3.2 空间向量的基本定理与空间向量的坐标表示-王后雄学案

1.3.2 空间向量运算的坐标表示新课程标准学业水平要求1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示．2．掌握空间向量的数量积的坐标表示．1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．(数学运算)2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(逻辑推理、数学运算)必备知识·自主学习导思1.怎样用坐标进行向量的线性运算和数量积运算？2．怎样通过坐标反映向量的平行与垂直？怎样用坐标求向量的模和夹角？1.空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．2．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝a a＝a+a a222123+；cos 〈a，b〉＝a·b|a||b|＝112233222222123123a b a b a ba a ab b b＋＋＋＋＋＋.若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，a ∥b ，则一定有a 1b 1 ＝a 2b 2 ＝a 3b 3 成立吗？提示：不一定，只有当b 1，b 2，b 3均不为0时，a 1b 1 ＝a 2b 2 ＝a 3b 3 成立．3．空间两点间的距离在空间直角坐标系中，设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则12P P ＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)； P 1P 2＝|12P P |＝222212121(x x )(y y )(z z )-+--．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若a ＝(1，－2，1)，a ＋b ＝(－1，2，－1)，则b ＝(－2，4，－2).( ) (2)若a ＝(1，2，0)，b ＝(－2，0，1)，则|a |＝|b |.( ) (3)若a ＝(0，0，1)，b ＝(1，0，0)，则a ⊥b .( )(4)在空间直角坐标系中，若A(1，2，3)，B(4，5，6)，则AB →＝(－3，－3，－3).( ) (5)已知a ＝(x 1，y 1，z 1)，若x 1＝y 1＝z 1＝1，则a 为单位向量．( ) 提示：(1)√.b ＝a ＋b －a ＝(－1，2，－1) －(1，－2，1)＝(－2，4，－2). (2)√.||a ＝12＋22＋02 ＝ 5 ，||b ＝（－2）2＋02＋12 ＝ 5 ，所以||a ＝||b .(3)√.由a ·b ＝0，得a ⊥b .(4)×.由 A(1，2，3)，B(4，5，6)，得AB → ＝(4－1，5－2，6－3)＝ (3，3，3). (5)×.若x 1＝y 1＝z 1＝1，则||a ＝12＋12＋12 ＝ 3 ，所以a 不是单位向量．2．已知向量a ＝(3，－2，1)，b ＝(－2，4，0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16，0，4) B ．(8，－16，4) C ．(8，16，4) D ．(8，0，4)【解析】选D.4a ＝(12，－8，4)，2b ＝(－4，8，0)，所以4a ＋2b ＝(8，0，4). 3．已知a ＝(2，－3，1)，b ＝(4，－6，x)，若a ⊥b ，则x 等于 ( ) A ．－26 B ．－10 C ．2 D ．10【解析】选A.由于a ＝(2，－3，1)，b ＝(4，－6，x)，且有a ⊥b ， 所以a ·b ＝2×4＋(－3)×(－6)＋1×x ＝0，解得x ＝－26.4．(教材二次开发：例题改编)已知A 点的坐标是(－1，－2，6)，B 点的坐标是(1，2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA → 与OB →的夹角是________． 【解析】cos 〈OA → ，OB →〉＝－1×1＋（－2）×2＋6×（－6）（－1）2＋（－2）2＋62×12＋22＋（－6）2＝－4141＝－1， 所以〈OA → ，OB →〉＝π. 答案：π关键能力·合作学习类型一 空间向量的坐标运算(数学运算)1.若向量a ＝()4，2，－4 ，b ＝()2，1，－1 ，则2a －3b ＝( ) A ．()6，3，－7 B ．()－2，－1，－1 C ．()2，1，－5 D ．()14，7，－112.若a ＝()2，3，－1 ，b ＝()2，0，3 ，c ＝()0，2，2 ，则a ·()b ＋c 的值为( ) A ．()4，6，－5 B ．5 C ．7D ．363．若向量a ，b 的坐标满足a ＋b ＝()－2，－1，2 ，a －b ＝()4，－3，－2 ，则a ·b 等于( ) A ．5 B ．－5 C ．7 D ．－1【解析】1.选C.因为a ＝()4，2，－4 ，b ＝()2，1，－1 ， 所以2a －3b ＝2()4，2，－4 －3()2，1，－1 ＝()2，1，－5 .2．选B.b ＋c ＝()2，0，3 ＋()0，2，2 ＝()2，2，5 ，a ·()b ＋c ＝2×2＋2×3＋(－1)×5＝5.3．选B.因为a ＋b ＝()－2，－1，2 ，a －b ＝()4，－3，－2 ，两式相加得2a ＝()2，－4，0 ，解得a ＝()1，－2，0 ，b ＝()－3，1，2 ，所以a ·b ＝1×()－3 ＋()－2 ×1＋0×2＝－5.空间向量坐标运算方法一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.【补偿训练】已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4).求：(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b).【解析】(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2).(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2，0，－6).(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.(4)因为2a＝(4，－2，－4)，所以(2a)·(－b)＝(4，－2，－4)·(0，1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.