向量章节复习讲义(3)

同时也需要了解向量组的秩 和极大线性无关向量组，这 些知识在求解向量组的问题 时会被用到。
三、向量的应用
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向量的几何意义
向量具有平移、共面、垂直、夹角、投影等几何意义，这些概念对几何问题的解 决很有帮助。
2
向量在几何中的应用
向量在解决直线、平面、空间几何问题时发挥着重要作用，理解这些应用有助于 我们更好地熟练解决几何问题。
向量复习要点
欢迎来到向量复习要点课程！我们将全面复习向量的基本知识和应用，包括 向量的运算、性质，以及在几何和物理中的应பைடு நூலகம்。让我们开始吧！
一、向量的概念
向量的定义
学习向量前，首先需要明确向量 的概念和特点。向量是具有大小 和方向的量，通常用箭头表示。
向量的表示方法
我们可以通过坐标和矩阵两种方 式表示一个向量。掌握这些表示 方法有助于进行向量运算。
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向量在物理中的应用
向量和物理之间有着很深的联系，比如速度、加速度、力、功、能量等问题都与 向量的概念密切相关。
四、向量的扩展
复数与向量
矩阵与向量
复数与向量之间有着紧密的联系， 学习复数可以更好地理解向量的 复杂运算。
矩阵和向量的联系也非常紧密， 学习矩阵可以更好地理解向量计 算。
向量的广义定义
欧几里得向量、内积空间、赋范 空间等广义向量的概念也非常有 用，学习它们可以进一步扩展和 深化我们对向量的理解。
总结
通过学习这些向量复习要点，我们对向量有了更深入的认识和理解。希望这 些知识能够帮助大家更好地掌握向量的基本概念、运算、性质和应用，并能 在以后的学习和应用中更加灵活自如地使用向量。
向量的运算
向量的运算包括加、减、数乘、 内积和外积。这些运算是向量计 算的基础。

第1节平面向量的概念及线性运算◆考纲·了然于胸◆1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．[要点梳理]1．向量的有关概念3．平行向量基本定理如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0→，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb . 质疑探究：当a ∥b ，b ∥c 时，一定有a ∥c 吗？提示：不一定．当b ≠0→时，有a ∥c .当b ＝0→时，a ，c 可以是任意向量，不一定共线．[小题查验]1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A.EF →＝OF →＋OE →B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →2．如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，则向量a －b 可表示为( )A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2 3．给出下列命题：①向量AB →与向量BA →的长度相等，方向相反； ②AB →＋BA →＝0；③两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；④AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线． 其中不正确的命题的个数是( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．设a ，b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.5．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示)考点一 平面向量的基本概念(基础型考点——自主练透)[方法链接](1)准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法． (2)几个重要结论①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．[题组集训]1．给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．②③④ 2．下列命题中正确的是( )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行 考点二 向量的线性运算(重点型考点——师生共研)【例1】 (1)(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →(2)如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( ) A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b【名师说“法”】 向量线性运算的解题策略：运算．(2)两个结论：①P 为线段AB 的中点⇔OP →＝12(OA →＋OB →)．②G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0.跟踪训练 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →等于( )A. 12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → (2)(2016·郑州模拟)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5考点三 共线向量定理及应用(深化型考点——全面发掘)[一题多变]【例2】 设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，AF →＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．[发散1] 在本例条件下，试确定实数k ，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线．[发散2] 在本例条件下，如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线．[类题通法](1)共线向量定理及其应用：①可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值；②若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论是解决求参数问题的重要依据． (2)若AB →＝λAC →，则A 、B 、C 三点共线．(3)若PC →＝λPC →＋μPB →，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.易错警示6 向量共线与其方向关系不清致误典例 (2016·郑州模拟)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________． 易错分析 ]解答本题时，由于对两个向量共线、同向、反向的概念理解不清，混淆它们之间的关系，导致错解：认为有两解．提醒：]两个向量共线，是指两个向量的方向相同或相反，也称它们为平行向量，因此共线包含两种情况：同向共线或反向共线．在求解相关问题时要注意区分三者．一般地，若a ＝λb ，那么a 与b 共线；当λ＞0时，a 与b 同向；当λ＜0时，a 与b 反向．即时突破 设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直[课堂小结]【方法与技巧】1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →，则A 、B 、C 三点共线． 【失误与防范】1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误． 课时活页作业(二十四)[基础训练组]1．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → 2．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．|a |＝|b |且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b3．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向 4．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D5．(2016·福州质检)在△ABC 中，AD →＝2 DC →，BA →＝a ，BD →＝b ，BC →＝c ，则下列等式成立的是( )A ．c ＝2b －aB ．c ＝2a －bC ．c ＝3a 2－b 2D ．c ＝3b 2－a26．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________.(用e 1，e 2表示)7．已知D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE→＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确命题的序号为________．8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.9．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.10．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线． (2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值．