查漏补缺——二次函数

例 如图，从半径为15cm 的圆形铁片上，挖去一个半径为x(cm)的圆，写出剩余部分的面积y 与x 之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围。

拓展训练：如图，李大爷要围成一个矩形菜园ABCD ，菜园的一边AD 利用足够长的墙，另外三边用总长为24米的篱笆围成。

设边AB=x 米,BC=y 米。

（1）写出y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）若矩形ABCD 的面积为S ，试写出S 与x 之间的函数关系式。

三、畅所欲言，反思总结本节课你有哪些收获？还有哪些疑惑？四、达标检测，查漏补缺 1. 下列函数是二次函数的为（ ） A. 21+=x y B. ()213+=x y C. 32)1(x x y -+= D. x x y -=21 2. 已知函数2)1(x m mx y -+=是二次函数，则m ___________。

3. 如图，在ABC Rt ∆中，o09C =∠，o A 30=∠，写出它的面积y 与斜边长x 之间的函数表达式，并指出自变量x 的取值范第二部分第二阶段确定函数解析式过程，通过条件写出满足要求的函数解析式，此过程通过联系实际写出自变量的取值范围。

通过生活实例加深对二次函数的理解。

第三部分，通过新课教学以及巩固练习，学生自行总结本节课所学内容，并进行记录.第四部分，用来巩固二次函数定义及其特点。

xyCBA课后活动设计： Sotoday’shomework is : 1. Say学情分析学生已经学习了函数的定义，一次函数和反比例函数的基本形式及其图像和性质，且在围。

中考链接如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为边BC 、CD 上的动点，且AB=4，AE=AF 。

设△AEF 的面积为y ，EC 的长为x ，写出y 与x 之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围。

此部分和第一部分融会贯通，加深了同学们对二次函数认识。

并和中考紧密相连，联系到三角形全等来解决此问题。

2024年第6期教育教学SCIENCE FANS 在常规的初中数学教学中，部分教师将课堂导入、新知讲解和课堂练习视为学生学习的三个环节，并利用讲授法传授知识、方法[1]。

在整个教学过程中，学生缺乏主动学习的机会，只能被动地接受数学知识，难以做到知其然且知其所以然，也无法有效地发展思考能力、问题解决能力等。

对此，教师要在新课标理念的指引下，关注学生的学习主体性，走好初中数学课堂教学的“六步”。

1 数学教学“六步”的概述数学教学的“六步”是教师在新课程理念的指引下，以学生为本探索出的新的教学流程。

“六步”主要包括导入课堂、自主学习、交流展示、应用巩固、小结反思、评价反馈，在这六个教学环节，教师要扮演教学引导者、组织者、合作者的角色，使用适宜的方式引导学生体验不同的教学活动。

在学生亲身体验的过程中，教师需要留心观察，精准地了解他们的学习情况，并据此给予学习指导，促使学生走好每一步。

由此，学生在体验不同教学活动的过程中能够充分发挥主体性，灵活地通过独立思考、合作交流、动手实践等方式分析、解决问题，深刻地认知数学知识，掌握基本技能，习得数学思想方法，积累数学活动经验，同时增强学习意识，锻炼问题解决能力，提升数学核心 素养。

