高中数学《余弦定理》公开课优秀课件

情境引入
A
C B
余弦定理（一）
学习目标
• 能通过向量法推导余弦定理；
• 掌握余弦定理的两种表现形式；
•通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边” 及“边、边、边”问题。
情境引入
C A
?
B
用正弦定理不能直接求出A , B两处的距离 这是一个已知三角形两边a和b,和两边的 夹角C，求出第三边c的问题.
归我纳们小身结边的事
B
B
C
A
南江环城路施工时需要在赵碧崖处开凿一条山地隧道， 需要计算隧道长度，请问你有何方法。
例题讲解
例 1：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.
解： 由 得 ∵
∴ ∴
c2=a2＋b2－2abcosC,
c≈4.297.
BcAo＝≈s3A19＝8°0°, b－2＋2(Abcc2＋－Ca)2＝≈508.7°773，2′.sCcinAbBAaaA3si9cn或C 1401.6299
a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 a2 2ca cosB c2 a2 b2 2abcosC
勾股定理与余弦定理有何关系？
令C＝900 c2 a2 b2 勾股定理
新课探究
a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 a2 2ca cosB c2 a2 b2 2abcosC
aD
B
在 RtABD 中
AB2 AD2 BD2
( ACsin C)2 (CB CD)2
AC2 sin 2 C CB 2 2CB AC cosC AC2 cos2 C
AC2 CB 2 2CB AC cosC
c2 a2 b2 2abcosC

故选D．
D
△ABC中，若∠A＝60°，b＝16，此三角形面积S=220 ，则a的值为( ).A.7 B. 25C. 55 D. 49
利用向量法证明余弦定理的思路．
如图，某隧道施工队为了开道一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度．工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C边的距离，再利用经纬仪测出A 对山脚BC(即线段BC)的张角，最后通过计算求出山脚的长度．
这个实际问题可以转化为怎样的数学问题？
已知三角形的两边和其夹角，求三角形的另外一边．
余弦定理的概括
余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍，即
余弦定理是勾股定理的推广．
利用余弦定理，可以由三角形的三条边，求出它三个角的大小．
判断正误并说明理由？
余弦定理的公式余弦定理的应用．
判断依据
余弦定理适用于直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，所以适用于一切三角形．
解：在△ABC中，因为A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，所以B＝60°.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB ＝82－2×15－2×15×＝19.所以b＝ ．
在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是多少？
第二章 平面向量及其应用
余弦定理
1．在创设的问题情境中，发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并运用余弦定理解 简单的三角形．2．通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，养成创新意识和具备观察与逻辑思维能力，体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题．
探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步应用余弦定理．

1 2
AB
1
3 2
3 AB 4. C
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC COSB
16 1 2 41 1 13 AC 13.
A
2
Ac 2 BC 2 AB 2 13 1 16
13
cosC
B
2 AC BC
2 13 1 13
sinC
1
13 13
2
2 26 13
1.1.2 余弦定理 课件
2024/11/11
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即a =
sin A
b sin B
=
c =2R（R为△ABC外接圆半径）
sin C
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和 角。
c2 a2 b2 2ab cosC
2024/11/11
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2
即 a2 b2 c2 2bc cos A cos A 2bc
b2 c2 a2 2ac cosB cos B c2 a2 b2
2ab
2024/11/11
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角。三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。

2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：