(3)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．[能力提升组]11．(2016·山师大附中模拟)已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部 12．(2016·“江南十校”联考)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为( )A ．2 3B ．33C ．4 3D ．5 313．(2016·大连双基测试)设O 在△ABC 的内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0→，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3 B.53 C ．2 D.3214．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________． 15．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．第2节 平面向量基本定理及坐标表示◆考纲·了然于胸◆1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．[要点梳理]1．平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式．质疑探究：已知两个不共线的向量e 1，e 2为平面内所有向量的一组基底，可以表示出平面向量a ，b ，那么一定能用a ，b 作为平面内所有向量的一组基底吗？为什么？提示：]不一定，用不共线向量e 1，e 2表示的向量a ，b 可能共线，也可能不共线，当a 与b 共线时不能，如a ＝e 1＋32e 2，b ＝2e 1＋3e 2. 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0→.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题查验]1．下面结论正确的个数为( )(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC .(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(5)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) A ．0 B ．1 C ．4 D ．52．(2015·新课标卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)3．(2016·宁德质检)设向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，y )，若a ∥b ，则y 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－124．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为________．5．e 1，e 2是不共线向量，且a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，若b ，c 为一组基底，则a ＝________.考点一 平面向量基本定理的应用(基础型考点——自主练透)[方法链接](1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[题组集训]1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 12．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 3．已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则1x ＋1y 的值为________．考点二 向量坐标的基本运算(重点型考点——师生共研)[方法链接]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．[题组集训]1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．(2016·昆明一中摸底)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)3．已知平行四边形的三个顶点分别是A (4,2)，B (5,7)，C (－3,4)，则第四个顶点D 的坐标是________． 考点三 平面向量共线的坐标表示(深化型考点——全面发掘)[一题多变]【例】 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k . [发散1] 在本例条件下，若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . [发散2] 在本例条件下，若m a ＋n b 与a －2b 共线，求mn的值．[发散3] 若本例条件变为：已知A (3,2)，B (－1,2)，C (4,1)，判断A ，B ，C 三点能否共线．[类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②. 2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．易错警示7 忽视平面向量基本定理的使用条件致误典例 已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，那么t 为何值时，C ，D ，E 三点在一条直线上？易错分析 ]本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a ，b 共线时，t 可为任意实数这个解．防范措施 ]平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石，在解题中有至关重要的作用，在使用时一定要注意两个基向量不共线这个条件．[课堂小结]【方法与技巧】1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是a ＝λb ，这与x 1y 2－x 2y 1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．(2)三点共线的判断方法：判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定． 【失误与防范】1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.课时活页作业(二十五)[基础训练组]1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b2．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b3．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)4．(2015·江苏五市联考)已知向量a ＝(8，12x )，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为( )A ．4B ．8C ．0D ．25．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)6．(2016·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．7．(2015·高考新课标卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.8．△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p ∥q ，则角C ＝________. 9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求(1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 10．(2016·莱芜一模)如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分为2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b →.(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．[能力提升组]11．非零不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝012．(2016·朝阳一模)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1 13．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(0，13)C ．(－12，0)D ．(－13，0)14．(2016·成都市调研)设G 为△ABC 的重心，若△ABC 所在平面内一点P 满足P A →＋2BP →＋2CP →＝0→，则|AP →||AG →|的值等于________．15．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．第3节 平面向量的数量积及应用◆考纲·了然于胸◆1．理解平面向量数量积的含义及物理意义； 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系．[要点梳理]1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，如图所示，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角，也可记作〈a ，b 〉＝θ.