高二数学23—排列、组合、二项式定理及概率练习题

2024全国高考真题数学汇编排列、组合与二项式定理章节综合一、单选题1．（2024全国高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A．14B．13C．12D．232．（2024北京高考真题）在 4x的展开式中，3x的系数为（）A．6B．6 C．12D．12二、填空题3．（2024天津高考真题）在63333xx的展开式中，常数项为．4．（2024上海高考真题）在(1)nx 的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x项的系数为．5．（2024全国高考真题）1013x的展开式中，各项系数中的最大值为．6．（2024全国高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于12的概率为．7．（2024全国高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．参考答案1．B【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率81=243P.解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24 ，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243.故选：B 2．A【分析】写出二项展开式，令432r，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】 4x 的二项展开式为 442144C C1,0,1,2,3,4r rrr rr r T x xr，令432r，解得2r ，故所求即为 224C 16 .故选：A.3．20【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x的展开式的通项为63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x，令 630r ，可得3r ，所以常数项为0363C 20 .故答案为：20.4．10【分析】令1x ，解出5n ，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令1x ，(11)32n ，即232n ，解得5n ，所以5(1)x 的展开式通项公式为515C rr r T x ，令52r -=，则3r ，32245C 10T x x ．故答案为：10．5．5【分析】先设展开式中第1r 项系数最大，则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r，进而求出r 即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x，010r 且r Z ，设展开式中第1r 项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r，294334r r，即293344r ，又r Z ，故8r ，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53.故答案为：5.6．715【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则323a b c a b ，就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120 种，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b ，故2()3c a b ，故32()3c a b ，故323a b c a b ，若1c ，则5a b ，则 ,a b 为： 2,3,3,2，故有2种，若2c ，则17a b ，则 ,a b 为： 1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c ，则39a b ，则 ,a b 为：1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5， 2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c ，则511a b ，同理有16种，当5c ，则713a b ，同理有10种，当6c ，则915a b ，同理有2种，共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为 22101656 ，故所求概率为56712015.故答案为：7157．24112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有432124 种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152******** .故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.。

高二排列组合专题训练(优秀经典练习及答案详解)概述本文档为高二排列组合专题训练提供了一系列优秀的经典练题目及其答案详解。

通过这些练题的研究和复，学生们可以加深对排列组合问题的理解，并提升解题能力。

练题目及答案详解题目一问题：有5名学生A、B、C、D、E，从中选出3名学生组成一支代表队，要求队伍中至少要包含学生C，有多少种不同的选队方式？答案详解：我们可以将问题拆分为两种情况：1. 学生C在队伍中：在剩下的4名学生中选出2名学生，共有C(4, 2) = 6种选队方式。

2. 学生C不在队伍中：在剩下的4名学生中选出3名学生，共有C(4, 3) = 4种选队方式。

因此，总共有6 + 4 = 10种不同的选队方式。

题目二问题：某班级有10名学生，其中4名男生和6名女生。

选出3名学生组成一支代表队，要求队伍中至少要包含1名男生和1名女生，有多少种不同的选队方式？答案详解：我们可以将问题拆分为三种情况：1. 选出1名男生和2名女生：在4名男生中选出1名男生，共有C(4, 1) = 4种选男生方式。

在6名女生中选出2名女生，共有C(6, 2) = 15种选女生方式。

因此，共有4 * 15 = 60种选队方式。

2. 选出2名男生和1名女生：在4名男生中选出2名男生，共有C(4, 2) = 6种选男生方式。

在6名女生中选出1名女生，共有C(6, 1) = 6种选女生方式。

因此，共有6 * 6 = 36种选队方式。

3. 选出3名男生和0名女生：在4名男生中选出3名男生，共有C(4, 3) = 4种选男生方式。

因此，共有4种选队方式。

综上所述，总共有60 + 36 + 4 = 100种不同的选队方式。

结论本文档提供了高二排列组合专题训练的优秀经典练习题目及其答案详解。

通过完成这些题目，学生们可以加深对排列组合问题的理解和掌握，提高解题能力，并为应对考试做好准备。

2021年高考数学排列组合二项式定理概率组合试卷(文科)卷11．91x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是〔 〕A ．36-B ．36C ．84-D ．842．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进展食品平安检测。

