＝0，－32y －12z ＝0，取y ＝1，则x ＝0，z ＝－3，即n ＝(0，1，－3)，设直线A ′D 与平面A ′BC 所成的角为α，则sin α＝|cos 〈n ，A ′D →〉|＝|n ·A ′D →||n ||A ′D →|＝322×22＝64，∴直线A ′D 与平面A ′BC 所成角的正弦值为64.2.(2024·福建厦门模拟)如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝1，PB ＝PD ＝2，点E 在线段PD 上，且满足PE →＝2ED →.(1)求平面EAC 与平面DAC 所成角的余弦值；(2)在线段PC 上是否存在一点Q ，使得BQ ∥平面EAC ？若存在，请指出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．解(1)∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴AB ＝AD ＝AC ＝1，∴PA 2＋AB 2＝PB 2，由勾股定理逆定理知，PA ⊥AB ，同理可得，PA ⊥AD ，∵AB ，AD⊂平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，∴PA ⊥平面ABCD ，以A 为原点，AD ，AP 所在直线分别为y ，z 轴，过点A 且与AD 垂直的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，，12，P (0，0，1)，D (0，1，0)，∵PE →＝2ED →，∴，23，∴AE →，23，AC →，12，设平面EAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，⊥AE →，⊥AC →，·AE →＝23y ＋13z ＝0，·AC →＝32x ＋12y ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－3，23)，易知平面DAC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝32，∴平面EAC 与平面DAC 所成角的余弦值是32.(2)设PQ →＝tPC →，12t ，≤t ≤1)，∴，12t ，1又－12，则BQ →，t ＋12，1由(1)，知平面EAC 的一个法向量为n ＝(1，－3，23)，当BQ ∥平面EAC 时，n ⊥BQ →，∴n ·BQ →＝0，∴3t －32－3t ＋32＋23(1－t )＝0，∴t ＝12，即Q 为PC 的中点时，BQ →⊥n ，且BQ ⊄平面EAC ，满足BQ ∥平面EAC .3．(2024·黑龙江大庆期中)如图1，在直角梯形EFBC 中，BF ∥CE ，EC ⊥EF ，EF ＝1，BF ＝2，EC ＝3.现沿平行于EF 的AD 折叠，使得ED ⊥DC 且BC ⊥平面BDE ，如图2所示．(1)求AB 的长；(2)求二面角F －EB －C 的大小．解(1)由BC ⊥平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，得BC ⊥BD ，在直角梯形EFBC 中，由BF ∥CE ，EC ⊥EF ，EF ＝1，BF ＝2，EC ＝3，知BC ＝2，设AB ＝x (0<x <2)，则AF ＝DE ＝2－x ，CD ＝x ＋1，故BD 2＝AB 2＋AD 2＝x 2＋1，CD 2＝(x ＋1)2，由BD 2＋BC 2＝CD 2，得x 2＋1＋(2)2＝(x ＋1)2，解得x ＝1，即AB 的长为1.(2)因为ED ⊥AD ，ED ⊥DC ，AD ∩DC ＝D ，且AD ，DC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥平面ABCD ，结合DA ⊥DC 知，DA ，DC ，DE 两两相互垂直，故以D 为原点，DA →，DC →，DE →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1，1，0)，C (0，2，0)，E (0，0，1)，F (1，0，1)，所以BF →＝(0，－1，1)，EF →＝(1，0，0)，BC →＝(－1，1，0)，EC →＝(0，2，－1)，设平面BCE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 1·BC →＝－x 1＋y 1＋0＝0，n 1·EC →＝2y 1－z 1＝0，取x 1＝1，则n 1＝(1，1，2)，设平面BEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，2·EF →＝x 2＝0，2·BF →＝－y 2＋z 2＝0，取y 2＝－1，则n 2＝(0，－1，－1)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－36×2＝－32，又所求二面角为钝角，所以二面角F －EB －C 的大小为5π6.4.(2024·广东高三校联考阶段练习)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝12BC ＝2，点E 在平面PBC 上运动．(1)试确定一点E ，使得CD ∥平面PAE ，并说明点E 的位置；(2)若四棱锥的体积为6，在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得二面角F －AB －C 的余弦值为23417若存在，求PF 的长；若不存在，请说明理由．解(1)取BC 的中点G ，连接AG ，PG ，如图，由AD ＝12BC ，AD ∥BC ，得AD ∥GC ，AD ＝GC ，即四边形AGCD 为平行四边形，于是AG ∥CD ，而AG ⊂平面PAG ，CD ⊄平面PAG ，则CD ∥平面PAG ，所以当点E 在△PBC 的边BC 的中线PG 上运动时(E 与P 不重合)，CD ∥平面PAE .(2)由于PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥CD ，则四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13×（2＋4）×22×PA ＝6，解得PA ＝3，由(1)知，AG ⊥BC ，AG ＝BG ＝2，则有AB ＝22，AC ＝22，有AB 2＋AC 2＝BC 2，AB ⊥AC ，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (22，0，0)，C (0，22，0)，P (0，0，3)，假定棱PC 上存在一点F 满足条件，令PF →＝λPC →，λ∈(0，1)，则F (0，22λ，3－3λ)，AB →＝(22，0，0)，AF →＝(0，22λ，3－3λ)，设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·n ＝22x ＝0，·n ＝22λy ＋（3－3λ）z ＝0，取z ＝22λ，得n ＝(0，3(λ－1)，22λ)，又平面ABC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，于是二面角F －AB －C 的余弦值为|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n ||m |＝|22λ|9（λ－1）2＋（22λ）2＝23417，解得λ＝12，即F 为PC 的中点，此时PC ＝（22）2＋32＝17，PF ＝12PC ＝172.