(2)范围：向量夹角θ的范围是[0，π]，a 与b 同向时，夹角θ＝0；a 与b 反向时，夹角θ＝π. (3)垂直关系：如果非零向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2．平面向量的数量积(1)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则向量a 与b 的数量积是数量|a ||b |cos θ，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)向量的投影：设θ为a 与b 的夹角，则向量a 在b 方向上的投影是|a |cos θ；向量b 在a 方向上的投影是|b |cos θ. (3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 3．平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a 、b 的夹角.4已知向量a 、b 、c 和实数λ，则：(1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；(3)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .质疑探究：对于非零向量a 、b 、c .(1)若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b 吗？(2)(a ·b )c ＝a (b ·c )恒成立吗？提示：](1)不一定有a ＝b ，因为a ·c ＝b ·c ⇔c ·(a －b )＝0，即c 与a －b 垂直，但不一定有a ＝b .因此向量数量积不满足消去律．(2)因为(a ·b )c 与向量c 共线，(b ·c )a 与向量a 共线．所以(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，即向量的数量积不满足结合律． 5．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题．6．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F ·s ＝|F ||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．[小题查验]1．下面结论正确的个数有( )(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量． (3)由a ·b ＝0可得a ＝0→或b ＝0→.(4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．(5)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．A ．1B ．2C ．3D ．52．(2015·高考山东卷)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 23．已知|a |＝4，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，则b 在a 方向上的投影为( )A ．2 B.32 C ．－2 D ．－324．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.5．已知向量a 、b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．考点一 平面向量的数量积的运算(基础型考点——自主练透)[方法链接]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||ba ，b ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. [提醒] ](1)在向量数量积的运算中，若a ·b ＝a ·c (a ≠0→)，则不一定得到b ＝c .(2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )．[题组集训]1．(2016·南昌市模拟)已知向量e 1＝(cos π4，sin π3)，e 2＝(2sin π4，4cos π3)，则e 1·e 2＝________.2．(2016·昆明市调研)已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，则向量a －b 在向量a ＋b 方向上的投影是________．3．(2016·石家庄市质检)在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AE →·AF →的最大值为________．考点二 平面向量数量积的性质(高频型考点——多角探明)[考情聚焦]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直． 角度一 平面向量的模1．已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 中点，则|AD →|等于( )A ．2 B ．4 C ．6 D ．82．(2014·北京高考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0→(λ∈R )，则|λ|＝________. 角度二 平面向量的夹角3．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π64．(2014·江西高考)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________. 角度三 平面向量的垂直5．(2014·重庆高考)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.1526．在直角三角形ABC 中，已知AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，则k 的值为________．[通关锦囊]平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]． (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a·a .②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.[题组集训]1．(2016·石家庄质检)已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝( )A ．3 2B ．2 2 C. 2 D ．12．(2016·武汉调研)已知向量a ，b ，满足|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A.π2B.2π3C.3π4D.5π6 考点三 数量积的综合应用(重点型考点——师生共研)【例】 (1)已知向量a ，b 是夹角为60°的两个单位向量，向量a ＋λb (λ∈R )与向量a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．0(2)(2016·郑州市质检)在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 【名师说“法”】(1)若a ，b 为非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0；若非零向量a ＝(x 1，y )，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径．(3)向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用来解决几何中的线线垂直问题． 跟踪训练(1)(2016·荆州质检)已知向量a 与b 的夹角是2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.(2)(2016·厦门质检)已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心易错警示8 数量积的正负与向量夹角关系不清典例 (2016·江西省七校联考)已知a ＝(3,2)，b ＝(2，－1)，若向量λa ＋b 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．易错分析 ]此题易忽略λ＝1时，有λ a ＋b 与a ＋λ b 同向．防范措施 向量数量积正负与向量夹角是钝角、锐角不等价，如：m ·n ＞0时，其〈m ，n 〉可为锐角，也可为0，m ·n ＜0，其〈m ，n 〉可为钝角，也可为π.此类题要考虑m 与n 共线情况．[课堂小结]【方法与技巧】1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．4．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．5．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．6．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题． 【失误与防范】1．(1)0与实数0的区别：0a ＝0→≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0→；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．2．a ·b ＝0不能推出a ＝0→或b ＝0→，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．a ·b ＝a ·c (a ≠0→)不能推出b ＝c ，即消去律不成立． 4．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．