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椭圆双曲线离心率问题50题

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离心率问题50题1.椭圆的一个焦点为，且，则椭圆的离心率为A.B. C. D.2.已知椭圆，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于两点，且AB 的中点为，则椭圆的离心率为A.B.C. D.3.已知直线，为双曲线M ：的两条渐近线，若、与圆N ：相切，则双曲线M 离心率的值为A.B. C.D.4.已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，着，则双曲线的离心率为A.B. C. D.5.已知椭圆的右焦点为F ，直线l ：，若l 与双曲线的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且为原点，则双曲线的离心率为A.B. C.2D.6.双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线与圆相切于点A ，与双曲线左支交于点P ，且，则双曲线的离心率为A.B.2C.D.7.如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A 是，在第一象限内的公共点，若，则的离心率是A. B. C.8.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于A. B. C. D.29.已知椭圆的焦点分别为，，其中焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点，则椭圆的离心率为A. B. C. D.10.设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，，则椭圆C的离心率为A. B. C. D.11.已知矩形ABCD中，，若椭圆的焦点是AD，BC的中点，且点A，B，C，D在椭圆上，则该椭圆的离心率为A. B. C. D.12.已知，是椭圆C：的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为A. B. C. D.13.已知直线与椭圆C：交于A，B两点，点F是随圆C的左焦点，若，，则椭圆C的离心率A. B. C. D.14.已知椭圆的左右焦点分别为、，P为椭圆上一点，，若坐标原点O到的距离为，则椭圆离心率为A. B. C. D.15.设、分别是双曲线C ：的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使为原点，且，则双曲线的离心率为A.B. C.D.16.已知椭圆M ：，直线交M 于A ，B 两点，P 为AB的中点，且OP 的斜率为为坐标原点，则椭圆M 的离心率为A.B. C.D.17.双曲线的一个焦点是抛物线的焦点，l 是C 的一条渐近线且与圆相交于两点，若，则双曲线C 的离心率是A.B.C.D.18.已知椭圆C ：，，为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆与A 、B 两点，，，则椭圆的离心率为A.B. C.D.19.已知椭圆C ：的右焦点为F ，设，直线与椭圆C 在第四象限交于点A ，点A 在x 轴上的射影为B ，若，则椭圆C 的离心率为A.B. C.D.20.已知双曲线的左、右焦点分别为、，圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，四边形的周长p 与面积S 满足，则该双曲线的离心率为A.B. C.D.21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点Q 为椭圆上一点．的重心为G ，内心为I ，且，则该椭圆的离心率为22.过椭圆的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若则C 的离心率为A.B.C.D.23.设、分别是椭圆的焦点，过的直线交椭圆于P 、Q两点，且，，则椭圆的离心率为A.B. C.D.24.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P 是C 上一点，且轴，直线与C 的另一个交点为Q ，若，则C 的离心率为A. B. C.D.25.如图，A ，B ，C 分别为椭圆的顶点与焦点，若，则该椭圆的离心率为A.B. C.D.26.已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点A 在椭圆上，，，则椭圆的离心率A.B. C. D.27.已知椭圆C ：的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，若，，，则椭圆C 的离心率为A.B. C. D.28.已知椭圆的左焦点、上顶点、右顶点分别为点A 、、C ，若，则该椭圆的离心率为29.F为椭圆的右焦点，过F作x轴的垂线交椭圆于点P，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，O为坐标原点，若的面积是面积的倍，则该椭圆的离心率是A.或B.或C.或D.或30.已知椭圆的左、右焦点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为A. B. C. D.31.双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是A. B. C. D.32.设双曲线C：的左焦点为F，直线过点F且在第二象限与C的交点为P，O为原点，若，则C的离心率为A.5 B. C. D.33.已知双曲线的一条渐近线被圆截得弦长为其中c为双曲线的半焦距，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.34.已知A，B，C是双曲线上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若且，则该双曲线的离心率是A. B. C.35.设双曲线C：的左、右焦分别是，，过的直线交双曲线C的左支于M，N两点若，且，则双曲线C 的离心率是36.已知双曲线的左、右顶点为A ，B ，点P 为双曲线上异于A ，B 的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为A. B.2 C.D.37.如图，直线l 为双曲线C ：的一条渐近线，，是双曲线C 的左、右焦点，关于直线l 的对称点为，且是以为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点，则双曲线C 的离心率为A.B. C.2D.338.已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M ，若，则该双曲线的离心率为A.2B.3C.D.39.已知椭圆，，，过点P 的直线与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线与椭圆交于C ，D ，且满足，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形．且面积为，则该椭圆的离心率为A.B. C. D.40.点A 、B 为椭圆E ：长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足，若面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为A.B.C. D.41.圆与双曲线的两条渐近线相切于A 、B 两点，若，则C 的离心率为A. B. C.2 D.342.若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为则该双曲线的离心率为A. B. C. D.43.已知点是双曲线的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点P，且点P在抛物线上，则该双曲线的离心率是A. B. C. D.44.已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且为坐标原点，若，则椭圆的离心率为A. B. C. D.45.已知椭圆与直线交于A，B两点焦点，其中c为半焦距，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为A. B. C. D.46.如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为、，，P是y轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为，则椭圆的离心率是A. B. C. D.47.已知椭圆，为其两焦点，过的直线l与椭圆交于A，B两点，与y轴交于C点，若，则椭圆的离心率为A. B. C. D.48.已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，且的三边长，，成等差数列，则C的离心率为A. B. C. D.49.已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，若的面积为，则双曲线的离心率是A. B. C. D.50.双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段，则该双曲线的离心率是A. B. C.2 D.