即当PF ＝172时，二面角F －AB －C 的余弦值为23417.5．(2023·北京昌平三模)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别为AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．解(1)证明：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，DE ∥BC ，则有CD ⊥DE ，AD ⊥DE ，折起后，有CD ⊥DE ，A 1D ⊥DE ，又CD ∩A 1D ＝D ，CD ，A 1D ⊂平面A 1CD ，∴DE ⊥平面A 1CD ，又A 1C ⊂平面A 1CD ，∴A 1C ⊥DE ，又A 1C ⊥CD ，CD ，DE ⊂平面BCDE ，CD ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面BCDE .(2)由CD ，CB ，CA 1两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0，0，0)，D (－2，0，0)，A 1(0，0，23)，B (0，3，0)，E (－2，2，0)，∴A 1B →＝(0，3，－23)，A 1E →＝(－2，2，－23)，设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，1B ·n ＝0，1E ·n ＝0，y －23z ＝0，2x ＋2y －23z ＝0，取x ＝－1，则y ＝2，z ＝3，∴n ＝(－1，2，3)，又M (－1，0，3)，∴CM →＝(－1，0，3)，设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ，∴sin θ＝|cos 〈CM →，n 〉|＝|CM →·n ||CM →||n |＝1＋31＋3×1＋4＋3＝42×22＝22，∵0°≤θ≤90°，∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小为45°.(3)设线段BC 上存在点P ，且点P 的坐标为(0，a ，0)，则a ∈[0，3]，∴A 1P →＝(0，a ，－23)，DP →＝(2，a ，0)，设平面A 1DP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，1－23z 1＝0，x 1＋ay 1＝0，1＝36ay 1，1＝－12ay 1，∴n 1＝(－3a ，6，3a )，假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则n1·n＝0，∴3a＋12＋3a＝0，解得a＝－2，∵0≤a≤3，∴线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．6．(2024·山西太原小店区月考)如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M，N分别是边BC，CD的中点，AC∩BD＝O，AC∩MN＝G.沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P－ABMND.(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；(2)当四棱锥P－MNDB的体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为1010若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．解(1)在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG.证明如下：∵M，N分别是边BC，CD的中点，又∠DAB＝60°，∴BD∥MN，且△PMN是等边三角形，在菱形ABCD中，BD⊥AC，∴MN⊥AC，∴MN⊥AG，MN⊥PG，∵AG∩PG＝G，AG⊂平面PAG，PG⊂平面PAG，∴MN⊥平面PAG，∴BD⊥平面PAG，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAG.(2)由折叠性质得四边形MNDB为等腰梯形，且DB＝4，MN＝2，OG＝ 3.∴S等腰梯形MNDB ＝（2＋4）×32＝33，要使得四棱锥P－MNDB的体积最大，只需点P到平面MNDB的距离最大即可，∴当PG⊥平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为PG＝3，假设符合题意的点Q存在，以G为原点，GA，GM，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz，则A (33，0，0)，M (0，1，0)，N (0，－1，0)，P (0，0，3)，平面PMN 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，设AQ →＝λAP →(0≤λ≤1)，又AP →＝(－33，0，3)，则AQ →＝(－33λ，0，3λ)，∴Q (33(1－λ)，0，3λ)，∴NM →＝(0，2，0)，QM →＝(33(λ－1)，1，－3λ)，设平面QMN 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，m ·NM →＝0，m ·QM →＝0，2y ＝0，33（λ－1）x ＋y －3λz ＝0，取x ＝λ，则y ＝0，z ＝3(λ－1)，∴m ＝(λ，0，3(λ－1))，设二面角Q －MN －P 的平面角为θ，则|cos θ|＝|n ·m ||n ||m |＝|λ|λ2＋9（λ－1）2＝1010，解得λ＝12，故符合题意的点Q 存在，且Q 为线段PA 的中点．。

北京市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练数 列一、选择、填空题1、（2015年北京高考）设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A.若021>+a a ，则032>+a aB.若031>+a a ，则021<+a aC.若210a a <<，则312a a a >D.若01<a ，则()0)(3212>--a a a a2、（2014年北京高考）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =______时，{}n a 的前n 项和最大.3、（2013年北京高考）若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝__________；前n 项和S n ＝__________.4、（朝阳区2015届高三一模）设S n 为等差数列的前n 项和。

若，则通项公式＝＿＿＿＿。

