2018届北师大版(文) 导数的概念与运算 单元测试

集合的概念与运算同步练习（答题时间：30分钟）一、选择题1. 下列关系中正确的个数为（ ）①0∈{0}，②∅{0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(,)}a b ＝{(,)}b aA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 已知{}{}2(1)0,log 0A x x x B x x =->=< 则A B 等于（ ）A. (0,1)B. (0,2)C. )0,(-∞D. )(,0)(0,-∞+∞ 3. 设全集{}{}R,(3)0,1U A x x x B x x ==+<=<-，则下图中阴影部分表示的集合为 （ ）A. {}0x x >B. {}30x x -<<C. {}31x x -<<-D. {}1x x <- *4. 满足条件M ∪{1}＝{1，2，3}的集合M 的个数是（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个*5. 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则（ ）A. －3≤m ≤4B. －3<m <4C. 2<m <4D. 2<m ≤4二、填空题*6. 设集合A ＝{5，log 2（a ＋3）}，集合B ＝{a ，b }。

若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝______________。

**7. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个。

**8. x 、y ∈R ，A ＝{（x ，y ）|x 2＋y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|by a x -＝1，a >0，b >0}，当A ∩B 只有一个元素时，a ，b 的关系式是_________。

1．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则DA →＝( ) A ．(2,4) B ．(3,5) C ．(1,1) D ．(－1，－1) 【答案】C【解析】DA →＝CB →＝AB →－AC →＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B ．34AB →＋12AD → C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 【答案】B【解析】因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.3．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【答案】A4．将OA →＝(1,1)绕原点O 逆时针方向旋转60°得到OB →，则OB →＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32B.⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－32，－1＋32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋32，－1－32【答案】A【解析】由题意可得OB →的横坐标x ＝2cos(60°＋45°)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫24－64＝1－32，纵坐标y ＝2sin(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎪⎫64＋24＝1＋32，则OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32，故选A. 5．△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在BC →方向上的投影等于( )A ．－32B ．32C.32 D ．3 【答案】C6．已知A ，B ，C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0) 【答案】B【解析】由题意可得OD →＝k OC →＝k λOA →＋k μOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线可得k λ＋k μ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.7．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t的值为( )A ．4B ．－4 C.94D ．－94【答案】B【解析】∵n⊥(tm ＋n )，∴n ²(t m ＋n )＝0，即tm ²n ＋|n |2＝0，∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ³34|n |2³13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B.8．如图3­3，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →²FE →等于( )图3­3A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49【答案】B【解析】∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1， ∴|FO →|＝13，∴FD →²FE →＝(FO →＋OD →)²(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →²(OE →＋OD →)＋OD →²OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.9．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP ＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是( )A ．4B ．2C ．2 2D ．2 3 【答案】A即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝⎛⎭⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 即f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是4，故选A.10．已知平面向量a 与b 的夹角为π3，a ＝(1，3)，|a －2b |＝23，则|b |＝__________.【答案】2【解析】由题意得|a |＝12＋ 3 2＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4³2cos π3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．11．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|²BC →＝0, 且|AB →－AC →|＝23，点D 是△ABC 中BC 边的中点，则AB →²BD →＝________.【答案】－312．在如图3-2所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与xa ＋yb (x ，y 为非零实数)共线，则xy的值为________．图3­2 【答案】65【解析】设e 1，e 2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与xa ＋yb 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x－y )e 1＋λ(x －2y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ 2x －2y ＝1，λ x －2y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65. 13．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【答案】71214．已知点O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则OB →²OC →＝__________.【答案】－16【解析】∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且AO ＝33，∴OB →²OC →＝(AB →－AO →)²(AC →－AO →)＝AB →²AC →－AO →²AC →－AO →²AB →＋AO →2＝1³1³cos 60°－33³1³cos 30°－33³1³cos 30°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝－16. 15．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a²b ，求f (x )的最大值．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →²BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．【解析】(1)由BA →²BC →＝2得ca cos B ＝2.1分 因为cos B ＝13，所以ac ＝6.2分由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ． 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2³2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.4分因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.6分(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，7分 由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23³223＝429.8分因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4292＝79.10分 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13³79＋223³429＝2327.12分17．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2π3，0，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，函数f (x )＝a²b的图象与直线y ＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间．18．已知△ABC 的周长为6，|BC →|，|CA →|，|AB →|成等比数列，求：(1)△ABC 面积S 的最大值； (2)BA →²BC →的取值范围．【解析】 设|BC →|，|CA →|，|AB →|依次为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝6，b 2＝ac .2分在△ABC 中，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，故有0＜B ≤π3，4分又b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b2，从而0＜b ≤2.6分(1)S ＝12ac sin B ＝12b 2sin B ≤12²22²sin π3＝3，当且仅当a ＝c ，且B ＝π3，即△ABC为等边三角形时面积最大，即S max ＝ 3.8分(2)BA →²BC →＝ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22＝ a ＋c 2－2ac －b 22＝ 6－b 2－3b 22＝－(b ＋3)2＋27.10分∵0＜b ≤2，∴2≤BA →²BC →＜18， 即BA →²BC →的取值范围是[2,18).12分 19.已知向量a ＝⎝⎛cos 32x ，⎭⎪⎫sin 32x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. 求：(1)a²b 及|a ＋b|；(2)若f (x )＝a²b －2λ|a ＋b |的最小值为－32，求实数λ的值．20．向量a ＝(2，2)，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且a²b ＝－2.(1)求向量b ；(2)若t ＝(1，0)，且b⊥t ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角，若△ABC 的内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b ＋c |的取值范围．【解析】 (1)设b ＝(x ，y )，则a²b ＝2x ＋2y ＝－2，且|b |＝a²b|a|cos3π4＝1＝x2＋y 2.∴解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴b ＝(－1，0)或b ＝(0，－1)．21．已知向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. (1)若|a －b |＝2，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ²b ，求f (x )的值域．【解析】 (1)因为a －b ＝(3sin x －cos x ，0)，所以|a －b |2＝(3sin x －cos x )2＝4，所以3sin x －cos x ＝±2即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝±1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以x ＝2π3.(2)因为f (x )＝a ²b ＝3sin x cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x ＋1－cos 2x2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，第11 页共11 页。

