2.4.1函数的零点教案

2.4.1 函数的零点整体设计教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着密切联系．课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系．本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想．本节充分体现了函数图象和性质的应用．因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法．另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物．三维目标1．让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点．2．通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界．3．通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐．重点难点教学重点：根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念．教学难点：理解函数的零点．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲)．请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段？学生思考或讨论回答：三次：(1)开场；(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段；(3)由落后到领先必经过“平分”时段．点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”，函数值有“负”“正”“零”，函数图象与足球比赛一样跌宕起伏．由此导入课题，为后面学习埋好伏笔．思路2.(事例导入)(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h＝20t－5t2，问炮弹经过多少秒回到地面？炮弹回到地面即高度h＝0，求方程20t－5t2＝0的根，得t＝4秒．如下图所示．思路3.(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点．推进新课新知探究提出问题①求方程x2－2x－3＝0的根，画函数y＝x2－2x－3的图象.②求方程x2－2x＋1＝0的根，画函数y＝x2－2x＋1的图象.③求方程x2－2x＋3＝0的根，画函数y＝x2－2x＋3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系？⑤归纳函数零点的概念.⑥如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它的零点情况是怎样的？⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：①先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图象(图甲)．甲乙丙②方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图乙)．③方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图丙)．④方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数．⑤对于其他函数这个结论正确吗？⑥函数的零点是一个实数．⑦可以利用“转化思想”．⑧足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为－1,3，图象如图甲．②方程的实数根为1，图象如图乙．③方程没有实数根，图象如图丙．④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标．⑤一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(α，0)点．⑥我们知道，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c：当Δ＝b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点；当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2(重根)，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有一个二重的零点或说有二阶零点；当Δ＝b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c 没有零点．⑦方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点．⑧观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象，我们发现函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,1]上有零点．计算f(－2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零．在区间[2,4]同样如此．可以发现，f(－2)f(1)＜0，函数y＝x2－2x－3在区间(－2,1)内有零点x＝－1，它是方程x2－2x－3＝0的一个根．同样地，f(2)f(4)＜0，函数y＝x2－2x－3在(2,4)内有零点x＝3，它是方程x2－2x－3＝0的另一个根．因此可得以下结论：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．应用示例思路1例求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的图象．解：因为x3－2x－x＋2＝x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x－1)(x＋1)，所以已知函数的零点为－1,1,2.3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)，(－1,1)，(1,2)，[2，＋∞)．在这4个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如上图所示．不难看出，这一函数图象通过三个零点时，函数值分别改变了符号，并且在每个区间内，函数值保持同号．点评：本题主要考查函数的零点．讨论函数的零点通常转化为方程的解.轴有两个交点，所以函数有两个零点．－2＝0的判别式Δ＝有两个不相等的实根．所以函数－2＝0可化为(2x＋思路2例若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内有解，求实数a的取值范围．活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：①有解包括有一解和有两解，要分类讨论．②用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径．③有两种情况：a ＝0，或a≠0，Δ≥0.解：令f(x)＝2ax 2－x －1，(1)当方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一个解时，f(0)·f(1)＜0或a≠0且Δ＝0，由f(0)·f(1)＜0，得(－1)(2a －2)＜0，所以a ＞1.由Δ＝0，得1＋8a ＝0，a ＝－18， 所以方程为－14x 2－x －1＝0，即x ＝－2(0,1)(舍去)．综上可得a ＞1.