2 初中数学教学“六步”的实践2.1 导入课堂导入课堂是数学课堂教学的第一步，目的是吸引学生的注意力，促使学生进入数学课堂，主动探究新知内容。

导入课堂的方式有很多，如温故知新、创设情境、组织游戏等[2]。

一般情况下，教师要依据教学内容和学情选用适宜的导入方式，迈出数学课堂教学的第一步。

“二次函数y =ax 2的图象和性质”是学生在学习二次函数的概念后需要学习的新内容，也是学生探究坐标形式和一般形式的二次函数图象性质的基础。

在学习本节课之前，学生在教师的引导下探究了一次函数、反比例函数等的图象、性质等内容，建构了一定的认知，这些已有认知是学生探究数学新知的支撑。

因此，在实施“二次函数y =ax 2的图象和性质”的教学时，教师可以采用温故知新法导入课堂。

练习1命题“若ABC △内有一内角为π3，则三个内角为构成等差数列的三项”的逆命题与原命题的真假 （填“相同”或“不同”）．【解析】 相同． 练习2已知二次函数()2f x ax bx c =++（0a ≠）的两根均大于3，⑴ 同学甲认为该题设等价于121269x x x x +>⎧⎨⋅>⎩，这是否正确？ ；⑵ 同学乙认为该题设等价于1212690x x x x +>⎧⎪⋅>⎨⎪∆⎩≥，这是否正确 ；⑶ 写出你的解决方案 ．【解析】 ⑴ 不正确；⑵ 不正确．⑶方案一： ()()()()11123303300x x x x -+->⎧⎪-⋅->⎨⎪∆⎩≥，方案二：()030320a f b a >⎧⎪>⎪⎪⎨->⎪⎪∆⎪⎩≥或()030320a fb a <⎧⎪<⎪⎪⎨->⎪⎪∆⎪⎩≥．练习3⑴ 函数2743kx y kx kx +=++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 ． ⑵ 若函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R ，则a 的取值范围是 ；⑶ 若函数()2lg y axx a =-+的值域为R ，则a 的取值范围是 ．【解析】 ⑴ 30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭．⑵ 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；⑶ 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．练习4⑴ 函数()212log 28y x x =--的单调递增区间是 ；⑵ 函数22436x x y x x ++=+-的值域是 ．【解析】 ⑴ (),2-∞-；⑵ ()22,,11,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．练习5⑴ 函数()1y f x =+与()1y f x =-的图象关于 对称． A ． 直线1x = B ．y 轴 C ．原点 D ．直线1x =-⑵ 定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x +=-，又()()13g x f x =+，()()23g x f x =-，第8讲查漏补缺 补充材料给出下列命题：① ()f x 的图象关于直线1x =对称， 1()g x 的图象与2()g x 的图象关于直线3x =对称； ② ()f x 的图象关于直线1x =对称， 1()g x 的图象与2()g x 的图象关于直线0x =对称； ③ 1()g x 的图象关于直线2x =-对称， 2()g x 的图象关于直线2x =对称； ④ 1()g x 的图象关于直线2x =-对称， 2()g x 的图象关于直线4x =对称． 其中正确的命题是 （填入正确命题的序号）．【解析】 ⑴ B ．⑵ ②③．练习6 已知函数()f x 在定义域R 上可导，其导函数为()f x '，则下列命题：① 若()f x 是奇函数，那么()f x '为偶函数； ② 若()f x 是偶函数，那么()f x '为奇函数； ③ 若()f x '为奇函数，那么()f x 为偶函数； ④ 若()f x '为偶函数，那么()f x 为奇函数． 其中正确的是 ．【解析】 ①②③． 练习7方程()()1122log 95log 3220x x ------=的解集为 ．【解析】 {}2．练习8⑴ 已知函数()()314,1log ,1aa x a x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩≥在(),-∞+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 ；⑵ 函数()121xf x x -=+的单调递减区间是 ．【解析】 ⑴ 1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；⑵ (),1-∞-和()1,-+∞．练习9已知函数()213,224log ,02x x f x x x ⎧⎛⎫+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<<⎩≥，若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是 ．【解析】 3,14⎛⎫⎪⎝⎭．练习10 已知函数()21,0log ,0x x f x x x +⎧=⎨>⎩≤，则函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数是 ． 【解析】 4．练习11 函数()y f x =的图象与函数()()2log 0g x x x =>的图象关于原点对称，则()y f x =的解析式为 ．【解析】 ()()()2log 0f x x x =--<．练习12 三次函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠）的对称中心的横坐标为 ． 