5.3(3)同角三角比的关系与诱导公式

三角公式一览及记忆口诀

撰文/大罕

一．三角比定义：角的终边上任一点P(x,y)，|OP|=r，则

sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x

二．三角比的符号：一二正，一四余，一三切

三．诱导公式：

奇变偶不变，符号看象限

变与不变：k为奇数，变，k为偶数，不变。

符号：原角（视为锐角）所在象限原函数的符号

四．同角三角比关系：

⑴平方和关系：（倒三角形中，左右两顶点的平方和等于下顶点的平方）

sin2α+cos2α=1,

⑵商的关系：（相邻三顶点中，两边顶点之积等于居中顶点。）

tanαcosα=sinα

⑶倒数关系：（对角线两端之积等于中点数1）

sinαcscα=1,cosαsecα=1,tanαcotα=1

五．和差倍半角公式：

⑴和差角：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 散柯柯散

cos(α+β)=cosαcosβ-cosαcosβ 柯柯散散,符号相反

tan (α+β)=(tanα+cosβ)/(1-tanαtanβ) 坦坦1坦坦

⑵二倍角：

sin2α=2sinαcosα 2散柯

cos2α=cos2α-sin2α 柯方减散方

=2cos2α-1 2柯方减1

=1-2sin2α 1减2散方

变招：

1+cos2α=2cos2α 1加柯，2柯方

1-cos2α=2sin2α 1减柯，2散方

/ 4 ・4

1 —cos a -sin a 化简：-—6 十 1「cos ：「sin -■

2015年寒春班高一英才数学第四讲（ 150206)

诱导公式

、复习与练习

1.同角三角比的三种关系八个关系式.

（1）倒数关系: sin： esc： =1,cos： sec： =1,tan： cot： =1 。

（2）商的关系: , sin a , cosa

tan , cot ： cosa sin a （3）平方关系: 2 2 2 2 2 2

sin 二 “ cos 1,1 tan sec 工,1 cot csc :。

这三种关系，八个公式，称为同角三角比的基本关系。可以用右图表示出来。

复习练习

【题目 1 cos： 1 - cos： “二 、

-■ ，：（勺，二） 1】化简:

Y1—cosa Y1+coso

【题目

(1) 2】已知tan〉=2，求下列各式的值:

sin -cos:

cos： 2sin :

(2) sin2 ：亠sin _::cos：亠3cos2：

(3) sin2 二亠 sin ： cos:-

【题目 4】 2sin： cos：二 一、5，贝y

tan：

【题目 5】 cos- .聖 1,则角二是第

1 tan2 二.1 象限角

1 tan2 【题3】 【题目6】已知sin ：• =2cos :•，求下列各式的值:

2圆心在原点的单位圆上点的坐标为 P（cosasin%）.

【题目7】已知关于x的方程2x -（■■、3-1）x • m = 0的两个根为sin^与cos^且［三［0,二，求:

・2

（1）一巴 2°^ 的值.（2）m的值• （ 3）tan的值•

sin6 -co^ 1—tanO

【题目8】已知tan〉、an^是方程x2 3x ^0的两根，且：•、1"（-一「），那么

2 2

为 ___________ 。

【题目 10】若 sin^ - sin2 -1,贝y cos - cof 二二

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式

最新考纲

考向预测

1.理解同角三角函数的基本关系式sin2x＋cos2x＝1，sin xcos x＝tan x.

2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式α±π2，α±π的正弦、余弦、正切. 命题趋势 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技巧以及基本的运算能力.

核心素养 数学运算

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1．

(2)商数关系：tan x＝sin xcos x其中x≠kπ＋π2，k∈Z.

2．三角函数的诱导公式

组数 一 二 三 四 五 六

角 α＋2kπ

(k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α

正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α

余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α

正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α

常用结论

1．诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．

2．同角三角函数的基本关系式的几种变形

(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

(2)sin α＝tan αcos αα≠π2＋kπ，k∈Z.

(3)sin2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α＋1；

cos2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1.

常见误区

1．同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．

三角函数的概念同角三角函数的基本关系式和诱导公式

三角函数是数学中研究角和三角形的重要分支之一、它是用来描述角的位置、大小和比较角度之间关系的函数。三角函数常用于解决与几何形体、物体运动、电流与电压等相关的问题。在解决这些问题时，我们需要理解三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式。

1.概念

角是以其中一点为顶点，以两条射线为边的图形。三角函数是角的函数。常见的三角函数有正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)和余切函数(cot)。这些三角函数可以表示角度的大小和位置，并且它们在数学中有非常重要的应用。

2.同角三角函数的基本关系式

同角三角函数是指在同一个角中，不同三角函数之间的关系。常见的同角三角函数关系式有：

(1) 正弦函数和余弦函数的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1

这个关系式可以由勾股定理推导得出。在单位圆中，θ角对应的直角三角形的斜边长为1，根据勾股定理可得到上述关系式。

(2) 正切函数和余切函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ，cotθ =

cosθ / sinθ

这个关系式说明，正切函数和余切函数可以分别由正弦函数和余弦函数表示。

(3) 正切函数和余切函数的关系：sinθ = 1 / cscθ，cosθ = 1 /

secθ 这个关系式说明，正弦函数和余弦函数可以分别由余切函数和正切函数表示。

这些基本关系式可以帮助我们在计算过程中简化和转化表达式，使得计算更加方便。

3.诱导公式

诱导公式指的是通过基本关系式可以推导出其他三角函数之间的关系式。常见的诱导公式有：

(1) 余弦函数的诱导公式：cos(A ± B) = cosAcosB - sinAsinB

根据这个公式，可以得到余弦函数的和差公式，通过计算角度之间的和差，可以快速得到余弦函数的结果。

(2) 正弦函数的诱导公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB