图形的相似 课件 5 人教版

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课堂小结
相似
定义
定义、判定、性质
相似图形
相似多边形 相似三角形
平行线分线段 成比例
判定
性质
位似
性质 平面直角坐标系中的位似
应用
34
22
解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜 子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑 顶 A. 若人眼距地面距离为 CD，测量出 CD、DE、 BE的长，就可算出纪念碑 AB 的高． 理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED＝ ∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE. 根据 CD DE ，即可算出 AB 的高． AB BE
3
3. 相似三角形的性质 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方
4
4. 相似三角形的应用 (1) 测高 (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在 同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. (2) 测距 (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解.
＝120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形
零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分
别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形 EFHG 为加工成的
A
正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E、F 分别在AB、
EM F
AC上，△ABC 的高 AD 与边 EF 相交于点 M，设正方形的 B
△ADC ∽△ACB．
(1) ∠ACD =∠B
；
(2) ∠ACB =∠ADC
；
(3)

解：由于两个四边形相似，它 们的对应边成比例，对应角相 等，所以
18 y x 4 67
解得 x＝31.5，y＝27
a ＝360°－(77°＋83°＋117°)＝83°
例4. 如图所示的两个五边形相似，求未知边a、 b、 c、d的长度．
cd
6 9
35 2
b
a
7.5 解:由图示: 可知两图形的相似比为:
(2) 经历相似图形的认识过程，观察相似图形的关系， 得到相似多边形对应边成比例，对应角相等的性质
导入新课：
请观察下面几组图片
你从上述几组图片发现了什么？
它们的大小 不一定相等 形状 完全相同
1.相似图形的概念：
两个图形的形状 完全相同，但大小 不 一定相同 ，这样的图形叫做相似图形
2、全等图形： 形状、大小都相同的图形称为全等形。
对应边的比相等
A1 A
B
C B1
C1
(1)
3.相似多边形定义：
对应角相等，对应边成比 例的两个多边形叫做相似多 边形，相似多边形的比叫做 相似比。
例1. 在下列图形中，找出相似图形
例2.观察下列图形，哪些是相似形？
？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸⑹
（7）
（8）
（13）
？ （10） （11）
（1பைடு நூலகம்）
例3. 在如图所示的相似四边形中, 求未知边x、 y的长度和角度a的大小．
5 2
∴ 23 3b
b = 4.5
c2 63
7.5
c=4
3
22 a=3 a3
d 2 93
d=6
课堂小结
本节课学习了哪些知识？
相似图形的定义： •相似多边形的特征和识别：

定义
两个多面体，如果它们的对应角相等，对应边长 成比例，则称这两个多面体相似。
1. 对应角相等
通过测量或计算验证两个多面体的对应角是否相 等。
3
2. 对应边长成比例
通过测量或计算验证两个多面体的对应边长是否 成比例。
性质总结
性质一
相似多面体的对应面面 积之比等于相似比的平
方。
性质二
相似多面体的对应体积 之比等于相似比的立方
案例分析
测量河流宽度
通过构造相似三角形，可以测量 河流的宽度，为水利工程和桥梁
建设提供重要数据支持。
估算森林面积
利用航空照片和相似三角形的原理 ，可以对森林面积进行估算，为林 业资源管理和生态保护提供依据。
分析交通事故原因
在交通事故分析中，相似三角形可 以帮助分析事故原因，确定责任方 ，为交通事故处理提供科学依据。
。
性质三
相似多面体的对应棱的 中线之比等于相似比。
性质四
相似多面体的对应高的 比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于
相似比。
应用前景展望
建筑设计
在建筑设计中，利用相似多面体 的性质可以方便地按比例缩放建 筑模型，以适应不同规模和需求
的设计项目。
艺术创作
在机械、航空等工程领域，相似 多面体的概念可用于按比例放大 或缩小零部件和装置，以简化设
。
相似比与对应角关系
01
02
03
相似比
两个相似三角形的对应边 之间的比值称为相似比。
相等性
相似三角形的对应角相等 。
互补性
如果两个角在一个三角形 中是互补的，那么它们在 另一个相似三角形中也是 互补的。
性质总结
对应边成比例

B
)
如图，图形( a )~( f )中，哪些与图形(1)或(2)相似？
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
A．60° B．75° C．87° D．120°
5－1 如果把其中的一片树叶缩小，它们还全等吗？ A． B． D．同一棵树上摘下的两片树叶 2 两个图形是否相似与图形的大小、位置无关.
5＋1 2
判断四条线段是否成比例的方法 首先统一单位，并把四条线段按从小到大(或从大到小)的顺 序排列，然后计算并判断.计算的方法有两种： (1)计算前两条线段的比和后两条线段的比，若比值相等， 则这四条线段成比例； (2)计算第一条线段与第四条线段的乘积、第二条线段与第 三条线段的乘积，如果乘积相同，则这四条线段成比例.
如图是一个女孩从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象，这些镜中的形象与自身相似吗？
如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？
求值； 人教版 · 数学· 九年级（下）
如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？
你还知道哪些相似图形？
什么样的图形是全等形？
(2)参数法，即先根据比例式设出合适的参数，然后用 你还知道哪些相似图形？
如果把其中的一片树叶缩小，它们还全等吗？
3 cm，4 cm，5 cm，6 cm
(1)用含有一个字母的代数式表示其他字母，然后代入求值；
13．已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，且AB∶BC∶CD∶AD＝7∶8∶11∶14，若四边形EFGH的周长为80，则四边形EFGH最长边的长为___________．
判断两个图形是否相似，就是看这两个图形的形状是否相同，这是相似图形的本质.
知识点三：相似多边形的性质与判定
观察这四组相似图形，其中一个图形可以看作由另一个图形怎样变换得到的？

