(优选)复数的三角形式和运算ppt讲解

过来，复数的模与辐角主值可以唯一确定这个复数。
由此可以得到
两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。
探究新知
核心知识点：一
复数的三角形式的概念
复数z=0在复平面内与原点O（0，0）对应，向量是零向量，这时复数的模为0，
辐角是任意的。
由任意角三角函数的定义知道：




设复数z=a＋bi（z≠0）的辐角为θ，则cosθ= ,sinθ= , 其中r= + 。


’
的模r1变为原来的r2倍，从而得到一个新的
向量
O
Z1
x
探究新知
核心知识点：二
复数乘除法运算的三角表示
所对应的复数r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]即
为z1z1，这就是复数乘法的几何意义。
y
Z
当z2≠0时，
+
Z（a，b）和平面向量之间存在着一一对应的关系。
如图，以x轴的非负半轴为始边、向量所在
y
的射线（起点是原点O）为终边的角θ叫作复数
b

z=a＋bi的辐角。例如， 就是复数z=1＋i的一个


辐角，而 ＋2kπ（k∈Z）也都是复数z=1＋i的

辐角。
Z:a+bi
θ
O
a
x
探究新知
核心知识点：一




，故( − ) =
因此，这个复数的模为2，辐角为 ＋2k（k∈Z）.


重点探究
探究三




求复数2(cos -isin )的模与辐角。

详细描述
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。

2 i sin 2 i sin
2 2
r1cos
1cos
2 sin 1sin 2 isin 1sin
r2 cos2 2 sin 2 2
2 cos 1sin
2
r1 r2
cos
1
2
i sin
1
2
。
r1cos r2 cos
1 i sin 2 i sin
1 2
r1 r2
cos
1
2 i sin
1
2 。
r1 cos 1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2 r1 r2 cos 1 2 i sin 1 2
两个复数相乘，其积还是一个复数，它的模等于两个复数 模的积，它的辐角等于两个复数辐角的和。也就是说，两个复 数相乘，是把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角。
例题讲解
2
i sin
2
)
1 3
cos(
4
3
) i sin( 4
2
3
2
)
1 (cos 3
5
6
i sin
5
6
)
1 ( 3
3 1i ) 22
3 1i 66
解法二：
1 2
3 2
20 i
(3i)
(cos(
3
)
i
sin(
3
20
)
( 1 i ) 3
(
1 3
i
)
(cos(
20
3
)
i
sin(
20
3
)
1 i (cos i sin 4 ) 1 i ( 1 3 i )
例1：已知复数 z1

＝2 3cos161π－π3＋isin161π－π3
＝2
3cos
32π＋isin
3 2π
＝－2 3i.
故把复数 3－ 3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为 3＋
3i，按顺时针旋转π3得到的复数为－2 3i.
栏目 导引
第七章 复 数
两个复数 z1，z2 相乘时，先分别画出与 z1，z2 对应的向量O→Z1， O→Z2，然后把向量O→Z1绕点 O 按逆时针方向旋转角 θ2(如果 θ2<0， 就要把O→Z1绕点 O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原 来的 r2 倍，得到向量O→Z，O→Z表示的复数就是积 z1z2.
栏目 导引
第七章 复 数
6cosπ3＋isinπ3×4cosπ6＋isinπ6＝________； 6cosπ3＋isinπ3÷4cosπ6＋isinπ6＝________．
栏目 导引
解析：6cosπ3＋isinπ3×4cosπ6＋isinπ6 ＝24cosπ3＋π6＋isinπ3＋π6 ＝24i. 6cosπ3＋isinπ3÷4cosπ6＋isinπ6 ＝64cosπ3－π6＋isinπ3－π6 ＝32cosπ6＋isinπ6 ＝3 4 3＋34i. 答案：24i 343＋34i
栏目 导引
第七章 复 数
(2) 3(cos 225°＋isin 225°)÷[ 2(cos 150°＋isin 150°)]
＝ 32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]
＝ 26(cos 75°＋isin 75°)
＝
6 2
6－ 4
2＋
6＋ 4
2i
＝6－82
3＋6＋82

