高二数学平均变化率2

平均变化率一．教学内容分析：内容解析：本节课是北师大版高中数学（选修2-2）第二章变化率及导数第一节变化快慢及变化率。

本节内容通过分析研究记忆问题、温度变化问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。

平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。

在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

学生认知困难有两个：1.学生首次研究非线性的量的变化过程，需要“局部”以直代曲的辩证思维2.从粗糙的，生活的语言上升到定量的用符号的数学语言表达较难。

二．目标和目标解析新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。

平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《变化率及导数》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。

目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。

目标解析：1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。

3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；重点平均变化率及应用难点对平均变化率的抽象概括三.教学过程设计一．新课讲授（一）问题提出一、创设情境，课题引入我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？我校举行学生运动会，已知学生甲跑了100米用时13秒，学生乙跑了100米用了14秒，请问那个学生跑的更快？若学生乙跑了200米用了25秒，那个学生跑的更快？引导学生借助寻找共同量“平均速度”比较大小量化:100200,1325，引出st并表示解释含义设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，直观感性认识变化率问题 为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景。

1．1.1 函数的平均变化率明目标、知重点 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．1．函数的平均变化率已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝ΔyΔx 叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx (或[x 0＋Δx ，x 0])之间的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的斜率．某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一 函数的平均变化率思考1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值y C －y Bx C －x B 近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率．思考2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答 如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考3 平均变化率有什么几何意义？答 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率．x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零． 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为 6.5－3.53－0＝1(千克/月)．从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为 11－8.612－6＝2.46＝0.4(千克/月)． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 答案 (1)12 (2)34解析 (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋32，－1≤x ≤1x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.探究点二 求函数的平均变化率例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： (1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]． 解 (1)函数f (x )在[1,3]上的平均变化率为 f (3)－f (1)3－1＝32－122＝4；(2)函数f (x )在[1,2]上的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝22－121＝3；(3)函数f (x )在[1,1.1]上的平均变化率为f (1.1)－f (1)1.1－1＝1.12－120.1＝2.1；(4)函数f (x )在[1,1.001]上的平均变化率为f (1.001)－f (1)1.001－1＝1.0012－120.001＝2.001.反思与感悟 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．跟踪训练2 求函数y ＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？ 解 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx ；对任意Δx 有，k 1<k 2<k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．思考 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？答 根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k ，即一次函数的平均变化率是定值． 探究点三 平均变化率的应用例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解 由图象可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 则s 1(t 0)－s 1(0)t 0<s 2(t 0)－s 2(0)t 0，所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．反思与感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？ 解 甲赚钱的平均速度为105×12＝1060＝16(万元/月)，乙赚钱的平均速度为25(万元/月)．因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数， 所以乙的经营成果比甲的好．1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3 答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________． 答案 23．已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10.(1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根据(1)中的计算，当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1) ＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢． 2．求函数f (x )的平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.。