答案和解析1.【答案】C【解析】解：椭圆的一个焦点为，可得又，解得，，所以椭圆的离心率为：．故选：C．利用已知条件列出方程组，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了椭圆的几何意义，考查椭圆与直线的位置关系，考查了弦中点问题，属于中档题．根据直线AB的斜率为，中点为，由点差法计算结果．【解答】解：设因为AB的中点为，所以，即，将A，B代入椭圆方程为：，则得：，，，，平方可得，，，故选A．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和直线和圆相切的条件：，考查运算能力，属于中档题．求出双曲线的渐近线方程，求得圆的圆心为，半径为1，运用直线和圆相切的条件：，化简整理可得，运用a，b，c的关系和离心率公式，计算可得所求值．【解答】解：双曲线的两条渐近线为，即为，由渐近线与圆相切，可得，化为a，由，可得故选B．．4.【答案】B【解析】解：双曲线的两条渐近线方程为，由抛物线和，联立可得，，由抛物线的方程可得，设AF的倾斜角为，斜率为，而，解得负的舍去，设，可得，解得，则．故选：B．求得双曲线的渐近线方程，联立抛物线方程，求得A，B的坐标，以及F的坐标，设AF的倾斜角为，由二倍角的余弦公式和同角的基本关系式，以及直线的斜率公式，双曲线的离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：椭圆的右焦点为F，所以，l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，则和，所以，，所以可得，即，所以离心率，故选：B．利用椭圆方程求出，然后求解，推出a，b关系，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，是基础题．6.【答案】D【解析】解：在中，，，由余弦定理可知，，在中，，，化简可得：，．故选：D．由直线和圆相切的性质，设切点为M，可得，且，取的中点为N，连接，余弦定理，结合双曲线的定义，即可得双曲线的离心率．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查中位线定理和直线和圆相切的性质，考查运算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用椭圆以及双曲线的定义，转化求解椭圆的离心率即可．【解答】解：设椭圆的标准方程为：，右焦点为，由题意，是双曲线与椭圆的公共焦点可知，，由双曲线的定义可知：，，由椭圆的定义可知：，所以，的离心率是．故选C．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，可得，结合，可得椭圆的离心率．【解答】解：椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，，，，故选B．9.【答案】B【解析】解：设两个曲线的交点为P，Q，如图所示，由椭圆及抛物线的对称性可得：P，Q关于x轴对称，由题意可得轴，所以，代入抛物线的方程可得，即，又因为椭圆的焦点与抛物线的焦点重合，所以，即，代入椭圆的方程可得，所以，整理可得，即所以可得，故选：B．由椭圆及抛物线的对称性可得：P，Q，三点共线，由焦点相同可得p，c之间的关系，分别代入椭圆，抛物线的方程可得a，c的关系，进而曲线离心率．本题考查椭圆及抛物线的性质，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：设，，，，，又，，，，的离心率为．故选：D．设，在直角三角形中，依题意可求得与，利用椭圆的定义和离心率的计算公式，即可求得答案．本题考查椭圆的定义和简单性质，利用三角形边角关系求得与及是关键，考查理解与应用能力．11.【答案】D【解析】解：设AD，BC的中点分别为，，由题意可知：矩形ABCD是以，为焦点的椭圆的内接矩形，设，，，则，丨丨，丨丨，由椭圆的定义可知：丨丨丨丨，由椭圆的离心率，该椭圆的离心率，故选：D．由题意可知：设，，，则，丨丨，由勾股定理可知：丨丨，根据椭圆的定义可知丨丨丨丨，根据离心率公式，即可求得椭圆的离心率．本题考查椭圆的定义，考查椭圆离心率公式的求法，考查数形结合思想，属于中档题．12.【答案】C【解析】【分析】设边的中点为Q，连接，中，算出且，根据椭圆的定义得，由此不难算出该椭圆的离心率．本题给出椭圆与以焦距为边的正三角形交于边的中点，求该椭圆的离心率，着重考查了解三角形、椭圆的标准方程和简单性质等知识，属于中档题．【解答】解：由题意，设边的中点为Q，连接，在中，，，中，椭圆的焦距，，，根据椭圆的定义，得，椭圆的离心率为，故选C．13.【答案】B【解析】解：由对称性可得设右焦点，可得四边形为平行四边形，所以，所以，所以，又，得．所以．故选：B．取椭圆的右焦点可得四边形为平行四边形，再由椭圆可得a，c的值，进而求出椭圆的离心率本题考查椭圆的性质，及向量的运算性质，属于中档题．14.【答案】D【解析】解：设，，作，，由题意可得，，，即有，，由，可得，，可得．故选：D．设，，通过椭圆的定义，以及三角形的解法求出直角三角形的边长关系，利用勾股定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．本题考查椭圆的定义和性质，考查三角形的解法，考查化简运算能力，属于中档题．15.【答案】D【解析】解：设，则，，则故选：D．依题意可知判断出，设出，则，进而利用双曲线定义可用t表示出a，根据勾股定理求得t和c的关系，最后可求得双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用．16.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系，中点弦问题，属于中档题把点A、B的坐标代入椭圆方程，相减即点差法得到为定值，找到a、b、c 的关系即可．【解答】解：设，是AB的中点，，又的斜率为，，又直线交M于A，B两点，把A、B代入椭圆方程得：，，两式相减可得：，化简得：，又，，．故选B．17.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质，圆的性质的应用，属于中档题．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线a，b的关系，求出渐近线方程，利用渐近线且与圆相交于A，B两点，，求解双曲线的离心率即可．【解答】解：抛物线的焦点，可得，两条渐近线和圆均关于x轴对称，由对称性，不妨设渐近线与圆相交于A，B两点，，圆心到直线的距离为，圆的半径为a，，解得，所以双曲线的离心率为．故选B．18.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的性质及几何意义由向量的关系可得线段的关系，属于中档题．设，则，由椭圆的定义及勾股定理可得x的值，进而求出，的值，进而求出的余弦值，由半角公式求出sin，进而求出离心率．【解答】解：如图所示：因为2，设，，所以，，因为，所以，解得或舍去，则，，a，，所以可得A为短轴的顶点，在中，，所以，则．故选：B．19.【答案】B【解析】【分析】本题考查求椭圆的离心率，涉及直线与椭圆方程的应用，圆锥曲线中的向量数量积运算问题，属于中档题．由，可得，由直线的斜率可得，解得，代入椭圆C的方程可求出离心率．【解答】解：由题意可得轴，可得，所以，又，所以，所以，代入椭圆C的方程得，所以，故法B20.【答案】C【解析】【分析】本题考查了双曲线的定义及几何性质，属中档题．根据双曲线的定义和矩形的面积公式、离心率公式可得．【解答】解：由题知，，四边形是平行四边形，，联立解得，，又线段为圆的直径，所以由双曲线的对称性可知四边形为矩形，所以，因为，所以，即，解得，由，得，即，即．故选C．21.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程和几何意义，涉及到平面向量的几何应用，是中档题在中，设，由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，因为，故内心I的纵坐标与G相同，最后利用三角形F1PF2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可解得离心率．【解答】解：椭圆的左、右焦点分别为，，设，为的重心，点坐标为．，则，的纵坐标为．又，，．又为的内心，即为内切圆的半径，内心I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形，，即，，椭圆的离心率．故选A．22.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的方程、性质的应用，考查向量的坐标运算，由，设，可得，根据A在椭圆上，得，解得．【解答】解：过椭圆的左焦点的直线过C的上端点，且与椭圆相交于点A，若，设，则，所以，又A在椭圆上，则，解得，则．23.【答案】B【解析】解：由，可得，所以由题意的定义可得：，所以，，在直角三角形中，，即，整理可得：，解得，故选：B．由题意，可得，再由椭圆的定义可得，求出，然后由题意的定义可得的值，在直角三角形中求出a，c的关系，进而求出离心率．考查椭圆的性质，属于中档题．24.【答案】D【解析】解：由题意，可将点P坐标代入椭圆C方程得，解得．如图所示，过Q点作轴，垂足为点E，设，根据题意及图可知，∽，，，，．又．将点Q坐标代入椭圆方程，得．结合，解得，故选：D．本题根据题意可得，然后过Q点作轴，垂足为点E，设，根据两个直角三角形相似可计算出点Q坐标，再将点Q坐标代入椭圆方程，结合，可解出e的值．本题主要考查椭圆基础知识的计算，直线与椭圆的综合问题，几何计算能力，转化思想的应用．本题属中档题．