假设采用分层抽样的方法抽取样本，那么抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是〔A 〕4〔B 〕5〔C 〕6〔D 〕73．一袋中装有大小一样，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，一共取2次，那么获得两个球的编号和不小于．．．15的概率为〔 〕Ａ．132Ｂ．164Ｃ．332Ｄ．3644．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，那么01211a a a a ++++的值是〔 〕Ａ．2-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．25．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，那么不同的报名方法一共有〔 〕A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种6．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，那么01211a a a a ++++的值是〔 〕Ａ．2-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．27．甲、乙、丙三名射箭运发动在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表123s s s ，，绩的HY 差，那么有〔 〕Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>Ｄ．213s s s >>8．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图〔如图2〕．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是〔 〕A ．48米B ．49米C ．50米D ．51米9．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是〔 〕A ．1564B ．15128C ．24125D ．4812510．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五水位〔米〕30 31 32 3348 49 50 51图20 13 14 15 16 17 18 19秒个小球，这些小球除标注的数字外完全一样．现从中随机取出2个小球，那么取出的小球标注的数字之和为3或者6的概率是A ．310 B ．15 C ．110 D ．11211．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介 于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六 组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二 组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组， 成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒 的学生人数占全班人数的百分比为x ，成绩大于等于 15秒且小于17秒的学生人数为y ，那么从频率分布直方 图中可以分析出x 和y 分别为〔 〕 A ．0.935，B ．0.945，C ．0.135，D ．0.145，12．设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平 面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上〞为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，假设事件n C 的概率最大，那么n 的所有可能值为〔 〕A ．3B ．4C ．2和5D ．3和413．621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是_____．〔用数字答题〕(14．某篮球运发动在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率为．〔用数值答题〕15．在正方体上任意选择两条棱,那么这两条棱互相平行的概率为 .16．55433221024)1(x a x a x a x a x a a x +-+++=-,那么())(531420a a a a a a ++++的值等于17．〔本小题满分是12分〕某气象站天气预报的准确率为80%，计算〔结果保存到小数点后面第2位〕〔1〕5次预报中恰有2次准确的概率；〔4分〕〔2〕5次预报中至少有2次准确的概率；〔4分〕〔3〕5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；〔4分〕18．〔本小题满分是12分〕某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以进步低岗人员的再就业才能，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或者不参加培训，参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训工程的选择是互相HY 的，且各人的选择互相之间没有影响．〔I 〕任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；〔II 〕任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．19．〔本小题满分是12分〕栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进展移栽．甲、乙两种果树成苗．．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．的概率分别为0.7，0.9． 〔1〕求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．的概率； 〔2〕求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．的概率．20.(本小题满分是13分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇〔此时笼内一共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇〕，只好把笼子翻开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.(Ⅰ)求笼内恰好剩下．．．．1只果蝇的概率；〔Ⅱ〕求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率.21．〔本小题满分是12分〕设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．〔Ⅰ〕假设a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．〔Ⅱ〕假设a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．22.〔本小题满分是12分〕某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或者分期付款购置．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是，经销一件该商品，假设顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；假设顾客采用分期付款，商场获得利润250元．〔Ⅰ〕求3位购置该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率； 〔Ⅱ〕求3位顾客每人购置1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．卷1答案：1．91x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是〔 Ｃ〕A ．36-B ．36C ．84-D ．842．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进展食品平安检测。