(2)当方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内有两个解时，则 ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a>0，f 0>0，f 1>0，0<14a<1，f 14a <0或⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a<0，f 0<0，f 1<0，0<14a <1，f 14a >0，容易解得实数a 不存在．综合(1)(2)，知a ＞1.变式训练若方程ax 2＋3x ＋4a ＝0的根都小于1，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，x ＝0满足题意．(2)当a≠0时，设f(x)＝ax 2＋3x ＋4a.方法一：若方程ax 2＋3x ＋4a ＝0的根都小于1，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝9－16a 2≥0，－32a <1，af 1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－34≤a≤34，a>0或a<－1.5，a>0或a<－0.6.∴0＜a≤34. 综上(1)(2)，得0≤a≤34. 方法二：若方程ax 2＋3x ＋4a ＝0的根都小于1，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝9－16a 2≥0，x 1＋x 2<2，(x 1－1)(x 2－1)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝9－16a 2≥0，x 1＋x 2<2，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝9－16a 2≥0，－3a<2，4＋3a ＋1>0，解得0＜a≤34. 综上(1)(2)，得0≤a≤34. 点评：方法一结合函数图象利用函数符号列不等式组．方法二代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.知能训练1．判定方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.分析：转化判断函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1在(－∞，2)和(5，＋∞)内各有一个零点．解：考虑函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1，有f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1，f(2)＝(2－2)(2－5)－1＝－1.又因为f(x)的图象是开口向上的抛物线(如下图)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．所以方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.点评：这里说“若f(a)·f(b)＜0，则在区间(a ，b)内，方程f(x)＝0至少有一个实数解”，指出了方程f(x)＝0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解．2．已知m∈R ，设P ：x 1和x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，不等式|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q ：函数f(x)＝3x 2＋2mx ＋m ＋43有两个不同的零点，求使P 和Q 同时成立的实数m 的取值范围．解：由题意知x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8.当a∈[1,2]时，a 2＋8的最小值为3.要使|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只需|m －5|≤3，即2≤m≤8.由已知得Q 中：f(x)＝3x 2＋2mx ＋m ＋43的判别式Δ＝4m 2－12(m ＋43)＝4m 2－12m －16＞0，得m ＜－1或m ＞4. 综上，要使P 和Q 同时成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤m≤8，m<－1或m>4，解得实数m 的取值范围是(4,8]．3．关于x 的方程x 2－ax ＋a 2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数a 的取值范围．解：设f(x)＝x 2－ax ＋a 2－7，图象为开口向上的抛物线(如下图)．因为方程x2－ax＋a2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，所以函数f(x)＝x2－ax＋a2－7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f(x)＝x2－ax＋a2－7的图象与x轴的两个交点在点(2,0)的两侧．只需f(2)＜0，即4－2a＋a2－7＜0，所以－1＜a＜3.拓展提升问题：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)＞0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再回答．利用函数图象进行探索分析：①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解：零点个数可以是任意自然数．下面讨论在区间[－3,3]上函数零点个数，(1)可能没有零点如图甲．甲乙(2)可能有一个零点如图乙．(3)可能有两个零点如图丙．丙丁(4)可能有三个零点如图丁．(5)可能有n(n∈N＋)个零点，图略．点评：在区间[－3,3]上函数零点个数可以是任意自然数．借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习的兴趣．课堂小结本节学习了：①零点的概念；②零点的判断方法；③利用函数的单调性证明零点的个数；④零点的应用．学习方法：由特殊到一般的方法．数学思想：转化思想、数形结合思想．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节以事例导入，该事例是学生很感兴趣的话题，发人深思而紧贴本节主题，为后面讲解埋好了伏笔．因为二次函数、二次方程永远是高考的重点，所以本节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题．本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结，还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高．另外，本节目的明确、层次分明、难度适中，对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展，希望大家喜欢．备课资料[备选例题]例求下列函数的零点，并画出函数的图象．(1)y＝－x2－x＋2；(2)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)．活动：教师点拨提示：求函数的零点可转化为求相应方程的根．解：(1)如图甲，令y＝0，即－x2－x＋2＝0，解得x1＝－2，x2＝1.所以所求函数的零点为－2,1.(2)如图乙，令y＝0，即(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，解得x1＝2，x2＝－2，x3＝1，x4＝2.所以所求函数的零点为2，－2，1,2.甲乙。