25.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查计算能力，属于基础题．根据题意，可得，即，即可得解．【解答】解：椭圆的左焦点、上顶点、右顶点分别为点A、B、C，，可得：，即：，可得，解得，或舍去．故选A．26.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及椭圆的简单性质，属中档题．由，，将两式相减后得到的长度，再根据椭圆的定义，得出a与c之间的数量关系，进而求得结论解：，，即A点的横坐标与左焦点相同，又在椭圆上，，又，，即，，则，故选C．27.【答案】A【解析】【分析】本题考查了椭圆的几何性质，考查了余弦定理，属于基础题．先用余弦定理求，判断为直角三角形且，根据对称性和椭圆的定义q求a和c，即可求e．【解答】解：在中，，因为，所以为直角三角形且，由椭圆的中心对称性可知O为AB中点，所以，由椭圆的对称性可知点A到右焦点的距离，由椭圆的定义可知，所以，所以，28.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查计算能力，属于基础题．根据题意，可得，即，即可得解．【解答】解：椭圆的左焦点、上顶点、右顶点分别为点A、B、C，，可得：，即：，可得，解得，或舍去．故选A．29.【答案】D【解析】【分析】本题考查了椭圆的几何性质，属于中档题．由，可得，由，，解得，由即可求解．【解答】解：设，则，可得，，的面积是面积的倍，，，，或，或．故选D．30.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．以线段为直径的圆的方程为与直线相切，列出等式即可求出答案．【解答】解：以线段为直径的圆的方程为与直线相切，所以即有，故选D．31.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得，，，，，，且，菱形的边长为，由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D，由面积相等，可得，即为，即有，由，可得，解得，因为，所以，可得．故选C．32.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．由题设知是以FN为斜边的直角三角形，，在中，，可得，，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：如图，设双曲线C：的右焦点为N．直线过点F，，在中，，．，，则，，则C的离心率为，故选A．33.【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆截得弦长为2b，结合勾股定理，推出a，b，c关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，圆的圆心到双曲线的渐近线的距离为，渐近线被圆截得的弦长为2b，，，．故选B．34.【答案】B【解析】解：设双曲线的另一个焦点为E，由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有，令，，，由双曲线的定义有，，在直角三角形EAC中，，代入，化简可得，又得，，在直角三角形EAF中，，即为，可得．故选：B．运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，即有，令，，，在直角三角形EAC中，，可得，，，在直角三角形EAF中，，即可求解．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，同时注意选择题的解法：代入检验，属于难题．35.【答案】D【解析】解：如图所示，取的中点P，则，，又，则，；在中，，在中，，得，化简得，即，解得或；又，离心率．故选：D．根据题意画出图形，结合图形建立关于c、a的关系式，再求离心率的值．本题考查了双曲线的离心率计算问题，也考查了数形结合与运算能力，是中档题．36.【答案】C【解析】解：由题设知，，，设，则，，，在双曲线上，，则，化简得，，又，，则．故选：C．利用斜率公式以及P在双曲线上，列方程组可解得，从而可得离心率．本题考查了双曲线的性质，属中档题．37.【答案】C【解析】【分析】题．先求出点的坐标，再根据是以为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，可得，整理化简即可求出．【解答】解：直线l为双曲线C：的一条渐近线，则直线l为，，是双曲线C的左、右焦点，，，关于直线l的对称点为，设为，，，解得，，，是以为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，，整理可得，即，，故选C．38.【答案】D【解析】【分析】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题．本题首先可以通过题意画出图像并过M点作垂线交于点H，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形的形状并求出高MH的长度，MH的长度即M点纵坐标，然后将M点纵坐标带入圆的方程即可得出M点坐标，最后将M点坐标带入双曲线方程即可得出结果．解：根据题意可画出以上图像，过M点作垂线并交于点H，因为，M在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，，即，，因为圆的半径为b，OM是圆的半径，所以，因为，，，，所以，三角形是直角三角形，因为，所以，，即M点纵坐标为，将M点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，将M点坐标带入双曲线中可得，化简得，，，，故选D．39.【答案】D【解析】本题主要考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，点差法的运用，属于较难题．连结OM，由题意知，解出，可求出直线AB，OM的斜率，再利用点差法可得，进而得，从而求出椭圆的离心率．【解答】解：如图，不妨设两条直线的斜率大于零，连结OM，由题意知解得，或，则，在中，因为，所以，故此时，．设，则两式相减得，即，即，因此离心率，所以．故选D．40.【答案】D【解析】【分析】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．求得定点M的轨迹方程可得，，解得a，b即可．【解答】解：设，，．动点M满足，则，化简得，面积的最大值为8，M轨迹为圆，M到AB距离最大为；M到CD距离最小，面积的最小值为1，，，解得，，椭圆的离心率为．故选D．41.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查直线与圆相交的弦长问题以及双曲线的离心率问题先根据弦长求出，再求离心率即可．【解答】解：如图所示，，所示，故选A42.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线不妨为：，圆的圆心，半径为，双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，，解得：，故选：B．43.【答案】B【解析】解：如图，设抛物线的准线为l，作于Q，设双曲线的右焦点为，．由题意可知为圆的直径，，且，，满足，将代入得，则，即，负值舍去代入，即，再将y代入得，即故选：B．本题考查了双曲线、抛物线与圆的标准方程及其性质，属于较难题．设抛物线的准线为l，作于Q，设双曲线的右焦点为，由题意可知为圆的直径，可得，且，，因此，联立解出可得a，b，c的关系式，由此可解．44.【答案】A【解析】本题考查向量垂直的判断与证明，椭圆的性质及几何意义，离心率的求法，属于中档题．由椭圆的定义及解得，由可得，再根据，即可求解．【解答】解：设焦点坐标，，，，，所以，，由，设线段的中点为M，则则，，则，，可得，解得，则椭圆的离心率为．故选A．45.【答案】A【解析】利用已知条件求出A、B坐标，结合三角形是直角三角形，推出a、b、c关系，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．【解答】解：椭圆与直线交于A，B两点焦点，其中C为半焦距，若是直角三角形，不妨设，，则，解得，即，即，，故．故选：A．46.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．由题意，直角三角形的内切圆半径，结合，可得，从而可求，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意，直角三角形的内切圆半径，即，，，，，，。

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高中数学专题 双曲线中的离心率问题(含答案解析)

高中数学专题 双曲线中的离心率问题(含答案解析)

