高考数学(理)二轮专题练习：函数与导数(含答案)
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函数与导数
1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．
对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．
[问题1] 函数y＝12log2x的定义域是________．
答案 0，14
2．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．
[问题2] 已知f(cos x)＝sin2x，则f(x)＝________.
答案 1－x2(x∈[－1,1])
3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
[问题3] 已知函数f(x)＝ ex，x<0，ln x，x>0，则ff1e＝________.
答案 1e
4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
[问题4] f(x)＝－x2|x－2|－2是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．
答案 奇
解析 由 1－x2>0，|x－2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，
f(x)＝－x2－x－－2＝－x2－x.
∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．
5．弄清函数奇偶性的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．
(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.
故“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．
[问题5] 设f(x)＝lg21－x＋a是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为( )
A．(－∞，＋∞)上的减函数
B．(－∞，＋∞)上的增函数
C．(－1,1)上的减函数
D．(－1,1)上的增函数
答案 D
解析 由题意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，
解得a＝－1，
故f(x)＝lg 1＋x1－x，函数f(x)的定义域是(－1,1)，
在此定义域内f(x)＝lg 1＋x1－x＝lg(1＋x)－lg(1－x)，
函数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，故f(x)＝y1－y2是增函数．选D.
6．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
[问题6] 函数f(x)＝1x的减区间为________．
答案 (－∞，0)，(0，＋∞)
7．求函数最值(值域)常用的方法：
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．
(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数．
(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数．
(4)导数法：适合于可导函数．
(5)换元法(特别注意新元的范围)．
(6)分离常数法：适合于一次分式．
(7)有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．
[问题7] 函数y＝2x2x＋1(x≥0)的值域为________．
答案 12，1
解析 方法一 ∵x≥0，∴2x≥1，∴y1－y≥1， 解得12≤y<1.
∴其值域为y∈12，1.
方法二 y＝1－12x＋1，∵x≥0，∴0<12x＋1≤12，
∴y∈12，1.
8．函数图象的几种常见变换
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．
(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．
(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；
②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；
③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0 (y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．
[问题8] 函数y＝|log2|x－1||的递增区间是________．
答案 [0,1)，[2，＋∞)
解析 ∵y＝ |log2x－x，|log2－xx，
作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)．
9．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝1fx(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a.
[问题9] 对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－1fx，若当2
答案 －25
10．二次函数问题
(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．
(2)二次函数解析式的三种形式：
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(3)一元二次方程实根分布：先观察二次系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．
尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．
[问题10] 若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的范围为________．
答案 －∞，14
11．(1)对数运算性质
已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.
则loga(MN)＝logaM＋logaN，
logaMN＝logaM－logaN，
logaMn＝nlogaM，
对数换底公式：logaN＝logbNlogba.
推论：logamNn＝nmlogaN；logab＝1logba.
(2)指数函数与对数函数的图象与性质
可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)．
[问题11] 函数y＝loga|x|的增区间为_________________．
答案 当a>1时，(0，＋∞)；当0
12．幂函数
形如y＝xα(α∈R)的函数为幂函数．
(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线．
②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线．
③当0
④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的．
(2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数，②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数．
[问题12] 函数f(x)＝12x－12x的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
13．函数与方程
(1)对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根． (2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根．反之不成立．
[问题13] 已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 f(x)＝(x－2)(x－1)g(x)＋3x－4，
∴f(1)＝0＋3×1－4＝－1<0，f(2)＝2×3－4＝2>0.
又函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，
∴函数f(x)在区间(1,2)内有零点．
因此方程f(x)＝0在(1,2)内必有实数根．
14．求导数的方法
①基本导数公式：c′＝0 (c为常数)；(xm)′＝mxm－1 (m∈Q)；(sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a；(ln x)′＝1x；(logax)′＝1xln a(a>0且a≠1)．
②导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；
(uv)′＝u′v＋uv′；uv′＝u′v－uv′v2(v≠0)．
③复合函数的导数：yx′＝yu′·ux′.
如求f(ax＋b)的导数，令u＝ax＋b，则
(f(ax＋b))′＝f′(u)·a.
[问题14] f(x)＝exx，则f′(x)＝________.
答案 exx－x2
15．利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数．
注意：如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．
[问题15] 函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________．
答案 a≥13
解析 f(x)＝ax3－x2＋x－5的导数f′(x)
＝3ax2－2x＋1.