2.4.函数的零点-人教B版必修一教案1. 学习目标本课程着重介绍函数的零点的概念和求解方法。

通过学习，学生应该能够：1.理解零点的概念；2.理解函数零点的意义；3.掌握二分法求解零点的方法；4.掌握牛顿迭代法求解零点的方法。

2. 教学重点1.理解函数零点的意义；2.掌握二分法求解零点的方法；3.掌握牛顿迭代法求解零点的方法。

3. 教学难点1.理解零点的概念；2.掌握求解零点的方法。

4. 教学准备1.课件；2.小班黑板标记笔。

5. 教学过程5.1 引入首先，通过一个例子引导学生猜测一下函数 f(x)=x3-x-1 的零点在 [1, 2] 之间，然后让他们自行使用二分法求解函数的零点，以此来引入零点的概念。

5.2 阐述函数的零点的概念在学生已经了解了二分法的情况下，进一步介绍零点的概念。

要求学生能够正确的理解函数零点的含义。

5.3 介绍二分法阐述二分法的思想和步骤，掌握二分法的模板，让学生能够熟练掌握二分法，进而运用到求解零点中。

5.4 介绍牛顿迭代法介绍更高效的牛顿迭代法，学生应该在知道二分法的情况下便容易理解牛顿迭代法的思想和步骤，进而进行练习。

5.5 习题讲解对于二分法和牛顿迭代法进行讲解，并举例演示具体的求解过程。

5.6 辅助练习教师可以分发相关的作业，让学生进行辅助练习。

6. 总结本课程主要介绍了函数的零点的概念和求解方法，要求学生掌握二分法和牛顿迭代法，在教学过程中，教师要时刻激发学生求知的欲望，鼓励学生多思考、多探究，从而提高学生的学习和思考能力。

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说明：通过完成以上两个题目,让学生从具体到一般函数图像与x 轴交点与相应方程根的关系。

这一环节是为学生课内探究学习作好铺垫，使用方法是课前发下去，学生自己解答，上课后教师根据学生的反馈情况给予讲解。

3、自主学习，了解概念自学课本第70页，通过二次函数62--=x x y 的图像与x 轴的交点与相应方程根的关系了解函数的零点的概念。

（师用投影仪展示图像，学生回答概念）4、收集问题，把握学情通过预习，引导学生通过自学，找出那些问题已经掌握，那些问题还有疑惑，有待教师解答。

教师通过收集学生的预习学案，批阅之后发现学生存在的问题，以便准确的把握学情，作为课堂教学的重要依据。

(二)、课内探究1、创设情境，导入新课实际问题情境：在体育测试时，高一的一名男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A 点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B 点的坐标为(6，5)(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远？说明：学生经过思考，得到结论：要求二次函数与x 轴的交点坐标，只要令y=0,解出相应方程的根即可。

2、合作探究，形成概念问题1：课本第70页，通过画二次函数62--=x x y 的图像,了解当y=0,y>0,y<0相应x 的取值（学生回答），初步了解函数零点的概念。

问题2：通过预习案中二次函数图像表格中，让学生说出对应二次函数零点,进一步了解零点概念。

小组合作探究,由学生回答做法，教师作一下点拨,结合二次函数的图像,推广到一般函数零点的定义：一般的，如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)=0,则 α叫做这个函数的零点。

在坐标系中表示图像与x 轴的公共点(α,0)点。

2．4.1 函数的零点【课标要求】1．理解函数零点的概念．2．会求一次函数、二次函数的零点．3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间的关系．【重点难点】1．求函数的零点． 2．判断零点个数及二次函数根的分布．一、知识梳理1、函数零点的概念：对于函数()y f x =，我们把使 的实数x 叫做()y f x =的零点.这样，函数()y f x =的零点就是 的实数根，也就是 .想一想：函数的零点与方程的根及函数图象有何关系？函数的零点就是点，任何函数都有零点，对吗？2、方程、函数、图像之间的关系方程()0f x = ⇔函数()y f x =的图像 ⇔函数()y f x = .3.二次函数＝2＋＋ (>0)的图象与零点的关系4、已知二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f 的两个零点为)(,2121x x x x ≠则0)(>x f 的解集为 ，0)(<x f 的解集为二、预习自测1、函数223y x x =--的零点是 ，0322>--x x 的解集为 .2、在二次函数2y ax bx c =++中，0ac <，则其零点的个数为 .三、合作探究题型一 求函数的零点【例1】 求下列函数的零点．① f (x )＝－x 2－2x ＋3；②f (x )＝x 3－x 2－4x ＋4.【训练1】教材72页练习A题型二 函数零点个数问题【例2】 若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围．【训练2】 判断下列函数的零点个数．(1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x. （3）1,0()1,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩规律方法 函数零点的求法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点题型三 函数零点性质的应用【例3】 关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0.求a 为何值时：(1)方程一根大于1，一根小于1；(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内；(3)方程的两个根都大于零？【训练3】 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．方法技巧 数形结合研究方程的根与函数的零点方程、函数的图象、函数间的内在联系，在具体使用时，可以通过下面的变形：方程f (x )＝g (x )有实根⇔函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有公共点⇔函数y ＝f (x )－g (x )有零点．即用数形结合求函数的零点．【示例】 试讨论函数f (x )＝x 2－2|x |－a －1(a ∈R )的零点个数．课堂检测：1、若函数()f x ax b =+有一个零点2，那么函数2()g x bx ax =-的零点是A 、0，2B 、0，12C 、0，-12D 、2，-122、函数2()32f x x x =-+的零点A.(1,0)B.(2,0)C.(1,0)与(2,0)D.1与23、函数2223,0()2,0x x x f x x x ⎧+-≤⎪=⎨-+>⎪⎩的零点个数为 A.3 B.2 C.1 D.04、若关于x 的方程2210mx x ++=至少有一个负根，则A.1m ≤B.01m <<C.1m <D.01m <≤或0m <5、若函数1()x f x x-=，则函数()(4)g x f x x =-的零点是 6、已知一次函数()24,f x mx =+若在[]2,0-上存在0x 使0()0f x =，则实数m 的取值范围是7、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，3是它的一个零点，且()f x 在(),0-∞上是增函数，则该函数有 个零点。