【解析】 3b a-．练习13 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当(),0x ∈-∞时不等式()()0f x xf x '+<成立，若()030.333a f =⋅，()()ππlog 3log 3b f =⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则,,a b c 的大小关系是 （用“>”连接）．【解析】 c b a >>．练习14 若()32f x ax bx cx d =+++为增函数，则,,a b c 所满足的关系式（等式或不等式（组））是 ．【解析】 230b ac a ⎧⎨>⎩≤，00c a b >⎧⎨==⎩练习15 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：① 点A ，B 都在函数()y f x =图象上；② 点A ，B 关于原点对称；则称点对(),A B 是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(),A B 与点对(),B A 是同一个“姐妹点对”）．那么⑴ 函数()24,02,0x x f x x x x -⎧=⎨-<⎩≥的“姐妹点对”的个数为__ _____；⑵ 当函数()x g x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是_ _____．【解析】 ⑴1．⑵1a >．练习16 要得到函数y x =的图象，只需将函数π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动π8个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动π4个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动π4个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动π8个单位长度【解析】 C ．练习17 函数()sin sin 2cos f x x x x =+-，[]0πx ∈，的最大值为 ，最小值为 ．【解析】 54，1-．练习18 函数()sin cos 1sin cos x xf x x x=++的值域为 ．【解析】121,11,22⎡⎫⎛⎤----⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦练习19 ⑴ 已知tan θ=cos sin cos sin θθθθ+=- ；22sin sin cos 2cos θθθθ-+= ；⑵ 已知226sin sin cos 2cos 0αααα+-=，π,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=．【解析】 ⑴3--．⑵ 613-．练习20 ⑴ 在ABC △中，已知3sin 5A =，5cos 13B =，则cosC = ； ⑵ 已知1sin cos 5θθ+=，()0,πθ∈，则tan θ= ；⑶ 在ABC △中，若2a =，b =，π4A =，则B = ．【解析】 ⑴ 1665．⑵ 43-．⑶ π6．练习21 ⑴ 设数列{}n a 的前n 项和223n S n n =++，n *∈N ，则n a = ；⑵ 若数列{}n a 的前n 项和13n n S a +=，且11a =，则n a = ；⑶ 数列{}n a 中，11a =，1231111231n n a a a a a n -=++++-（2n ≥），则n a = ； 【解析】 ⑴6,121,2n n a n n =⎧=⎨+⎩≥；⑵21,114,233n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩≥ ⑶1,1,22n n a n n =⎧⎪=⎨⎪⎩≥．练习22 ⑴ 已知2n a n kn =-，n *∈N ，且{}n a 单调递增，则k 的取值范围是 ．⑵ 设等比数列{}n a 的前n 项和为0n S >，且10a >，则其公比q 的取值范围是 ．【解析】 ⑴(),3-∞；⑵()()1,00,-+∞．练习23 设()471031022222n f n +=+++++，n ∈N ，则()f n 等于 ．【解析】 ()42817n +-练习24 在ABC △中，有如下命题：① AB AC BC -=； ② 0AB BC CA ++=； ③ 若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ABC △为等腰三角形 ④ 若0AC AB ⋅>，则ABC △为锐角三角形． 写出所有正确命题的序号 ．【解析】 ②③．练习25 ⑴ O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面内不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，0λ≥，则P 的轨迹一定通过ABC △的（ ）． ⑵ 点O 是三角形ABC 所在平面内一点，满足OA OA OB OB OC OC ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC△的（ ）⑶ 点O 是三角形ABC 所在平面内一点，满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC △的（ ）⑷ 点O 是三角形ABC 所在平面内一点，满足0OA OB OC ++=，则点O 是ABC △的（ ） ⑸ 点O 是三角形ABC 所在平面内一点，且使得OA OA OB OB OC OC ⋅+⋅+⋅的值最小，则点O 是ABC △的（ ）⑹ 在ABC △内有点O ，使0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 是ABC △的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心【解析】 ⑴B ；⑵A ；⑶D ；⑷C ；⑸C ；⑹B ．