5．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a ，b 夹角为锐角和a ·b >0不等价． 课时活页作业(二十六)[基础训练组]1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于( )A ．－1B ．－12 C.12D ．12．(2015·高考福建卷)已知非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π 3．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．104．(2016·西安质检)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．105．△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →在CB →方向上的投影为( )A ．1B ．2 C. 3 D ．36．(2014·四川高考)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. 7．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD→|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．8．(2015·高考天津卷)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________．9．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.(1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2)．(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k ＞4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.[能力提升组]11．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)12．(2016·昆明质检)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD →＝2DA →，那么CD →·CA →＝( )A ．3B ．4C ．5D ．613．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的取值范围是( ) A ．[12，2] B ．[0，32] C ．[12，32] D ．[0,1]14．质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．15．(2016·西城二模)在平面直角坐标系xOy 中，点A (cos θ，2sin θ)，B (sin θ，0)，其中θ∈R .(1)当θ＝2π3时，求向量AB →的坐标；(2)当θ∈[0，π2]时，求|AB →|的最大值．。

数学必修4平面向量复习一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。

与非零向量a共线的单位向量0a a ar u u r r3. 平行向量：若非零向量,a b rr 方向相同或相反，则//a b r r ；规定零向量与任一向量平行 4、向量相等：b a 模相等，方向相同；相反向量：b a模相等，方向相反5、两个非零向量a 、b 的夹角：做OA =a ；OB =b ；AOB 叫做a 与b的夹角。

6、坐标表示：i 、j分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，若 ay x ，则 y x ,叫做的坐标。

7.向量a 在方向上的投影：设 为a 、的夹角，则cos a r 为a在方向上的投影二、基本运算：三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若1e 与2e 不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数1 、2 ；使得 a2211e e 。

2、向量的模：a＝＝22yx ；非零向量a与b 的夹角：cos 222221212121y x y x y y x x3、向量平行：a ∥b b a 1221y x y x ；向量垂直：a⊥b0 b a 02121 y y x x四、基础训练（132 ，且4 b a ，则向量b r 在向量a r上的投影为（2）已知A （3，y ），B （5 ，2），C （6，9 ）三点共线，则y =_________.（3）非零向量a r 和b r 满足：||||||a b a b r r r r ，则a r 与a b r r的夹角等于 . 五、典例讲解.例1. 已知(1,2)AB a u u u r r ，(3,2)BC b u u u r r ，(6,4)CD u u u r（1）证明：,,A B D 三点共线.（2）k 为何值时，① 向量ka b r r 与3a b r r 平行 ② 向量ka b r r 与3a b r r垂直例2、平面内有向量OA OB OP u u u r u u u r u u u r（1，7），（5，1），（2，1），点Q 为直线OP 上一动点，1）求QA QB •u u u r u u u r取最小值时，点Q 的坐标 2）当点Q 满足1）的条件和结论时，求cos AQB 的值。

第54讲空间向量及其应用知识梳理知识点一：空间向量及其加减运算（1）空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量 a 也可以记作 AB ，其模记为 a 或AB ．（2）零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0 ．当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0=AB ．模为1的向量称为单位向量．（3）相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．与向量 a 长度相等而方向相反的向量，称为 a 的相反向量，记为-a ．（4）空间向量的加法和减法运算①=+=+ OC OA OB a b ，=-=-BA OA OB a b ．如图所示．②空间向量的加法运算满足交换律及结合律+=+ a b b a ，()()++=++ a b c a b c知识点二：空间向量的数乘运算（1）数乘运算实数λ与空间向量 a 的乘积 a λ称为向量的数乘运算．当0>λ时， a λ与向量a 方向相同；当0<λ时，向量 a λ与向量 a 方向相反． a λ的长度是a 的长度的λ倍．（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()+=+ a b a b λλλ，()()= a a λμλμ．（3）共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作// a b ．（4）共线向量定理对空间中任意两个向量 a ， b ()0≠ b ，// a b 的充要条件是存在实数λ，使=a b λ．（5）直线的方向向量如图8-153所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线．对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使=+ OP OA ta ①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量，在l 上取= AB a ，则式①可化为()()1=+=+-=-+OP OA t AB OA t OB OA t OA tOB ②①和②都称为空间直线的向量表达式，当12=t ，即点P 是线段AB 的中点时，()12=+OP OA OB ，此式叫做线段AB 的中点公式．（6）共面向量如图8-154所示，已知平面α与向量 a ，作=OA a ，如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，则说明向量a 平行于平面α．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．AaaαO（7）共面向量定理如果两个向量 a ， b 不共线，那么向量p 与向量 a ， b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ，使=+p xa yb ．推论：①空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(),x y ，使=+ AP xAB y AC ；或对空间任意一点O ，有-=+OP OA xAB y AC ，该式称为空间平面ABC的向量表达式．②已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式=++OP xOA yOB zOC （其中1++=x y z ）的点P 与点A ，B ，C 共面；反之也成立．知识点三：空间向量的数量积运算（1）两向量夹角已知两个非零向量 a ， b ，在空间任取一点O ，作= OA a ，=OB b ，则∠AOB 叫做向量 a ， b 的夹角，记作, a b ，通常规定0,≤≤ a b π，如果,2= a b π，那么向量 a ， b 互相垂直，记作⊥a b ．（2）数量积定义已知两个非零向量 a ， b ，则cos ,a b a b 叫做 a ， b 的数量积，记作⋅ a b ，即cos ,⋅= a b a b a b ．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2⋅= a a a ．（3）空间向量的数量积满足的运算律：()()⋅=⋅a b a b λλ，⋅=⋅ a b b a （交换律）；()⋅+=⋅+⋅a b c a b a c （分配律）．