高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》经典测试题及解析

【高中数学】数学《复数》复习知识要点

一、选择题

1．复数21izi，i是虚数单位，则下列结论正确的是

A．5z B．z的共轭复数为31+22i

C．z的实部与虚部之和为1 D．z在复平面内的对应点位于第一象限

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的四则运算，求得1322zi，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．

【详解】

由题意22121313111122iiiiziiiii，

则221310()()222z，z的共轭复数为1322zi，

复数z的实部与虚部之和为2，z在复平面内对应点位于第一象限，故选D．

【点睛】

复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)abiabR的实部为a、虚部为b、模为22ab、对应点为(,)ab、共轭为abi．

2．已知复数z的模为2,则zi的最大值为：( )

A．1 B．2 C．5 D．3

【答案】D

【解析】

因为zi213zi ，所以最大值为3，选D.

3．a为正实数，i为虚数单位，2aii，则a=（ ）

A．2 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】 【分析】

【详解】

2||21230,3aiaaaaiQQ，选B.

4．设i是虚数单位，则3211ii等于( )

A．1i B．1i C．1i D．1i

【答案】B

【解析】

【分析】

化简复数得到答案.

【详解】

3221(1)(1)2(1)1221iiiiiiiii

故答案选B

【点睛】

本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.

5．在复平面内，已知复数z对应的点与复数2i对应的点关于实轴对称，则zi（ ）

A．12i B．12i C．12i D．12i

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知求得z，代入zi，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【详解】

由题意，2zi，

则22(2)()12ziiiiiii．

故选：B．

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

6．已知i是虚数单位，复数z满足12izi，则z的虚部是（ ） A．1 B．i C．1 D．i

【答案】A

【解析】

12izi22(1)112iiizii，所以z的虚部是1，选A.

7．若复数1aizi，且3·0zi，则实数a的值等于（ ）

A．1 B．-1 C．12 D．12

【答案】A

【解析】

【分析】

由3·0zi可判定3·zi为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.

【详解】

i1i11ii1i1i1i2aaaazQ，

所以3·zi341i1i1i122aaaa，

因为3·0zi，所以3·zi为实数，102a

可得1a，1a时3,?10zi,符合题意，故选A.

【点睛】

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

8．复数z满足(2)36zii（i为虚数单位），则复数z的虚部为（ ）

A．3 B．3i C．3i D．3

【答案】D

【解析】

【分析】

首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.

【详解】

由题意可得：362361151322255iiiiziiii， 据此可知，复数z的虚部为3.

本题选择D选项.

【点睛】

复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．

9．已知复数z满足(1)43zii，其中i是虚数单位，则复数z在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）

A．52 B．522 C．52 D．54

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算化简z, 复数z在复平面中对应的点到原点的距离为||,z利用模长公式即得解.

【详解】

由题意知复数z在复平面中对应的点到原点的距离为||,z

43(43)(1)1717,1222214952||442iiiiziiz

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.

10．已知i是虚数单位，则复数242izi的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.

【详解】

解：∵242232424242105iiiziiii， ∴32105zi，

∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限．

故选：A．

点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)abicdiacbdadbciabcdR. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)abiabR的实部为a、虚部为b、模为22ab、对应点为(,)ab、共轭为.abi

11．若复数z的虚部小于0，|z|5，且4zz，则iz（ ）

A．13i B．2i C．12i D．12i

【答案】C

【解析】

【分析】

根据4zz可得()2zmimR，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.

【详解】

由4zz，得()2zmimR，因为2||45zm，所以1m.

又z的虚部小于0，所以2zi，12izi.

故选：C

【点睛】

此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.

12．“1x”是“复数2(1)()zxxxixR在复平面内对应的点在第一象限”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案．

【详解】

若复数21zxxxixR在复平面内对应的点在第一象限，则20,10xxx

解得1x，故“1x”是“复数21zxxxixR在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.

故选C.

【点睛】 本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．

13．若复数234sin12coszi为纯虚数，0,，则（ ）

A．6 B．3 C．23 D．3或23

【答案】B

【解析】

分析：由题意得到关于sin,cos的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.

详解：若复数23412zsincosi为纯虚数，则：

234sin012cos0，即：23sin41cos2，

结合0,，可知：3sin21cos2，故3.

本题选择B选项.

点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14．复数z满足(2)1izi，那么||z（ ）

A．25 B．15 C．25 D．105

【答案】D

【解析】

【分析】

化简得到1355zi，再计算复数模得到答案.

【详解】

(2)1izi，∴1(1)(2)13255iiiizi，∴1355zi，∴10||5z.

故选：D.

【点睛】

本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.

15．复数(1)(2)zaiai在复平面内对应的点在第一象限，其中aR，i为虚数单位，则实数a的取值范围是（ ）

A．(0,2) B．(2,) C．(,2)

D．(2,0)

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解.

【详解】

由题意，复数2(1)(2)3(2)zaiaiaai在复平面内对应的点在第一象限，

所以23020aa，解得02a，即实数a的取值范围是(0,2).

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.

16．下列命题中，正确命题的个数是( )

①若，，则的充要条件是；

②若，且，则；

③若，则．

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

对①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；

对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；

③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.

考点：复数的有关概念.

17．复数52i的共轭复数是( )

A．2i B．2i C．2i D．2i

【答案】C

【解析】

【分析】

先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.

【详解】