高中数学专题 双曲线中的离心率问题限时：120 分钟满分：150 分一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b=1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()A.2B.63C.22D.32.若双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C的离心率为()A.2B.233C.223D.4333.已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.2334.如图，双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.22D.235.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+∞C.(1,3]D.1,26.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+27.已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+∞8.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.3二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2a2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是()A.3B.22C.145D.5210.双曲线x 2-y 2a2=1的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为()．A.324B.2C.32D.211.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45，则C 的离心率可能为()A.53B.32C.52D.13312.已知F 1、F 2是双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且AF2=13F2B，则该双曲线的离心率为().A.62B.2C.3D.5三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=22x，则其离心率是.14.已知双曲线方程为C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，左焦点F关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F c,0，直线l:x=c与双曲线C交于A,B两点，与双曲线C的渐近线交于D,E两点，若DE=2AB，则双曲线C的离心率是．16.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ≥3AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．18.已知椭圆C1:x2a21+y2b21=1a1>b1>0与双曲线C2:x2a22-y2b22=1a2>0,b2>0，有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且F1F2=4PF2，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，求e2-e1的取值范围.19.已知双曲线T：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)离心率为e，圆O：x2+y2=R2R>0．(1)若e=2，双曲线T的右焦点为F2,0，求双曲线方程；(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求b2a2的值；(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有∠AOB=π2，求离心率e的取值范围．20.已知点P是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，PF1=(2+3)PF2，∠F1PF2=60°．(1)求双曲线的离心率；(2)设R、r分别是△F1PF2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．21.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C左支上一点，AF2-AF1=2b．(1)求双曲线C的离心率；(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线AD,BD与x轴交点的横坐标分别为x1,x2，且x1x2=1，求双曲线C的方程．22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且k AB⋅k OM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.高中数学专题 双曲线中的离心率问题答案解析限时：120 分钟满分：150 分一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b=1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()A.2B.63C.22D.3【解析】设AF 2 =t ，因为AB ⊥x 轴，则点A 、B 关于x 轴对称，则F 2为线段AB 的中点，因为△ABF 1为等边三角形，则∠AF 1F 2=30°，所以，AF 1 =2AF 2 =2t ，所以，AF 1 -AF 2 =AF 2 =t =2a =2，则AF 1 =2AF 2 =2t =4，所以，2c =F 1F 2 =AF 12-AF 2 2=42-22=23，则c =3，因此，该双曲线C 的离心率为e =ca= 3.故选：D .2.若双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C的离心率为()A.2B.233C.223D.433【解析】双曲线C 的渐近线方程为y =±a b x ，直线y =±ab x 被圆x 2+y -2 2=4所得截得的弦长为23，则圆心0,2 到直线y =±ab x 的距离为d =22-3 2=1，由点到直线的距离公式可得d =21+ab2=1，解得a 2b 2=3，则b 2a2=13，因此，双曲线C 的离心率为e =ca =1+b a2=1+13=233.故选：B .3.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.233【解析】设双曲线的左焦点为F ，连接AF ,BF ,CF ，因为AF ⋅FB =0，所以AF ⊥FB ，因为OA +OB =0，所以OA =OB ，因为OF =OF ，所以四边形AFBF 为矩形，设BF =t (t >0)，则FC =3t ，BF =2a +t ,CF =2a +3t ，在Rt △CBF 中，BC 2+BF 2=CF 2，所以4t 2+2a +t 2=2a +3t 2，化简得t 2-at =0，解得t =a ，在Rt △BFF 中，BF 2+BF 2=FF 2，所以t 2+2a +t 2=4c 2，所以a 2+9a 2=4c 2，所以10a 2=4c 2，得10a =2c ，所以离心率e =c a =102，故选：B4.如图，双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.22D.23【解析】因为F 1Q ⋅F 2Q =0，则QF 1⊥QF 2，所以△F 1F 2Q 是直角三角形，又因为O 是F 1F 2的中点，所以OQ 是直角△F 1F 2Q 斜边中线，因此F 1O =OQ ，而点P 是线段F 1Q 的中点，所以△F 1OQ 是等腰三角形，因此∠F 1OP =∠POQ ，由双曲线渐近线的对称性可知中：∠F 1OP =∠F 2OQ ，于是有：∠F 1OP =∠POQ =∠F 2OQ =π3，因为双曲线渐近线的方程为：y =±b ax ，因此有：ba=tan π3⇒b a =3⇒b 2=3a 2⇒c 2-a 2=3a 2⇒c =2a ⇒e =2，故选：B .5.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+∞C.(1,3]D.1,2【解析】设PF 1与y 轴交于Q 点，连接QF 2，则QF 1=QF 2,∴∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，因为∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，故P 点在双曲线右支上，且∠PF 2Q =∠PQF 2=2∠PF 1F 2，故|PQ |=|PF 2|，而|PF 1|-|PF 2|=2a ，故|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，在Rt △QOF 1中，|QF 1|>|OF 1|，即2a >c ，故e =ca<2，由∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，且三角形内角和为180°，故∠PF 1F 2<180°4=45°，则cos ∠PF 1F 2=|OF 1||QF 1|>cos45°，即c2a>22，即e =c a >2，所以C 的离心率的取值范围为2,2 ，故选：A6.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+2【解析】由于F 1F 2 =3MN ，所以x M =-2c ×13×12=-c 3，则-c32a2+y 2Mb 2=1，解得y M =b 3ac 2-9a 2，由于F 1M ⊥F 2M ，所以2c 3，b 3ac 2-9a 2 ⋅-4c 3，b3a c 2-9a 2 =0，整理得c 4-18a 2c 2+9a 4=0，两边除以a 4得e 4-18e 2+9=0，由于e >1，e 2>1，故解得e =6+ 3.故选：B7.已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+∞【解析】如图，过点F 2作渐近线的垂线，垂足为E ，设|F 1F 2|=2c ，则点F 2到渐近线y =±abx 的距离EF 2 =bca 2+b2=b .