知识点四：空间向量的坐标运算及应用（1）设()123,,= a a a a ，()123,,= b b b b ，则()112233,,+=+++a b a b a b a b ；()112233,,-=---a b a b a b a b ；()123,,=a a a a λλλλ；112233⋅=++a b a b a b a b ；()112233//0,,≠⇒===a b b a b a b a b λλλ；1122330⊥⇒++=a b a b a b a b ．（2）设()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则()212121,,=-=---AB OB OA x x y y z z ．这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．①已知()123,,= a a a a ，()123,,=b b b b，则 a== b 112233⋅=++a b a b a b a b；cos ,=a b ②已知()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则=AB ，或者(),=d A B AB ．其中(),d A B 表示A 与B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．（4）向量 a 在向量 b 上的投影为cos ,⋅=a ba ab b．知识点五：法向量的求解与简单应用（1）平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作⊥ n α，如果⊥ n α，那么向量n 叫做平面α的法向量．几点注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量n 是平面的法向量，向量 m 是与平面平行或在平面内，则有0⋅=m n ．第一步：写出平面内两个不平行的向()()111222，，，，，==a x y zb x y z ；第二步：那么平面法向量()，，= n x y z ，满足1112220000⎧++=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩xx yy zz n a xx yy zz n b ．（2）判定直线、平面间的位置关系①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a ，b 的方向向量分别为 a ，b ．若 a ∥ b ，即=a b λ，则∥a b ；若⊥a b ，即0⋅= a b ，则⊥a b ．②直线与平面的位置关系：直线l 的方向向量为 a ，平面α的法向量为n ，且⊥l α．若 a ∥n ，即= a n λ，则⊥l α；若⊥ a n ，即0⋅= a n ，则∥a α．（3）平面与平面的位置关系平面α的法向量为1 n ，平面β的法向量为2n ．若1 n ∥2 n ，即12= n n λ，则∥αβ；若1 n ⊥2 n ，即120⋅=n n ，则α⊥β．知识点六：空间角公式．（1）异面直线所成角公式：设 a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅==a b a b a bθ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线， a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅==a n a n a nθ．（3）二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,= n n θ或12,-n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos ⋅= n n n n θ．知识点七：空间中的距离求解空间中的距离（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||⋅=⋅= n AB n d AB n n 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（2）点到平面的距离A 为平面α外一点（如图），n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH．|n ||n |||||sin |||cos ,|=||n n ⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅AB AB AH AB AB AB n AB AB θ||||⋅=AB n d n 【解题方法总结】用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单．用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算．必考题型全归纳题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算例1．（2024·全国·高三专题练习）下列命题中是假命题的是（）A ．任意向量与它的相反向量不相等B ．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C ．如果0a = ，则0a =D ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同例2．（2024·全国·高三对口高考）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若AB a=，AD b = ，1AA c = ，则BM = （）A ．1122a b c-+ B ．1122a b c++C ．1122a b c --+D ．1122-++ a b c 例3．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）在三棱锥P -ABC 中，点O 为△ABC的重心，点D ，E ，F 分别为侧棱PA ，PB ，PC 的中点，若a AF = ，b CE =，c BD = ，则OP =（）A ．111333a b c ++ B ．111333a b c ---C ．212333a b c ---D ．222333a b c ++变式1．（2024·高三课时练习）如图.空间四边形OABC 中，OA a,OB b,OC c ===，点M在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN = （）A ．121232a b c-+ B ．221332a b c+-C ．111222a b c+- D ．211322a b c-++ 变式2．（2024·湖南长沙·高三校联考期中）如图，M 在四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，且13MN OM =，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，则下列向量与AN 相等的向量是（）A ．1133a b c-++ B ．1133a b c++C ．1166a b c-++ D ．1166a b c++ 变式3．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四面体O ABC -中，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且12OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(,,)x y z 为（）A ．111(,,)222B ．222(,,333C ．111(,,333D ．222(,,)999变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知在空间单位正交基底下，{},,a b c 是空间的一组单位正交基底，{},,a b a b c +- 是空间的另一组基底.若向量p在基底{},,a b c 下的坐标为()4,2,3，则向量p在基底{},,a b a b c +- 下的坐标为（）A ．()4,0,3B ．()1,2,3C ．()3,1,3D ．()2,1,3【解题方法总结】空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则．题型二：空间共线向量定理的应用例4．（2024·全国·高三专题练习）若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP mOA nOB =+，其中m ＋n ＝1，则（）A ．P ∈ABB ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对例5．（2024·全国·高三专题练习）已知()2,3,1a =- ，则下列向量中与a平行的是（）A ．()1,1,1B ．()4,6,2--C ．()2,3,1--D ．()2,3,1--例6．（2024·全国·高三专题练习）向量a ，b分别是直线1l ，2l 的方向向量，且()1,3,5a = ，(),,2b x y =，若12l l ∥，则（）A ．15x =，35y =B ．3x =，15y =C ．25x =，65y =D ．32x =，152y =变式5．（2024·全国·高三专题练习）若点(2,5,1)A --，(1,4,2)B ---，(3,3,)C m n +-在同一条直线上，则m n -=（）A ．21B ．4C ．-4D ．10变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知(2,1,3)a x = ，(1,3,9)b = ，如果a 与b为共线向量，则x =（）A ．1B ．12C ．13D ．16变式7．（2024·浙江·高三专题练习）若(113)A m n +-，，、(22)B m n m n -，，、(339)C m n +-，，三点共线，则m n +=（）．