5、（东城区2015届高三二模）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）646、（丰台区2015届高三一模）在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于(A) -2(B) 1或-2(C) 1(D)1或27、（海淀区2015届高三二模）若等比数列{}n a 满足2664a a =，3432a a =，则公比q =_____；22212n a a a +++= ．8、（石景山区2015届高三一模）等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ） A ．12mk - B ．2mkC ．12mk +D ．12mk + 9、（西城区2015届高三一模）若数列a n 满足a 1 －2，且对于任意的m , n ∈N ＊，都有m n m na a a +=,则3a ；数列a n 前10 项的和S 10 .10、（大兴区2015届高三上学期期末）已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项和n S =_____．11、（丰台区2015届高三上学期期末）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果12a =，3522a a +=，那么3S 等于_____12、（北京四中2015届高三上学期期中）在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S ＝ .13、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若02,2111=+=+n n S a a ，...,2,1=n ，则数列{}n a 的通项公式为=n a _______________ 14、（东城区2015届高三4月综合练习（一））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28S =，412S =，则{}n a 的公差d = ．15、（）已知,4,m n 是等差数列，那么m n⋅=______；mn 的最大值为______二、解答题 1、（2015年北京高考）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ， 361≤a ，且⎩⎨⎧>-≤=+18,36218,2.1n n n n n a a a a a () 2,1=n ． 记集合{}*∈=N n a M n ．（Ⅰ）若61=a ，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．2、（2014年北京高考）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值. （2）记m 为,,,a b c d四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.3、（2013年北京高考）已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2，…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n .(1)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，a n ＋4＝a n )，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；(2)设d 是非负整数，证明：d n ＝－d (n ＝1,2,3，…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列；(3)证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1,2,3，…)，则{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.4、（朝阳区2015届高三一模）若数列 中不超过 f (m )的项数恰为b m(m ∈N * )，则称数列是数列 的生成数列，称相应的函数 f (m )是生成的控制函数。

立体几何解答题（理）班级： 姓名：_____________1.（北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习理17）如图，在直角梯形ABCD 中，．直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到，且平面平面ABCD ． （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值；（Ⅲ）设H 为BD 的中点，M ，N 分别为线段FD ，AD 上的点（都不与点D 重合）．若直线 平面MNH ，求MH 的长．【答案】（Ⅰ）见解析； 【解析】试题分析：（Ⅰ）先证平面ABEF ⊥平面ABCD ，通过面面垂直性质可证结论成立；（Ⅱ）（Ⅲ）由（1）及已知可得,,AD AB AF 两两垂直，以A 为原点建立空间直角坐标系，由空间向量直接计算即可.试题解析：（Ⅰ）由已知得90FAB ∠=︒，FA AB ⊥． 因为平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF 平面ABCD AB =， 所以FA ⊥平面ABCD ，由于BC ⊂平面ABCD ，所以FA BC ⊥． （Ⅱ）由（1）知FA ⊥平面ABCD所以FA AB ⊥,FA AD ⊥，． 由已知DA AB ⊥，所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为112AD DC AB ===， 则((0,2,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(0,1,1)E ， 所以(1,1,0),(0,1,1)BC BE =-=-，设平面BCE 的一个法向量(,,)n x y z =．所以00n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y y z -=⎧⎨-+=⎩． 令1x =，则(1,1,1)n =．设直线BD 与平面BCE 所成角为θ，因为(1,21)BD =-，所以sin cos ,n BD n BD n BDθ⋅=<>==⋅．所以直线BD 和平面BCE（Ⅲ）在A 为原点的空间直角坐标系A xyz -中，(0,0,0),A ()1,0,0D ，(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，1(,1,0)2H ．设(01)DMk k DF =<≤， 即DM k DF = ．(,0,)DM k k =-，则(1,0,)M k k -，1(,1,)2MH k k =-- (1,0,1)FD =- ．若FD ⊥平面MNH ，则FD MH ⊥． 即0FD MH ⋅=．102k k -+=．解得14k =．则1,1,4MH ⎛= ⎝ ．考点：1.面面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.2.