1.1.1 平均变化率2．会求平均变化率.平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为__________． 预习交流1在平均变化率的定义中，自变量的改变量Δx ______0. 预习交流2已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx＝__________.预习交流3函数f (x )在区间(x 1，x 2)上的平均变化率可以等于0吗？若平均变化率等于0，是否说明f (x )在(x 1，x 2)上没有变化或一定为常数？答案： f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1预习交流1：≠预习交流2：提示：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx ＝2＋Δx . 预习交流3：提示：函数f (x )在区间(x 1，x 2)上的平均变化率可以等于0，这时f (x 1)＝f (x 2)；平均变化率等于0，不能说f (x )在区间(x 1，x 2)上没有变化，也不能说明f (x )一定为常数，例如f (x )＝x 2－1在区间(－2,2)上．一、求函数在某区间内的平均变化率某物体做自由落体运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝12gt 2(单位：m)，计算t 从3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s 各时间段内s (t )的平均变化率．思路分析：求各时间段内s 的平均变化率，即求相应的平均速度，就是求s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1，即ΔsΔt，为此需求出Δs ，Δt .1．若质点的运动方程为s ＝－t 2，则该质点在t ＝1到t ＝3时的平均速度为________．2．求函数f (x )＝1x ＋2在区间(－1,0)，(1,3)，(4,4＋Δx )上的平均变化率．求函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤：(1)求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx ＝f (x 2)－f (x 1)Δx.二、求函数在某点附近的平均变化率求函数y ＝5x 2＋6在区间[2,2＋Δx ]上的平均变化率． 思路分析：∵函数f (x )＝y ＝5x 2＋6， ∴f (2)＝5×4＋6＝26.当x 由2变化到2＋Δx 时，f (2＋Δx )＝5(2＋Δx )2＋6，则Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)．1．已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx ＝__________.2．当x 0＝2，Δx ＝14时，求y ＝1x在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)是函数的自变量由x 0改变到x 0＋Δx 时的变化量，而平均变化率就是ΔyΔx.1．函数f (x )＝x 3在区间(－1,3)上的平均变化率为__________．2．已知某质点的运动规律为s (t )＝5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在1 s 到3 s 这段时间内，该质点的平均速度为__________．3．一质点的运动方程为s ＝2t 2，则此质点在时间[1,1＋Δt ]内的平均速度为__________． 4．函数y ＝2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为__________．5．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为__________．答案：活动与探究1：解：设t 在[3,3.1]上的平均变化率为v 1，则Δt 1＝3.1－3＝0.1(s)，Δs 1＝s (3.1)－s (3)＝12g ×3.12－12g ×32＝0.305g (m)，∴Δs 1Δt 1＝0.305g 0.1＝3.05g (m/s)． 同理Δs 2Δt 2＝0.030 05g 0.01＝3.005g (m/s)，Δs 3Δt 3＝0.003 000 5g 0.001＝3.000 5g (m/s)． 迁移与应用：1．－4 解析：平均速度为Δs Δt ＝－32－(－1)23－1＝－4.2．解：f (x )＝1x ＋2在区间(－1,0)上的平均变化率为Δy Δx ＝f (0)－f (－1)0－(－1)＝12－11＝－12； f (x )＝1x ＋2在区间(1,3)上的平均变化率为Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝15－132＝－115； f (x )＝1x ＋2在区间(4,4＋Δx )上的平均变化率为Δy Δx ＝f (4＋Δx )－f (4)(4＋Δx )－4＝16＋Δx －16Δx ＝－16(6＋Δx ). 活动与探究2：解：∵f (x )＝y ＝5x 2＋6，∴Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝5(2＋Δx )2＋6－26＝5[4＋4Δx ＋(Δx )2]－20＝20Δx ＋5(Δx )2. ∴Δy Δx ＝20Δx ＋5(Δx )2Δx ＝20＋5Δx . 迁移与应用：1．2Δx ＋4 解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2(Δx )2＋4Δx ，所以ΔyΔx＝2Δx ＋4.2．解：x 0＝2，Δx ＝14时，Δy ＝12＋14－12＝－118，∴平均变化率为Δy Δx ＝－11814＝－29.当堂检测1．7 解析：Δy Δx ＝f (3)－f (－1)3－(－1)＝27－(－1)4＝7.2．20 m/s3．4＋2Δt 解析：Δs Δt ＝2(1＋Δt )2－2Δt＝4＋2Δt .4．8＋2Δx 解析：Δy Δx ＝2(2＋Δx )2＋5－(2×22＋5)Δx ＝8Δx ＋2(Δx )2Δx＝8＋2Δx .5．0.4π 解析：∵S ＝πr 2，∴ΔS Δr ＝S (0.3)－S (0.1)0.3－0.1＝0.09π－0.01π0.2＝0.4π.。

变化率问题一、教学设计意图客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着，因此，在数学中引入变量的概念（函数）后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了.随着对函数的研究的不断深化，产生了微积分，它是数学发展史上重要的里程碑，导数是微积分的核心概念之一，导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度。