练习26 ⑴ 棱长为1的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 ．⑵ 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个DCBA【解析】 ⑴16；⑵ D ．练习27 棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为1d 、2d 、3d 、4d ，则1234d d d d +++的值为．【解析】练习28 一简单凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为 ，它的顶点个数为 ．【解析】 16，10．练习29 已知二面角AB αβ--为120︒，CD α⊂，CD AB ⊥，EF β⊂，EF 与AB 成30°角，则异面直线CD 与EF 所成角的余弦值为 ．【解析】 14．练习30 直二面角l αβ--的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB 、AC 与l 成45︒，则BAC ∠= ．【解析】 60︒或120︒．练习31 ⑴ 回忆经度和纬度的概念，指出它们的本质是线线角、线面角还是二面角？经度是 ，纬度是 ．⑵ 圆弧（劣弧）所对的弦长一定的情况下，圆弧的半径越大，其所对的圆心角 ，其弧长 ，（填“越大”或“越小”），所以连接球面上两点的圆弧中，大圆上的劣弧最短． 【解析】 ⑴ 二面角，线面角；⑵ 越小，越小．练习32 有一批钢管长度为4米，要截成50厘米和60厘米的两种毛坯，且按这两种毛坯数量比大于13配套（5060厘米厘米），怎样截最合理？【解析】 50厘米的2根，60厘米的5根．练习33 过抛物线()20y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为,p q ，则11p q+等于 ． 【解析】 4a ．练习34 一直线过点332⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，且被圆2225x y +=截得的弦长为8．则此弦所在直线方程为 ．【解析】 3x =-或31544y x =--．练习35 已知圆()2234x y -+=和直线y mx =的交点分别为P 、Q ，O 为坐标原点，则OP OQ ⋅的值为 ．【解析】 5．练习36 已知圆的方程为228120x y x +++=，在此圆的所有切线中，纵横截距相等的条数有 ．【解析】 4．练习37 若圆222210x y a x a +-+-=与抛物线212y x =有两个公共点，则a 的取值范围是 ．【解析】 178a =或11a -<<．练习38 已知直线l 与()3,3A 和()5,2B 的距离都相等，且过直线1l ：310x y --=与2l ：30x y +-=的交点，则直线l 的方程为 ．【解析】 6110x y -+=或250x y +-=．练习39 ⑴ 过点()0,1且与抛物线22y x =有且只有一个公共点的直线方程为 ；⑵ 过点()1,0且与双曲线224x y -=只有一个公共点的直线方程为 ．【解析】 ⑴ 1y =，0x =，112y x =+；⑵)1y x =-，()1y x =±-．练习40 经过抛物线24y x =的焦点弦的中点轨迹方程是 ． 【解析】 ()221y x =-练习41 设二面角AB αβ--大小为θ，在AB 上选一点O ，以O 为原点，AB 为y 轴在两个半平面内分别建立坐标系xOy 和x Oy '，其中x 轴的正半轴和x '轴的正半轴分别在半平面α和β内．已知α内的曲线C 的方程为22y px =（0p >），则曲线C 在β内的射影的曲线C '的方程为 ．【解析】 24y px ''=（0p >）．练习42 编号为1,2,3,4,5的五个人，分别坐在编号为1,2,3,4,5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为 ．【解析】 109．练习43 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间三个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数为 ． 【解析】 346．练习44 沿图中的线段移动，且在移动过程中不允许经过重复的点或线段，则从A 到B 点共有种不同的移动方法．B【解析】 25．练习45 已知A 、B 、C 为三个彼此互相独立事件，若事件A 发生的概率为12，事件B 发生的概率为2 3，事件C发生的概率为34，则发生其中两个事件的概率为．【解析】1124．练习46已知某批产品共计7件，其中有一件是次品，现在逐件进行产品检验，那么检验出次品所需要的检验次数的数学期望为．【解析】277．练习47某家庭有3个孩子，其中有1名女孩，则该家庭至少有1个男孩的概率为．【解析】67．练习4812张分别标以1,2,3,,12的卡片，任意分成两叠，每叠6张．⑴若标有1,2,3三张在同一叠的概率为．⑵标有1,2,3,4四张卡片中，每叠各有两张的概率为．【解析】211，511．练习49一个单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人，为了解职工和某种情况，决定采取分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，每个管理人员被抽到的概率为．【解析】110．练习50如果k是()51x+的展开式中k x的系数，当样本2,7,,4,3,6k的方差最小时，k的值为．【解析】1或4．。