(1)如果向量O→Z对应复数 4i，O→Z逆时针旋转 45°后再把模变为原来的 2 倍，得到向量O→Z1，那么与O→Z1对应的复数是________；
(2)计算(1＋ 3i)6. 答案 (1)－4＋4i (2)见解析
答案
解析 (1)O→Z＝4i＝4cosπ2＋isinπ2，
O→Z1＝4 2cosπ2＋4π＋isin2π＋π4
答案
核心素养形成
题型一 复数三角形式的乘法运算 例 1 计算下列各式： (1) 2cos1π2＋isin1π2· 3cos56π＋isin56π； (2)3cos6π＋isinπ6·7cos34π＋isin34π； (3)2cosπ3＋isinπ3－4.
[解] (1)原式＝ 6cos1π2＋56π＋isin1π2＋56π ＝ 6cos1112π＋isin1112π. (2)原式＝21cosπ6＋34π＋isinπ6＋34π ＝21cos1112π＋isin1112π.
□ ＝ 01 rr12[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](z2≠0)
，
这就是说，两个复数相除，商的模等于
□02 被除数的模除以除数的模所得的商 □03 被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
，商的辐角等于
几何意义：两个复数 z1，z2 相除，可以先画出 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2， 将向量O→Z1按顺时针方向旋转 θ2(若 θ2<0，则按逆时针方向旋转|θ2|)，再把模 变为原来的r12倍，所得向量O→Z就表示商zz12.
1＝ 3
33，即
θ＝π6，
∴ 3＋i＝2cosπ6＋isin6π.
答案
(2)r＝ 1＋1＝ 2. ∵1－i 对应的点在第四象限， 且 tanθ＝－11＝－1，∴θ＝74π， ∴1－i＝ 2cos74π＋isin74π.

13π
cos
6
13
+ isin π
6
.
知识点3 复数三角形式除法法则与几何意义
1.设 z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且
r1
r2
[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]
z1
z2≠0,则z
2
=
r 1 ( θ 1 + θ 1 )
(3)模长 r= (-3)2 + (-3)2 =3 2,设辐角为 θ,tan θ=1 且(-3,-3)在第三象限,所以
5
arg(-3-3i)= π,-3-3i=3
4
2
5
cos π +
4
5
isin π
4
.
(4)模长 r= (-1)2 + ( 3)2 =2,设辐角为 θ,tan θ=- 3且(-1, 3)在第二象限,所以
r 2 ( θ 2 + θ 2 )
.
这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,
商的辐角等于 被除数的辐角 减去 除数的辐角 所得的差.
=
2.复数除法的几何意义
两个复数 z1,z2 相除时,先分别画出与 z1,z2 对应的向量OZ1 , OZ2 ,然后把向量OZ1
△OZ1Z2 的形状.
解
1
∵
2
=
1+2 3i
7+ 3i
=
(1+2 3i)(7- 3i)
(7+ 3i)(7- 3i)
π
|1 |
∴∠Z2OZ1= ,且
3

2．复数 9(cos π＋isin π)的模是________． 答案：9 3．arg(－2i)＝________． 答案：32π
谢谢
示成代数形式．
(1)4cos
π6＋isin
π6；
(2) 23(cos 60°＋isin 60°)；
(3)2cosΒιβλιοθήκη π3－isinπ 3.
【解】
(1)复数
4cos
π6＋isin
π6的模 r＝4，辐角的主值为 θ＝
π 6.
4cos
π6＋isin
π6＝4cos
π6＋4isin
π 6
＝4× 23＋4×12i
(3)原式＝12cosπ2－34π＋isinπ2－34π
＝12cos－π4＋isin－π4；
(5)原式＝14cos
π2＋isin
π 2.
1．复数 1－ 3i 的辐角的主值是( )
A.53π
B.23π
5
π
C.6π
D.3
解析：选 A.因为 1－ 3i＝212－ 23i＝2cos 53π＋isin 53π，所以 1 － 3i 辐角的主值为53π.
＝2 3＋2i.
(2)
3 2 (cos
60°＋isin
60°)的模
r＝
23，辐角的主值为
θ＝60°.
23(cos 60°＋isin 60°)＝ 23×12＋ 23× 23i
＝ 43＋34i.
(3)2cos
π3－isin
π 3
＝2cos2π－π3＋isin2π－π3
＝2cos53π＋isin
5 3π.
■名师点拨 (1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 2π 的整数倍． (2)复数 0 的辐角是任意的． (3)在 0≤θ＜2π 范围内的辐角 θ 的值为辐角的主值，通常记作 argz， 且 0≤argz＜2π. (4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．