（北京市丰台区2015届高三5月统一练习（二）理17）如图所示，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥1AA 底面ABCD ，BD AC ⊥于O ,且124AA OC OA ===，点M 是棱1CC 上一点． （Ⅰ）如果过1A ，1B ，O 的平面与底面ABCD 交于直线l ，求证：//l AB ； （Ⅱ）当M 是棱1CC 中点时，求证：1AO DM ⊥； （Ⅲ）设二面角1A BD M --的平面角为θ，当cos 时，求CM 的长． OMD 1C 1B 1A 1DCBA【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）3CM =或76CM = 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题根据BA B A 11是平行四边形可得 AB B A //11，然后得到//11B A 平面ABCD ，根据平面 O B A 11平面ABCD l =， 可得11//B A l ， 所以AB l //；（Ⅱ）根据DB AC ⊥于O ，如图建立空间直角坐标系，根据41=AA ，且24OC AO ==，得到(0,0,0)O ，(4,0,0)C ，(2,0,0)A -，1(2,0,4)A -，进而得到(4,,2)DM b =-，1(2,0,4)OA =- ，根据平面向量坐标运算不难证明1AO DM ⊥； （Ⅲ）设(0,,0)D b ，(0,,0)B c ，平面BD A 1的法向量为),,(z y x =，平面MBD 的法向量为111(,,)n x y z =，求得法向量，根据向量夹角公式不难夹角问题.试题解析：（Ⅰ）因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以BA B A 11是平行四边形． 所以AB B A //11．因为⊄11B A 平面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以//11B A 平面ABCD ． 因为平面 O B A 11平面ABCD l =， 所以11//B A l ． 所以AB l //．………………4分 （Ⅱ）因为DB AC ⊥于O ，如图建立空间直角坐标系． 因为41=AA ，且24OC AO ==， 所以(0,0,0)O ，(4,0,0)C ，(2,0,0)A -，1(2,0,4)A -．因为M 是棱1CC 中点，所以(4,0,2)M ．设(0,,0)D b ，所以(4,,2)DM b =-，1(2,0,4)OA =- ．所以08081=++-=⋅OA ．所以1AO DM ⊥． ……………………8分B（Ⅲ）设(0,,0)D b ，(0,,0)B c ，平面BD A 1的法向量为),,(z y x m =，又因为1(2,,4)A D b =- ，1(2,,4)A B c =-， 所以1102402400m A D x by z x cy z m A B ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩ ． 因为c b ≠，所以0=y ，令1z =，则2x =，所以(2,0,1)m =． 设),0,4(h M ，所以(4,,)MD b h =-- ，(4,,)MB c h =--．设平面MBD 的法向量为111(,,)n x y z =， 所以 111111400400x by hz n MD x cy hz n MB ⎧-+-=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩ ． 因为c b ≠，所以10y =，令11z =，则14h x =-，所以(,0,1)4hn =- ．又因为cos ，所以cos ,m <m n n m⋅==解得3h =或76h =． 所以点(4,0,3)M 或7(4,0,)6M ．所以3CM =或76CM =． ……………………14分考点：线面与线线平行判定与性质、利用空间向量求垂直与距离3. (北京市朝阳区2016届高三第一学期期末数学理17)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （1）求证：//AB EF ；（2）若PA PD AD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2. 【解析】试题分析：（1）首先证明//AB 面PCD ，再利用线面平行的性质即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.试题解析：（1）∵底面ABCD 是菱形，∴//AB CD ，又∵AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，∴//AB 面PCD ，又∵A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =，∴//AB EF ；（2）取AD 中点G ，连接PG ，GB ，∵PA PD =，∴PG AD ⊥，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =，∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG GB ⊥，在菱形ABCD 中，∵AB AD =，60DAB ∠=︒，G 是AD 中点，∴AD GB ⊥，如图，建立空间直角坐标系G xyz -，设2PA PD AD a ===，则(0,0,0)G，(,0,0)A a ，,0)B ，,(2,0)C a -，(,0,0)D a -，)P，又∵//ABEF ，点E 是棱PC 中点，∴点F 是棱PD 中点，∴(E a -，(2a F -，∴3(2a AF =- ，(,2a EF = ，设平面AFE 的法向量为(,,)n x y z = ，则有00n AF nEF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴zy ⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令3x =，则平面AFE 的一个法向量为n = ，∵BG⊥平面PAD，∴,0)GB=是平面PAF的一个法向量，∵cos,<n GB=，∴平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．考点：1.线面平行的判定与性质；2.空间向量求解二面角．4.（北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）理17）如图，三棱柱ABC DEF-的侧面BEFC是边长为1的正方形，侧面BEFC⊥侧面ADEB，4AB=，60DEB∠= ，G是DE的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面AGF；（Ⅱ）求证：GB⊥平面BEFC；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使二面角P GE B--为45 ，若存在，求BP的长；若不存在，说明理由．A【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）存在，BP=【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明CE∥平面AGF，需证明HG∥CE（其中H为CD的中点，G为DE的中点）；（Ⅱ）根据勾股定理求得222BG BE GE +=，所以GB BE ⊥，利用面面垂直的判定定理得到GB ⊥平面BEFC ，所以；（Ⅲ）根据题意建立空间直角坐标系，进而求得平面BGE 的法向量(0,0,1)=m ，平面PGE的法向量，进而利用公式及二面角P GE B --为45 .求得BP =.试题解析：（Ⅰ）证明：连接CD 与AF 相交于H ，则H 为CD 的中点，连接HG ． 因为G 为DE 的中点， 所以HG ∥CE ．因为CE ⊄平面AGF ，HG ⊂平面AGF ，所以CE ∥平面AGF ． ………4分（Ⅱ）证明：1BE =，2GE =，在△GEB 中，60GEB ∠=，BG =．因为222BG BE GE +=， 所以GB BE ⊥．因为侧面BEFC ⊥侧面ADEB ， 侧面BEFC 侧面ADEB BE =，GB ⊂平面ADEB ，所以GB ⊥平面BEFC ． ………8分 （Ⅲ）解：,,BG BE BC 两两互相垂直，建立空间直角坐标系B xyz -．