A ．0B ．1C ．2D ．3【解题方法总结】空间共线向量定理：()//0≠⇔=a b b a b λ．利用此定理可解决立体几何中的平行问题．题型三：空间向量的数量积运算例7．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知向量()1,1,1a =，()1,0,2b =- ，则下列正确的是（）A ．()0,1,3a b += B ．a =C ．2a b ×=D ．π,4a b 〈〉=例8．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是60︒，下列说法中不正确的是（）A ．1AC =B ．1AC BD⊥C ．向量1B C 与1AA夹角是60︒D ．向量1BD 与AC 例9．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）四面体ABCD 中，AB BD ⊥，CD BD ⊥，3AB =，2BD =，4CD =，平面ABD 与平面BCD 的夹角为π3，则AC 的值可能为（）A B C D变式8．（多选题）（2024·校考模拟预测）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知11AB AD AA ===，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，则（）A ．直线1AC 与BD 所成的角为90︒B ．线段1AC C ．直线1AC 与1BB 所成的角为90︒D ．直线1AC 与平面ABCD 变式9．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）空间直角坐标系中，已知()0,0,0O ，()1,2,1OA =- ，()1,2,1OB =-- ，()2,3,1OC =-，则（）A ．2AB = B ．ABC 是等腰直角三角形C ．与OA 平行的单位向量的坐标为,636⎫-⎪⎪⎝⎭或,636⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．OA 在OB 方向上的投影向量的坐标为242,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭变式10．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知空间向量()2,1,3a =-，()4,2,b x =- ，下列说法正确的是（）A ．若a b ⊥，则103x =B ．若()32,1,10a b +=-，则1x =C ．若a 在b上的投影向量为13b ，则4x =D ．若a 与b夹角为锐角，则10,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭变式11．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AD BD AA ===，AD BD ⊥，145A AB ︒∠=，160A AD ︒∠=，则线段1BD 的长为.变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知空间向量()1,1,0a = ，()1,0,2b =- ，则a 在b方向上的投影向量为.变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知MN 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内切球的一条直径，则AM AN ⋅=．变式14．（2024·全国·高三对口高考）已知向量()()1,2,3,2,4,6,a b c ==---=，若()7a b c +⋅= ，则,a c 〈〉=．变式15．（2024·上海·高三专题练习）已知空间向量(1,2,3)a = ，(2,2,0)b =- ，(1,1,)c λ=，若(2)c a b ⊥+，则λ=．变式16．（2024·上海·高三专题练习）已知向量()0,1,0a = ，向量()1,1,0b = ，则a 与b的夹角的大小为.【解题方法总结】121212cos ,⋅==++a b a b a b x x y y z z ；求模长时，可根据= a 求空间向量夹角时，可先求其余弦值cos ,⋅=a b a b a b．要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即0⋅=⇔⊥a b a b ．, a b 为锐角0⇒⋅> a b ；,a b 为钝角0⇒⋅< a b ．由此，通常通过计算⋅ a b 的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角．题型四：证明三点共线例10．（2024·全国·高三专题练习）在四面体OABC 中，点M ，N 分别为OA 、BC 的中点，若13OG OA xOB yOC =++，且G 、M 、N 三点共线，则x y +=．例11．（2024·全国·高三专题练习）已知点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ），若A ，B ，C 三点共线，则λ=．例12．（2024·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12C C EC = ，13AC FC = ．(1)求证：A 、F 、E 三点共线；(2)若点G 是平行四边形11B BCC 的中心，求证：D 、F 、G 三点共线．变式17．（2024·全国·高三专题练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，N 在AC 上，且:2:1AN NC =，E 为BM 的中点.求证：1A ，E ，N 三点共线.【解题方法总结】先构造共起点的向量 AB ，AC ，然后证明存在非零实数λ，使得= AB AC λ．题型五：证明多点共面的方法例13．（2024·全国·高三专题练习）下面关于空间向量的说法正确的是（）A ．若向量,a b 平行，则,a b所在直线平行B ．若向量,a b 所在直线是异面直线，则,a b不共面C ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则向量AB，CD 不共面D ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则向量AB，AC ，AD 不共面例14．（2024·江苏常州·高三校考阶段练习）以下四组向量在同一平面的是（）A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0例15．（2024·全国·高三对口高考）已知()()()2,1,3,1,4,2,7,5,a b c λ=-=--= ，若,,a b c三向量共面，则λ等于（）A ．627B ．9C ．647D ．657变式18．（2024·江西·校联考二模）在四棱锥P ABCD -中，棱长为2的侧棱PD 垂直底面边长为2的正方形ABCD ，M 为棱PD 的中点，过直线BM 的平面α分别与侧棱PA 、PC 相交于点E 、F ，当PE PF =时，截面MEBF 的面积为（）A ．B ．2C ．D ．3变式19．（2024·全国·高三专题练习）O 为空间任意一点，若3148OP OA OB OC t =++ ，若,,,A B C P 四点共面，则t =（）A ．1B ．12C ．18D ．14变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若54BD PA PB PC λ=-+，则λ=（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-变式21．（2024·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）如图所示的木质正四棱锥模型P ABCD -，过点A 作一个平面分别交,,PB PC PD 于点E ，F ，G ，若31,52PE PF PB PC ==，则PGPD的值为（）A ．14B ．23C ．34D ．35变式22．（2024·甘肃平凉·高三统考期中）对于空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ，有如下关系：111632OP OA OB OC =++，则（）A ．,,,O ABC 四点必共面B ．,,,P A B C 四点必共面C ．,,,O P B C 四点必共面D ．,,,,O P A B C 五点必共面变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OM OA OB OC=++B ．111333OM OA OB OC=++C ．1123OM OA OB OC =++ D ．2OM OA OB OC=-- 变式24．（2024·全国·高三专题练习）如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为2，E ，F 分别为PD ，PB 的中点．(1)若点M 是线段PC 上的点，且13PM PC =，判断点M 是否在平面AEF 内，并证明你的结论；(2)求直线PB 与平面AEF 所成角的正弦值．变式25．（2024·全国·高三专题练习）如图，在几何体ABCDE 中， ABC ， BCD ， CDE 均为边长为2的等边三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，平面DCE ⊥平面BCD ．求证：A ，B ，D ，E 四点共面；变式26．（2024·全国·高三专题练习）如图，四边形ABEF 为正方形，若平面ABCD ⊥平面ABEF ，AD BC ∥，AD DC ⊥，22AD DC BC ==.(1)求二面角A －CF －D 的余弦值；(2)判断点D 与平面CEF 的位置关系，并说明理由.变式27．