高二数学二项式定理与性质试题答案及解析1.若（x+m）9=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9，且a﹣a1+a2﹣a3+…+a8﹣a9=39，则实数m的值为．【答案】5.【解析】令，即，得：，又因为，所以，则.【考点】二项式定理、赋值法.2.若已知，则的值为 .【答案】1【解析】令，可得；令，可得；两式结合可得.【考点】二项式定理的应用.3. x（x﹣）7的展开式中，x4的系数是．【答案】84.【解析】x（x﹣）7的通项是，令7-2r=3，得r="2" ，所以x（x﹣）7的展开式的的系数为所以x（x﹣）7的展开式中，x4的系数是84.【考点】二项式定理；二项式系数的性质4.在的展开式中，x6的系数是（）A．﹣27B．27C．﹣9D．9【答案】D【解析】在的展开式中通项为,故x6为r=6，即第7项．代入通项公式得系数为.,故选D．【考点】二项式定理及二项式系数的性质.5.二项式的展开式的常数项为第（）项A．17B．18C．19D．20【答案】C【解析】由二项式定理可知,展开式的常数项是使的项,解得为第19项,答案选C.【考点】二项式定理6.（1）已知，记的个位上的数字为，十位上的数字，求的值；（2）求和（结果不必用具体数字表示）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先要掌握排列数计算公式，但也不能死算，应为从开始，它的后两位数字均为零，因此只需研究前面的和的结果就可以解决问题；（2）反复、灵活运用组合数的两点性质：①，②即能解决问题.试题解析：（1）的后两位由确定，而，故个位数字为，十位数字为，所以. 6分（2）. 12分【考点】1.排列数计算公式；2.组合数的性质.7.若，则a0+a2+a4+a6+a8的值为．【答案】128【解析】令,得①,再令得②,由①+②得:,故应填入:128.【考点】二项式.8.二项式的展开式的常数项为第（）项A．17B．18C．19D．20【解析】C由二项展开式的通项知==，则=0，解得=18，故常数为第19项.【考点】二项展开式的通项9.展开式中不含项的系数的和为()A．－1B．0C．1D．2【答案】B【解析】由二项式定理知，展开式中最后一项含，其系数为1，令=1得，此二项展开式的各项系数和为=1，故不含项的系数和为1-1=0，故选B.【考点】二项展开式各项系数和；二项展开式的通项10.展开式中的常数项是_________________.【答案】【解析】由二项式定理可知已知二项展开式的通项为：（r="0,1,2," ，6），令得：；故知已知二项展开式的第三项：是常数项，故填60．【考点】二项式定理．11.若，则；【答案】2014【解析】首先令可得；然后令得，即，代入式子即可求得结果.【考点】二项式定理.12.的展开式中的常数项是。

第讲排列组合和二项式定理概率(2022高考数学---新东方内部第十一章排列、组合和二项式定理1.排列数公式mAnn(n1)(n2)(nm1)n!n(mn)；Ann!n(n1)(n2)21。

(nm)!如①1！+2！+3！+…+n！（n4,nN某）的个位数字为；（答：3）②满足A8某6A8某2的某＝（答：8）组合数公式mAnn(n1)(nm1)n!0Cm(mn)；规定0!1，Cn1.Amm(m1)21m!nm!mnmnm如已知CnCm1An6，求n，m的值.（答：m＝n＝2）(了解)排列数、组合数的性质①CnmCnnm；1②CnmCnm1Cnm1；kk1③kCn；nCn11④CrrCrr1Crr2CnrCnr；1⑤nn!(n1)!n!；n11⑥.(n1)!n!(n1)!2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；（答：35）②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种；（答：70）③从集合1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_；（答：23）④72的正约数（包括1和72）共有个；（答：12）⑤A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同A的A顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形；（答：CB90）⑥用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有D种不同涂法；（答：480）⑦同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有种；（答：9）⑧f是集合Ma,b,c到集合N1,0,1的映射，且f(a)f(b)f(c)，则不同的映射共有个；（答：7）3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。

演练篇 核心考点AB 卷 """""t""高二数学 2021年5月 T 于王"排"#合二&式（）综合测试卷（B -）■河南省南乐县第一高级中学吉晓波D. 3医院了：果店一、选择题1 -已知 A ' = 100 A ',则'=（ ）。

A. 11 B. 12#. 13 D. 142. 满足条件C ）>#6的正整数"的个数是（ ）。

A. 10B. 9#. 43. 小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去 水果店买水果，然后 去花店买花，最后到达医院。

相关.........................的网格纸上，网格线是道........图1路，则小张所走路程最短的走法种数为！）。

A. 72B. 56#. 48 D. 404. 在一-次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙3人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种。