类型二用向量运算解决平行与垂直(数学运算、逻辑推理)【典例】已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2).(1)若a∥b，分别求λ与m的值；(2)若|a|＝ 5 ，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.【思路导引】(1)根据向量平行，设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，列出方程组，即可得出λ与m的值；(2)由向量垂直以及模长公式得出λ＝－1，即可求出向量a . 【解析】(1)因为a ∥b ，所以设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m －1，2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6k ，1＝k （2m －1），2λ＝2k解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ＝15，m ＝3， 所以λ＝15，m ＝3.(2)因为|a |＝ 5 且a ⊥c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧（λ＋1）2＋12＋（2λ）2＝5，2()λ＋1－2λ×1－λ×2λ＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0， 解得λ＝－1.因此a ＝(0，1，－2).向量平行与垂直问题的两种题型 (1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意： ①适当引入参数(比如向量a ，b 平行，可设a ＝λb )，建立关于参数的方程； ②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．1．已知向量a ＝()1，1，0 ，b ＝()－1，0，2 ，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝( ) A ．75 B ．1 C ．35 D ．15【解析】选A.因为a ＝()1，1，0 ，b ＝()－1，0，2 ， 所以k a ＋b ＝()k －1，k ，2 ，2a －b ＝()3，2，－2 ，又因为k a ＋b 与2a －b 互相垂直，所以()k a ＋b ·()2a －b ＝0，所以3k －3＋2k －4＝0，解得k ＝75.2．设x ，y ∈R ，向量a ＝()x ，1，1 ，b ＝()1，y ，1 ，c ＝()2，－4，2 ，且a ⊥c ，b ∥c ，则||a ＋b ＝()A ．2 2B ．10C ．3D ．4【解析】选C.因为b ∥c ，所以2y ＝－4×1，所以y ＝－2，所以b ＝()1，－2，1 ，因为a ⊥b ，所以a ·b ＝x ＋1×()－2 ＋1＝0，所以x ＝1，所以a ＝()1，1，1 ，所以a ＋b ＝()2，－1，2 ，所以||a ＋b ＝22＋()－12＋22 ＝3.类型三 用向量运算求夹角和距离(数学运算) 角度1 求夹角【典例】已知向量a ＝()1，0，－1 ，则下列向量中与a 成60°角的是( ) A ．()－1，1，0 B ．()1，－1，0 C ．()0，－1，1 D ．()－1，0，1【思路导引】用夹角公式计算夹角余弦值，进一步求角．【解析】选B.对于A 选项中的向量a 1＝()－1，1，0 ，cos 〈a ，a 1〉＝a ·a 1||a ||a 1 ＝－12×2＝－12 ，则〈a ，a 1〉＝120°；对于B 选项中的向量a 2＝()1，－1，0 ，cos 〈a ，a 2〉＝a ·a 2||a ||a 2 ＝12×2 ＝12，则〈a ，a 2〉＝60°；对于C 选项中的向量a 3＝()0，－1，1 ，cos 〈a ，a 3〉＝a ·a 3||a ||a 3 ＝－12×2＝－12 ，则〈a ，a 3〉＝120°；对于D 选项中的向量a 4＝()－1，0，1 ，此时a 4＝－a ，两向量的夹角为180°. 角度2 求距离【典例】ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱，若AB ＝1，AB 1⊥BC 1，则AA 1＝( ) A ． 2 B ．22 C ． 3 D ．33【思路导引】由题意画出图形，取AB 的中点O ，连接OC ，以O 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，设AA 1＝a ，再由11AB BC ＝0列式求解a 值，则答案可求．【解析】选B.如图，取AB 的中点O ，连接OC ，以O 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系．设AA 1＝a ，则A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0 ，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，a ，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0 ，C 1⎝⎛⎭⎫0，32，a ，则1AB ＝()1，0，a ，1BC ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，a . 由AB 1⊥BC 1得11AB BC ＝－12 ＋a 2＝0，即a ＝22 .所以AA 1＝22.利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算； (4)转化：转化为夹角与距离问题．1．在空间直角坐标系Oxyz 中，O(0，0，0)，E(2 2 ，0，0)，F(0，2 2 ，0)，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足|CO → |＝|CB → |＝3，若cos 〈EF → ，BC → 〉＝16 ，则OC → ·OF →＝( )A ．9B ．7C ．5D ．3【解析】选D.设C(x ，y ，z)，B( 2 ， 2 ，0)，OC → ＝(x ，y ，z)，BC → ＝(x － 2 ，y － 2 ，z)，EF → ＝(－2 2 ，2 2 ，0)，由cos 〈EF → ，BC → 〉＝EF →·BC →||EF →||BC→ ＝（－22，22，0）·（x －2，y －2，z ）4×3 ＝16 ，整理可得x －y ＝－22①，由|CO → |＝|CB →|＝3得x 2＋y 2 ＝（x －2）2＋（y －2）2 ，化简得x ＋y ＝ 2 ②， 由①②联立得x ＝24 ，y ＝324， 则OC → ·OF →＝(x ，y ，z)·()0，22，0 ＝2 2 y ＝3.2．