（2024·全国·高三专题练习）如图，在边长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q ，R 分别在棱AB ，11B C ，1D D 上，且111AP B Q D R ===.（1）求点D 到平面PQR 的距离；（2）若平面PQR 与线段1AC 的交点为N ，求1ANAC 的值.变式28．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图四棱锥,90,P ABCD ABC AD BC ∠-=∥ ，且122AD AB BC ===，平面PCD ⊥平面ABCD ，且PDC △是以DPC ∠为直角的等腰直角三角形，其中E 为棱PC 的中点，点F 在棱PD 上，且2PF FD =.(1)求证：,,,A B E F 四点共面；【解题方法总结】要证明多点（如A ，B ，C ，D ）共面，可使用以下方法解题．先作出从同一点出发的三个向量（如 AB ， AC ，AD ），然后证明存在两个实数,x y ，使得=+ AD x AB y AC ．题型六：证明直线和直线平行例16．（2024·高二课时练习）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，E 为CP 的中点，N 为DE 的中点，1,1,24DM DB DA DP CD ====，求证：//MN AP ．例17．（2024·高二课时练习）已知棱长为1的正方体1111-OABC O A B C -在空间直角坐标系中的位置如图所示，,,,D E F G 分别为棱1111,,O A A B BC OC ,的中点，求证：//DE GF .例18．（2024·高二课时练习）如图，四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，求证：//CE MN .变式29．（2024·全国·高三专题练习）在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形．//AB CD ，AD DC ⊥，且1AB =，2AD DC DP ===，120PDC ∠= ．若M 是棱PA 的中点，则对于棱BC 上是否存在一点F ，使得MF 与PC 平行．【解题方法总结】将证线线平行转化为证两向量共线．设,a b 是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为, a b ，则()//,0⇔=∈≠a b a b R λλλ．题型七：证明直线和平面平行例19．（2024·全国·高三专题练习）在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体11111ABCDE A B C D E -，AB AE ⊥，AE BC ∥，AB ED ∥，1AA ⊥底面ABCDE ，四边形1111D C B A 是边长为2的正方形且平行于底面，11AB A B ∥，1D E ，1B B 的中点分别为F ，G ，22AB AE DE BC ===4=，11AA =．(1)证明：FG ∥平面1C CD ；例20．（2024·广东潮州·高三校考阶段练习）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB //平面AEC例21．（2024·天津滨海新·高三校考期中）如图，//AD BC 且2AD BC =，AD CD ⊥，//EG AD 且EG AD =，//CD FG 且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===.(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；变式30．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD MN ⊥，2AB =，4AD AP ==，M ，N 分别是BC ，PD 的中点．(1)求证：//MN 平面PAB ；变式31．（2024·陕西汉中·校联考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，2PA AB ==.(1)求证：PB //平面AEC ；变式32．（2024·全国·高三对口高考）如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB CD ，60DAB ∠=︒，FC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，CB CD CF ==.(1)求二面角D BF C --的余弦值；(2)在线段AB （含端点）上，是否存在一点P ，使得FP ∥平面AED .若存在，求出AP AB的值；若不存在，请说明理由.【解题方法总结】（1）利用共面向量定理．设, a b 为平面α内不共线的两个向量，证明存在两个实数,x y ，使得=+ l xa yb ，则//l α．（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行．（3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）．题型八：证明平面与平面平行例22．（2024·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱1111ABCD A B C D -的底面边长1，侧棱长4，1AA 中点为E ，1CC 中点为F ．求证：平面//BDE 平面11B D F .例23．（2024·高二课时练习）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，12AA =，F 是棱AB 的中点．求证：平面11//AA D D 平面1FCC .例24．（2024·高二课时练习）如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点，求证：平面EFG ∥平面PBC ．变式33．（2024·高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是11111,,CC B C C D 的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面//MNP 平面1A BD .【解题方法总结】（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行．（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）．题型九：证明直线与直线垂直例25．（2024·山西太原·高二统考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1114,5,60AB AD AA DAB DAA BAA ∠∠∠====== .(1)求1AC 的长；(2)求证：1AC BD ⊥.例26．（2024·北京海淀·高二校考期中）已知三棱锥-P ABC （如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 的正方形，ABE 和BCF △均为正三角形.在三棱锥-P ABC 中：(1)求点A 到平面BCP 的距离；(2)若点M 在棱PC 上，满足12,,33CM CP λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BN BP 的取值范围.例27．（2024·全国·高三专题练习）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为正方形，11π3A AB A AD ∠=∠=，点E 为1BB 的中点，点F 为1CC 的中点，动点P 在平面ABCD 内．(1)若O 为AC 中点，求证：1AO AO ⊥；(2)若//FP 平面1D AE ，求线段CP 长度的最小值．变式34．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）斜三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为2，160A AB ∠=︒，点1A 在下底面ABC 的投影为AB 的中点O ．(1)在棱1BB （含端点）上是否存在一点D 使11A D AC ⊥？若存在，求出BD 的长；若不存在，请说明理由；(1)在棱1BB （含端点）上是否存在一点D 使11A D AC ⊥？若存在，求出BD 的长；若不存在，请说明理由；变式35．（2024·贵州遵义·统考三模）如图，棱台ABCD A B C D -''''中，AA BB CC DD ''''===ABCD 是边长为4的正方形，底面A B C D ''''是边长为2的正方形，连接AC '，BD ，DC '.(1)证明：AC BD '⊥；变式36．（2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱11ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，14BC AC CC ===，D 为1AB 的中点，1CB 交1BC 于点E ．(1)证明：11CB C D ⊥；变式37．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，AB BC =，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的动点.11BF A B ⊥.(1)证明：BF DE ⊥；(1)证明：EF PC ⊥.【解题方法总结】设直线12,l l 的方向向量为, a b ，则⊥ a b 0⇔⋅= a b ．这里要特别指出的是，用向量法证明两直线尤其是两异面直线垂直是非常有效的方法．题型十：证明直线与平面垂直例28．（2024·内蒙古乌兰察布·校考三模）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．(1)求证：GF ⊥平面PCB ；例29．