A. A ）B. 43#. 34 D. #3/ 2 \ 65. （2' — 3；?"的展开式中'3的系数为（ ）。

#. 64D. —1286. 由0,1,2,5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（）$A. 24B. 12#. 10 D. 67. 从2名教师和5名学生中选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动，要求入选的3人中至少有1名教师，则不同的选取方案数是（ ）$A. 20B. 25#. 30 D. 558. 将4张座位编号分别为1,2,3,4的电影票全部分给3人，每人至少1张$如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那 么不同的分法数是！）$A. 24B. 18#. 12 D. 69.从6种不同的颜色中选出一些颜色给如图2所示的4个格子涂色，每个格子涂图2一种颜色，且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法有（）$A.360 种B.510 种#.630 种 D.750 种10.如图 3, *MON的边O8上有4个点A i 、A 2、A 3、A 4,ON 上有 3 个点 21、22、2,，则以 O 、A 1>A 2>A 3>A 4>21、22、23中的3个点为顶点的三角形的个数为（）$A. 30B. 42#. 54 D. 5611. A 、2、C 、/4名学生报名参加学校的 甲、乙、丙、丁 4个社团，若学生A 不参加甲社团，2不参加乙社团，且4名学生每人报一个社团，每个社团也只能1人报名，则不同的 报名方法数为（ ）$A. 14B. 18#. 12 D. 412.为了提高命题质量，命题组指派5名 教师对数学卷的选择题、填空 题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为（ ）$A. 90B.36#. 150D. 10813. 2020年春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战&某医院呼吸科要从3名男医生，2名女医生中选派3人到湖北省的A , 2, C 三地参加疫情防控工作，若这3人中至少有1名女医生&则选派方案有（ ）$A. 9 种B. 12 种#. 54 种D.72 种14.（2------2）（1 + "y ）6 展开式中'23315中孝生皋捏化演练篇核心考点AB卷高二数学2021年5月项的系数为160,则a=!"$A.2B.4C-—22-—2215.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列种数为！"$A.A4A5B.A3A4A5C.C1A4A5 2.A2A4A516.若（2+a'"$（a（0）的展开式中各项的二项式系数之和为512,且第6项的系数最大，则a的取值范围为（"$A.（—7,0）UC.+317.已知二项式（1+丄一2'），则展开式中常数项为！)$A.49B.—47C.—1 2.11）已知二项式（2'2+1）的展开式中二项式系数之和等于64,则展开式中常数项等于（）A.240B.120C.48 2.361*.某校实行选科走班制度（语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科），根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科，语文、数学、英语只排在第二节，物理、政治排在同一天，化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案数为（）$A.36B.48C.144 2.28820.包括甲、乙、丙3人的7名同学站成一排拍纪念照，其中丙站正中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有（）$A.240种B.252种C.264种 2.288种21.已知（3—'）（2'—3）8"a$+a1（'—1）+a2（'—1）2+…+a g（'—1）9,则a6"（）$A.—1792B.1792C.—5376 2.537622.5名护士上班前将外衣放在护士站,下班后从护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有2人拿到了自己的外衣，另外3人拿到别人外衣的情况有！）$A.60种B.40种C.20种 2.10种23.停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有！）$A.A5种B.2A5A4种C.5A5种 2.6A5种24.从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（）$A.C；—12B.C；—8C.C4—6 2.C8—425.从装有$+1个不同小球的口袋中取出,个小球（0V，'$,,,$#N$）,共有C,+1种取法$在这C,+1种取法中，可以分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有C$・C,种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有C1・C,1种取法。

高二数学二项式定理与性质试题答案及解析1.的展开式中的常数项为（）A．﹣64B．﹣32C．32D．64【答案】B【解析】二项展开式的通项公式，当时，因此常数项为.【考点】二项展开式的应用.2.已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】展开式中各项系数和为x取时式子的值，所以各项系数和为，而二项式系数和为，因此，所以，答案选C.【考点】二项式定理及应用3.（+）5展开式的常数项为80，则a的值为（）A．1B．2C．D．4【答案】B【解析】由二项式定理可知,常数项当即时的项,所以有,解得a=2,答案为B.【考点】二项式定理4.若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋＋anx n，则a1＋a2＋＋an的值为________．【答案】255【解析】由二项式定理可得通项公式：因含的项为第6项，故.令,令【考点】（1）二项式定理；（2）赋特殊值求二项式系数.5.若展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含项的系数为．【答案】80.【解析】由题意得，，；则的通项公式为，令，得的系数为.【考点】二项式定理.6.若，则；【答案】2014【解析】首先令可得；然后令得，即，代入式子即可求得结果.【考点】二项式定理.7.若.则( )A．20B．19C．D．【答案】C【解析】设t=x+2，则x=t-2，则多项式等价为则为左边展开式中的系数．由，左边展开式中的系数为1+=1-21=.故选：C．【考点】二项式定理的应用．二项式定理系数的性质; 利用换元法将多项式转化思想的应用.8.被除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为,所以被除所得的余数是1.【考点】二项式定理应用9.若，则的值为____．【答案】－1【解析】令，由原式可得，令，由原式可得，可得．【考点】特殊值法．10.已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.【答案】（1）有理项为和；（2）系数绝对值最大的项为；（3）.【解析】（1）先利用二项展开式的通项公式得到第5项的系数与第3项的系数，依题意得到，求解可得，进而化简该二项展开式的通项公式得到，由为整数可得出的值，进而得到所有的有理项；（2）先求出二项展开式中的系列，并设第项系数绝对值最大，列出不等式组，从中求解即可得出的值，进而可写出展开式中系数绝对值最大的项；（3）先根据二项开展式的特征将变形为，逆用二项式定理即可得结果.（1）由，解得 2分因为通项： 3分当为整数，可取0，6 4分于是有理项为和 6分（2）设第项系数绝对值最大，则（8分）注：等号不写扣（1分）解得，于是只能为7 10分所以系数绝对值最大的项为 11分（3）13分16分【考点】二项式定理及其应用.11.若6的二项展开式中x3的系数为，则a＝________.【答案】2【解析】设第r＋1项的系数为，则Tr＋1＝C6r(x2)6－r r＝C6r x12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，∴C63＝，∴a3＝8，a＝2.12.设f(x)＝(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1，则f(x)＝________.【答案】32x5【解析】f(x)＝C50(2x＋1)5＋C51(2x＋1)4·(－1)＋C52(2x＋1)3·(－1)2＋C53(2x＋1)2·(－1)3＋C54(2x＋1)·(－1)4＋C55(－1)5＝(2x＋1－1)5＝32x5.13.若n的二项展开式中有且只有第五项的二项式系数最大，则Cn 0－Cn1＋Cn2－…＋(－1)n··Cnn＝________.【答案】【解析】由已知第5项的二项式系数最大，则n＝8，又Cn 0－Cn1＋Cn2－…＋(－1)n Cnn＝n＝8＝.14.的展开式中含的整数次幂的项的系数之和为（用数字作答）。