已知△ABC 的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC 边上的中线长为________．【解析】设BC 边的中点为D ，则AD → ＝12(AB → ＋AC → )＝(－1，－2，2)，所以|AD → |＝1＋4＋4＝3. 答案：33．已知向量a ＝(2，－1，－2)，b ＝(1，1，－4). (1)计算2a －3b 和||2a －3b . (2)求〈a ，b 〉．【解析】(1)因为向量a ＝(2，－1，－2)，b ＝(1，1，－4)， 所以2a －3b ＝2(2，－1，－2)－3(1，1，－4)， ＝(4，－2，－4)－(3，3，－12)＝(1，－5，8)， 所以||2a －3b ＝12＋（－5）2＋82 ＝310 . (2)cos 〈a ，b 〉＝a ·b ||a ||b ＝93×32＝22 .因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π4.备选类型 向量法解决存在性问题(数学运算、逻辑推理)【典例】如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝ 2 ，∠CDA ＝45°.设AB ＝AP ，在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由．【思路导引】根据图形特征建立坐标系，设出点G 的坐标，利用到点P ，B ，C ，D 的距离都相等建立方程组，考察方程组的解的情况．【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD. 又AB ⊥AD ，所以AP ，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等．连接GB ，GC ，GP ，设AB ＝AP ＝t ，G(0，m ，0)(其中0≤m≤4－t)，则B(t ，0，0)，P(0，0，t)，D(0，4－t ，0).因为∠CDA ＝45°，所以C(1，3－t ，0).所以GC → ＝(1，3－t －m ，0)，GD → ＝(0，4－t －m ，0)，GP → ＝(0，－m ，t).由|GC → |＝|GD → |，得12＋(3－t －m)2＝(4－t －m)2， 即t ＝3－m.①由|GD → |＝|GP →|，得(4－t －m)2＝m 2＋t 2.② 由①②消去t ，化简得m 2－3m ＋4＝0.③由于方程③没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等．立体几何存在性问题的解法存在性问题通常都是假设存在，即设出点的坐标，运用题目条件建立方程或不等式，有解说明存在，无解说明不存在，即要把立体几何的存在性转化为方程或不等式有解问题．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB 和BC 的中点，在棱B 1B 上是否存在一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.若存在，求出该点；若不存在，说明理由．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，B 1(1，1，1)，C(0，1，0)，D 1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0 ， 设M(1，1，m).连接AC ，则AC →＝(－1，1，0).而E ，F 分别为AB ，BC 的中点， 所以EF →＝12AC → ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0 . 又因为1B E ＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1 ，1D M ＝(1，1，m －1)， 而D 1M ⊥平面EFB 1，所以D 1M ⊥EF ， 且D 1M ⊥B 1E ，即1D M ·EF →＝0，且11D MB E ＝0.所以⎩⎨⎧－12＋12＋（m －1）×0＝0，0－12＋1－m ＝0，解得m ＝12，即M 为B 1B 的中点．课堂检测·素养达标1．若向量a ＝(1，1，x)，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)，满足条件(c －a )·2b ＝ －2，则x 的值为( ) A ．2B ．－2C ．0D ．1【解析】选A.因为c －a ＝(1，1，1)－(1，1，x)＝(0，0，1－x)，2b ＝2(1，2，1)＝(2，4，2)，所以(c －a )·2b ＝2－2x ＝－2.所以x ＝2.2．向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥b ，a ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对【解析】选C.因为a·b ＝(－2，－3，1)·(2，0，4)＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a ⊥b . 又因为a ＝(－2，－3，1)＝12 (－4，－6，2)＝12c ，所以a ∥c .3．(教材二次开发：习题改编)若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则AB → ＝________，|AB|→＝________． 【解析】AB → ＝(1，－1，－1)，|AB → |＝12＋（－1）2＋（－1）2 ＝ 3 .答案：(1，－1，－1) 34．若向量a ＝()1，－1，2 ，b ＝()2，1，－3 ，则||2a ＋b ＝________．【解析】由于向量a ＝()1，－1，2 ，b ＝()2，1，－3 ，所以2a ＋b ＝()4，－1，1 .故||2a ＋b ＝42＋（－1）2＋12 ＝18 ＝3 2 . 答案：3 25．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则AB → 与CA → 的夹角的大小是________．【解析】因为AB → ＝(－2，－1，3)，CA → ＝(－1，3，－2)，cos 〈AB → ，CA → 〉＝（－2）×（－1）＋（－1）×3＋3×（－2）14×14＝－714 ＝－12 ，所以〈AB → ，CA → 〉＝120°.答案：120°。