课时达标第37讲[解密考纲]对利用综合法、分析法、反证法证明数学命题常与数列、解析几何、立体几何、函数综合在一起进行考查．一、选择题1．用反证法证明命题：若a＋b＋c为偶数，则“自然数a，b，c恰有一个偶数”时正确反设为(D)A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：由于“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”，故选D．2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac <3a”索的因应是(C)A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：b2－ac＜3a⇔b2－ac＜3a2⇔(a＋c)2－ac＜3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇔－2a2＋ac＋c2＜0⇔2a2－ac－c2＞0⇔(a－c)(2a＋c)＞0⇔(a－c)(a－b)＞0.3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是(C) A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定解析：不妨设P＜Q，∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，只要证2a＋7＋2a(a＋7)＜2a＋7＋2·(a＋3)(a＋4)，只要证a2＋7a＜a2＋7a＋12，只要证0＜12，∵0＜12成立，∴P＜Q成立．4．要使3a －3b <3a －b 成立，则a ，b 应满足( D ) A ．ab <0且 a >b B ．ab >0且a >bC ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或 ab <0且a <b解析：要使3a －3b ＜3a －b 成立， 只要(3a －3b )3＜(3a －b )3成立， 即a －b －33a 2b ＋33ab 2＜a －b 成立， 只要3ab 2＜3a 2b 成立， 只要ab 2＜a 2b 成立， 即要ab (b －a )＜0成立，只要ab ＞0且a ＞b 或ab ＜0且a ＜b 成立．5．已知a >b >0，且 ab ＝1，若 0<c <1，p ＝log c a 2＋b 22 ，q ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，则p ，q 的大小关系是( B )A ．p >qB ．p <qC ．p ＝qD ．p ≥q 解析：∵a 2＋b 22＞ab ＝1，∴p ＝log c a 2＋b 22＜0.又q ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝log c 1a ＋b ＋2ab ＞log c 14ab ＝log c 14＞0， ∴q ＞p .6．(2017·山东模拟)设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy ( C )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2解析：因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以⎝⎛⎫y x ＋y z ＋⎝⎛⎫z x ＋z y ＋⎝⎛⎭⎫x z ＋x y ＝⎝⎛⎫y x ＋x y ＋⎝⎛⎫y z ＋z y ＋⎝⎛⎭⎫x z ＋z x ≥6，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2，故选C ．二、填空题7．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为a ＜b .解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然6＜7.∴a ＜b .8．用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是a ，b ，c ，d 全是负数．解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a ，b ，c ，d 中没有一个是非负数，即a ，b ，c ，d 全是负数”．9．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2 ＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是③(填序号)． 解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1，故③能推出． 三、解答题10．(2017·江苏徐州模拟)如图，AB ，CD 均为圆O 的直径，CE ⊥圆O 所在的平面，BF ∥CE ，求证：(1)平面BCEF ⊥平面ACE ； (2)直线DF ∥平面ACE .证明：(1)因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面， 所以CE ⊥BC ．因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC ⊥BC ． 因为AC ∩CE ＝C ，AC ，CE ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE . 因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE .(2)由(1)知AC ⊥BC ，又因为CD 为圆O 的直径，所以BD ⊥BC ． 因为AC ，BC ，BD 在同一平面内，所以AC ∥BD ．因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD ∥平面ACE . 因为BF ∥CE ，同理可证BF ∥平面ACE ， 因为BD ∩BF ＝B ，BD ，BF ⊂平面BDF ， 所以平面BDF ∥平面ACE .因为DF ⊂平面BDF ，所以DF ∥平面ACE . 11．设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解析：(1)分两种情况讨论．①当q ＝1时，数列{a n }是首项为a 1的常数列，所以S n ＝a 1＋a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1. ②当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ⇒qS n ＝qa 1＋qa 2＋…＋qa n －1＋qa n . 将上面两式相减得(1－q )S n ＝a 1＋(a 2－qa 1)＋(a 3－qa 2)＋…＋(a n －qa n －1)－qa n ＝a 1－qa n ⇒S n ＝a 1－qa n1－q＝a 1(1－q n )1－q. 综上，S n ＝a 1－qa n 1－q ＝a 1(1－q n)1－q ，综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q ≠1.(2)证明：设{a n }是公比q ≠1的等比数列，假设数列{a n ＋1}是等比数列，则 (a 2＋1)2＝(a 1＋1)(a 3＋1)，即(a 1q ＋1)2＝(a 1＋1)(a 1q 2＋1)，整理得a 1(q －1)2＝0得a 1＝0或q ＝1均与题设矛盾，故数列{a n ＋1}不是等比数列．12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点．若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：x ＝1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试比较1a与c 的大小．解析：(1)证明：∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根．又x 1x 2＝ca ，∴x 2＝1a ⎝⎛⎭⎫1a ≠c ，x ＝1a 是f (x )＝0的一个根． 即x ＝1a是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，∵1a >0，∴由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0，这与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c . 又∵1a ≠c ，∴1a >c .。