假设在线段BC 上存在一点P ，使二面角P GE B --为45． 平面BGE 的法向量(0,0,1)=m ，设(0,0,),[0,1]P λλ∈．G (0,1,0)E ．所以()GP λ=，(GE =．A设平面PGE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.GP GE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以0,0.z y λ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1z =，得y λ=，x =所以PGE的法向量为,1)λ=n ．因为1⋅=m n ，所以11=，解得[]0,1λ=，故BP = 因此在线段BC 上存在一点P ，使二面角P GE B --为45，且BP =………14分考点：1.线面平行的判定定理;2.面面垂直的性质定理;3.空间向量. 5.（2015年北京市昌平区高三二模理17）如图，已知等腰梯形ABCD 中，1//,2,2AD BC AB AD BC E ===是BC 的中点，AE BD M =，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使平面1B AE ⊥平面AECD . （I ）求证：1CD B DM ⊥平面； （II ）求二面角1D AB E --的余弦值；（III ）在线段1B C 上是否存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.【答案】( I ) 详见解析；(II)二面角E AB D --1的余弦值为55；(III) 存在点P ,使得//MP 平面1B AD ，且2111=C B P B . 【解析】试题分析：( I ) 根据直线与平面垂直的判定定理，需证明CD 垂直平面1B AD 内的两条相交直线.由题意易得四边形ABED 是菱形，所以EA BD ⊥，从而CD BD ⊥，即1,CD B M CD MD ⊥⊥，进而证得⊥CD 平面MD B 1.(II) 由( I )可知，ME 、MD 、1MB 两两互相垂直，故可以ME 为x 轴，MD 为y 轴，1MB 为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得二面角E AB D --1的余弦值.(III)根据直线与平面平行的判定定理，只要能找到一点P 使得PM 平行平面内的一条直线即可.由于12AM CD，故可取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ .则//PQ CD ，且1=2PQ CD .由此即可得四边形AMPQ 是平行四边形，从而问题得证.试题解析：( I ) 由题意可知四边形ABED 是平行四边形，所以ME AM =，故AE M B ⊥1. 又因为AB BE =，M 为AE 的中点所以BM AE ⊥, 即.DM AE ⊥又因为AD //BC , 2.AD CE == 所以四边形ADCE 是平行四边形. 所以//.AE CD 故CD DM ⊥.因为平面⊥AE B 1平面AECD , 平面 AE B 1平面AE AECD =,1B M ⊂平面AECD 所以⊥M B 1平面AECD .1.B M AE ⊥ 因为⊂CD 平面AECD , 所以⊥M B 1CD . 因为M M B MD =1 , MD 、⊂M B 1平面MD B 1,所以⊥CD 平面MD B 1. ……………5分(II) 以ME 为x 轴, MD 为y 轴, 1MB 为z 轴建立空间直角坐标系，则)0,3,2(C , )3,0,0(1B ,)0,0,1(-A , )0,3,0(D .平面E AB 1的法向量为)0,3,0(=→MD .设平面A DB 1的法向量为),,(z y x m =→, 因为)3,0,1(1=→AB ，)0,3,1(=→AD ,⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0303y x z x , 令1=z 得, )1,1,3(-=→m . 所以55,cos >=<→→MD m , 因为二面角E AB D --1为锐角, 所以二面角E AB D --1的余弦值为55. ……………10分 (III) 存在点P ,使得//MP 平面1B AD . ……………11分 法一: 取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ .则//PQ CD ，且1=2PQ CD . 又因为四边形AECD 是平行四边形，所以//AE CD . 因为M 为AE 的中点，则//AM PQ .所以四边形AMPQ 是平行四边形，则//MP AQ . 又因为AQ ⊂平面1AB D ,所以//MP 平面1AB D .所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B . ……………14分 法二：设在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1,设11B P B C λ=,(10≤≤λ),C ，因为11MP MB B P =+ .所以(2)MP λ=.因为//MP 平面AD B 1, 所以0MP m ⋅=,所以033332=-++-λλλ, 解得21=λ, 又因为MP ⊄平面AD B 1, 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B ．……………14分 考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角.6.（北京市房山区2015年高三第一次模拟考试理17）在如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，且22====AE BD BC AC ，M 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：CM ⊥EM ；（Ⅱ）求平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱DC 上是否存在一点N ,使得直线MN 与平面EMC 所成的角为60︒．若存在，指出点N 的位置；若不存在，请说明理由．ACE【答案】（1）证明如下；（2）66；（3）存在，点N 为DC 中点； 【解析】试题分析：（1）由题可知，证明线线垂直需要从线面垂直入手，由ABC EA 平面⊥得AE CM ⊥，ABC∆是等腰直角三角形，故AB CM ⊥，即若一条直线垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直，从而EM CM ⊥（2）根据垂直关系建立空间直角坐标系，分别将点的坐标表示出来，求出平面EMC 与平面BCD 的法向量，根据向量的数量积可得出夹角的取值；（3）假设存在点N ，设点N 为（x,y,z ）,将向量的坐标求出为,22)MN λ=- ，根据向量的数量积公式求出λ的值，解得21=λ符合题意，即符合条件的点N 存在，为棱DC 的中点.试题解析：（I ）证明： ,AC BC M = 是AB 的中点CM AB ∴⊥． 又 EA ⊥平面ABC ，CM EA ⊥．