2019年四川省成都市中考数学试卷(含答案与解析)
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数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前四川省成都市2019年高中阶段教育学校统一招生考试数 学(本试卷满分150分,考试时间120分钟)A 卷(共100分) 第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.比3-大5的数是( )A .15-B .8-C .2D .82.如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成,它的左视图是( )ABCD3.2019年4月10日,人类首张黑洞图片问世,该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心,距离地球5500万光年.将数据5500万用科学计数法表示为 ( )A .4550010⨯ B .65510⨯ C .75.510⨯D .85.510⨯ 4.在平面直角坐标系中,将点(2,3)-向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为 ( )A .(2,3)B .(6,3)-C .(2,7)-D .(2,1)--5.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起,若1=30∠o ,则2∠的度数为( )A .10oB .15oC .20oD .30o6.下列计算正确的是( )A .532ab a b -=B .2242(3)6a b a b -= C .22(1)1a a -=-D .2222a b b a ÷=7.分式方程5211x x x-+=-的解为 ( )A .1x =-B .1x =C .2x =D .2x =-8.某校开展了主题为“青春·梦想”的艺术作品征集活动.从九年级五个班收集到的作品数量(单位：件)件分别为：42,50,45,46,50则这组数据的中位数是( )A .42件B .45件C .46件D .50件9.如图,正五边形ABCDE 内接于O e ,P 为»DE上的一点(点P 不与点D 重合),则CPD ∠的度数为( ) A .30oB .36oC .60oD .72o10.如图,二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0)A ,(5,0)B ,下列说法正确的是( )A .0c ＜B .240b ac -＜C .0a b c -+＜D .图象的对称轴是直线3x =第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把答案填在题中的横线上) 11.若1m +与2-互为相反数,则m 的值为 .12.如图,在ABC △中,AB AC =,点D ,E 都在边BC 上,BAD CAE ∠=∠,若9BD =,则CE 的长为 .13.已知一次函数(3)+1y k x =-的图象经过第一、二、四象限,则k 的取值范围是 .14.如图,ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ,按以下步骤作图： ①以点A 为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AO ,AB 于点M ,N ； ②以点O 为圆心,以AM 长为半径作弧,交OC 于点'M ；③以点'M 为圆心,以MN 长为半径作弧,在COB ∠内部交前面的弧于点'N ；④过点'N 作射线'ON 交BC 于点E . 若8AB =,则线段OE 的长为 .三、解答题(本大题共6小题,共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分7分,每题6分)(1)计算：0(2)2cos3016|13|π---+-o；毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）(2)解不等式组：3(2)45,5211.42x x x x -≤-⎧⎪⎨-+⎪⎩①＜②16.(本小题满分6分)先化简,再求值：2421(1)326x x x x -+-÷++,其中1x =.17.(本小题满分8分)随着科技的进步和网络资源的丰富,在线学习已经成为更多人的自主学习选择.某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论.为了解学生需求,该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查,并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息,解答下列问题：(1)求本次调查的学生总人数,并补全条形统计图；(2)求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；(3)该校共有学生2100人,请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数.18.(本小题满分8分)2019年,成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事,这大幅提升了成都市的国际影响力.