由双曲线的定义可得MF 1 -MF 2 =2a ，故MF 1 =MF 2 +2a ，所以MD +MF 1 =|MD |+MF 2 +2a ≥EF 2 +2a =b +2a ，即MD +MF 1 的最小值为2a +b ，因为MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，所以|MD |+MF 1 >F 1F 2 恒成立，即2a +b >2c 恒成立，所以，b >2c -2a ，即b 2>4c 2+4a 2-8ac ，即c 2-a 2>4c 2+4a 2-8ac ，所以，3c 2+5a 2-8ac <0，即3e 2-8e +5<0，解得1<e <53.故选：A .8.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.3【解析】设线段AB 的中点为E ，双曲线的右顶点为D ，左右焦点为F 1,F 2，连接DE ,DB ，因为线段AB 的中点E 在圆O :x 2+y 2=a 2上，所以DE ⊥AB ，所以△ADE ≌△BDE ，所以AD =BD =2a ，因为OB =7OA ，所以OB =7a ，在△ODB 中，由余弦定理得cos ∠ODB =OD2+DB 2-OB 22OD ⋅DB =a 2+4a 2-7a 24a 2=-12，因为∠ODB ∈0,π ，所以∠ODB =2π3，所以∠BDF 2=π3，过B 作BF ⊥x 轴于F ，则BF =3a ,DF =a ，所以B 2a ,3a ，所以4a 2a 2-3a 2b 2=1，得a 2=b 2，所以a 2=c 2-a 2，2a 2=c 2，所以c =2a ，所以离心率e =ca=2，故选：A二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2a2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是()A.3B.22C.145D.52【解析】∵e 1+e 2 2=e 21+e 22+2e 1e 2=a 2+b 2a 2+a 2+b 2b 2+2×a 2+b 2a×a 2+b 2b=2+b 2a 2+a 2b2+2a 4+b 4+2a 2b 2a 2b 2=2+b 2a 2+a 2b 2+2a 2b 2+b 2a 2+2≥2+2+22+2=8，当且仅当b 2a 2=a 2b2即a =b 时取等号，所以e 1+e 2≥22.故选：CD .10.双曲线x 2-y 2a2=1的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为()．A.324B.2C.32D.2【解析】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，设切线方程是y -2=k (x -2)，由x 2-y 2a2=1y -2=k (x -2) 得(a 2-k 2)x 2+4k (k -1)x -4(k -1)2-a 2=0，显然a 2-k 2=0时，所得直线只有一条，不满足题意，所以k ≠±a ，由Δ=0得16k 2(k -1)2+4(a 2-k 2)[4(k -1)2+a 2]=0，整理为3k 2-8k +4+a 2=0，由题意此方程有两不等实根，所以Δ1=64-12(4+a 2)>0，a 2<43，则c 2=1+a 2<73(c 为双曲线的半焦距)，e =c 1=c <213，即1<e <213，k =±a 代入方程3k 2-8k +4+a 2=0，得a =±1，此时e =2，综上，e 的范围是1,2 ∪2,213.故选：AC 11.已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45，则C 的离心率可能为()A.53B.32C.52D.133【解析】当点M ,N 同时在双曲线C 的左支上时，设切点为P ，则OP ⊥MN ，OP =a ,OF 1 =c ,PF 1 =c 2-a 2=b .作F 2Q ∥OP 交MN 于点Q ，则F 2Q ⊥MN ，而O 为F 1F 2的中点，则P 为QF 1的中点，故F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ -QF 1 =8a 3-2b ，所以NF 2 =NF 1 +2a =8a 3-2b +2a =10a 3，则2a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+232=133.当点M ,N 在双曲线的两支上时，仍有F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ +QF 1 =8a 3+2b ，所以NF 2 =NF 1 -2a =8a 3+2b -2a =10a 3，则4a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+432=53，故选：AD12.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2=13F 2B ，则该双曲线的离心率为().A.62B.2C.3D.5【解析】当AF 2 =13F 2B时，设∠F 2OA =α，则∠AOB =2α，设a =1，如图，双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，即tan α=b a ，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=ba ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即有t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=4b ，tan α=b a =b ，tan2α=4ba=4b ，代入得tan2α=2tan α1-tan 2α=2b 1-b 2=4b ，即2=4-4b 2，解得b =22，则e =c a =a 2+b 2=1+12=62，A 正确；当F 2A =13F 2B 时，设∠F 2OA =α，∠AOB =β，设a =1，如图，则∠F 2OB =α+β，∠F 1OB =π-(α+β)，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=b a ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=2b ，tan α=b a =b ，tan β=2ba=2b ，而tan ∠F 1OB =tan [π-(α+β)]=-tan (α+β)=tan α，即tan (α+β)=tan α+tan β1-tan α⋅tan β=-tan α，因此b +2b1-b ⋅2b=-b ，即3=2b 2-1，解得b =2，则e =c a =a 2+b 2=3，C 正确.故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =22x ，则其离心率是.【解析】由题意知ba=22，又因为在双曲线中，c 2=a 2+b 2，所以e 2=c 2a 2=1+b 2a2=32，故e =62(负舍)14.已知双曲线方程为C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左焦点F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.【解析】如图：设F 关于渐近线y =bax 对称的点A 在渐近线y =-b a x 上，FA 的中点B 在渐近线y =bax 上，则∠FOB =∠BOA ，又∠FOB =∠AOx ，所以∠FOB =∠BOA =∠AOx =60°，所以tan60°=ba=3，所以e =c a =a 2+b 2a 2=1+b a2=1+3=2.15.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为Fc ,0 ，直线l :x =c 与双曲线C 交于A ,B 两点，与双曲线C 的渐近线交于D ,E 两点，若DE =2AB ，则双曲线C 的离心率是．【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为：y =±ba x ，∵直线l :x =c ，∴AB 为双曲线的通径，则由x =cx 2a2-y2b 2=1得x =cy =±b 2a，则AB =2b 2a，由x=cy=±bax得x=cy=±bca，则DE =2bca，由DE=2AB得：2bca=4b2a即c=2b，所以a=c2-b2=3b，所以离心率e=ca=23316.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ≥3AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.【解析】依题意可得，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，不妨设双曲线的这条渐近线方程为y=ba x，由y=baxx2+y2=c2，得：x=ay=b或x=-ay=-b，所以Q(a,b),P(-a,-b)，双曲线的左顶点为A，则A(-a,0)，所以AQ=(a+a)2+b2=4a2+b2，AP=(-a+a)2+b2=b，因为AQ≥3AP，所以4a2+b2≥3b，化简得a2≥2b2，所以a2≥2(c2-a2)，所以e2=a2c2≤32，所以e ≤62，又e>1，所以e∈1,62.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．