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)＝13，则f′(x)等于( ) A ．－33B ．0C.33D. 3解析：选B.因为f(x)＝13，所以f′(x)＝(13)′＝0. 2．已知某质点的运动规律为s ＝t 2＋3(s 的单位：m ，t 的单位：s)，则该质点在t ＝3 s 到t ＝(3＋Δt)s 这段时间内的平均速度为( )A ．(6＋Δt)m/sB ．(6＋Δt ＋9Δt )m/sC ．(3＋Δt)m/sD ．(9Δt＋Δt)m/s解析：选A.平均速度为Δs Δt ＝（3＋Δt ）2＋3－（32＋3）Δt＝(6＋Δt)m/s.3．设f(x)为可导函数，且满足lim x →0 f （1）－f （1－x ）2x ＝－1，则过曲线y ＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选D.k ＝f′(1)＝lim x →0 f （1－x ）－f （1）－x ＝2lim x→0f （1）－f （1－x ）2x＝－2.4．已知函数f(x)在x ＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能是( ) A ．f(x)＝(x －1)3＋3(x －1) B ．f(x)＝2(x －1) C ．f(x)＝2(x －1)2 D ．f(x)＝x －1解析：选A.利用排除法，分别对四个选项求导数f′(x)，再求f′(1)． 5．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选B.设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0， 因为y′＝12x －3x ，所以k ＝12x 0－3x 0＝－12，所以x 0＝2.6．已知y ＝2x 3＋3x ＋cos x ，则y′等于( ) A ．6x 2＋x －23－sin xB ．6x 2＋x －23＋sin xC ．6x 2＋13x －23＋sin xD ．6x 2＋13x －23－sin x解析：选D.y ′＝(2x 3)′＋(x 13)′＋(cos x )′＝6x 2＋13x －23－sin x.7．给出定义：若函数f(x)在D 上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D 上也可导，则称函数f(x)在D 上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D 上恒成立，则称函数f(x)在D 上为凸函数，以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f(x)＝sin x ＋cos xB ．f(x)＝ln x －2xC ．f(x)＝－x 3＋2x －1 D ．f(x)＝xe x解析：选D.对A ，f ′(x)＝cos x －sin x ，f ″(x)＝－sin x －cos x ＜0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对B ，f ′(x)＝1x －2，f ″(x)＝－1x 2＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对C ，f ′(x)＝－3x 2＋2，f ″(x)＝－6x ＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对D ，f ′(x)＝e x ＋xe x ，f ″(x)＝e x ＋e x ＋xe x ＝e x(2＋x)＞0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数，选D.8．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A 观察点B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(－∞，4)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，10)解析：选D.在曲线C ：y ＝2x 2上取一点D(x 0，2x 20)(x 0＞0)，因为y ＝2x 2， 所以y′＝4x ，所以y ＝2x 2在D 点处切线的斜率为4x 0，令2x 20＋2x 0＝4x 0，解得x 0＝1，此时D(1，2)，所以k AD ＝2－（－2）1－0＝4，所以直线AD 的方程为y ＝4x －2，要实现不被曲线C 挡住，则实数a ＜4×3－2＝10，即实数a 的取值范围是(－∞，10)．9．设a ＞0，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则P 到曲线y ＝f(x)对称轴距离的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1aB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12aC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －12a解析：选B.因为过P(x 0，f(x 0))的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且a ＞0，P 在对称轴的右侧，所以P 到曲线y ＝f(x)对称轴x ＝－b 2a 的距离d ＝x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝x 0＋b 2a . 又因为f′(x 0)＝2ax 0＋b∈[0，1]， 所以x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b 2a ，1－b 2a .所以d ＝x 0＋b 2a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12a .10．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x 0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝2x ，h(x)＝ln x ，φ(x)＝x 3(x≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c解析：选B.g ′(x)＝2，h ′(x)＝1x ，φ′(x)＝3x 2(x≠0)．解方程g(x)＝g′(x)，即2x ＝2，得x ＝1，即a ＝1；解方程h(x)＝h′(x)，即ln x ＝1x ，在同一坐标系中画出函数y ＝ln x ，y ＝1x 的图像(图略)，可得1＜x ＜e ，即1＜b ＜e ；解方程φ(x)＝φ′(x)，即x 3＝3x 2(x≠0)，得x ＝3，即c ＝3.所以c ＞b ＞a.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．已知a 为实数，f(x)＝(x 2－4)(x －a)，且f′(－1)＝0，则a ＝________． 解析：f(x)＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x)＝3x 2－2ax －4， f ′(－1)＝3＋2a －4＝0，所以a ＝12.答案：1212．设f(x)＝e x ＋x ，若f′(x 0)＝2，则在点(x 0，y 0)处的切线方程为________．