2021中考数学三轮查漏补缺：二次函数的实际应用一、选择题1. 某种服装的销售利润y(万元)与销售数量x(万件)之间满足函数解析式y＝－2x2＋4x＋5，则利润的()A．最大值为5万元B．最大值为7万元C．最小值为5万元D．最小值为7万元2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()A．4米B．3米C．2米D．1米3. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD的总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()A．18 m2B．18 3 m2 C．24 3 m2 D.45 32m24. 如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=-(x-80)2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面CD处，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为()A .16米B .米C .16米D .米5. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位:m)与小球运动时间t (单位: s)之间的函数关系如图所示.下列结论: ①小球在空中经过的路程是40 m; ②小球抛出3秒后，速度越来越快; ③小球抛出3秒时速度为0; ④小球的高度h=30 m 时，t=1.5 s . 其中正确的是 ( )A .①④B .①②C .②③④D .②③6. 如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数解析式是y＝－112x 2＋23x ＋53，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10 m7. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m ，在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )A．此抛物线的解析式是y＝－15x2＋3.5B．篮圈中心的坐标是(4，3.05)C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)D．篮球出手时离地面的高度是2 m8. 如图，将一个小球从斜坡上的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－12x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝12x刻画，下列结论错误的是()A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距点O的水平距离为3 mB．小球距点O的水平距离超过4 m后呈下降趋势C．小球落地点距点O的水平距离为7 mD．小球距点O的水平距离为2.5 m和5.5 m时的高度相同二、填空题9. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品的售价为a元，则可卖出(350－10a)件．但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的40%，若商店想获得最大利润，则每件商品的价格应定为________元．10. 如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF 分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB=m时，矩形土地ABCD的面积最大.11. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=.12. 某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：(1)月销量y(件)与售价x(元/件)的关系满足y＝－2x＋400；(2)工商部门限制售价x满足70≤x≤150(计算月利润时不考虑其他成本)．给出下列结论：①这种文化衫的月销量最小为100件；②这种文化衫的月销量最大为260件；③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上)13. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.14. 某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t·为正整数．．．．)的增大而增大，a 的取值范围应为________．15. 飞机着落后滑行的距离s(单位：米)关于滑行时间t(单位：秒)的函数解析式是s＝60t－32t2，则飞机着落后滑行的最长时间为________秒．16. 如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为________m.三、解答题17. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O点正上方1 m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－4)2＋h.已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.(1)当a＝－124时，①求h的值，②通过计算判断此球能否过网．(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m，离地面的高度为12 5m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．18. 