如图,在一场马拉松比赛中,某人在大楼A 处,测得起点拱门CD 的顶部C 的俯角为35o ,底部D 的俯角为45o,如果A 处离地面的高度20AB =米,求起点拱门CD 的高度.(结果精确到1米；参考数据：sin 350.57≈o,cos350.82≈o,tan 350.70≈o )19.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数152y x =+和2y x =-的图象相交于点A ,反比例函数ky x=的图象经过点A . (1)求反比例函数的表达式； (2)设一次函数152y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象的另一个交点为B ,连接OB ,求ABO △的面积.B 卷(共50分)一、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.请把答案填在题中的横线上) 21.≈ (结果精确到1).22.已知1x ,2x 是关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=的两个实数根,且22121213x x x x +-=，则k 的值为 .23.一个盒子中装有10个红球和若干个白球,这些球除颜色外都相同,再往该盒子中放入5个相同的白球,摇匀后从中随机摸出一个球,若摸到白球的概率为57,则盒子中原有的白球的个数为 .24.如图,在边长为1的菱形ABCD 中,60ABC ∠=o.将ABC △沿射线BD 的方向平移得到'''A B D △,分别连接''AC ,则''''AC B C +的最小值为 .25.如图,在平面直角坐标系xOy 中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已知点A 的坐标为(5,0),点B 在x 轴的上方,OAB △的面积为152,则OAB △内部(不含边界)的整点的个数为 .数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）二、解答题(本大题共3小题,共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26.(本小题满分8分)随着5G 技术的发展,人们对各类5G 产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售一款5G 产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x (x 为正整数)个销售周期每台的销售价格为y 元,y 与x 之间满足如图所示的一次函数关系.(1)求y 与x 之间的关系式；(2)设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p (万台),p 与x 的关系可以用1122p x =+来描述.根据以上信息,试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？27.(本小题满分10分)如图1,在ABC △中,20AB AC ==,3tan 4B =,点D 为BC 边上的动点(点D 不与点B ,C 重合).以点D 为顶点作ADE B ∠=∠,射线DE 交AC 边于点E ,过点A 作AF AD ⊥交射线DE 于F ,连接CF . (1)求证：ABD DCE ∽△△；(2)当DE AB ∥(如图2),求AE 的长；(3)点D 在BC 边上运动的过程中,是否存在某个位置,使得DF CF =？若存在,求出此时BD 的长；若不存在,请说明理由。
28.(本小题满分12分)如图,抛物线2y ax bx c =++经过点(2,5)A -,与x 轴相交于(1,0)B -,(3,0)C 两点.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 在抛物线的对称轴上,且位于x 轴的上方,将BCD △沿直线BD 翻折得到'BC D △,若点'C 恰好落在抛物线的对称轴上,求点'C 和点D 的坐标；(3)设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点,点Q 在抛物线的对称轴上,当CPQ △为等边三角形时,求直线BP 的函数表达式.数学试卷 第7页（共20页） 数学试卷 第8页（共20页）四川省成都市2019年高中阶段教育学校统一招生考试数学答案解析A 卷第Ⅰ卷一、选择题 1．【答案】C【解析】352-+=，∴3-比5大，故选C【提示】有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，再把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；任何数同0相加都得这个数. 【考点】有理数的运算. 2．【答案】B【解析】根据已知几何体，从左边看到的平面图形是故选B【考点】几何体的三视图. 3．【答案】C【解析】75500=55000000 5.510=⨯万，故选C【提示】把一个数写成10na ⨯（1||10a ≤＜，n 为整数）的形式，这种记数方法叫科学记数法. 【考点】科学记数法. 4．【答案】A【解析】将点(2,3)-向右平移4个单位长度，是将该点的横坐标加上4，∴平移后的点的坐标为(2,3)故选A【提示】在直角坐标系内，若设某一点的坐标为(,)x y ，则向右平移a 个单位后坐标变为(,)x a y +，向左平移a 个单位后坐标变为(,)x b y -，向上平移a 个单位后坐标变为(,)x y a +，向下平移a 个单位后坐标变为(,)x y a -.