解析：f′(x)＝e x＋1，f ′(x 0)＝2，所以ex 0＋1＝2，所以x 0＝0，y 0＝e 0＋0＝1，所以切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝013．已知函数f(x)＝sin x －xcos x ，若存在x∈(0，π)，使得f′(x)＞λx 成立，则实数λ的取值范围是________．解析：f′(x)＝(sin x －xcos x)′＝(sin x )′－(xcos x )′＝cos x －(cos x －xsin x)＝xsin x ＞λx，因为x∈(0，π)，所以sin x ＞λ，因为sin x ∈(0，1]，所以λ＜1.答案：(－∞，1)14．抛物线y ＝x 2上到直线x ＋2y ＋4＝0距离最短的点的坐标为________．解析：y′＝2x ，设P(x 0，x 20)处的切线平行直线x ＋2y ＋4＝0，则点P 到直线x ＋2y ＋4＝0的距离最短，由抛物线y ＝x 2在点P(x 0，x 20)处的切线斜率为2x 0，则2x 0＝－12，解得x 0＝－14，y 0＝116，故所求点的坐标为(－14，116)．答案：(－14，116)15．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x)在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为________．解析：由y ＝x n(1－x)得y′＝nx n －1(1－x)＋x n(－1)，所以f′(2)＝－n·2n －1－2n.又因为切点为(2，－2n)． 所以切线方程为： y ＋2n＝－(n·2n －1＋2n)(x －2)．令x ＝0，得a n ＝(n ＋1)·2n. 则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的通项公式为a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式求得其和为2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹，若最外一圈波纹半径R 以4 m/s 的波速增加，求在3 s 末被扰动的水面面积的增长率．解：设被扰动水面面积为S ，时间为t(t≥0)， 所以S ＝πR 2＝π(4t)2＝16πt 2， 所以S′＝(16πt 2)′＝32πt ，所以当t ＝3时，水面面积的增长率为96π. 17．(本小题满分10分)求下列函数的导数． (1)f(x)＝ln(8x)； (2)y ＝x 3sin x 2cos x 2；(3)y ＝x 5＋x ＋sin xx 2. 解：(1)f(x)＝3ln 2＋ln x ， f ′(x)＝(3ln 2)′＋(ln x )′＝1x .(2)y ＝x 3sin x 2cos x 2＝12x 3sin x ，y ′＝12(x 3sin x )′＝12(3x 2sin x ＋x 3cos x)＝32x 2sin x ＋12x 3cos x. (3)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2＝x 3＋x －32＋x －2sin x ， 所以y′＝(x 3)′＋(x －32)′＋(x －2sin x )′＝3x 2－32x －52－2x －3sin x ＋x －2cos x.18．(本小题满分10分)已知曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4. (1)求曲线C 在点(1，－4)处的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，请说明理由． 解：(1)y′＝12x 3－6x 2－18x ，所以当x ＝1时，y ′＝－12，所以在点(1，－4)处的切线的斜率为－12.所以所求的切线方程为y ＋4＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋8.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，y ＝－12x ＋8，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，即(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0，所以x 1＝－2，x 2＝23，x 3＝1.所以除切点外，曲线和切线还有交点(－2，32)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0. 19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a≥1时，求证：当x∈[1，e]时，f ′(x)≥0，其中e 为自然对数的底数．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x)＝2x －3＋1x ，因为f′(1)＝0，f(1)＝－2.所以切线方程是y ＝－2.(2)证明：函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x ，即f′(x)＝2ax 2－（a ＋2）x ＋1x ＝（2x －1）（ax －1）x ，当a≥1时，在x∈[1，e]上，2x －1＞0，ax －1≥0， 可得f′(x)≥0.20．(本小题满分13分)设函数f(x)＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0.曲线y ＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y ＝1.(1)确定b ，c 的值；(2)设曲线y ＝f(x)在点(x 1，f(x 1))及(x 2，f(x 2))处的切线都过点(0，2)，证明：当x 1≠x 2时，f ′(x 1)≠f′(x 2)．解：(1)由f(x)＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，得f(0)＝c ，f ′(x)＝x 2－ax ＋b ，f ′(0)＝b.又由曲线y ＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y ＝1，得f(0)＝1，f ′(0)＝0. 故b ＝0，c ＝1.(2)证明：f(x)＝13x 3－a 2x 2＋1，f ′(x)＝x 2－ax ，由于点(t ，f(t))处的切线方程为y －f(t)＝f′(t)(x－t)，而点(0，2)在切线上，所以2－f(t)＝f′(t)(－t)，化简得23t 3－a 2t 2＋1＝0，即t 满足的方程为23t 3－a 2t 2＋1＝0.下面用反证法证明：假设f′(x 1)＝f′(x 2)，由于曲线y ＝f(x)在点(x 1，f(x 1))及(x 2，f(x 2))处的切线都过点(0，2)，则下列等式成立：⎩⎪⎨⎪⎧23x 31－a 2x 21＋1＝0，①23x 32－a2x 22＋1＝0，②x 21－ax 1＝x 22－ax 2.③由③，得x 1＋x 2＝a.由①－②，得x 21＋x 1x 2＋x 22＝34a 2.④又x 21＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝a 2－x 1(a －x 1)＝x 21－ax 1＋a 2＝(x 1－a 2)2＋34a 2≥34a 2，故由④得x 1＝a 2，此时x 2＝a2与x 1≠x 2矛盾，所以f′(x 1)≠f′(x 2)．。