排列组合二项定理排列组合二项定理知识要点—、两个原理.1.乘法原理、加法原理.2.可以有事复无奉的排列.从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二...... 第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m-m-... m= m n..例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：秫"种）二' 排列.1.⑴对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m（m<n）个元素，哲眼丁定顺序排成一列，叫做从儿个不同元素中取出秫个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n个不同元素中取出个元素排成一列，称为从«个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号A片表示.⑷排列数公式：A m= n（n一1）• • • （〃一m +1）= :——（m < n, n, m G N）注意：n-nl=（n + l）!-n!规定0! = 1看=履客规定C?=C：=12,含有可事及素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a” a2,......a”其中限重复数为ni、n2......n k,且n = ni+n2+ ... 以，则S的排列个数等于n = ----- --- .n i ln2\..n k\例如：已知数字3、2、2,求其排列个数"=（1 + 2）!=3又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个1!2! 数n = - = l.3!三、组合.1.⑴组合：从〃个不同的元素中任取m（m<n）个元素并成一组，叫做从〃个不同元素中取出秫个元素的一个组合.⑵组合数公式：c，"=41 = "（"T）“・（n + l）C"'=—-—”A；；；尻"m\（n-my.⑶两个公式：①C*=Cf②C%+驾=C£%1从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.(n + 1)! (n (或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是 含红球选法有c m -*-c ；=c m-,! 一类是不含红球的选法有C ：)%1 根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与 不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-l 个元素，所以有C”'：,如果不取这 一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C ：种，依分类原理有C m ~\+C^=C n ^.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从"个不同元素中取出加个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.⑸①几个常用组合数公式 n n n nC°+C 2+C 4+••- =C*+C 3+C 5+••• =2,?-1n n nn n n ° 〃十° m+1 十° m+2 • •七 m+n+1kc k =心：1 「k_ 1 厂灯1C n~ C n+1k + 1 n + 1%1 常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法.如：-+-+-+—— =1-一—(利用 —=——一1)n! (〃一 1)! n\ 2! 3! 4! (n + 1)! (〃 + 1)!ii. 导数法.iii.数学归纳法.iv.倒序求和法.V.递推法(即用 c"-+c m -l=c n ：;递推)如:C ；+C ；+C ；+ •••C ：=C"+：. Vi.构造二项式.如：(C°)2+(C^)2 + ••• + (C：)2=C 2；； 证明：这里构造二项式(x + l)"(l + x)"=(l + x)2"其中x"的系数，左边为席吒+•••+ac=e)2+(c；)2+...+(a)2,而右边=c 2:四、排列' 组合综合.i.i.排列、组合问题几大解题方法及题型：%1 直接法.②排除法.%1 捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局 部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某/»(/»<»)个元素必相邻的排列有个.其中A ：：：：；是一个“整体排列”，而则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-%1 有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有%1 有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有A,;.A ；；：；.注：①③区别在于①是确定的座位，有A ；种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不 确定性.%1插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？（插空法），当n-m+l>m，即mV*时有意义，2%1占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.%1调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有A岩种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到A n去调序的作用，即若"个元素排成一列，其中加个元素次序一定，共有二种排列方法.A m例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？C n C%1平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有~ .例如：从1, 2, 3, 4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有管=3 （平均分组就用不着管组2!与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？厂8厂2（p=）G”2!注意：分组与插空综合.例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有当n-m+l>m, BP m<ZL±l 时有意义.2%1隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：%1+X2+X3+X4=12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为无,巧/3/4显然X1+X2+X3+X4=12，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解（y1,j,2,y3,y4）,对应着惟了的一f 中在〔12个球之间插入隔板的方式（如图•匚丁',二,所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板的方法数C* 注意：若为非负数解的X 个数，即用勺皿中⑶等于"1 ,有X] + x2 + .v3... + X" = A => % -1 + % -1 + ■■-a n -1 = A ,进而转化为求a的正整数解的个数为C^+n .%1定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：A：：；；不在某一位置上：A'：—A'；；］：或&岩+&」.&；：（一类是不取出特殊元素a, 有A”. 一类是取特殊元素a,有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的）%1指定元素排列组合问题.i.从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内。