【解析】双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点，∴PF1-PF2=2a,PF1=2a+PF2，∴PF12PF2=2a+PF22PF2=4a2PF2+4a+PF2≥8a，当且仅当4a2PF2=PF2，即PF2=2a时取等号，∴PF1=2a+PF2=4a，∵PF 1 -PF 2 =2a <2c ，PF 1 +PF 2 =6a ≥2c ⇒e =ca≤3，∴e ∈1,3 ，故双曲线的离心率e 的取值范围为：1,3 ..18.已知椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 ，有相同的左、右焦点F 1，F 2，若点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且F 1F 2 =4PF 2 ，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，求e 2-e 1的取值范围.【解析】设PF 1 =m ，PF 2 =n ，F 1F 2 =2c ，由椭圆的定义可得m +n =2a 1，由双曲线的定义可得m -n =2a 1，解得m =a 1+a 2，n =a 1-a 2，由F 1F 2 =4PF 1 ，可得n =12c ，即a 1-a 2=12c ，由e 1=c a 1，e 2=c a 2，可得1e 1-1e 2=12，由0<e 1<1，可得1e 1>1，可得1e 2>12，即1<e 2<2，则e 2-e 1=e 2-2e 22+e 2=e 222+e 2，设2+e 2=t 3<t <4 ，则e 222+e 2=t -2 2t =t +4t-4，由于函数f t =t +4t -4在3，4 上递增，所以f t ∈13，1 ，即e 2-e 1的取值范围为13，1.19.已知双曲线T ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a 2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．【解析】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，则c =2，ca =2，a =1，b 2=c 2-a 2=3，则双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)如图所示，因为圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，则OA=c，∠AOF=45°，则A22c,22c，代入双曲线方程x2a2-y2b2=1，可得b2a2-a2b2=2，令x=b2a2x>0，则x-1x=2，解得x=1+2，即b2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l：y=kx+m与圆O相切，且R=1，则圆心到直线l距离为mk2+1=1，化简得m2=k2+1，①又∠AOB=π2，设A x1,y1,B x2,y2，则k OA⋅k OB=-1，即y1x1⋅y2x2=-1，则k2x1x2+km x1+x2+m2x1x2=-1，②联立y=kx+mx2a2-y2b2=1得b2-a2k2x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0，则x1+x2=2a2kmb2-a2k2，x1x2=-a2m2+b2b2-a2k2，③联立①②③，得k2+1a2+a2b2-b2=0，则a2+a2b2-b2=0，又c2=a2+b2，则c2a2=c2-a2+2=b2+2>2，则e=ca>2，即离心率e的取值范围为2,+∞.20.已知点P 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右支上一点，F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，PF 1=(2+3) PF 2 ，∠F 1PF 2=60°．(1)求双曲线的离心率；(2)设R 、r 分别是△F 1PF 2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．【解析】(1)由P 为双曲线的右支上一点，可得|PF 1|-|PF 2|=2a ，又PF 1=(2+3) PF 2 ，可得PF 1 =(3+1)a ，PF 2 =(3-1)a ，在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=60°，由余弦定理可得4c 2=(4+23)a 2+(4-23)a 2-2(3+1)(3-1)a 2⋅12=8a 2-2a 2=6a 2，即c =62a ，可得e =c a =62；(2)由2R =2csin60°=6a32=22a ，即R =2a ；因为S △PF 1F 2=12PF 1⋅ PF 2 ⋅sin60°=12(3+1)(3-1)a 2⋅32=32a 2，又S △PF 1F 2=12PF 1+ PF 2 +2c r =12(23a +6a )r ，所以r =323+6a =2-22a ，所以R r =222-2=2+22．21.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线C 左支上一点，AF 2 -AF 1 =2b ．(1)求双曲线C 的离心率；(2)设点A 关于x 轴的对称点为B ，D 为双曲线C 右支上一点，直线AD ,BD 与x 轴交点的横坐标分别为x 1,x 2，且x 1x 2 =1，求双曲线C 的方程．【解析】(1)由于A 为双曲线C 左支上一点，由双曲线的定义可知AF 2 -AF 1 =2a =2b ，所以2a 2=b 2=c 2-a 2．整理，得3a 2=c 2，所以ca=3，所以双曲线C 的离心率为3．(2)由(1)可设双曲线C 的标准方程为x 2a 2-y 22a2=1．设A x3,y3，B x3,-y3，D x4,y4．直线AD的方程为y-y3=y3-y4x3-x4x-x3．令y=0，则x1=-x3y4-x4y3y3-y4．直线BD的方程为y+y3=-y3-y4x3-x4x-x3，令y=0，则x2=x3y4+x4y3y3+y4．所以x1x2=-x3y4-x4y3y3-y4⋅x3y4+x4y3y3+y4=x23y24-x24y23y23-y24．因为A x3,y3，D x4,y4满足方程x2a2-y22a2=1，所以x23=a2+y232，x24=a2+y242,所以x1x2=x23y24-x24y23y23-y24=a2+y232y24-a2+y242y23y23-y24=a2=1,所以双曲线C的方程为x2-y22=1．22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且k AB⋅k OM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2，则Mx1+x22,y1+y22，由题意得x21a2-y21b2=1,x22a2-y22b2=1,所以x21-x22a2-y21-y22 b2=0，y21-y22x21-x22=b2a2,y1-y2x1-x2∙y1+y22x1+x22=b2a2,k AB=y1-y2x1-x2,k OM=y1+y22x1+x22，∴k AB⋅k OM=b2a2，即b2a2=34，a2=43b2,c2=a2+b2=73b2,e2=c2a2=74，∴e=72；(2)因为双曲线的右顶点N 2,0 ，所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 23=1，因为k AB ⋅k OM =34，所以直线l 的斜率一定存在，并且k ≠±32(如果k =±32，则k OM =±32,AB ⎳OM ，这不可能)，设直线l 的方程为y =kx +m ，联立方程y =kx +m x 24-y 23=1 得：3-4k 2 x 2-8kmx -4m 2-12=03-4k 2≠0 ，所以Δ=64k 2m 2-43-4k 2-4m 2-12 >0，即m 2-4k 2+3>0，所以x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1⋅x 2=-4m 2-123-4k 2.因为以AB 为直径的圆经过点N ，所以NA ⊥NB ，所以NA ⋅NB =0，又因为NA =x 1-2,y 1 ,NB =x 2-2,y 2 ，所以NA ⋅NB =x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=x 1x 2-2x 1+x 2 +4+y 1y 2=0，又因为y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，所以NA ⋅NB =k 2+1 x 1x 2+km -2 x 1+x 2 +m 2+4=0，即k 2+1 ×-4m 2-123-4k 2+km -2 ×8km 3-4k 2+m 2+4=0，化简得m 2+16km +28k 2=0，即m +14k m +2k =0，解得m =-14k 或m =-2k ，且均满足m 2-4k 2+3>0，当m =-2k 时，y =kx -2k =k x -2 ，因为直线l 不过定点N 2,0 ，故舍去；当m =-14k 时，y =kx -14k =k x -14 ，所以直线l 恒过定点E 14,0 ；综上，e =72，直线l 恒过定点E 14,0 .·15·。

离心率问题归纳大全

离心率问题归纳大全


【解析】 AF2 BF2 0, AF1 BF2 ，连接 AF1, BF1 ，由椭圆的对称性可知， F1AF2B 是矩形，设 AF2 3t ，则