人教版高中选修(B版)2-13.1.2空间向量的基本定理教学设计一、教学目标1.了解标准正交基的意义和作用。

2.掌握空间向量的线性运算。

3.理解空间向量的基本定理。

二、教学重难点1.空间向量的线性运算。

2.空间向量的基本定理。

三、教学内容1. 空间向量的概念空间向量是指一个空间中的有大小和方向的有向线段。

在坐标系中，一个向量可以表示成一个由坐标组成的有序三元组，也就是三维向量。

2. 空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括向量的加法和数乘运算。

•向量的加法：两个向量相加的结果是一个新的向量，其大小等于两个向量长度之和，方向等于两个向量的方向合成。

•数乘运算：将一个向量乘上一个实数，得到的结果是一个新的向量，其大小等于原向量长度与实数的乘积，方向与原向量相同或相反，取决于实数的正负号。

3. 空间向量的基本定理空间向量的基本定理包括平行四边形法则和三角形法则。

•平行四边形法则：对于任意两个向量a和b，它们的平行四边形对角线等于向量a+b的长度。

•三角形法则：对于任意两个向量a和b，它们的和向量可以由以它们为邻边的平行四边形的对角线所表示，且该对角线的起点可以取任何一个端点作为起点。

4. 标准正交基标准正交基是指一个向量组，其中每个向量都是单位向量，并且向量间两两正交。

四、教学方法1.讲授与演示相结合的方法，通过示例来让学生理解、掌握向量的线性运算以及基本定理。

2.提倡利用多媒体教学，通过投影仪、电脑、录像等工具，让学生更加清晰地理解整个过程。

五、教学过程设计1. 导入环节用个人日常生活中的例子来引导学生思考向量概念，例如：学生可以想象出家中的门、桌子、书柜等，它们都属于空间中的物体，它们彼此之间的位置可以用空间向量来描述。