，再将其长度伸长为原来的 2 倍，这样得到一个长度为 3，辐角为 的向量 OZ
3
2
（如图）. OZ 即为积 z1 z2 3i 所对应的向量.
解题技巧(复数的三角形式乘法运算的注意事项)
两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复
数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和。简单的
说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角
题。
知识清单
1、复数三角形式的乘法及其几何意义
Z 2的三角形式分别是：
设 Z1 、
Z1 r1 (cos 1 i sin 1 )
Z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
则
Z1 Z 2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 )

[cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
Z 2 r2 (cos 2 i sin 2 ) r2
两个复数相除,商还是一个复数,它的模等于被除数的模除以除数的模,它
的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角。简单的说切记两个复数三角
形式除法运算法则：
模数相除,幅角相减

3
i sin

2
2


2
3
cos

i
sin



3
3
3

2
2
6 cos

isin


6(cos i sin ) 6 .
3 3
3 3




1 1

模长与辐角的概念与计算
复数的模长
复数 a + bi 的模长定义为 √(a² + b²)。
复数的辐角
复数 a + bi 的辐角定义为与正实轴的夹角。
模长的性质
模长是复数与原点的距离，非负实数。
辐角的计算
可通过反三角函数或极坐标形式计算辐角。
正弦与余弦的定义与计算
1
正弦定义
正弦是一个周期函数，用于描述直角三
复数的实部与虚部
在 a + bi 中，a 是实部，b 是虚部。
复数的加减运算
1
复数相加
将实部和虚部分别相加，得到结果的实
复数相减
2
部和虚部。
将实部和虚部分别相减，得到结果的实
部和虚部。
3
计算示例
例如，(2+3i) + (4-2i) = 6 + i。
复数的乘法运算
1
复数相乘
将复数的实部和虚部分别相乘，然后相加，得到结果的实部和虚部。
复数的三角形式课件
本课程将深入探讨复数的三角形式，包括概念、运算、模长与辐角计算以及 在数学和几何中的应用等内容。
复数的概念及表示方法
复数定义
复数是由实数和虚数构成的数，可以用 a + bi 表 示。
复数表示方法
复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。
虚数单位
虚数单位 i 是定义为 i²= -1 的数。
余弦定义
2
பைடு நூலகம்角形中某一边与斜边之比。
余弦是一个周期函数，用于描述直角三
角形中两个边之比。
3
计算方法
可以通过正弦和余弦表查找或通过计算 器进行计算。
正切和余切的定义与计算

加法运算实例
例如， $z_1=3(cosfrac{pi}{3}+isinfrac{pi}{3})$和 $z_2=4(cosfrac{pi}{4}+isinfrac{pi}{4})$的 和为 $z_1+z_2=7(cos(frac{pi}{3}+frac{pi}{4})+ isin(frac{pi}{3}+frac{pi}{4}))$。
幅角的取值范围
幅角的取值范围是[0, 2π)，并且对于 任意非实数z，其幅角是唯一的。
共轭复数的性质
共轭复数的定义
如果复数z=a+bi，那么它的共轭复数是z*=a-bi。
共轭复数的性质
共轭复数的模相等，即|z|=|z*|=sqrt(a^2+b^2)。
04
复数三角形式的实际应用
在电路分析中的应用
theta_1} + r_2^n e^{i n theta_2}$
应用
03
幂运算性质在解决复数幂运算问题中非常有用，如求解复数方
程、计算复数幂级数等。
THANKS
感谢观看
复数三角形式的加法和减法运算
加法运算规则
根据复数三角形式的定义，两个复数 $z_1=r_1(costheta_1+isintheta_1)$和 $z_2=r_2(costheta_2+isintheta_2)$的和 为 $z_1+z_2=r_1(costheta_1+isintheta_1)+ r_2(costheta_2+isintheta_2)$。
VS
除法运算实例
例如， $z_1=3(cosfrac{pi}{3}+isinfrac{pi}{3})$ 和 $z_2=4(cosfrac{pi}{4}+isinfrac{pi}{4})$ 的商为$frac{z_1}{z_2}=frac{3}{4}(cos(frac{7pi}{12})+isin(-frac{7pi}{12}))$。