必修1《2.4.1 函数的零点》教学例题习题设计本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（B版）》第70-72页的第二章函数的的零点．本节是课标教材新增的教学内容，通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．给出函数零点概念的目的是要用函数的观点统摄中学代数知识，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想指导之下．函数的零点是“函数与方程”这一单元的第一节内容，因此应该用适当的方式来说明函数与方程的关系，以突出用方程来研究函数的性质，用函数来研究解决方程的相关问题．但是教材中只体现了函数的零点与方程的解的关系，没有对函数与方程的联系与区别这方面的内容加以阐述．教学实践证明，学生在学习了“函数的零点”这一内容之后，仍然对函数与方程的关系没有较明确的认识．因此，本人认为应该利用一次函数与一元一次方程和二次函数与一元二次方程的关系来说明函数与方程的关系，让学生对函数与方程的关系有一个初步的感知，进而使学生体会学习函数零点的意义．因此在教学中我结合两点思考，将教学设计分为四个阶段．一、对函数零点定义的思考第一阶段：研究方程的根与函数的零点例题1：问题1：解方程①6x－1=0 ；②3x2＋6x－1=0 ③④3x3＋6x －1=0第一、二两题学生容易回答．第三题和第四题学生无法解答，产生疑惑引入课题．事实上，学生大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法求方程的根．如果带着这样的疑虑学习，必然会降低其求知欲，从而影响学习的效果．所以，教学时可首先考虑解决这一问题．通过举例让学生知道，有些方程不能用公式法求解，为了研究更多方程的根，就有必要学习函数的零点．这样做，还为接下来学习二分法埋下了伏笔．问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图①方程与函数②方程与函数③方程与函数教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念．零点概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的．同时，让学生填表格函数y=6x－1函数的零点方程的根根据概念，让学生理解函数y＝f（x）的零点与函数y＝f（x）的图象与x 轴交点有什么关系，概括总结两个结论（请学生总结）．1）概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数．例如函数的零点为x=-1,32）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．3）方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？可以解方程而得到（代数法）；可以利用函数的图象找出零点．（几何法）问题2一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的横坐标到函数零点的概念转变变得更自然、更易懂．通过对比教学揭示知识点之间的密切关系．人教版B版必修1第70页，知识的引入以二次函数和相应的一元二次方程为例来建立函数的零点与方程根的联系，这样的考虑是基于学生的认知水平，由于学生对二次函数和一元二次方程都具有较好的认知基础，并且一元二次方程的根的存在性又有多种情况，所以从二次函数和相应的一元二次方程出发，不仅可以较容易地建立起它们之间的关系，而且方程根的情况具有代表性．这样，由具体到一般，才能自然地使问题得到推广．如果仅选择更简单的函数和方程，如一次函数和一元一次方程，虽然更容易建立起它们之间的关系，但方程根的情况单一不具有代表性，不利于将问题推广；我在例题1的选取中结合了学生两种熟悉的函数和方程，还选择了更为复杂的函数和方程（如③和④），这样既能激发起学生的求知欲，也容易建立起它们之间的关系，有利于将问题推广．问题3：是不是所有的二次函数都有零点？根据函数零点的意义学生探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：看△１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．第一阶段设计意图：产生疑问困惑，引起兴趣，引出课题．第一阶段一直以学生熟悉的函数作为模本研究，从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路．进而培养学生归纳总结能力．提出的问题：如何并根据函数零点的意义求零点？可以解方程而得到（代数法）；可以利用函数的图象找出零点．（几何法）为后面的教学埋下伏笔．第二阶段：函数的零点存在性的探索例题2：问题1:已知函数f（x）= －3x5－6x＋1有如下对应值表：x－2012f（x）10944．171－8－107函数y＝f（x）在哪几个区间内必有零点？为什么？问题2：观察下面函数f（x）＝0的图象（图1）并回答图1①区间[a，b]上______(有/无)零点；f（a）·f（b）_____0（＜或＞）．②区间[b，c]上______(有/无)零点；f（b）·f（c）_____0（＜或＞）．③区间[c，d]上______(有/无)零点；f（c）·f（d）_____0（＜或＞）．教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论．