记住“左减右加，上加下减”的原则. 【考点】坐标的平移变换.5．【答案】B【解析】如图，由题意知，AB CD ∥，∴1=30EGH ∠∠=o ，又∵EFG △是等腰直角三角形，∴45EGF ∠=o ，∴2=453015EGF EGH ∠∠-∠=-=o o o ，故选B【考点】平行线的性质，等腰直角三角形的性质. 6．【答案】D【解析】∵5ab 和3a 不是同类项，∴5ab 和3a 不能合并计算，所以A 计算错误；∵22222242(3)(3)()9a b a b a b -=-⋅⋅=，∴B 选项计算错误；∵22(1)21a a a -=-+，∴选项C 选项计算错误；∵2222a b b a ÷=，∴选项D 计算正确，故选D 【考点】整式的运算． 7．【答案】A【解析】去分母得(5)2(1)(1)x x x x x -+-=-，整理得22x -=，∴1x =-，经检验，1x =-是原分式方程的解，故选A【提示】本题有两个易错点：一是去分母时，先确定好分母，再每一项都乘公分母，从而把分母去掉，不能漏乘，符号也不能错；二是求出x 的值后要检验，不能使分母为0的未知数的值才是方程的根，所以解分式方程一定要检验 【考点】解分式方程. 8．【答案】C【解析】将数据从小到大进行排序为42，45，46，50，50，共5个数，中位数为最中间的一个数，即这组数据的中位数是46件，故选C 【考点】中位数 9．【答案】B【解析】如图，连接OC 、OD ，在正五边形ABCDE 中，360==725COD ∠oo ，∴1362CPD COD ∠=∠=o ，故选B数学试卷 第9页（共20页） 数学试卷 第10页（共20页）【考点】正五边形的性质，圆周角定理. 10．【答案】D【解析】∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c>0，选项A 错误；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac -＞，选项B 错误；当1x =-时，0y ＞，∴0a b c -+＞，选项C错误；∵抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)和(5,0)，∴抛物线的对称轴为直线15=32x +=，∴选项D 正确，故选D 【考点】二次函数的图象与性质.第Ⅱ卷二．填空题 11．【答案】1【解析】∵1m +与2-互为相反数，∴1(2)0m ++-=，解得1m = 【考点】相反数的概念，解一元一次方程. 12．【答案】9【解析】∵AB AC =，∴B C ∠=∠，又∵BAD CAE ∠=∠，∴ABD ACE ≅△△(ASA)，∴BD CE =，∵=9BD ，∴9EC =，故答案为9． 【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的性质及判定. 13．【答案】3k ＜【解析】∵一次函数(3)1y k x =-+经过第一、二、四象限，∴30k -<，解得3k < 【考点】一次函数的图象与性质. 14．【答案】4【解析】由作图可知，OAB COE ∠=∠，∴OE AB ∥，在ABCD Y 中，O 是AC 中点，∴OE 是ABC △的中位线，∴12OE AB =，∵8AB =，∴4OE =【考点】尺规作图，平行四边形的性质，三角形的中位线定理.三、解答题 15．（1）【答案】4-【解析】124142-⨯-+=-原式= 【考点】实数的综合运算. （2）【答案】12x -≤＜【解析】解不等式①，得1x ≥-， 解不等式②，得2x ＜，所以原不等式组的解集为12x -≤＜【考点】一元一次不等式组的解法. 16．【答案】1x =【解析】解：221(1)12(3)232(3)3(1=)1x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫÷=⋅= ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭原式，当1x =【考点】分式化简求值. 17．【答案】（1）36（人） （2）48o （3）560（人）【解析】解：（1）因为1820%90÷=（人），则“在线听课”的人数为90(241812)36-++=（人）， 补全条形统计图（略）（2）12360=4890⨯o o （3）242100=56090⨯（人）【考点】扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体. 18．【答案】6米【解析】解：过点C 作CE AB ⊥于点E ，数学试卷 第11页（共20页） 数学试卷 第12页（共20页）由题意易知四边形CEBD 为矩形，45ADB ︒∠=，35ACE ︒∠=，在t R ABD △中，45ADB ︒∠=， ∴20AB BD ==米，∴=20CE 米，在t R ACE △中，35ACE ︒∠=，tan 0.70AEACE CE∠=≈，∴200.70=14AE ⨯≈（米），∴20146CD BE AB AE ==--=≈（米）， 即起点拱门CD 的高度约为6米. 【考点】解直角三角形的应用. 19．