弦切角

圆的弦切角定理

弦切角定理又叫做斜接角定理，它是由现代先驱理论家、著名数学家笛卡尔所提出的几何定理，它讲述了弦和圆在一起时所形成的夹角大小。这个定理本质上是一个几何定理，在经典几何学中被广泛使用。

定理的具体内容如下：设弦切线在圆上的作用点分别是A、B，AB是弦切点，AB垂直线与圆的圆心O相交得到点C，AB点分别延长到P和Q使OP与OQ延长，则OC、OP、OQ三角形内角的大小依次为：π的一半（90°）OCA弧与APO角，AOC弧与POC角，BOC弧与QOC角。

证明：AOC为OCB的补角，POC和QOC绕O旋转就变为AOC，而AOC与AB垂直线合成了直角，故总之，证明弦切角定理的关键是正确建立AOC和AB垂直线，即点C是A、B垂直线的交点。

由于圆的拉格朗日定义及圆的定义，可得知BOC的中点的P的投影到OA上必是OA的中点O，故点P必等于点C，从而证明了AB垂直线的交点为点C.

于是，AOC是一个直角，而AOC弧与APO角、AOC弧与POC角、BOC弧与QOC角就是其对应角，因此就可以看出弦切角定理了。

以上就是弦切角定理的证明，弦切角定理一般应用于圆面内不存在直线或点的情况，这时，计算机就可以采用其求得弦和圆之间的夹角大小。

C B O

A D

C E

O A B D 弦切角定理测试卷 姓名 _____

1.已知一个圆的弦切角等于50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为 _______ .

2.如图，AB是直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，若CD切⊙O于C点，则∠CAB的度数为 ，∠DCB的度数为 ，∠ECA的度数为 ___ .

3.如图，AB， AC是⊙O的两条切线，切点分别为 B、 C、 D是优弧BC上的点，已知

∠BAC=800，那么∠BDC =______.

4.如图，AB是⊙ O的弦， AD是⊙ O的切线，C为弧AB上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______.

5.如图，PA， PB切⊙ O于 A， B两点，

AC⊥PB，且与⊙ O相交于 D，若∠DBC=220，则∠APB==________.

2题图 3题图 4题图 5 题图

6、如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，连接DB，若20D，则DBE的大小为( ) A.

20 B. 40 C. 60 D. 70

7、如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为( ) A.105° B.115° C.120° D.125°

8、如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC的长为（ ）

A.2 B.3 C.23 D.4

9、如图，AB是⊙ O的直径， AC， BC是⊙ O的弦， PC是⊙ O的切线，切点为 C，∠BAC=350，那么∠ACP等于（ ）A. 350 B. 550 C. 650 D. 1250

“弦切角”导学案设计

一、设计理念 在新课程改革环境下，教学强调学生学习方式的转变，学生由被动接受到主动探究，教师要帮助学生构建知识体系，注重知识生成过程，强调方法情感，转变评价方式，还课堂于学生，学生从“被灌、被教、背双基技能”到学生的主体地位，让学生成为学习的主人，从幕后走到幕前；教师从幕前隐到幕后，成为学生学习的引导者、合作者、帮助者，建立新型平等和谐的师生关系。

二、设计方法

导学案就是以课本（教材）为平台，创造性地在课堂上将所有知识以问题串的形式教给学生，创设情境让学生主动看书，大胆交流，解决（所预设的）知识情景问题串，以书面形式呈现与学生面前，规避了教师用语随意和不确定性。教师有充分的时间，辅导不同层次的学生，构建生生、师生互动、互帮互学的新课型教学关系，“强制”改变了学生的学习方式，促进不同层面学生的发展，增加了课堂的有效性。

三、导学案设计

1.学习内容

北师大版普通高中新课标实验教材P15“弦切角”。

2.学习目标

（1）理解弦切角的意义。

（2）探究弦切角定理生成过程。

3.学习重点和难点

重点：分类证明――增强数学思想方法；

难点：内化知识――提高探究学习能力，增强数学核心内容的应用意识。

4.学习方法指导 通过对圆周角定义、定理证明方法探究新旧知识联系，精心有效地转化，由特殊到一般的生成知识，积累数学思想方法，逐步形成学习能力。

5.学习过程设计

【问题情境一】可联系上一节“圆周角”的定义，你认为“弦切角”应该怎样定义，通过画图说明，给学生们交流讨论的时间为3-5分钟“隐去”。（答案：顶点在圆上，一边是圆的弦，另一边是圆的切线的角就是弦切角。）

【问题情境二】联系上一节“圆周角”定理，结合画出弦切角的图形，你能猜想出弦切角定理的内容吗？用3-5分钟时间，①不难得出这个弦切角∠BAC只可能和有关；②在由特殊到一般的数学思想方法去思考：当弦AC是圆的直径时（∠BAC=90°=）。最终得出结论是：线切角的度数等于它所夹度数的一半。

【初中数学】圆中弦切角及弦切角定理

一、弦切角

1、定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：

2、弦切角的三种情况

（1）圆心在弦切角外；

（2）圆心在弦切角的一条边上；

（3）圆心在弦切角内；

二、弦切角定理及证明

定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角；弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。

已知：如图，PQ是圆O的切线，切点为P。

求证：∠APQ=∠ABP，2∠APQ=∠AOP. （1）当圆心在弦切角外部时

证明：连接OA，OP，在非弦切角所夹弧 优弧PA上任取一点B，连接BP和BA。

∵ OA=OP

∴ ∠OPA=∠OAP

∵ ∠OPA+∠OAP+∠POA=180°

∴ 2∠OPA+∠POA=180°

∵ PO为圆的切线，OP为半径

∴ ∠OPA+∠APQ=90°

∴ ∠OPA=90°-∠APQ

∴ 2（90°-∠APQ）+∠POA=180°

∴ ∠POA=2∠APQ

∵ ∠POA=2∠ABP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）

∴ ∠APQ=∠ABP

（2）当圆心在弦切角的一边上时

证明：在非弦切角所夹弧AP上任取一点B，连接AB、PB

∵ AP为直径

∴ ∠ABP=90°

∵ PQ为圆的切线，OP为半径

∴ ∠APQ=90°

∴ ∠APQ=∠ABP

∴ 2∠APQ=∠AOP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）.

（3）当圆心在弦切角的内部时

证明：连接OA，OP，在非弦切角所夹弧 劣弧PA上任取一点B，连接BP和BA。

∵ OA=OP

∴ ∠OPA=∠OAP

∵ ∠OPA+∠OAP+∠1=180°

∴ 2∠OPA+∠1=180°

∵ PO为圆的切线，OP为半径

∴ ∠OPA=∠APQ-90°

∴ 2（∠APQ-90°）+∠1=180°

∴ ∠1+2∠APQ=360°

∵ ∠1+∠2=360°

∴ ∠2=2∠APQ

∴ ∠POA=2∠APQ（这里的∠POA是大于180°的角，是优弧AP所对的圆心角）