变化率问题的发展具有丰富的历史背景，涉及类比、抽象、符号化等重要的数学思想，是典型的数学抽象过程.1.教材分析“变化率问题”是高中导数教学的开始，是导数概念建立的核心，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位.教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，抽象出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握求平均变化率的一般步骤，在这一过程中，渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想，让学生体会数学抽象的过程.2.学情分析学习本节内容之前，学生具备了一定的函数知识，可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式，求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值，并能从图像中看出函数变化的快与慢.同时学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念，比较容易理解可以用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速度.3.教学任务教学目标：（1）知识与技能通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型.（2）过程与方法理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率.（3）情感、态度与价值观感受数学模型刻画客观世界的作用，体会数学抽象的过程，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力.教学重点：函数平均变化率的概念.教学难点：函数平均变化率的概念形成过程的抽象. 二、教学过程设计 【问题情境】 情境1：（1）在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果；（2）在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果.师生活动：学生小组讨论后一致认为，问题（1）不能很好的评价两人的经营成果，因为只有一个变量，而问题（2）有两个变量，通过计算甲、乙两人的月平均收入，发现乙的经营成果好于甲.设计意图：通过两个实例分析，让学生明白，仅仅比较一个变量的变化是不科学的，引导学生从平均变化去分析问题. 情境2：现有株洲市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图：1、你从图中获得了哪些信息？2 、在“4月18日到20日”，株洲市市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这样的感觉，这是什么原因呢?3、 怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？师生讨论，教师板书总结：分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”， 当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化5.01325.36.18≈--，（注： 3月18日为第一天）当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化4.732346.184.33≈--，因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些. 教师过渡:“18.6 3.50.5321-≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率.提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。

“平均变化率”的教学反思1.对教学设计的反思（1）对“平均变化率”概念在整章中的地位的认识在教学设计时，我把“平均变化率”当成本节课的核心概念。

经过课后研讨，综合课题组成员的点评意见，经过自己的不断反思，发现“平均变化率”仅仅是个辅助性概念，它是为“导数”这个核心概念作铺垫的，当然这其中过渡性概念是“瞬时变化率”。

课堂教学中忽视了“平均变化率”与“导数”的联系，定位不准确导致这一概念的教学目的不明确。

为此，修改教学设计时必须突出“从平均变化率到瞬时变化率”的过程，引入“瞬时变化率”概念，同时指出“瞬时变化率”就是本章研究的“导数”。

（2）问题1的科学性在教学设计时，我设计了如下问题作为整节课的引入：问题1：甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?设计意图是：这是学生熟悉的问题，能较快地解决，同时也有利于引出本节课的核心概念“平均变化率”。

从上课效果看也确实达到了我预想的目标，但课后点评后才发现，这一问题缺乏科学性，有待修改。

经反复思考，觉得改为：“甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元,假设资本在单位时间的扩张速度保持不变，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?”可能效果会更好。

（3）问题2与问题3的教学顺序在教学设计时，按照课本的顺序，把“气球膨胀率问题”和“高台跳水问题”分别作为问题2和问题3。

当时觉得问题2（即气球膨胀率）的背景是学生比较熟悉的，有生活体验，从此处入手更加贴近生活，况且教材也是这样安排的。

但从教学实践看，问题2并没有起到应有的效果。

经过研讨和反思，觉得“高台跳水”是运动问题，函数模型是二次函数，比问题2的幂函数模型更简单、熟悉。

因此将问题2与问题3教学顺序交换后，教学效果会更好。

2.对教学过程的反思（1）对学生认知基础的关注问题课堂教学中发现，学生的反应与自己的预想相差甚远。

经了解实际情况，原因是学生还不知道两点连线的斜率公式，从而导致“思考：观察函数的图象平均变化率表示什么?”的教学设计意图不能完全展现。