2. 知识点的讲解与演示在讲解空间向量的线性运算时，可以通过投影仪展示平面坐标系，让学生更直观地理解向量的相加、数乘运算的过程。

在讲解空间向量的基本定理时，可以通过投影仪展示三维坐标系，让学生更加直观地理解平行四边形法则和三角形法则。

1.3.2空间向量运算的坐标表示素养目标·定方向课程标准学法解读1．掌握空间向量的线性运算的坐标表示．2．掌握空间向量的数量积的坐标表示．1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．(数学运算)2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(逻辑推理、数学运算)必备知识·探新知知识点1 空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋b a＋b＝__(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)__减法a－b a－b＝__(a1－b1，a2－b2，a3－b3)__数乘λaλa＝__(λa1，λa2，λa3)__，λ∈R数量积a·b a·b＝__a1b1＋a2b2＋a3b3__提示：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致；如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．知识点2 空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23；cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23．知识点3 空间两点间的距离公式设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)是空间中任意两点，则P 1P 2＝|P 1P 2→|＝__(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2__．思考2：已知点A (x ，y ，z )，则点A 到原点的距离是多少？ 提示：OA ＝|OA →|＝x 2＋y 2＋z 2．关键能力·攻重难题型探究题型一 空间向量的坐标运算典例1 已知在空间直角坐标系中，A (1，－2,4)，B (－2，3,0)，C (2，－2，－5)．(1)求AB →＋CA →，CB →－2BA →，AB →·AC →；(2)若点M 满足AM →＝12AB →＋34AC →，求点M 的坐标；(3)若p ＝CA →，q ＝CB →，求(p ＋q )·(p －q )．[分析] 先由点的坐标求出各个向量的坐标，再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解．[解析] (1)因为A (1，－2,4)，B (－2,3,0)，C (2，－2，－5)， 所以AB →＝(－3,5，－4)，CA →＝(－1,0,9)． 所以AB →＋CA →＝(－4,5,5)．又CB →＝(－4,5,5)，BA →＝(3，－5,4)， 所以CB →－2BA →＝(－10,15，－3)． 又AB →＝(－3,5，－4)，AC →＝(1,0，－9)， 所以AB →·AC →＝－3＋0＋36＝33．(2)由(1)知，AM →＝12AB →＋34AC →＝12(－3,5，－4)＋34(1，0，－9)＝⎝⎛⎭⎫－34，52，－354， 若设M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，y ＋2，z －4)，于是⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－34，y ＋2＝52，z －4＝－354，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝12，z ＝－194，故M ⎝⎛⎭⎫14，12，－194． (3)由(1)知，p ＝CA →＝(－1,0,9)，q ＝CB →＝(－4,5,5)． (方法1)(p ＋q )·(p －q )＝|p |2－|q |2＝82－66＝16． (方法2)p ＋q ＝(－5,5,14)，p －q ＝(3，－5,4)， 所以(p ＋q )(p －q )＝－15－25＋56＝16．[规律方法] 空间向量的坐标运算注意以下几点：(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标．(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键． (3)运用公式可以简化运算：(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2；(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2． 【对点训练】❶ 在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →；(3)若点P 在AC 上，且AP →＝12PC →，求点P 的坐标．[解析] (1)设B (x ，y ，z )，C (x 1，y 1，z 1)，所以AB →＝(x －2，y ＋5，z －3)，BC →＝(x 1－x ，y 1－y ，z 1－z )． 因为AB →＝(4,1,2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4，y ＋5＝1，z －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－4，z ＝5，所以点B 的坐标为(6，－4,5)．因为BC →＝(3，－2,5)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3，y 1＋4＝－2，z 1－5＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9，y 1＝－6，z 1＝10，所以点C 的坐标为(9，－6,10)．(2)因为CA →＝(－7,1，－7)，BC →＝(3，－2,5)， 所以CA →·BC →＝－21－2－35＝－58．(3)设P (x 2，y 2，z 2)，则AP →＝(x 2－2，y 2＋5，z 2－3)，PC →＝(9－x 2，－6－y 2,10－z 2)，于是有(x 2－2，y 2＋5，z 2－3)＝12(9－x 2，－6－y 2,10－z 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2＝12(9－x 2)，y 2＋5＝12(－6－y 2)，z 2－3＝12(10－z 2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝133，y 2＝－163，z 2＝163.故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫133，－163，163． 题型二 空间向量的平行与垂直典例2 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)．设a ＝AB →，b ＝AC →．(1)若|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k ．[分析] (1)根据c ∥BC →，设c ＝λBC →，则向量c 的坐标可用λ表示，再利用|c |＝3求λ值； (2)把k a ＋b 与k a －2b 用坐标表示出来，再根据数量积为0求解． [解析] (1)∵BC →＝(－2，－1,2)且c ∥BC →， ∴设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )． ∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3，解得λ＝±1．∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)，∴k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝0， 即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0， 解得k ＝2或k ＝－52．[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型 (1)平行与垂直的判断．(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a ，b 平行，可设a ＝λb )，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．【对点训练】❷ 已知a ＝(λ＋1,1,2λ)，b ＝(6,2m －1,2)． (1)若a ∥b ，分别求λ与m 的值；(2)若|a |＝5，且a 与c ＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a ． [解析] (1)由a ∥b ，得(λ＋1,1,2λ)＝k (6,2m －1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6k ，1＝k (2m －1)，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ＝15，m ＝3.∴λ＝15，m ＝3．(2)∵|a |＝5，且a ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧(λ＋1)2＋12＋(2λ)2＝5，(λ＋1，1，2λ)·(2，－2λ，－λ)＝0，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0，解得λ＝－1．因此，a ＝(0,1，－2)．题型三 空间向量夹角及长度的计算 角度1 向量法求夹角典例3 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ．(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求cos 〈EF →，C 1G →〉．[解析] (1)如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，D 为坐标原点，则有E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝⎛⎭⎫0，34，0． EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0－⎝⎛⎭⎫0，0，12＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12， B 1C →＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．所以EF →·B 1C →＝12×(－1)＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝0，所以EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C ． (2)因为C 1G →＝⎝⎛⎭⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝⎛⎭⎫0，－14，－1． 所以|C 1G →|＝174．又EF →·C 1G →＝12×0＋12×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝38，|EF →|＝32， 所以cos 〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝5117．角度2 向量法求模典例4 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是AA 1，CB 1的中点．(1)求BM ，BN 的长；(2)求△BMN 的面积．[分析] 建立空间直角坐标系，写出B ，M ，N 等点的坐标，从而得出BM →，BN →的坐标．然后利用模的公式求得BM ，BN 的长度．对于(2)，可利用夹角公式求得cos ∠MBN ，再求出sin ∠MBN 的值，然后套用面积公式计算．[解析] 以C 为原点，以CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)．则B (0,1,0)，M (1,0,1)，N ⎝⎛⎭⎫0，12，1． (1)∵BM →＝(1，－1,1)， BN →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，1， ∴|BM →|＝12＋(－1)2＋12＝3， |BN →|＝02＋⎝⎛⎭⎫－122＋12＝52． 故BM 的长为3，BN 的长为52． (2)S △BMN ＝12·|BM |·|BN |·sin ∠MBN ．∵cos ∠MBN ＝cos 〈BM →，BN →〉＝BM →·BN →|BM →||BN →|＝323×52＝155，∴sin ∠MBN ＝1－⎝⎛⎭⎫1552＝105，故S △BMN ＝12×3×52×105＝64．即△BMN 的面积为64．[规律方法] 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤【对点训练】❸ 已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求： (1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．[解析] (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN 的长度|MN |＝(3－1)2＋(2－0)2＋(1－5)2＝26， 所以线段MN 的长度为26．(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以有下面等式成立： (x －3)2＋(y －2)2＋(z －1)2 ＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是x ＋y －2z ＋3＝0．易错警示混淆两向量平行与两向量同向典例5 已知向量a ＝(1,2，－1)，b ＝(m ，m 2＋3m －6，n )，若向量a ，b 同向，求实数m ，n 的值．[错解] 由题意可知a ∥b ，所以m 1＝m 2＋3m －62＝n－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋3m －6＝2m ，n ＝－m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－2. 故m ＝－3，n ＝3或m ＝2，n ＝－2．[辨析] “两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解中错认为“同向”就是“平行”，从而导致错误．[正解] 由题意可知a ∥b ，所以m 1＝m 2＋3m －62＝n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －6＝2m ，n ＝－m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－2.当m ＝－3，n ＝3时，b ＝(－3，－6,3)＝－3a ，向量a ，b 反向，不符合题意，舍去； 当m ＝2，n ＝－2时，b ＝(2,4，－2)＝2a ，向量a ，b 同向，符合题意． 综上，m ＝2，n ＝－2．。