BF2
4t ，知
AF1
4t, 2a 3t 4t, a 7 t ，由勾股定理， 2
2c
3t 2 4t 2 5t, c 5 t ， e c 5 ，选 D．
B．
C．
D．
【解析】
因为直线
的倾斜角为 ，所以
，
，由双曲线的定
义可得
，解得
，故选 A．
3．已知两定点 A2,0 和 B2,0 ，动点 P x, y 在直线 l : y x 3上移动，椭圆 C 以 A, B 为焦点且经过点 P ，则
椭圆 C 的离心率的最大值为（ ）
A． 2 26
B． 4 26
C． 2 13
解析几何离心率问题
第一类 椭圆离心率求值
1．设 F1 、 F2 是椭圆 x2
y2 b2
1(0 b 1) 的左、右焦点，过 F1 的直线 l 交椭圆于 A 、 B 两点，若
AF1
3 F1B
，且
AF2 x 轴，则椭圆的离心率等于
A． 1 3
B． 1 2
C． 2 2
D． 3 3
【答案】D
2．已知抛物线
两点， AF2F1 45 ，则椭圆 C 的离心率等于（ ）
A． 1 2
B． 2 1 C． 2 1 D． 2 【答案】B
9．已知 F
是椭圆
E
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的左焦点，经过原点的直线 l 与 椭圆 E 交于 P ， Q 两点，若
PF
2 QF
椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题

椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题

椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题【重点知识温馨提示】1.e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，e＝ca＝1＋b2a2(e>1)2.确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式，3.【典例解析】例1.(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )A. 5 B．2 C. 3 D. 2例2.【2016高考新课标3文数】已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34例3 (2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1例4.(2014·江西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． 【跟踪练习】1. (2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．2. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项， 则椭圆的离心率是( ) A.33 B.22 C.14 D.123.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则椭圆的离心率的取值范围为______．4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3 C ．2D. 55.(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．6.(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 27、（2016年山东高考）已知双曲线E ：22x a–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______．8（2015年高考）过双曲线C ：22221x y a a-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .9、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是（）(A)(B)(C) (D) 10、（东营市、潍坊市2016届高三高三三模）已知1F 、2F 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距长为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为A 、B ，若1ABF ∆为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A 1B 1-C D11、（济宁市2016届高三上学期期末）已知抛物线2y =-的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>>A.3B.3C.D.3912、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点是(),0F c -，离心率为e ，过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222x y c y +=在轴右侧交于点P ，若P 在抛物线22y cx =上，则2e =A.5B.51+ C.51-D.213，（烟台市2016届高三上学期期末）设点F 是抛物线()2:20x py p τ=>的焦点，1F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，若线段1FF 的中点P 恰为抛物线τ与双曲线C 的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C 的离心率e 的值为 A.322B.334C.98D.3241,4、（青岛市2016高三3月模拟）已知点12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足21212,120PF F F F F P =∠=，则双曲线的离心率为_________.15、（日照市2016高三3月模拟）已知抛物线28y x =的准线与双曲线222116x y a -=相交于A,B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为 A.3B.2C.6D.316. (2015·重庆)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．答案部分：例1【解析】 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.例2【答案】A例3如图，设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32， 故选A.例4.直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )．∴kBF 1＝－b 2a －0c －(－c )＝－b 2a 2c ＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac ＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝－2±4－4×3×(－3)23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.【跟踪练习】1，答案 方法一 设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝bcx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc ，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bca，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a .由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a ＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22.方法二 设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝⎛⎭⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ＝y0x 0－c ，依题意⎩⎨⎧y 02＝b c ·x 0＋c 2，y 0x 0－c ·bc ＝－1，解得⎩⎨⎧x 0＝c (2c 2－a 2)a 2，y 0＝2bc2a 2，又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 2(2c 2－a 2)2a 6＋4c 4a 4＝1，令e ＝c a ，则4e 6＋e 2＝1，∴离心率e ＝22. 2解析 在双曲线中m 2＋n 2＝c 2，又2n 2＝2m 2＋c 2，解得m ＝c2，又c 2＝am ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.3依题意及正弦定理，得|PF 2||PF 1|＝a c (注意到P 不与F 1，F 2共线)， 即|PF 2|2a －|PF 2|＝a c ， ∴2a |PF 2|－1＝c a ，∴2a |PF 2|＝c a ＋1>2a a ＋c，即e ＋1>21＋e ，∴(e ＋1)2>2.