课时作业19同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题1．tan(－1 410°)的值为( )A.33B．－33C. 3 D．－ 3解析：tan(－1 410°)＝tan(－4³360°＋30°)＝tan30°＝33.答案：A2．已知△ABC中，tan A＝－512，则cos A＝( )A.1213B.513C．－513D．－1213解析：在△ABC中，由tan A＝－512<0知，A为钝角，所以cos A<0.又1＋tan2A＝sin2A＋cos2Acos2A＝1cos2A＝169144，所以cos A＝－1213.答案：D3．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sinα＝－35，则cos(－α)的值为( )A．－45B.45C.35D．－35解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sinα＝－35，所以cosα＝45，所以cos(－α)＝45. 答案：B4．已知f(α)＝sin π－α ²cos 2π－αcos －π－α ²tan π－α，则f⎝⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( ) A.12B.13C.32D.22解析：∵f (α)＝sin αcos α－cos α －tan α＝cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 答案：A5．(2017²福建模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝m (|m |<1)，π2<α<π，那么tan(π＋α)＝( )A.m1－m2B ．－m1－m2C ．±m1－m2D ．±1－m2m解析：由题意，知sin α＝m >0，且cos α<0，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－m 2，所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－m1－m2，故选B. 答案：B6．(2017²广东惠州一调)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23B ．－23C.13 D ．－13解析：因为sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，两边平方可得1＋2sin θ²cos θ＝169，即sin θ²cos θ＝718，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29.又因为0<θ<π4，所以sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝－23，故应选B. 答案：B 二、填空题7．已知sin(3π＋θ)＝14，则cos π＋θcos θ[cos π＋θ －1]＋cos θ－2πcos θ＋2π cos π＋θ ＋cos －θ＝________.解析：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ， ∴sin θ＝－14，则原式＝－cos θcos θ －cos θ－1 ＋cos θcos θ －cos θ ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝32. 答案：328．已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos π2＋α sin －π－αcos 11π2－α sin 9π2＋α的值为________．解析：∵tan α＝y x ＝－34，∴cos π2＋α sin －π－αcos 11π2－α sin 9π2＋α＝－sin α²sin α－sin α²cos α＝tan α＝－34.答案：－349．若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)＝________.解析：因为sin15°＝cos75°，所以f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－32. 答案：－3210．已知cos(75°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(15°－α)＝________.解析：由－180°<α<－90°，得－105°<75°＋α<－15°，又cos(75°＋α)>0可知75°＋α是第四象限角，所以cos(15°－α)＝sin(75°＋α) ＝－1－cos 275°＋α ＝－223.答案：－223三、解答题11．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.12．已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin α²1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α²cos α和sin α－cos α的值．解：(1)f (α)＝sin α－sin α² 1＋cos α 21－cos 2α－1＝sin α＋sin α²1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)方法1：由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α²cos α＋cos 2α＝125，即2sin α²cos α＝－2425.∴sin α²cos α＝－1225，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α²cos α＝4925，又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75.方法2：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，。