第二章空间向量与立体几何2．3空间向量基本定理及坐标表示2．3.1空间向量的分解与坐标表示新课程标准解读核心素养1．了解空间向量的基本定理及其意义数学抽象、直观想象2．掌握空间向量的正交分解及坐标表示数学抽象、数学运算教学设计一、目标展示二、情境导入如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3.问题(1)e1，e2，e3共面吗？―→(2)如何用e1，e2，e3表示向量AC1三、合作探究知识点一共面向量1．一般地，能平移到同一个平面内的向量叫作共面向量．2．向量共面的充要条件(1)如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x e1＋y e2．这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示．(2)在三个向量a，b，c中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面．知识点二空间向量基本定理1．设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝x e1＋y e2＋z e3，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝x e1＋y e2＋z e3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′．2．我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量．(x，y，z)称为向量p＝x e1＋y e2＋z e3在基{e1，e2，e3}下的坐标．知识点三空间向量的直角坐标表示1．标准正交基空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基．2．空间向量的直角坐标表示(1)在空间中任意取一点O 为原点，分别以标准正交基{i ，j ，k }中三个基向量的方向为三条坐标轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系．将任意空间向量p ＝(x ，y ，z )＝x i ＋y j ＋z k 用从原点O 出发的有向线段OP ―→表示，则有向线段的终点P 对应于这个向量p .(2)向量p ＝OP ―→在标准正交基{i ，j ，k }下的坐标(x ，y ，z )就是点P 在这个直角坐标系中的坐标．(3)标准正交基的基向量的坐标分别是i ＝(1，0，0)，j ＝(0，1，0)，k ＝(0，0，1)．(4)一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标．(5)向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标．四、精讲点拨【例1】 已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A ，B ，M 一定共面．(1)OM ―→＋OB ―→＝3OP ―→－OA ―→；(2)OP ―→＝4OA ―→－OB ―→－OM ―→.【例2】 (1)下列能使向量MA ―→，MB ―→，MC ―→成为空间的一组基的关系式是( )A ．OM ―→＝13OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→ B ．MA ―→＝MB ―→＋MC ―→C ．OM ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→D ．MA ―→＝2MB ―→－MC ―→(2)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一组基，给出下列向量：①{a ，b ，x }；②{b ，c ，z }；③{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【例3】 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.。