【答案】（1）8y x=- （2）15【解析】解：（1）联立1522y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得24x y =-⎧⎨=⎩， ∴(2,4)A -， ∵反比例函数ky x=的图象经过点A ， ∴4=4k-，即8k =-， ∴反比例函数的表达式为8y x=-（2）由（1）知，反比例函数8y x=-， 联立1528y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩，∴(8,1)B -，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，与AO 交于点D ，将1y =代入2y x =-，得12x =-，∴1(,1)2D -，则152BD =，11541522AOB S =⨯⨯=△ ∴ABO △的面积为15【考点】一次函数和反比例函数的综合应用. 20．【答案】（1）证明：连接OD ∵//OC BD ，∴OCB DBC ∠=∠ ∵OB OC =，∴OCB OBC ∠=∠ ∴OBC DBC ∠=∠∴AOC COD ∠=∠，∴»»AC CD =（2）解：连接AC∵»»AC CD =，∴CBA CAD ∠=∠ ∵BCA ACE ∠=∠，∴CBA CAE △∽△ ∴CACBCE CA =∴4)31(1)(2=+⨯=+⋅=⋅=EB CE CE CB CE CA ∴2CA =∵AB 为⊙O 的直径，∴90ACB ∠=︒在Rt ABC △中，由勾股定理得：52422222=+=+=CB CA AB ∴O e（3）如图，设AD 与CO 相交于点N ∵AB 为⊙O 的直径，∴90ADB ∠=︒ ∵OC BD ∥，∴90ANO ADB ∠=∠=︒ ∵PC 为⊙O 的切线，∴90PCO ∠=︒ ∴ANO PCO ∠=∠数学试卷 第13页（共20页） 数学试卷 第14页（共20页）∵PC AE ∥∴31==EB CE AB PA ∴35231==AB PA∴3555532=+=+=AO PA PO 过点O 作OH PQ ⊥于点H ，则90OPH ACB ∠=︒=∠∵PC CB ∥，∴OPHABC ∠=∠∴OHP ACB △∽△，∴BC PHAC OH AB OP == ∴35523552=⨯=⋅=AB OP AC OH ，310523554=⨯=⋅=AB OP BC PH 连接OQ，在Rt OHQ△中，由勾股定理得：352)35()5(2222=-=-=OH OQ HQ∴35210+=+=HQ PH PQ【考点】平行线的性质，圆的相关性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，切线的性质.B 卷一．填空题 21．【答案】6【解析】∵3637.742＜＜，∴6 6.56 【考点】估算无理数的值. 22．【答案】2-【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得122x x +=-，12=1x x k -， ∴222212121212121212()2()3x x x x x x x x x x x x x x +-=+--=+-，∴2(2)3(1)13k ---=，解得2k =-，即k 的值为2-【考点】一元二次方程的根与系数的关系，解一元一次方程. 23．【答案】20【解析】设盒子中原有白球x 个，根据题意，得751055=+++x x ，解得20=x ，经检验，20=x 是分式方程的解，∴盒子中原有白球20个【考点】试验与概率，解分式方程. 24．【解析】如图，在ABD △平移的过程中，当''''B C A B ⊥时，''''AC B C +的值最小，在菱形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD =，由平移可知，''A B CD ∥，''A B CD =，∴四边形''A B CD 是平行四边形，∵''90A B C ∠=o ，∴四边形''A B CD 是矩形，又60ABC ∠=o ，BD 是菱形ABCD 的角平分线，∴30ABD ∠=o ，由平移得''30A B D ∠=o ，∴''30B AC ∠=o ，在'''t A BC R △中，''A B 1AB ==，∴'''BC A B =，tan 30=3o ，∴'''AC 2B C=3=，''A C+B C=33+=即''A C+BC 的最小值为3【考点】平移的性质，菱形的性质，矩形的判定及性质，特殊角的锐角三角函数. 25．【答案】4或5或6【解析】∵点A 的坐标为(5,0)，∴5OA =，∵OAB △的面积是215，∴OAB △中OA 边上的高为3，∴点B 在直线3=y 上，当OAB △为等腰三角形时，若OB AB =，则OAB △内部有6个整点；若OA AB =或OA OB =，则OAB △内部有5个整点；当OAB △为钝角三角形或锐角三角形（除等腰三角形外）时，OAB △内部有4个或5个整点，∴OAB △内部的整点个数为4个或5个或6个 【考点】三角形的面积，三角形的性质、新定义及其运用.数学试卷 第15页（共20页） 数学试卷 第16页（共20页）二、解答题26．【答案】（1）7500500+-=x y （2）4000元【解析】（1）设y 与x 之间的关系式为y kx b =+ 由题意，一次函数过(1,7000)，(5,5000)， 代入关系式得700055000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得5007500k b =-⎧⎨=⎩所以y 与x 之间的关系式为7500500+-=x y （2）设销售收入为w 元，()()21150075002507160022w py x x x ⎛⎫==+-+=--+ ⎪⎝⎭因为2500-＜，所以当7x =时，w 最大， 此时50077500=4000y =-⨯+，所以第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4 000元. 