有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立平面直角坐标系(如图所示)．(1)请你直接写出O，A，M三点的坐标；(2)一艘小船上平放着一些宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米(最底层木板与水面在同一平面，不考虑船的高度)?19. 一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg.经销一段时间后得到如下数据：设y与x(1)直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；(2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？20. 已知一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCD的三边组成，隧道的最大高度为4.9米，AB＝10米，BC＝2.4米，现把隧道横断面放在如图所示的平面直角坐标系中，有一辆高为4米，宽为2米的装有集装箱的汽车要通过该隧道，如果不考虑其他因素，汽车的右侧至少离开隧道石壁多少米才不至于碰到隧道顶部？21. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？22. 如图，用一块长为50 cm，宽为30 cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角各截去一个相同的小正方形，设小正方形的边长为x cm.(1)盒子底面的长AB＝________ cm，宽BC＝________ cm.(用含x的代数式表示)(2)若做成的盒子的底面积为300 cm2，求该盒子的容积．(3)该盒子的侧面积S(cm2)是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S的最大值；若不存在，说明理由.23. 九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下，已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)．时间x(天)1306090每天销售量p(件)1981408020(1)求出w与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．24. 宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y ＝⎩⎨⎧7.5x （0≤x ≤4），5x ＋10（4＜x ≤14）.(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件？(2)设第x 天生产的产品成本为P 元/件，P 与x 之间的函数图象如图.工人甲第x 天创造的利润为W 元，求W 与x 之间的函数解析式，并求出第几天时，工人甲所创造的利润最大，最大利润是多少.2021中考数学 三轮查漏补缺：二次函数的实际应用-答案一、选择题 1. 【答案】B2. 【答案】A [解析] y ＝－(x 2－4x ＋4)＋4＝－(x －2)2＋4，∴水喷出的最大高度是4米．3. 【答案】C [解析] 如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ， 则四边形ADCE 为矩形，∠DCE ＝∠CEB ＝90°， 则∠BCE ＝∠BCD －∠DCE ＝30°. 设CD ＝AE ＝x m ，则BC ＝(12－x)m.在Rt △CBE 中，∵∠CEB ＝90°，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝12BC ＝(6－12x)m ， ∴AD ＝CE ＝BC 2－BE 2＝(6 3－32x)m ，AB ＝AE ＋BE ＝x ＋6－12x ＝(12x ＋6)m ，∴梯形ABCD 的面积＝12(CD ＋AB)·CE ＝12(x ＋12x ＋6)·(6 3－32x)＝－3 38x 2＋3 3x ＋18 3 ＝－3 38(x －4)2＋24 3.∴当x ＝4时，S 最大＝24 3.即CD 的长为4 m 时，梯形储料场ABCD 的面积最大为24 3 m 2.故选C.4. 【答案】B[解析]∵AC ⊥x 轴，OA=10米，∴点C 的横坐标为-10. 当x=-10时，y=-(x -80)2+16=+16=-，∴C，∴桥面离水面的高度AC 为米. 故选B .5. 【答案】D[解析]①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m ，故①错误;②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确; ③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确; ④设函数解析式为:h=a (t -3)2+40，把O (0，0)代入得0=a (0-3)2+40，解得a=-， ∴函数解析式为h=-(t -3)2+40.把h=30代入解析式得，30=-(t -3)2+40，解得t=4.5或t=1.5， ∴小球的高度h=30 m 时，t=1.5 s 或4.5 s ，故④错误，故选D .6. 【答案】D[解析] 把y ＝0代入y ＝－112x 2＋23x ＋53，得－112x 2＋23x ＋53＝0，解得x 1＝10，x 2＝－2.又∵x ＞0，∴x ＝10. 故选D.7. 【答案】A [解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2＋3.5.∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，∴3.05＝a×1.52＋3.5.解得a ＝－15.∴y ＝－15x 2＋3.5.可见选项A 正确．由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，可见选项B 错误． 