§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理(一) 3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示3．2 空间向量基本定理学习目标 1.了解空间向量基本定理.2.了解基底、标准正交基的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一 空间向量的坐标表示 空间向量的正交分解及其坐标表示知识点二 空间向量基本定理思考 平面向量基本定理的内容是什么？答案 如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．梳理 (1)空间向量基本定理(2)基底条件：三个向量a ，b ，c 不共面． 结论：{a ，b ，c }叫作空间的一个基底．基向量：基底中的向量a ，b ，c 都叫作基向量．1．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×)2．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量．(√)3．如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a 与b 共线．(√) 4．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×)类型一 基底的判断例1 下列能使向量MA →，MB →，MC →成为空间的一个基底的关系式是( ) A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC(2)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量：①{a ，b ，x }；②{b ，c ，z }；③{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基底的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的判断 答案 (1)C (2)B解析 (1)对于选项A ，由OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇔M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于选项B ，D ，可知MA →，MB →，MC →共面，故选C. (2)②③均可以作为空间的基底，故选B. 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．跟踪训练1 (1)已知a ，b ，c 是不共面的三个非零向量，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．2a B ．2b C ．2a ＋3b D ．2a ＋5c答案 D(2)以下四个命题中正确的是( ) A ．基底{a ，b ，c }中可以有零向量B ．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 D ．空间向量的基底只能有一组 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 B解析 使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB →·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间基底可以有无数多组，故D 不正确．类型二 空间向量基本定理的应用例2 如图所示，空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点．试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 解 因为OG →＝OA →＋AG →， 而AG →＝23AD →，AD →＝OD →－OA →，又D 为BC 的中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)，所以OG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )． 又因为GH →＝OH →－OG →， OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )， 所以GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .所以OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →＝－13a .反思与感悟 用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 跟踪训练2 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B —→，EF →；(2)若D 1F —→＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理解 (1)如图，连接AC ，EF ，D 1F ，BD 1，D 1B —→＝D 1D —→＋DB →＝－AA 1—→＋AB →－AD →＝a －b －c ， EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A —→＋12AC →＝－12(AA 1—→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )．(2)D 1F —→＝12(D 1D —→＋D 1B —→)＝12(－AA 1—→＋D 1B —→) ＝12(－c ＋a －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.类型三 空间向量的坐标表示例3 (1)设{e 1，e 2，e 3}是空间的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________________． 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标答案 (4，－8,3)，(－2，－3,7)解析 由于{e 1，e 2，e 3}是空间的一个单位正交基底，所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)． (2)已知a ＝(3,4,5)，e 1＝(2，－1,1)，e 2＝(1,1，－1)，e 3＝(0,3,3)，求a 沿e 1，e 2，e 3的正交分解．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标解 因为a ＝(3,4,5)，e 1＝(2，－1,1)， e 2＝(1,1，－1)，e 3＝(0,3,3)， 设a ＝αe 1＋βe 2＋λe 3，即(3,4,5)＝(2α＋β，－α＋β＋3λ，α－β＋3λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2α＋β＝3，－α＋β＋3λ＝4，α－β＋3λ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝76，β＝23，λ＝32，所以a 沿e 1，e 2，e 3的正交分解为a ＝76e 1＋23e 2＋32e 3.反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3 (1)在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，MN →在基底{a ，b ，c }下的坐标为________．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 ⎝⎛⎭⎫－23，12，12 解析 ∵OM ＝2MA ，点M 在OA 上， ∴OM ＝23OA ，∴MN →＝MO →＋ON →＝－OM →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12b ＋12c .∴MN →在基底{a ，b ，c }下的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，12，12. (2)已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量MN →的坐标．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标解 因为P A ＝AD ＝AB ＝1， 所以可设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3. 因为MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(P A →＋AD →＋DC →)＝－12AB →＋AP →＋12(－AP →＋AD →＋AB →)＝12AP →＋12AD →＝12e 3＋12e 2， 所以MN →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12.1．已知i ，j ，k 分别是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴的正方向上的单位向量，且AB →＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标是( ) A ．(－1,1，－1) B ．(－i ，j ，－k ) C ．(1，－1，－1) D ．不确定考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 D解析 由AB →＝－i ＋j －k 只能确定向量AB →＝(－1,1，－1)，而向量AB →的起点A 的坐标未知，故终点B 的坐标不确定．2．在下列两个命题中，真命题是( )①若三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．仅①B ．仅②C ．①②D ．都不是 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 A解析 ①为真命题；②中，由题意得a ，b ，c 共面，故②为假命题，故选A.3．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( ) A ．(12,14,10) B ．(10,12,14) C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A解析 设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．4．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋λc ，则α，β，λ的值分别为________． 考点 空间向量的正交分解题点 空间向量在单位正交基底下的坐标答案 52，－1，－12解析 ∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋λ(e 1－e 2＋e 3) ＝(α＋β＋λ)e 1＋(α＋β－λ)e 2＋(α－β＋λ)e 3 ＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋λ＝1，α＋β－λ＝2，α－β＋λ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，λ＝－12.5．