第01讲导数的概念及运算 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：导数的概念高频考点二：导数的运算高频考点三：导数的几何意义①求切线方程（在型）②求切线方程（过型）③已知切线方程（或斜率）求参数④导数与函数图象⑤共切点的公切线问题⑥不同切点的公切线问题⑦与切线有关的转化问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第01讲导数的概念及运算（精练）1、平均变化率（1）变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值. （2）平均变化率一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --.（3）如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 2、导数的概念（1）定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim ＝. （2）定义法求导数步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； ② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆.3、导数的几何意义函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.4、基本初等函数的导数公式5若()f x '，()g x '存在，则有 （1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ （3）2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''⋅-⋅'= 6、复合函数求导复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x . 第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。

高三数学通用版集合与常用逻辑用语综合练习（答题时间：60分钟）一、选择题：1. 方程2310ax x +-=有一个实根是94a =-的 条件A. 充要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不必要也不充分 2. 同时满足（1）{}1.2.3.4.5M ⊆（2）若a M ∈则6a M -∈的非空集合M 有A. 16个B. 15个C. 7个D. 6个3.集合{}{}(,),R ,(,)1,R M x y y x y N x y x y ==∈==∈，则M N =A. {}(1,0)B. {}01y y ≤≤C. {}1,0D. ∅4. 已知集合{}{}2|230,|,A x x x B x x a b A B R =-->=-≤= 若，{}|34A B x x =<≤ ，则a b +的值为A. 4B. 3C. 2D. 1 5. 已知,,,a b c R ∈则使a b >成立的一个充分条件是A. ac bc >B.cb c a > C. 22a bc c > D. 22a b >6. 已知命题p ：x R ∃∈，5cos 4x =；命题q ：2,10x R x x ∀∈-+>．则下列结论正确的是A. 命题p q 且是真命题B. 命题p q ⌝且是真命题C. 命题p q ⌝且是真命题D. 命题p q ⌝⌝或是假命题7．（江苏高考）设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=,},,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________8.(广东高考).设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T ,V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z = 且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B . ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C . ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D . ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的9.（陕西高考）设集合M={y|y=2cos x —2sin x|,x ∈R},N={x||x —1i为虚数单位，x ∈R},则M ∩N 为 A ．（0,1） B ．（0,1]C ．[0,1）D ．[0,1]二、填空题10. 若,a b Z ∈，命题“a b +是偶数，则,a b 必定同为奇数或偶数”的逆否命题为 ．11. 设{}{}21,2,3,4|50S M x S x x p ==∈-+=且若{}1,4S C M =，则p = ．12. 设全集{}{}{}2,3,5,5,2,5U U A a C A ==-=，则a = ．13. 用列举法表示集合|,,,,a b c abc M x x a b c R M a b c abc ⎧⎫⎪⎪==+++∈=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则 ． ______________三、解答题： 14.已知集合T是方程220(40)x px q p q ++=->的解集，{}{}1,3,5,7,9,1,4,7,10A B ==，且T A T B T =∅= ，，试求,p q 的值．15. 设{}{}22|40,|M x x N x x ax x a =->=-≥-，若M N M = ，求实数a 的取值范围．16. 已知集合{}(){}2|1,|330,M x x a N x x a x a a R =-<=-++>∈，若M N R = ，求实数a 的取值范围．17. 已知命题q ：集合{}2|10,A x x ax x R =++=∈，{}|0B x x =>，则A B =∅ ．（Ⅰ）若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若命题p :1()2xf x -=，()2f a <，试求实数a 的取值范围，使得命题p ，q 有且只有一个为真命题．高三数学通用版集合与常用逻辑用语综合练习参考答案一、选择题:7.当0m≤时，集合A是以（2，0）为圆心，以m为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，(102m m+=+>，因为,φ≠⋂BA此时无解；当0m>时，集合A是以（2，0m为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有m112m≤≤.又因为2m1,122m m≤∴≤≤8.A;因为T V Z=,故必有．．1∈T或1∈V,不妨设1∈T,则令1c=,依题意对,a b T∀∈,有ab T∈,从而T关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选A了,但为了严谨,我们往下证明可以有一个不封闭以及可以两个都封闭),取T N=,则V为所有负整数组成的集合,显然T封闭,但V显然是不封闭的,如(1)(2)2V-⨯-=∉;同理,若{T=奇数}，{V=偶数}，显然两者都封闭，从而选A．9. C22|cos sin||cos2|[0,1]y x x x=-=∈，所以[0,1]M=；因为1||xi-<||x i+|()|x i--<x∈R，所以11x-<<，即(1,1)N=-；所以[0,1)M N=，故选C.二、填空题10. 已知,a b Z∈，若,a b一个是偶数，一个是奇数，则a b+不是偶数；11.6；12.8或2；13.{}4,0,4-．三、解答题14. {}4,10T=，由韦达定理可得：14;40p q=-=．15. {}|22M x x x=<->或，{}|()(1)0N x x a x=--≥，由M N M M N=⇒⊆，故a的取值范围是[]2,2-．16. {}|11M x a x a=-<<+，{}|()(3)0N x x a x=-->，由132413a M N R a a -<⎧=⇒⇒<<⎨+>⎩． 17. （Ⅰ）即方程210x ax ++=无根或无正根2400a a -<-<或()2,a ⇒∈-+∞； （Ⅱ）1()22352af a a -<⇒<⇒-<<，结合（Ⅰ）可得a 的取值范围是(][)3,25,--+∞ ．。

