襄阳四中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题(含答案解析)

襄阳四中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知等比数列{}n a .的前n 项和为n S ，1352a a +=，且2454a a +=，则55S a =（ ） A ．256 B ．255 C ．16 D ．312．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若150S >，160S <，则11S a ，22S a ，33S a ，…， 1515S a 中的最大是（ ） A ．33S a B ．55S a C ．88S a D ．1111S a 3．—个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，已知点P 在焦点为12F F 、的椭圆上运动，则与12PF F ∆的边2PF 相切，且与边121,F F F P 的延长线相切的圆的圆心M 一定在（ ）A ．一条直线上B ．一个圆上C ．一个椭圆上D ．一条抛物线上5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上的一点，30ACD ∠=︒，且2CD =，则a 的最小值为（ ）A ．4 B．4+ C ．8 D．8+6．如果a ＜b ＜0，那么下列各式一定成立的是．A ．a ﹣b ＞0B ．ac ＜bcC ．a 2＞b 2D ．＜7．设曲线32y x x =-在点()1,1处的切线为l ，点(),P m n 在l 上，0mn >，则14m n +的最小值为（ ）.A ．2B ．3C ．94D ．928．如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy=0.7x+0.35，那么表中m 的值为（ ）A ．4B ．3.15C ．4.5D ．39．中秋佳节即将来临之际，有3名同学各写一张贺卡，混合后每个同学再从中抽取一张，则每个同学抽到的都不是自己写的贺卡的概率是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．1310．如果直线220ax y ++=与320x y --=互相垂直，那么系数a 等于（ ）A ．3-B ．6-C ．32-D ．3211．如下图，四边形ABCD 中，135,120BAD ADC ∠=∠=，45,60,3BCD ABC BC ∠=∠==，则线段AC 长度的取值范围是（ ）A ．B ．32⎡⎢⎣C ．D ．32⎛ ⎝ 12．四面体ABCD 中， AD BC =，且AD BC ⊥，,EF 分别是,AB CD 的中点，则EF 与BC 所成的角为（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°13．对于平面α和两条直线,m n , 下列命题中真命题是（ ）A ．若m α⊥,m n ⊥,则//n αB ．若//m α,//n α,则//m nC ．若,m n 与α所成的角相等,则//m nD ．若m α,//m n ,且n 在平面α外,则//n α14．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是（ ）A ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πB ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭15．书架上有2本数学书和2本语文书，从这4本书中任取2本，那么互斥但不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有1本数学书”和“都是语文书”B ．“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”C ．“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书”D ．“至多有1本数学书”和“都是语文书”二、填空题16．已知一个样本为,1,,5x y ，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为__________． 17．若命题“任意x ∈R ，存在m Z ∈，221m m x x -<++”是真命题，则m 的取值集合为_____. 18．如图，港口A 北偏东30︒方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站7海里，该轮船从B 处沿正西方向航行3海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离5海里，则此时轮船离港口A 有________海里.19．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD ⊥平面ABC ，6AD =，AB =______．20．已知数列()2*11231,n a a a a a n n N ==∈，则46a a +=______.三、解答题21．在数列{}n a 中，1a *n N ∈，都有1n a +=． （1）计算2a ，3a ，4a ，由此推测{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若()()422n n n n b a a =--（*n N ∈），求无穷数列{}n b 的前n 项之和n T 与n T 的最大项． 22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(12cos )2cos b A a B -=.（1）若2b =，求c 的值；（2）若1,tan a A ==ABC ∆的面积.23．已知()222422210x y x my m m m +-++-+=∈R 表示圆C 的方程． （1）求实数m 的取值范围；（2）若直线:20l x y +=被圆C 截得的弦长为4，求实数m 的值．24．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.25．（本小题满分14分）如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB 长为2km ，C 、D 两点在半圆弧上，满足BC=CD ．设COB θ∠=．