【考点】一次函数与二次函数的实际应用. 27．【答案】（1）证明：∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠∵ADE CDE B BAD ∠+∠=∠+∠，ADE B ∠=∠ ∴BAD CDE ∠=∠，∴ABD DCE △∽△ （2）过点A 作AMBC ⊥于点M在Rt ABM △中，设4BMk =，则3·tan 434AM BM B k k ==⋅= 由勾股定理，得222BM AM AB += ∴222)4()3(20k k +=，∴4=k .∵AB AC =，AM BC ⊥∴22432BC BMk ==⋅=∵DE AB ∥，∴BAD ADE ∠=∠ 又∵ADE B ∠=∠，B ACB ∠=∠∴BAD ACB ∠=∠∵ABD CBA ∠=∠，∴ABD CBA △∽△∴ABDB CB AB =.，∴225322022==CB AB DB∵DE AB ∥，∴BCBDAC AE = ∴161253222520=⨯=⋅=BC BD AC AE （3）点D 在BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF CF =，过点F 作FHBC ⊥于点H ，过点A 作AM BC ⊥于点M ，AN FH ⊥于点N ，则90NHM AMH ANH ∠=∠=∠=o ∴四边形AMHN 为矩形 ∴90MAN ∠=o ，MH AN =由（2）得16CMBM ==，12AM =∵AN FH ⊥，AM BC ⊥∴90ANF AMD ∠=︒=∠∵90DAF MAN ∠=︒=∠∴NAFMAD ∠=∠∴AFN ADM △∽△∴3tan tan 4AN AF ADF B AN AD ==∠== ∴3312944AN AM ==⨯=∴1697CH CM MH CM AN =-=-=-=当DFCF =时，由点D 不与点C 重合，可知DFC △为等腰三角形又∵FH DC ⊥∴214CD CH==数学试卷 第17页（共20页） 数学试卷 第18页（共20页）∴321418BD BC CD =-=-=∴点D 在BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得DFCF =，此时18BD =【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的判定及性质，锐角三角函数的运用.28．【答案】（1）由题意，得4250930a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴抛物线的函数表达式为223y x x =-- （2）∵抛物线与x 轴的交点为(1,0)B -，(3,0)C ∴4BC =，抛物线的对称轴为直线1x = 设抛物线的对称轴与x 轴交于点H ， 则H 点的坐标为(1,0)，2BH = 由翻折得'4BC BC ==在'Rt BHC △中，由勾股定理，得'C H =∴点'C的坐标为(1,，''tan C H C BH BH ∠==∴'60C BH ∠=o 由翻折得'1302DBH C BH ∠=∠=o 在Rt BHD △中，tan 2tan 303DH BH DBH =⋅∠=⋅=o∴点D的坐标为 （3）取（2）中的点'C ，D ，连接'CC ∵'BC BC =，'60C BC ∠=o ∴'C CB △为等边三角形 分类讨论如下：①当点P 在x 轴上方是，点Q 在x 轴上方 连接BQ ，'C P∵PCQ △，'C CB △为等边三角形∴CQ CP =，'BC C C =，'60PCQ C CB ∠=∠=o ∴'BCQ C CP ∠=∠∴'BCQ C CP △≌△，∴'BQ C P = ∵点Q 在抛物线的对称轴上，∴BQ CQ = ∴'C P CQ CP ==又∵'B C BC =，∴BP 垂直平分'CC 由翻折可知BD 垂直平分'CC ∴点D 在直线BP 上设直线BP 的函数表达式为y kx m =+，则0k m k m =-+⎧=+，解得k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线BP的函数表达式为33y x =+； ②当点P 在x 轴下方时，点Q 在x 轴下方∵PCQ △，'C CB △为等边三角形∴CQ CP =，'BC C C =，''60CC B QCP C CB ∠=∠=∠=o∴'BCP C CQ ∠=∠，∴'BCP C CQ △≌△数学试卷 第19页（共20页） 数学试卷 第20页（共20页）∴'CBP CC Q ∠=∠∵''BC CC =，'C H BC ⊥，∴''1302CC Q CC B ∠==o ∴30CBP ∠=o 设BP 与y 轴相交于点E在Rt BOE △中，tan tan 30133OE OB CBP OB =⋅∠=⋅=⨯=o∴点E的坐标为(0,3-设直线BP 的函数表达式为''y k x b =+则'''0k b b ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解得'33k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩’∴直线BP的函数表达式为y x = 综上所述，直线BP的函数表达式为33y x =+或33y x =-- 【解析】一次函数和二次函数的图象及其性质，轴对称图形的性质，线段垂直平分的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质.。