EA AB A CM =∴⊥ 平面AEM∴EM CM ⊥ ………………4分（Ⅱ）以M 为原点，分别以MB ,MC 为x ，y 轴，如图建立坐标系M xyz -，则(0,0,0),2),(M C B D E -((0,0,2),(ME MC BD BC =-===-设平面EMC 的一个法向量111(,,)m x y z =，则1110z ⎧+=⎪=取1111,0,x y z ===m =设平面DBC 的一个法向量222(,,)n x y z =，则222020y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩取1111,1,0x y z ===，所以(1,1.0)n =66321=⨯ 所以平面EMC 与平面BCD………………9分 xyz（Ⅲ）设(,,)N x y z 且DN DC λ=,01λ≤≤,2)(2),,,22x y z x y z λλ∴-=-===-（,22)MN λ=-若直线MN 与平面EMC 所成的角为060，则()()()2360sin 142123222220222==-++--+-=λλλλλ 解得：12λ=，所以符合条件的点N 存在，为棱DC 的中点. ………………14分 考点：①线线垂直的判定及性质②向量的数量积③空间坐标系的建立7.（北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）理17）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA //BE ，AB =PA =4，BE =2． （Ⅰ）求证：CE //平面PAD ；（Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AFAB的值；如果不存在，说明理由．PEDCBAAE【答案】（Ⅰ）证明详见解析；；（Ⅲ）35AF AB =. 【解析】试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、向量法、向量的数量积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑思维能力、计算能力.第一问，先利用边长长度证明BE //AG 且BE AG =，即四边形ABEG 为平行四边形，所以可得EG //AB ，且EG AB =，通过转化得四边形EGDC为平行四边形，即CE //DG ，再利用线面平行的判定得CE //平面PAD ；第二问，利用空间向量法，先建立空间直角坐标系，写出相关点和向量坐标，利用公式求出平面PCE 的法向量，最后利用夹角公式求线面角的正弦值；第三问，结合第二问的结果，再继续求出平面DEF 的法向量，利用两个平面的法向量垂直的充要条件解题.试题解析：（Ⅰ）设PA 中点为G ，连结EG ，DG ． ∵PA //BE ，且4PA =，2BE =， ∴BE //AG 且BE AG =， ∴四边形BEGA 为平行四边形． ∴EG //AB ，且EG AB =．∵正方形ABCD ，所以CD //AB ，CD AB =， ∴EG //CD ，且EG CD =． ∴四边形CDGE 为平行四边形． ∴CE //DG ．∵DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， ∴CE //平面PAD ． ……………………4分GPEDCBA（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,2)E ，(0,0,4)P ，(0,4,0)D ，∴(4,4,4)PC =- ，(4,0,2)PE =-，(0,4,4)PD =- ．设平面PCE 的一个法向量为(,,)m x y z =，∴00200m PC x y z x z m PE ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩． 令1x =，则112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,1,2)m = ．设PD 与平面PCE 所成角为α，则sin cos ,m α=< ． ∴PD 与平面PCE． ……………………9分 （Ⅲ）依题意，可设(,0,0)F a ，则(4,0,2)FE a =- ，(4,4,2)DE =-．设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0220(4)200n DE x y z a x z n FE ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩． 令2x =，则224x a y z a =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴)4,2,2(-=a a n ． ∵平面DEF ⊥平面PCE ，∴0m n ⋅= ，即08222=-++a a，∴4512<=a ， 点12(,0,0)5F ． ∴35AF AB =． ……………………14分 考点：线线平行、线面平行、向量法、向量的数量积.8.（北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）理17）如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AD⊥DC，AB ＝2，CD ＝4． (Ⅰ)求证：BC⊥平面BDE ；(Ⅱ)试在平面CDE 上确定点P ，使点P 到直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平面BEF 所成的角等于30°．【答案】（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）P或(0,P --. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证明：由平面ABEF ⊥平面ABCD ，可得ED ⊥AB ．ED ⊥平面ABCD由BC ⊂平面ABCD ，得到 ED ⊥BC ．在直角梯形ABCD 中,由CD 2=BC 2+BD 2，得到 BD ⊥BC ，得证. （Ⅱ）建立空间直角坐标系D -xyz ，得()()()()()0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,2,0,2D A E B F()()2,0,0,2,2,2EF EB ==- ，确定平面BEF 的一个法向量()0,1,1n =.由于 AP 与平面BEF 所成的角等于30，得到AP 与(0,1,1)n = 所成的角为60 或120，由1cos ,2AP n AP n AP n ⋅<>===⋅ 得到22440(*)y z yz ++-= 根据y z =或y z =-求解.试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平面ABCD ………………1分 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分 在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2，所以，BD ⊥BC ……………4分 又因为ED BD=D ，所以BC ⊥平面BDE ． ……………5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D -xyz ……6分CD E F则()()()()()0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,2,0,2D A E B F()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-…………7分 设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=是平面BEF 的一个法向量， 则00n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n = …………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30，所以AP 与(0,1,1)n = 所成的角为60 或120所以1cos ,2AP n AP n AP n ⋅<>===⋅………11分所以22440(*)y z yz ++-=又因为y z =，所以y z =或y z =- ………12分 当y z =-时，（*）式无解 当y z =时，解得：y z == ………13分所以，P或(0,P --. ………14分 考点：1.垂直关系；2.空间的角；3.空间向量方法.。