一般地，我们有：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c ∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．第二阶段设计意图：从数和形两个角度设计问题，让学生的思维加深再深入更一般的情形．教师引导学生探索归纳总结函数零点存在定理，培养归纳总结能力和逻辑思维．通过本例引导探索．探求1：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）>0时，函数在区间（a，b）内没有零点吗?探求2：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内有零点，但是否只一个零点？探求3：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？探求4：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？图1（反例）总结两个条件：1）函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线2）在区间[a，b]上有f（a）·f（b）<0一个结论：函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点补充：什么时候只有一个零点？（观察得出）函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调时只有一个零点二、对函数与方程关系的思考第三阶段：研究方程的根与函数图像交点的关系在平面直角坐标系内画函数的图象，该图象是一条直线，学生很容易“看见”函数的零点，但若将题目改成求函y=(2x-1)-3的零点，学生会用解方程的方法求出零点，为了引出例题1的③和④题解法，我进行了如下设计．例题3问题1：分析求函数y=(2x-1)-3的零点的过程，有何结论?学生在求零点的第一步几乎都是令y=0，得到(2x-1)-3=0，然后解出x的值．我引导学生分析由(2x-1)-3=0，有(2x-1)-3=0，即(2x-1)=3，从函数图像的在同一坐标系中画出两个函数图象，显然角度，构造两个函数与，直线与直线有交点，如图2所示．交点的纵坐标是2，而横坐标则是方程的解．即2就是函数函数y=(2x-1)-3的零点．图2类似地，让学生探究：在平面直角坐标系内画函数的图象，该图象是一条抛物线，显然直线与抛物线有两个不同交点，如图3所示．交点的纵坐标为4，而横坐标则分别是方程的两个实数根．图3问题2：再回到引入的例题1：求方程的根的范围．（提问：还可以换成一种什么问法?-- 求函数y=的零点）学生就很容易理解只需在同一坐标系画出y=ln x与y=6-2x的图象（图４），由图可知两图象只有一个交点,故函数y=ln x+2x -6只有一个零点. 通过图像可以得到零点所在的范围．图４第三阶段设计意图：函数和方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析式，那么这个表达式就可看成是一个二元方程；一个二元方程的两个未知数存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数．如是一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，（只含有一个字母的代数式是这个字母的函数）方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，方程的一般形式应表示为．因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，也可以利用方程有关知识方法来研究函数的一些性质．第四阶段：进一步体会用方程知识方法研究函数的性质课堂练习：(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)1．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）；（2）；2．讨论：方程的一个解的大约范围，看谁找得范围更小？把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，发挥其主观能动性．也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生学习潜能和热情．老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情况．第四阶段设计意图：一是为用二分法求方程的近似解做准备二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到上述目的．本节课借助二次函数的图象与x轴是否有交点的事实与一元二次方程的根的关系出发，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形，引入了函数零点的定义，体现了从具体到一般的思维过程．随后，利用函数图像和几个填空题引导探索函数零点的存在，初步得到函数零点存在的判定方法，体现了数形结合的思想方法．为了多角度深刻理解函数零点存在定理的内涵，教师构造了4个探究问题．4个探究问题是本节课亮点，例子设计精巧，层层递进，由此引发了学生积极的思考、探索与交流．教师力图通过教学设计让学生主动参与体验，激发学生探索新知的兴趣，充分展示知识发生、发展的过程，由学生自主建构，在此过程中获得对知识的亲身体验，把教学的主动权交给学生，鼓励学生自主探索、研究性学习，使学生成为真正意义上的学习主人．。