6．相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平 分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
7．射影定理：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， 则有下列结论．
(1)AC 2＝AD·AB； (2)BC 2＝BD·AB； (3)CD 2＝AD·BD； (4)AC 2∶BC 2＝AD∶BD； (5)AB·CD＝AC·BC.
命题点5：相似三角形的应用 5．(2017·天水)如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯 的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为__5__米．
相似三角形的性质及判定
【例 1】 (1)(2017·连云港)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，
则下列等式一定成立的是( D )
【探索研究】 (2)若点 O 是 AC 上任意一点(不与 A，C 重合)，求证：AMMB·BNNC·OCOA＝1； 【拓展应用】 (3)如图②，点 P 是△ABC 内任意一点，射线 AP，BP，CP 分别交 BC， AC，AB 于点 D，E，F，若ABFF＝13，BCDD＝12，求ACEE的值．
解：(1)过点 A 作 AG∥MN 交 BN 延长线于点 G，∴∠G＝∠BNM，又∠B ＝∠B，∴△ABG∽△MBN，∴BBGN＝MABB，∴BBGN－1＝MABB－1，∴BGB－NBN ＝ABM－BMB，即NBNG＝AMMB，同理，在△ACG 和△OCN 中，NCNG＝ACOO，∴ACOO ＝NCNG，∵O 为 AC 中点，∴AO＝CO，∴NG＝CN，∴CBNN＝NBNG＝ABMM＝31
命题点 1：比例的性质 1．(2017·兰州)已知 2x＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是( A ) A.xy＝32 B.3x＝y2 C.xy＝23 D.x2＝y3

4 J
5I
解:（1）相似比=CD : HI=3 : 5 （2）∵五边形ABCDE相似于五边形FGHIJ ∴ ∠F =∠A=120o, ∠C= ∠H=90o, ∴AB : FG = BC : GH = CD : HI = DE : IJ = EA : JF 即2 : FG = BC : 6 = 3/5 = 2.2 : IJ = AE :4 解得FG =10/3 cm, BC =18/5cm, IJ=11/3cm,AE=12/5cm
C´D´＝＿＿4
3A B 1°18 E
C 2 D B´
A´
6
E´
80°
五边形A´B´C´D´E´与五边形 ． ABCDE的相似比为＿2:＿1
C´
D´
E
2、如图：下面的两个菱形相似吗？为什么？ 满足什么条件的两个菱形一定相似？
6°0
A H
F
D
1°20 B
C
G
随堂练习
判断：
（1）任意两个矩形都是相似图形（ ） （2）任意两个圆形是相似图形（ ）
对应角相等
AB = BC = AC ，A1B1 = B1C1 = A1C1
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 对应边成比例
对应角有什么关系？
A 150° B
F 正正八八边边形形 放放大大 B1
E
A1 150°
F1 E1
C
D
C1
∠A =∠A1， ∠B =∠B1， ∠C =∠C1 ∠D =∠D1， ∠E =∠E1， ∠F =∠F1
2、在记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点的字母写 在对应的位置上。
A F
E
B C
D

下面所示的都是一些相似的图形
再仔细观察
看起来每组中的两个图形具有一 些相像的成分，其实形状是不相 同的，这样的图形就不是相似形.
如下图左边格点图中有一个四边形, 如下图左边格点图中有一个四边形 请在右边的格点图中画出一 个与该 四边形相似的图形,和你的伙伴交流 四边形相似的图形 和你的伙伴交流 一下,看看谁的方法又快又好 看看谁的方法又快又好. 一下 看看谁的方法又快又好
结论
日常生活中我们会碰到 很多这样形状相同、 很多这样形状相同、大小不 一定相同的图形，在数学上， 一定相同的图形，在数学上， 我们把具有相同形状的图形 称为相似形（ 称为相似形（similar figures）． figures）．
同一底片印出来的不同 尺寸的照片也是相似图 形．放电影时胶片上的图 像和它映射到屏幕上的图 都是彼此相似的． 像，都是彼此相似的．
练习
1．观察你周围的一切，举出 几个相似图形的例子. 2．你看到过哈哈镜吗？哈哈 镜中的形象与你本人相似吗？
1.试着用本书最后所附的格点图把 试着用本书最后所附的格点图把 下面的图形放大
2. 观察下面的图形 观察下面的图形(a)~(g),其中哪些 其中哪些 是与图形(1)、 或 是与图形 、(2)或（3）相似的？ ）相似的？
相似的图形
导入新课
观察下面的图片，你发现了什么
你会发现右边的照片是由左边的 照片放大得来． 照片放大得 ． 尽管它们大小不 但形状相同． 同，但形状相同．
上面是两张大小不同的世界地图， 上面是两张大小不同的世界地图 ， 右边的图形可以看作是左边的图形 缩小得来的． 由于不同的需要， 缩小得来的 ． 由于不同的需要 ， 对 某一地区， 某一地区 ， 经常会制成各种大小的 地图， 但其形状（ 地图 ， 但其形状 （ 包括地图中所描 绘的各个部分）肯定是相同的． 绘的各个部分）肯定是相同的．