【备战2016】（北京版）高考数学分项汇编 专题10 立体几何（含解析）理1. 【2005高考北京理第6题】在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 （ ）A ．BC//平面PDFB ．DF ⊥PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC 【答案】C考点：线面位置关系，面面位置关系。

2. 【2006高考北京理第4题】平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ）（A ）一条直线（B ）一个圆 （C ）一个椭圆（D ）双曲线的一支【答案】A3. 【2007高考北京理第3题】平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）Ａ．存在一条直线a a a αβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥Ｄ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥4. 【2008高考北京理第8题】如图，动点P 在正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）【答案】B考点：截面，线与面的位置关系。

5. 【2009高考北京理第4题】若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11AC到底面ABCD 的距离为 （ ）A ．1C D。

北京市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（2015年北京高考）已知双曲线()01222>=-a y ax 的一条渐近线为03=+y x ，则=a．2、（2014年北京高考）设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.3、（2013年北京高考）若双曲线22221x y a b-=，则其渐近线方程为( )．A ．y ＝±2x B．y =C ．12y x =±D．2y x =± 4、（朝阳区2015届高三一模）已知点A(1，y 0 )( y 0> 0) 为抛物线 y 2= 2px ( p > 0)上一点．若点A 到该抛物线焦点的距离为 3，则y 0 =AB ． 2C ．D ． 45、（东城区2015届高三二模）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a =6、（房山区2015届高三一模）双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍，则m =（ ）A ．4B ．2C ．12D ．147、（丰台区2015届高三一模）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为(A)22126x y -= (B)22162x y -= (C)2213y x -= (D) 2213x y -= 8、（海淀区2015届高三二模）若双曲线M 上存在四个点,,,A B C D ，使得四边形ABCD 是正方形，则双曲线M 的离心率的取值范围是 9、（石景山区2015届高三一模）如果双曲线的离心率215+=e ，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题：①双曲线115222=--y x 是黄金双曲线； ②双曲线115222=+-x y 是黄金双曲线；③在双曲线22221x y a b-=中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1 B 1 A 290=︒,则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线22221x y a b-=中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N 两点，O 为坐标原点，若∠MON 120=︒，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为（ ）A ．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④10、（西城区2015届高三一模）已知双曲线()222210x y a b a b=>>0－，的一个焦点是抛物线 y 2= 8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为 .11、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）双曲线()301362222<<=--m my m x 的焦距为A. 6B. 12C. 36D. 22362m -12、（昌平区2015届高三上学期期末）已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率是2，则________,m =以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是13、（朝阳区2015届高三上学期期末）双曲线22:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是14、（东城区2015届高三上学期期末）若抛物线22(0)y px p =>的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为15、（海淀区2015届高三上学期期末）若双曲线221y x m-=的一条渐近线的倾斜角为60︒， 则m =二、解答题1、（2015年北京高考）已知椭圆C ： ()012222>>=+b a by a x 的离心率为22，点()1,0P 和点()()0,≠m n m A 都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得ONQ OQM ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．2、（2014年北京高考）已知椭圆22:24C x y +=，（1）求椭圆C 的离心率. （2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.3、（2013年北京高考）已知A ，B ，C 是椭圆W ：24x ＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．4、（朝阳区2015届高三一模）已知椭圆C ：()22221x y a b a b+=>>0的一个焦点为F (2，0)，离心率为3。