如图，已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AB →＝i ，AD →＝j ，AP →＝k ，试用基底{i ，j ，k }表示向量PG →，BG →.考点 空间向量的正交分解 题点 向量在单位正交基底下的坐标解 延长PG 交CD 于点N ，则N 为CD 的中点，PG →＝23PN →＝23⎣⎡⎦⎤12(PC →＋PD →) ＝13(P A →＋AB →＋AD →＋AD →－AP →) ＝13AB →＋23AD →－23AP →＝13i ＋23j －23k . BG →＝BC →＋CN →＋NG →＝BC →＋CN →＋13NP →＝AD →－12DC →－13PN →＝AD →－12AB →－⎝⎛⎭⎫16AB →＋13AD →－13AP → ＝23AD →－23AB →＋13AP → ＝－23i ＋23j ＋13k .1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．一、选择题1．下列说法中不正确的是( )A ．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B ．竖坐标为0的向量平行于x 轴与y 轴所确定的平面C ．纵坐标为0的向量都共面D ．横坐标为0的向量都与x 轴上的基向量垂直 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 A解析 单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直． 2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法中正确的是( ) A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →的坐标与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →的坐标与OB →－OA →的坐标相同 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 D3．已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( ) A.OA →B.OB →C.OC →D.OA →或OB →考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 C解析 ∵OC →＝12a －12b 且a ，b 不共线，∴a ，b ，OC →共面，∴OC →与a ，b 不能构成一组空间基底．4．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85 D.⎝⎛⎭⎫65，45，85考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A解析 设点C 坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )． 又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85.5．{a ，b ，c }为空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 的值分别为( ) A ．0,0,1 B ．0,0,0 C ．1,0,1D ．0,1,0 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 B解析 若x ，y ，z 中存在一个不为0的数，不妨设x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，∴a ，b ，c 共面．这与{a ，b ，c }是基底矛盾，故x ＝y ＝z ＝0.6．设a ，b ，c 是三个不共面向量，现从①a －b ，②a ＋b －c 中选出一个使其与a ，b 构成空间的一个基底，则可以选择的是( ) A ．仅① B ．仅② C ．①②D ．不确定 考点 空间向量基底的概念题点 空间向量基底的概念 答案 B解析 对于①∵a －b 与a ，b 共面， ∴a －b 与a ，b 不能构成空间的一个基底．对于②∵a ＋b －c 与a ，b 不共面，∴a ＋b －c 与a ，b 构成空间的一个基底．7．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，14，14 B.⎝⎛⎭⎫34，34，34 C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A解析 如图所示，连接AG 1交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点，AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)， AG 1—→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)， ∵OG →＝3GG 1—→＝3(OG 1—→－OG →)， ∴OG →＝34OG 1—→＝34(OA →＋AG 1—→)＝34⎝⎛⎭⎫OA →＋13OB →－23OA →＋13OC → ＝14OA →＋14OB →＋14OC →，故选A.二、填空题8.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则AD 1→的坐标为________，AC 1→的坐标为________．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 (0,2,1) (2,2,1)解析 根据已建立的空间直角坐标系，知A (0,0,0)，C 1(2,2,1)，D 1(0,2,1)，则AD 1—→的坐标为(0,2,1)，AC 1→的坐标为(2,2,1)．9．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示) 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 10．若四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为____________． 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 (5,13，－3)解析 由四边形ABCD 是平行四边形知AD →＝BC →，设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －4，y －1，z －3)，BC →＝(1,12，－6)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y －1＝12，z －3＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3，即点D 坐标为(5,13，－3)． 三、解答题11.如图所示，在正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →. 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 解 (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→ ＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→)＝12(OO ′－OC )＝12(c －b )． 12.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出DB 1→，DE →，DF →的坐标．考点 空间向量的正交分解 题点 空间向量的坐标解 设x ，y ，z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3， 其方向与各轴的正方向相同，则DB 1→＝DA →＋AB →＋BB 1→＝2e 1＋2e 2＋2e 3，∴DB 1→＝(2,2,2)．∵DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝2e 1＋2e 2＋e 3， ∴DE →＝(2,2,1)．∵DF →＝e 2，∴DF →＝(0,1,0)．13．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1. (1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值． 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量的基本定理 (1)证明 因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AA 1→＋⎝⎛⎭⎫AD →＋23AA 1→＝(AB →＋BE →)＋(AD →＋DF →)＝AE →＋AF →， 所以A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)解 因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13.四、探究与拓展14．已知在四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 答案 3a ＋3b －5c解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EF →＝GF →－GE →＝12CD →－12BA →＝12CD →＋12AB →＝12(5a ＋6b －8c )＋12(a －2c )＝3a ＋3b －5c . 15.在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别为棱DD ′，D ′C ′，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE →，AG →，AF →； (2)EF →，EG →，DG →.考点 空间向量的正交分解 题点 空间向量的坐标解 (1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′→＝AD →＋12AA ′→＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，12，0，AF →＝AA ′→＋A ′D ′→＋D ′F →＝AA ′→＋AD →＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12，1，1. (2)EF →＝AF →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AA ′→＋AD →＋12AB →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′→＝12AA ′→＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12， EG →＝AG →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′→ ＝AB →－12AD →－12AA ′→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－12， DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0.。