第十一章推理与证明、算法、复数第1讲归纳与类比基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·西安八校联考)观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1，1⊗3，2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第() A．22项B．23项C．24项D．25项解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C.答案C2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是() A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．答案 C3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝() A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．答案 D4．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于() A．28 B．76 C．123 D．199解析观察规律，归纳推理．从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案 C5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4解析①②正确；③④⑤⑥错误．答案 B6．(2017·宜春一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是() A．甲，丙B．乙，丁C．丙，丁D．乙，丙解析甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为D.答案 D7．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为() A．n＋1 B．2nC.n2＋n＋22D．n2＋n＋1解析1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋n(n＋1)2＝n2＋n＋22个区域，选C.答案 C8．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A．6 B．7 C．8 D．9解析由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N＋)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N＋)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋6＋6(n－1)2×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层．答案 C二、填空题9．仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________． 解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……， 则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2，易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14. 答案 1410．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第n 个等式为________．解析 观察所给等式左右两边的构成易得第n 个等式为13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22＝n 2(n ＋1)24.答案 13＋23＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)2411．(2017·重庆模拟)在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：___________________________.解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .” 答案 在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n12．已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x (a ＞1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上任意不同两点，则类似地有________成立．解析 对于函数y ＝a x (a ＞1)的图像上任意不同两点A ，B ，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立；对于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上任意不同的两点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的下方，类比可知应有sin x1＋sin x22＜sinx1＋x22成立．答案sin x1＋sin x22＜sinx1＋x22能力提升题组(建议用时：15分钟)13．(2017·湖北八校二联)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是() A．甲B．乙C．丙D．丁解析根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：答案 D14．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3， …a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )⇒a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225. 答案 C15．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________． 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2yb 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上， 故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b 2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上， 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1. 答案 x 0x a 2－y 0yb 2＝116．(2016·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下：1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … …11 17 25 ………19 27 …………29 ……………………………则第30行从左到右第3个数是________．解析先求第30行的第1个数，再求第30行的第3个数．观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋ (60)30×(2＋60)2－1＝929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051.答案 1 051。