2016年北京高三模拟题分类汇编之三视图等立体几何小题精心校对版△注意事项：1.本系列试题包含2016北京市各城区一模二模真题。

2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。

3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科 i. 、填空题（本大题共6小题，共0分）1.（2016北京东城区高三二模数学(文)）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为________.【答案解析】2.（2016北京西城区高三一模数学(文)）一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____. 【答案解析】2333.（2016北京西城区高三二模数学(文)）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为_____.姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●侧(左)视图正(主)视图俯视图正（主）视图侧（左）视图俯视图11 2【答案解析】34.（2016北京海淀区高三一模数学(文)）给定正整数k ≥2，若从正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任取k 个顶点，组成一个集合M={X 1，X 2，…，X k }，均满足∀X i ，X j ∈M ，∃X l ，X t ∈M ，使得直线X i X j ⊥X l X t ，则k 的所有可能取值是 ．【答案解析】5，6，7，8．5.（2016北京丰台区高三二模数学(文)）一个三棱柱被一个平面截去一部分，剩下的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________________.【答案解析】206.（2016年北京高考真题数学(文)）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.【答案解析】32ii. 、选择题（本大题共6小题，每小题0分，共0分。

高三数学第一轮复习：立体几何的综合问题【本讲主要内容】立体几何的综合问题立体几何知识的综合应用及立体几何与其它知识点的综合问题【知识掌握】【知识点精析】1. 立体几何的综合问题融直线和平面的位置关系于平面与几何体中，有计算也有论证。

解决这类问题需要系统地掌握线线、线面、面面的位置关系，特别是平行与垂直的判定与性质．深刻理解异面直线所成的角、斜线与平面所成的角、二面角的平面角的概念，理解点到面的距离、异面直线的距离的概念．2. 立体几何横向可与向量、代数、三角、解析几何等综合．3. 应用性问题、探索性问题需综合运用所学知识去分析解决．【解题方法指导】例1. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）解析：P到直线BC的距离等于P到B的距离，动点P的轨迹满足抛物线定义．故选C.例2. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD，（Ⅰ）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（Ⅱ）证明不论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．（Ⅰ）解：∵PB⊥面ABCD，∴BA是PA在面ABCD上的射影，又DA⊥AB ∴PA⊥DA∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角∴∠PAB＝60°，PB＝AB·tan60°＝3a ,∴ V 锥＝3233·3·31a a a =（Ⅱ）证明：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为等腰三角形，作AE ⊥PD ，垂足为E ，连结CE ，则△ADE ≌△CDE ，因为AE ＝CE ，∠CED ＝90o，故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角． 设AC 与BD 交于点O ，连结EO ，则EO ⊥AC ，所以a AD AE OA a =<<=22，22a AE <， 在△AEC 中，02222cos 222222222<-=-=∙-+=∠AE a AE AE a AE EC AE AC EC AE CEA 所以面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90o。

北京市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练不等式一、选择题1、（2015年北京高考）若，满足则的最大值为A.0B.1C. D.22、（2014年北京高考）若满足且的最小值为-4，则的值为（）3、（2013年北京高考）关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )．A． B．C． D．4、（东城区2015届高三二模）若实数满足不等式组则的取值范围是（A）（B）（C）（D）5、（房山区2015届高三一模）设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A． B． C． D．6、（西城区2015届高三一模）已知6 枝玫瑰与3 枝康乃馨的价格之和大于24 元，而4 枝玫瑰与4 枝康乃馨的价格之和小于20 元，那么2 枝玫瑰和3 枝康乃馨的价格的比较结果是 ( ) A．2 枝玫瑰的价格高 B．3 枝康乃馨的价格高C．价格相同 D．不确定7、（昌平区2015届高三上学期期末）已知，则下列不等式成立的是A. B. C. D.8、（大兴区2015届高三上学期期末）已知不等式组表示的平面区域为D，若函数的图像上存在区域D上的点，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）9、（石景山区2015届高三上学期期末）如果实数满足不等式组目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（）A.1B.2C.3D.410、（西城区2015届高三上学期期末）设D为不等式组表示的平面区域，点为坐标平面内一点，若对于区域D内的任一点，都有成立，则的最大值等于（）（A）2 （B）1（C）0 （D）311、（朝阳区2015届高三上学期期中）某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）.要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为A. 3000B.3300C.3500D.400012、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）设集合，集合，若，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、填空题1、（朝阳区2015届高三一模）设z = 3x + y，实数x，y 满足其中t > 0，若z 的最大值为 5，则实数t的值为　＿此时z 的最小值为＿＿＿＿＿。