由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，可见选项C 错误．将x ＝－2.5代入抛物线的解析式，得y ＝－15×(－2.5)2＋3.5＝2.25，∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m 可见选项D 错误． 故选A.8. 【答案】A[解析] 令y ＝7.5，得4x －12x 2＝7.5.解得x 1＝3，x 2＝5.可见选项A错误．由y ＝4x －12x 2得y ＝－12(x －4)2＋8，∴对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，选项B 正确．联立y ＝4x －12x 2与y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝72.∴抛物线与直线的交点坐标为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，可见选项C 正确．由对称性可知选项D 正确．综上所述，只有选项A 中的结论是错误的，故选A.二、填空题9. 【答案】28 [解析] 设商店所获利润为y 元．根据题意，得 y ＝(a －21)(350－10a)＝－10a 2＋560a －7350＝－10(a －28)2＋490， 即当a ＝28时，可获得最大利润．又21×(1＋40%)＝21×1.4＝29.4，而28<29.4，所以a ＝28符合要求． 故商店应把每件商品的价格定为28元，此时可获得最大利润．10. 【答案】150[解析]设AB=x m ，矩形土地ABCD 的面积为y m 2，由题意，得y=x·=-(x-150)2+33750，∵-<0，∴该函数图象开口向下，当x=150时，该函数有最大值.即AB=150 m时，矩形土地ABCD的面积最大.11. 【答案】1.6[解析]设各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度h，则第一个小球的离地高度y=a(t-1.1)2+h(a≠0)，由题意a(t-1.1)2+h=a(t-1-1.1)2+h，解得t=1.6.故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同.12. 【答案】①②③[解析] 由题意知，当70≤x≤150时，y＝－2x＋400，∵－2＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝150时，y取得最小值，最小值为100，故①正确；当x＝70时，y取得最大值，最大值为260，故②正确；设销售这种文化衫的月利润为W元，则W＝(x－60)(－2x＋400)＝－2(x－130)2＋9800，∵70≤x≤150，∴当x＝70时，W取得最小值，最小值为－2(70－130)2＋9800＝2600，故③正确；当x＝130时，W取得最大值，最大值为9800，故④错误．故答案为①②③.13. 【答案】75[解析] 设与墙垂直的一边的长为x m，则与墙平行的一边的长为27－(3x－1)＋2＝(30－3x)m.因此饲养室总占地面积S＝x(30－3x)＝－3x2＋30x，∴当x＝－302×（－3）＝5时，S最大，S最大值＝－3×52＋30×5＝75.故能建成的饲养室总占地面积最大为75 m2.14. 【答案】0<a≤5【解析】设未来30天每天获得的利润为y，y＝(110－40－t)(20＋4t)－(20＋4t)a化简，得y＝－4t2＋(260－4a)t＋1400－20a，每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为整数)的增大而增大，则－（260－4a）2×（－4）≥30，解得a≤5，又∵a＞0，∴a的取值范围是0＜a≤5.15. 【答案】20 [解析] 滑行的最长时间实际上是求顶点的横坐标．∵s ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，s 的最大值为600.16. 【答案】0.5 [解析] 以抛物线的对称轴为纵轴，向上为正，以对称轴与地面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式可设为y ＝ax 2＋h.由于抛物线经过点(1，2.5)和(－0.5，1)，于是求得a ＝2，h ＝0.5.三、解答题17. 【答案】【思维教练】(1)将点P 坐标代入解析式求出h 的值，当抛物线到达球网位置的时候，对比抛物线与球网的高度判断是否能过网；(2)球能过网说明抛物线过点(0，1)和点(7，125)，代入抛物线解析式求解即可．解：(1)①把(0，1)代入y ＝－124(x －4)2＋h ，得h ＝53.(2分)②把x ＝5代入y ＝124(x －4)2＋53，得y ＝－124(5－4)2＋53＝1.625.∵1.625＞1.55.∴此球能过网；(4分)(2)把(0，1)，(7，125)代入y ＝a (x －4)2＋h ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋h ＝1，9a ＋h ＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，h ＝215.∴a ＝－15.(8分)18. 【答案】解：(1)O(0，0)，A(6，0)，M(3，3)．(2)设抛物线的函数解析式为y ＝a(x －3)2＋3.因为抛物线过点(0，0)，所以0＝a(0－3)2＋3，解得a ＝－13，所以y ＝－13(x －3)2＋3.要使木板堆放最高，根据题意，得点B 应是木板宽CD 的中点(如图所示)，把x＝2代入y ＝－13(x －3)2＋3，得y ＝83，所以这些木板最高可堆放83米．19. 【答案】解：(1)y ＝－12x ＋160，120≤x ≤180.(3分)(2)设销售利润为W 元，则W ＝y(x －80)＝(－12x ＋160)(x －80)，(4分)即W ＝－12x 2＋200x －12800＝－12(x －200)2＋7200.