高二数学二项式定理与性质试题答案及解析1.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.【答案】．【解析】解题思路：利用二项式定理的通项公式写出，再求出二项式系数与系数.规律总结：涉及求二项展开式的二项式系数或系数或特定项时，往往先写出二项式的通项公式，再进行求解.注意点：要正确区分二项式系数与系数：二项式系数仅是一个组合数，系数是未知数的系数.试题解析：，所以二项式系数为，系数为.【考点】二项式定理.2.（+）5展开式的常数项为80，则a的值为（）A．1B．2C．D．4【答案】B【解析】由二项式定理可知,常数项当即时的项,所以有,解得a=2,答案为B.【考点】二项式定理3.（1）已知，记的个位上的数字为，十位上的数字，求的值；（2）求和（结果不必用具体数字表示）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先要掌握排列数计算公式，但也不能死算，应为从开始，它的后两位数字均为零，因此只需研究前面的和的结果就可以解决问题；（2）反复、灵活运用组合数的两点性质：①，②即能解决问题.试题解析：（1）的后两位由确定，而，故个位数字为，十位数字为，所以. 6分（2）. 12分【考点】1.排列数计算公式；2.组合数的性质.4.的展开式中含的项的系数为________.【答案】.【解析】的展开式的通项为，令，得，所以含的项的系数为.【考点】二项式定理.5.的展开式的常数项是A．48B．-48C．112D．-112【答案】B【解析】由二项式定理得：乘以的常数项为：=-48，所以选B．【考点】二项式定理的应用．6.二项展开式中的常数项为( )A．112B．-112C．56D．-56【答案】A【解析】由二项展开式可知，常数项中即，可常数项为.故选A.【考点】二项式定理.7.设常数，若的二项展开式中项的系数为-10，则________．【答案】-2.【解析】利用二项式定理展开式的通项公式，求出的指数为1时的系数，即，即，二项式的展开式中项的系数为：，即.【考点】二项式定理的应用8.已知，则 .；【答案】-2【解析】令，则，令，则，则.考点:二项展开式.9.已知的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是，(1)求n；(2)求展开式中常数项．【答案】(1)；(2)常数项为．【解析】对于中展开式的第项有，其中二项式系数指．(1)由题可得第五项的二项式系数为，第三项的二项式系数为，两二项式系数比为，列式解得；(2)常数项中不含，故的系数为，由，得知，故常数项为第三项．解：(1)由题意知，，化简，得．解得（舍），或．(2)设该展开式中第项中不含，则，依题意，有，．所以，展开式中第三项为不含的项，且．【考点】二项式定理．10.二项式的展开式的常数项为第（）项A．17B．18C．19D．20【答案】C【解析】的展开式中第项，令，∴常数项为第19项.【考点】二项展开式.11.已知，,,则的值为__ ___【答案】-1【解析】令得，令得，所以又，因此【考点】赋值法12.若展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含的项的系数为【答案】-405【解析】令x=1得展开式的各项系数之和为，∴，解得n=5∴=展开式的通项为，令5﹣2r=3得r=1所以该展开式中含x3的项的系数为.【考点】二项式定理.13.的展开式中项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是_______.【答案】64【解析】由题意知，∴；令，则展开式的所有项系数的和是.【考点】二项式定理.14.已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）问展开式中的有理项.分别为第几项？说明理由。