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）如图，已知直三棱柱,4,,ABC FGE AC BC AC BC O -==⊥为BC 的中点，D 为侧棱BG 上一点，且14BD BG =，三棱柱ABC FGE -的体积为32．(1)过点O 作OQ DE ⊥，垂足为点Q ，求证：BQ ⊥平面ACQ ；例30．（2024·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= ，2AB AC ==，14AA =，D 为BC 的中点，E 为1CC 上的点，且114CE CC =．(1)求证：BE ⊥平面1ADB ；变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 为正方形，22AB BC ==，E ，F 分别为AC ，1CC 的中点，11BF A B ⊥．(1)证明：BF ⊥平面11A B E ；【解题方法总结】（1）证明直线和平面内的两天相交直线垂直．（2）证明直线和平面内的任一直线垂直．（3）转化为证明直线与平面的法向量共线．题型十一：证明平面和平面垂直例31．（2024·广东深圳·统考模拟预测）在正方体1111ABCD A B C D -中，如图E 、F 分别是1BB ，CD 的中点．(1)求证：平面1AD F ⊥平面ADE ；例32．（2024·全国·高三专题练习）已知在直三棱柱111ABC A B C -中，其中124,,AA AC AB BC F ===为1BB 的中点，点E 是1CC 上靠近1C 的四等分点，1A F 与底面ABC(1)求证：平面AFC ⊥平面1A EF ；例33．（2024·北京丰台·北京丰台二中校考三模）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =.E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且12PF FC =.(1)求证：平面AEF ⊥平面PCD ；变式39．（2024·北京·北京四中校考模拟预测）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别是棱11,AA BB 上的点，1113A E BF AA ==.(1)证明：平面CEF ⊥平面11ACC A ；变式40．（2024·江西新余·高三江西省分宜中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠= ，2AB =，AC BD O = ，PO ⊥底面ABCD ，2PO =，点E 在棱PD 上，且CE PD ⊥.(1)证明：平面PBD ⊥平面ACE ；变式41．（2024·全国·高三专题练习）如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，4BC =，E 是PD 的中点.(1)求证：平面PCD ⊥平面PAD ；变式42．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，侧面PAB 是等边三角形，2,,BC AB AC PB AC =⊥.(1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)设Q 为侧棱PD 上一点，四边形BEQF 是过,B Q 两点的截面，且AC 平面BEQF ，是否存在点Q ，使得平面BEQF ⊥平面PAD ？若存在，求PQ QD的值；若不存在，说明理由.变式43．（2024·江苏·统考三模）如图，三棱锥P －ABC 的底面为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，AB ＝2．D ，E 分别为AC ，BC 的中点，PD ⊥平面ABC ，点M 在线段PE 上．(1)再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD ⊥平面PBC ，并给予证明；(2)在（1）的条件下，求直线BP 与平面MBD 所成的角的正弦值．条件①：PD =条件②：∠PED ＝60°；条件③：PM ＝3ME ：条件④：PE ＝3ME ．【解题方法总结】（1）转化为证明两平面的法向量互相垂直（2）转化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面．题型十二：求两异面直线所成角例34．（2024·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为1，高为3，则异面直线1BD 与AD 所成角的余弦值是.例35．（2024·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱11A D 的中点，G 为棱BC 上的动点（不含端点），记㫒面直线AB 与EG 所成的角为α，则sin α的取值范围是.例36．（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，底面ABC 为正三角形，PA ＝AB ，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为变式44．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠= .点D 、E 、N 分别为棱PA 、PC 、BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.(1)求证：//MN 平面BDE ；(2)已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为21，求线段AH 的长．变式45．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面PAB ，45PAD ∠=︒，2AB =.(1)证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)若E 为PC 的中点，异面直线BE 与PA 所成角为30 ，求四棱锥P ABCD -的体积.变式46．（2024·全国·高三对口高考）如图，图1，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．(1)证明：BC ⊥平面PBD ；(2)证明：//AM 平面PBC ；(3)线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，说明理由．【解题方法总结】设两异面直线a 和b 的方向向量为a 和 b ，利用求角余弦公式可求得a 和 b 的夹角，由于两向量所成角θ的范围是[0,]π，而两异面直线所成角α的范围是02π（，．所以||cos =|cos |=||||⋅ a b a b αθ．题型十三：求直线与平面所成角例37．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考假期作业）如图所示，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，113,3AB AC AA AD AC ====，113CE CC =.(1)求证：1A D BE ⊥；(2)求直线1A D 与平面BDE 所成角的正弦值.例38．（2024·广东河源·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥P ABCD -中，,E F 分别为,PD PB 的中点，连接EF .(1)当G 为PC 上不与点,P C 重合的一点时，证明：//EF 平面BDG ；(2)已知,G Q 分别为,PC AD 的中点，PAD 是边长为2的正三角形，四边形BCDQ 是面积为2的矩形，当CD PQ ⊥时，求PC 与平面BGD 所成角的正弦值.例39．（2024·山西运城·高三校考阶段练习）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，,,,A E B F 四点共面，且ABE 和ABF △均为等腰直角三角形，90BAE AFB ∠=∠= ，平面ABCD ⊥平面AEBF ，2AB =.(1)求证：直线BE 平面ADF ；(2)求平面CBF 与平面BFD 夹角的余弦值；(3)若点P 在直线DE 上，求直线AP 与平面BCF 所成角的最大值.变式47．（2024·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱111ABC A B C -中，1112,2,90,AB AC A A A B A C BAC E =====∠=︒是BC 的中点，F 是线段11AC 上一点.(1)求证：AB EF ⊥；(2)设P 是棱1AA 上的动点（不包括边界），当PBC 的面积最小时，求直线1PC 与平面11AA B B 所成角的正弦值.变式48．（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，2AB AP ==，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是线段,PB PD 的中点，G 是线段PC 上的一点.(1)求证：平面EFG ⊥平面PAC ；(2)若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为13，且G 点不是线段PC 的中点，求三棱锥E ABG -体积.变式49．（2024·福建漳州·统考模拟预测）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PC ⊥平面ABC ，AC =22PC BC ==，E ，F 分别为PA ，PC 的中点，平面BEF 与平面ABC 的交线为BD ，D 在圆O 上.(1)在图中作出交线BD （说明画法，不必证明），并求三棱锥D ACE -的体积；(2)若点M 满足()12BM BD BP λλ=+∈R ，且CM 与平面PBD 所成角的正弦值为5，求λ的值.【解题方法总结】设l 为平面α的斜线， a 为l 的方向向量， n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大。