（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB 、BC 、CD 和DA 组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求l 的最大值．（2）若要在景区内种植鲜花，其中在AOD ∆和BOC ∆内种满鲜花，在扇形COD 内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S 最大．参考答案1．D由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n 项和，从而可得n n S a ，令5n =求解即可. 由1352a a +=，可得21152a a q +=； 由31154a q a q +=. 两式作比可得：可得12q =，12a =， 所以212n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2142n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，21n n nS a =-，所以5552131S a =-=. 故选D. 本题主要考查了等比数列的通项公式及前n 项公式，属于公式运用的题目，属于基础题. 2．C由题意得到890,0a a ><，由此判断出等差数列{}n a 的单调性和符号，从而判断出n nS a 中的最大值. 依题意()()()11511615816891516150,8022a a a a S a S a a ++==>==+<，所以890,0a a ><，所以等差数列{}n a 是递减数列，故8a 是正项中的最小的，9a 是负项中的最大的，8S 是n S 的最大值，故88S a 故最大. 故选：C本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和公式，考查分析思考与解决问题的能力，属于中档题.3．A试题分析：由三视图判断几何体为一底面圆的直径为6，母线长为5的圆锥，求出圆锥的高，代入圆锥的体积公式计算可得答案．由三视图判断几何体为圆锥，其底面圆的直径为6，母线长为5，∴底面圆的半径为3，高为√52−32=4，∴V =13π×32×4=12π．故选A ．考点：三视图4．A设出圆与三角形三边及其延长线的切点，利用切线定理得到线段的相等关系，最后转化为线段1F A 的长度为定值，说明切点为顶点A ，由此可得结论.解：如图，设圆M 与1212,,F F F P PF 分别相切于,,A B C ， 由切线定理得：2211,,PB PC F F A C B F F A ===， 因为P 在椭圆上 12PF PF ∴+=定值2a111122F B F A F P PB F F F A +=+++121222F F F a c P P F =++=+为定值，11BF AF a c ∴==+，∴切点(,0)A a∴圆心M 在过A 垂直于椭圆所在轴的直线.故选：A.本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查了等价转化思想方法，属中档题.5．B设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD △中，利用正弦定理得()2sin 150sin b αα=︒-，化简得到1tan b α=ABC 中，有tan a b α=⋅，然后将a +转化为4a α=++利用基本不等式求解. 设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD △中，由正弦定理得：()2sin 150sin b αα=︒-，所以()2sin 150cos 1sin sin tan b αααααα︒-===， 在直角ABC 中，tan a b α=⋅，所以(1tan tan 4tan a b αααα⎛⋅=+=+ ⎝=44≥+=+，当且仅当an tan αα=，即4πα=时取等号， 故选：B本题主要考查正弦定理和基本不等式的解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 6．C试题分析：根据不等式的性质判断即可．解：∵a ＜b ＜0，∴a ﹣b ＜0，a+b ＜0，＞，∴（a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2＞0，即a 2＞b 2，故C 正确，D 不正确当c=0时，ac=bc ，故B 不一定正确，故选C ．考点：不等式的基本性质．7．D由函数的解析式：21'23,'|231x y x y ==-∴=-=- ，切线方程为：()11y x -=-- ，即：2x y += ，据此可得：2,0,0m n m n +=>>则：()141411419552222m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫+=+⨯+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ ， 当且仅当24,33m n == 时等号成立. 则14m n +的最小值为92. 本题选择D 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．8．D因为线性回归方程ˆy=0.7x+0.35，过样本点的中心(,),x y 3456 2.54 4.5114.5,444m m x y +++++++====，110.7 4.50.35,4m +=⨯+3m =，故选D. 9．D记3名同学及他们所写贺卡分别为、、A B C ，写出所有他们拿到的贺卡的排列方式的基本事件并记录总数，找出满足条件的对应都不同的基本事件个数，由古典概型概率公式计算求得答案.记3名同学及他们所写贺卡分别为、、A B C ，则他们拿到的贺卡的排列方式分别为ABC ，ACB ，BAC ， BCA ， C AB ， C BA ，共6种， 其中对应位置字母都不同的有 BCA ， C AB ， 共2种，则所求概率2163p ==， 故选：D本题考查古典概型问题，属于简单题.10．D根据两直线垂直充要条件列方程解得结果.因为直线220ax y ++=与320x y --=互相垂直，所以312a -⨯=-，所以23a =．选D. 本题考查直线垂直充要条件，考查基本求解能力，属基础题.11．B当AC AB ⊥时，AC 3sin 2B =，故选B. 12．B取BD 中点G ，连接EG ，FG ，则EFG 为异面直线EF 与EF 所成的角．∵EG AD,GF BC ==，∴EG GF =．∵AD BC,EG //AD,GF //BC,EG GF ⊥∴⊥， ∴EGF ∆为等腰直角三角形，∴45EFG ∠=︒．故选B ．。