(5分)∵－12＜0， ∴当x ＜200时，W 随x 的增大而增大，又120≤x ≤180，∴当x ＝180时，W 取最大值，此时，W ＝－12(180－200)2＋7200＝7000.答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．(8分)20. 【答案】解：由题意，知AB ＝10米，BC ＝2.4米，∴C(10，0)，B(10，－2.4)，A(0，－2.4)．由题意，知抛物线的顶点坐标为(5，2.5)．设抛物线的解析式为y ＝a(x －5)2＋2.5.将(10，0)代入解析式，得0＝a(10－5)2＋2.5，解得a ＝－110，∴y ＝－110(x －5)2＋2.5＝－110x 2＋x.此公路为双向公路，当汽车高为4米时，在抛物线隧道中对应的纵坐标y ＝4－2.4＝1.6，由1.6＝－110x 2＋x ，解得x 1＝2，x 2＝8.故汽车要通过隧道，其右侧至少要离开隧道石壁2米才不至于碰到隧道顶部．21. 【答案】解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD 的面积是矩形BCFE 的面积的2倍，∴AE ＝2BE.设BE ＝a ，则AE ＝2a ，∴8a ＋2x ＝80，∴a ＝－14x ＋10，3a ＝－34x ＋30，∴y ＝(－34x ＋30)x ＝－34x 2＋30x.∵a ＝－14x ＋10＞0，∴x ＜40，则y ＝－34x 2＋30x(0＜x ＜40)．(2)∵y ＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300(0＜x ＜40)，且二次项系数为－34＜0，∴当x ＝20时，y 有最大值，最大值是300.22. 【答案】解：(1)(50－2x) (30－2x)(2)依题意，得(50－2x)(30－2x)＝300，整理，得x 2－40x ＋300＝0，解得x 1＝10，x 2＝30(不符合题意，舍去)．当x ＝10时，盒子的容积＝300×10＝3000(cm 3)．(3)存在．盒子的侧面积S ＝2x(50－2x)＋2x(30－2x)＝100x －4x 2＋60x －4x 2＝－8x 2＋160x ＝－8(x 2－20x)＝－8[(x －10)2－100]＝－8(x －10)2＋800，∴当x ＝10时，S 有最大值，最大值为800.23. 【答案】解：(1)当0≤x≤50时，设商品的售价y 与时间x 的函数关系式为y ＝kx ＋b(k 、b 为常数且k≠0)，∵y ＝kx ＋b 经过点(0，40)，(50，90)，∴⎩⎨⎧b ＝4050k ＋b ＝90， 解得⎩⎨⎧k ＝1b ＝40， ∴y ＝x ＋40，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝⎩⎨⎧x ＋40 （0≤x≤50，且x 为整数）90 （50＜x≤90，且x 为整数），(2分) 由数据可知每天的销售量p 与时间x 成一次函数关系．设每天的销售量p 与时间x 的函数关系式为p ＝mx ＋n(m ，n 为常数，且m≠0)， ∵p ＝mx ＋n 过点(60，80)，(30，140)，∴⎩⎨⎧60m ＋n ＝8030m ＋n ＝140，解得⎩⎨⎧m ＝－2n ＝200， ∴p ＝－2x ＋200(0≤x≤90，且x 为整数)，(3分)当0≤x≤50时，w ＝(y －30)·p＝(x ＋40－30)(－2x ＋200)，＝－2x 2＋180x ＋2000，当50＜x≤90时，w ＝(90－30)×(－2x ＋200)＝－120x ＋12000，综上所述，每天的销售利润w 与时间x 的函数关系式是：w ＝⎩⎨⎧－2x 2＋180x ＋2000 （0≤x≤50，且x 为整数）－120x ＋12000 （50＜x≤90，且x 为整数）.(5分) (2)当0≤x≤50时，w ＝－2x 2＋180x ＋2000＝－2(x －45)2＋6050，∵a ＝－2＜0且0≤x≤50，∴x ＝45时，w 最大＝6050(元)，(6分)当50＜x≤90时，w ＝－120x ＋12000，∵k ＝－120＜0，∴w 随x 增大而减小．∴x ＝50时，w 最大＝6000(元)，∵6050＞6000，∴x ＝45时，w 最大＝6050(元)，即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．(8分)(3)24天．(10分)【解法提示】①当0≤x≤50，若w 不低于5600元，则w ＝－2x 2＋180x ＋2000≥5600，解得30≤x≤60，∴30≤x ≤50；②当50＜x≤90时，若w 不低于5600元，则w ＝－120x ＋12000≥5600，解得x≤1603，∴50＜x≤1603，综合①②可得30≤x≤1603，∴从第30天到第53天共有24天利润不低于5600元．24. 【答案】解：(1)令7.5x ＝70，则x ＝283＞4，不符合题意，∴5x ＋10＝70，解得x ＝12.答：工人甲第12天生产的产品数量为70件．(2)由函数图象知，当0≤x≤4时，P ＝40；当4＜x≤14时，设P ＝kx ＋b.将(4，40)，(14，50)代入，得⎩⎨⎧4k ＋b ＝40，14k ＋b ＝50， 解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝36.∴P ＝x ＋36.①当0≤x≤4时，W ＝(60－40)·7.5x ＝150x ，∵W 随x 的增大而增大，∴当x ＝4时，W 最大＝600；②当4＜x≤14时，W ＝(60－x －36)(5x ＋10)＝－5x 2＋110x ＋240＝－5(x －11)2＋845，∴当x ＝11时，W 最大＝845.∵845＞600，∴当x ＝11时，W 取得最大值，最大值为845.综上，W 与x 之间的函数解析式为W ＝⎩⎨⎧150x （0≤x≤4），－5x 2＋110x ＋240（4＜x≤14）；第11天时，工人甲所创造的利润最大，最大利润是845元．。