课时作业30 数系的扩充与复数的引入一、选择题1．若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A ．{－1} B ．{1} C ．{1，－1}D ．∅解析：因为A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}＝{i ，－1，－i ，1}，B ＝{1，－1}，所以A ∩B ＝{－1,1}． 答案：C2．(2016²山东卷)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：易知z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，选B. 答案：B3．(2016²新课标全国卷Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i解析：易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i. 答案：C4．若复数m (3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围为( )A ．m >1B ．m >23C ．m <23或m >1D.23<m <1 解析：m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2>0，m －1<0，解得23<m <1.答案：D5．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( )A ．－25B ．－25iC.25D.25i 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i 1＋2i 1－2i ＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25. 答案：A6．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0解析：z ＝1＋2i 1－i ＝1＋2i 1＋i 2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝1³ 1－z 2 0161－z ＝1－i 2 0161－i ＝1－i4³5041－i＝0. 答案：D7．(2017²芜湖一模)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋32i ，z 2＝a －32i ，若z 1z 2为纯虚数，则实数a ＝( )A.32B ．－32C.32或－32D ．0解析：z 1z 2＝a ＋32i a －32i ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋32i 2⎝⎛⎭⎪⎫a －32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－34＋3a i a 2＋34是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－34＝0，3a ≠0，解得a ＝±32. 答案：C8．在复平面内，复数11＋i ，11－i(i 为虚数单位)对应的点分别为A ，B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数为( )A.12 B ．1 C.12i D ．i解析：∵11＋i ＝1－i 1－i 1＋i ＝12－12i ，11－i ＝1＋i 1－i 1＋i ＝12＋12i ，则A (12，－12)，B (12，12)，∴线段AB 的中点C (12，0)，故点C 对应的复数为12，选A. 答案：A 二、填空题9．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：复数z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i ，其实部是5. 答案：510．(2016²天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以b ＝1，a ＝2，a b＝2. 答案：2 11．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.解析：因为a ＋2ii＝b ＋i ，所以2－a i ＝b ＋i.由复数相等的充要条件得b ＝2，a ＝－1，故a ＋b ＝1.答案：112．在复平面上，复数32－i 2对应的点到原点的距离为________．解析：解法1：由题意可知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 2－i 2＝3|2－i|2＝35. 解法2：3 2－i 2＝34－4i ＋i 2＝33－4i ＝3 3＋4i 3－4i 3＋4i ＝9＋12i 25＝925＋1225i ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 2－i 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪925＋1225i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12252＝35.答案：351．(2017²河北衡水一模)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．3 3解析：z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1＋z 2＝－2，故选A. 答案：A2．设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为复数z 对应点的坐标为A (3,1)，所以点A 位于第一象限，所以逆时针旋转π2后对应的点B 在第二象限．答案：B3．已知i 为虚数单位，(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 1²z 2∈R ，则|z 2|＝( ) A ．4 B ．20 C. 5D ．2 5解析：z 1＝2＋1－i 1＋i ＝2＋ 1－i 21＋i 1－i ＝2－i ，z 1²z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝2a ＋2＋(4－a )i ，若z 1²z 2∈R ，则a ＝4，|z 2|＝25，选D.答案：D4．已知复数z 1＝cos15°＋sin15°i 和复数z 2＝cos45°＋sin45°i，则z 1²z 2＝________.解析：z 1²z 2＝(cos15°＋sin15°i)(cos45°＋sin45°i)＝(cos15°cos45°－sin15°sin45°)＋(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)i＝cos60°＋sin60°i ＝12＋32i.答案：12＋32i5．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0141＋i ，则复数z 在复平面内对应的点为________．解析：∵i 4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＋i4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而 2 013＝4³503＋1,2 014＝4³503＋2，∴z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0141＋i＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋i 1－i 1＋i 1－i ＝2i2＝i ，对应的点为(0,1)．答案：(0,1)。

单元滚动检测十一概率考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共4页．2．答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．(2016·呼和浩特第二次调研）在一次学业水平测试中，小明成绩在60~80分的概率为0。

5，成绩在60分以下的概率为0。

3，若规定考试成绩在80分以上为优秀，则小明成绩为优秀的概率为（)A．0.2 B．0.3 C．0。

5 D．0.82．（2016·广东深圳第二次调研）已知某路口最高限速50 km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度如茎叶图所示(单位：km/h)．若从中任取2辆,则恰好有1辆汽车超速的概率为( ）A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!3．（2016·南昌模拟）已知函数f（x）＝－x2＋2x＋3，若在－4,4]上任取一个实数x0，则使f（x0）≥0成立的概率为( ）A。

错误! B.错误!C。

错误!D．14．设集合P＝错误!，Q＝错误!，且P⊆Q，若b、c∈错误!，则b＝c的概率是( ）A。

18B.错误!C.错误!D.错误!5.如图，扇形AOB的半径为1，圆心角为错误!.点C，D，E将弧AB等分成四份，连接OC,OD，OE，从图中所有的扇形中随机取出一个,面积恰为错误!的概率是( )A。

310B.错误!C。

错误! D.错误!6．(2016·石家庄一模）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ）A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!7．已知向量a＝（1，－2），b＝（x，y）,若x,y∈1,4］，则满足a·b＞0的概率为（）A.错误!B。