又0<e <1，因此2－1<e <1.4解析 (1) 如图，∵FB →＝2F A →，∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴ba＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(ba )2＝4，∴e ＝2. 答案 C5.把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±3b .不妨取P (2a ，－3b )．又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c,0)， ∴kF 2P ＝3b c －2a .由题意，得3b c －2a ＝ba.∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝ca ＝2＋ 3.6. e 1＝1＋b 2a2，e 2＝1＋(b ＋m )2(a ＋m )2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m (m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m ，即e 1<e 2.故选B.7、【答案】2 【解析】试题分析：依题意，不妨设6,4AB AD ==作出图像如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 8、【答案】23+考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程. 9、【答案】B【解析】双曲线的渐近线为y ＝±bax ，易求得渐近线与直线x －3y ＋m ＝0的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b .设AB 的中点为D .由|P A |＝|PB |知AB 与DP 垂直，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2m （a ＋3b ）（a －3b ），－3b 2m （a ＋3b ）（a －3b ），k DP＝－3，解得a 2＝4b 2，故该双曲线的离心率是52.10B,11.B 12.D 13 D 14. 15.A16.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，连接F 1Q ，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得 |QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2 ＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ， 进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ，高中数学 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a 1＋λ＋1＋λ2， 故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ22＝4c 2. 两边除以4a 2，得4(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋(t －2)2t 2＝8⎝⎛⎭⎫1t －142＋12. 由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13. 进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.。

求椭圆及双曲线的离心率的习题

求椭圆及双曲线的离心率的习题

求椭圆的离心率1、已知F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率． e ＝53.2、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．解析：答案：333、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF＝2FD ，则C 的离心率为________．如图，设椭圆的标准方程为22x a ＋22y b＝1(a ＞b ＞0)不妨设B为上顶点，F 为右焦点，设D (x ，y )．由BF ＝2FD ，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，即2()2c x c b y =-⎧⎨-=⎩，解得322c x by ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，D (32c ，－2b )．由D 在椭圆上得：22223()()22b c a b -+＝1， ∴22c a＝13，∴e ＝ca.4、设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,2AF FB =.椭圆C 的离心率 ；解：设1122(,),(,)Ax y B x y ，由题意知1y ＜0，2y＞0.直线l 的方程为)y x c =-，其中c =联立2222),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得12y y ==因为2AFFB =，所以122y y -=. 即2= 得离心率 23c e a ==.5．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．6、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，M为线段AB 的中点，若∠MOA ＝30°，则该椭圆的离心率为________． 答案：637．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为( )A.15B.25C.45D.215，故选B. 8、设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．e ＝33.9．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ B ）A B 1 C ．4(2- D 10、已知F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴上的顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，那么该椭圆的离心率为( )A.22B.24C.12D.3211、如图所示，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．易知直线B 2A 2的方程为bx ＋ay －ab ＝0，直线B 1F 2的方程为bx －cy －bc ＝0.联立可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ac a ＋c ，b （a －c ）a ＋c .又A 2(a ，0)，B 1(0，－b )，所以PB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ac a ＋c ，－2ab a ＋c ，P A 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a （a －c ）a ＋c ，－b （a －c ）a ＋c . 因为∠B 1P A 2为钝角，所以P A 2→·PB 1→<0， 即－2a 2c （a －c ）（a ＋c ）2＋2ab 2（a －c ）（a ＋c ）2<0.化简得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1>0即e 2＋e －1>0，. 而0<e <1，所以5－12<e <1求双曲线的离心率1、已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．由三角形相似或平行线分线段成比例定理得26＝a c ，∴ca ＝3，即e ＝32、已知F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.3＋1B.2＋1 C ．2 3 D ．22 选B 3、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e 等于( )A ．5 B.5 C.52 D.54选C 2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A B C D 【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，因此222,4,ABBC a b e =∴=∴= C4、设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( )A. 3 B ．2 C. 5 D ．2 3 如图，设P 为右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，最小角∠PF 1F 2＝30°， 由余弦定理得：(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ·cos 30°， 解得e ＝ca＝ 3.5、过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________． 解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，。