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第七节 克拉默法则

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第一章 第7节Cramer法则

第一章 第7节Cramer法则

(1)
定义: 若线性方程组(1)的右端的自由项 的右端的自由项b 定义 若线性方程组 的右端的自由项 1, b2,…, bn … 不全为0时 则其称为非齐次线性方程组； 不全为 时，则其称为非齐次线性方程组； 非齐次线性方程组 若线性方程组(1)的右端的自由项 若线性方程组 的右端的自由项b1, b2, …, bn全为 的右端的自由项 0时，则称其为齐次线性方程组 时 则称其为齐次线性方程组. 齐次线性方程组
= ( −1)
j+2
( −1)
j −1
D j = －D j
∴ bi D − ai 1 D1 − ⋯ − ain Dn = 0
即
D1 D2 Dn ai 1 + ai 2 2， + ⋯ + ain = bi ( i = 1， ⋯，n) D D D 证毕. 证毕
8
克拉默还可叙述为下面的定理 定理2: 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零 的系数行列式不等于零, 定理 如果线性方程组 的系数行列式不等于零 则方程组(1)一定有解，且解是惟一的． 则方程组 一定有解，且解是惟一的． 一定有解 定理2`: 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解 无解或有两个不同的解, 定理 如果线性方程组 无解或有两个不同的解 则方程组(1)的系数行列式必等于零． 则方程组 的系数行列式必等于零． 的系数行列式必等于零
0 7 −5 1 −3 0 0 2 −1 0
7
13 −6 2
−7
12
7 − 5 13 −3 −5 3 −3 3 c1 + 2c2 = −2 −1 2 − 0 −1 0 = = 27 −7 −2 c3 + 2c2 −7 −7 −2 7 − 7 12
10

克拉默(Cramer)法则

克拉默(Cramer)法则

§7 克拉默(Cramer)法则现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理4 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, (1) 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211(2) 的行列式0||≠=A d那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为dd x d dx d d x n n ===,,,2211 , (3) 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n n j j n j j j==+-+-+- (4)定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1. 把),,,(21dd d d d d n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 例1 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为)0,,0,0( 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理5 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (10) 的系数矩阵的行列式0||≠A ，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有0||=A .例2 求λ在什么条件下，方程组⎩⎨⎧=+=+0,02121x x x x λλ 有非零解.克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 级行列式，这个计算量是很大的.。

第七节 克拉默法则

第七节 克拉默法则
克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零即nn22211211其中是把系数行列式列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式即那么线性方程组有解并且解是唯一的解可以表为22211211依次乘方程组列元素的代数余子式kjknkjkj的系数等于上式中的系数均为而其余又等式右端为于是时方程组有唯一的一个解27816767理论意义
1 4 1 2
67 2 , D4
3 0 1 1
5 3 1 1
2 0 1 3
3 4 11 6 5 6
67 ,
3 1, x1 D 67 3
x2 D2 D
D3
D1
67

0 67
67
0,
2 1, x3 D 67 2
x4 D4 D 67 67 1.
D 0
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a x a x a x 0 n1 1 n2 2 nn n
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a 11 a 1 , j 1 b1 a 1 , j1 a 1n
D a 11 a 21 a 12 a 22 a 1n a 2n
D j a n1 a n , j1 bn a n , j 1 a nn
对于二元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 .
其解为
b1 x1 D1 D b2 a 11 a 21 a 12 a 22 a 12 a 22 , x2 D2 D a 11 a 21 a 11 a 21 b1 b2 a 12 a 22 .

克拉默法则的理解

克拉默法则的理解

克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中的一个重要定理，适用于变量和方程数目相等的线性方程组。

这个定理可以用来解决线性方程组的求解问题，并且通过行列式的值来判断线性方程组的解的情况。

如果一个线性方程组含有n个未知数，而它的系数矩阵的行列式不为零，即满秩，那么这个方程组有唯一解。

如果系数行列式为零，那么这个方程组有无穷多个解或者没有解。

克拉默法则的优点是能够快速求解线性方程组的解，但是需要计算系数行列式，如果系数矩阵的阶数较高，计算行列式的值就比较麻烦。

因此，在实际应用中，如果涉及到大规模线性方程组的求解问题，通常会采用其他更为高效的方法，如LU分解法、QR分解法等。

克拉默法则原理

克拉默法则原理

克拉默法则原理克拉黫法则是线性代数中的一个重要定理，它是线性方程组解的存在性和唯一性的一个重要判据。

克拉默法则的提出者是18世纪法国数学家克拉默，他在其著作《解析代数学》中首次提出了这一定理。

克拉默法则原理是在解线性方程组时非常有用的一种方法，它可以通过行列式的计算来求解线性方程组的解，特别适用于小规模的线性方程组求解。

首先我们来看一下克拉默法则的基本原理。

对于一个n元线性方程组：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1。

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2。

......an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn。

其中a11, a12, ..., ann是方程组的系数，b1, b2, ..., bn是方程组的常数项，x1, x2, ..., xn是方程组的未知数。

如果方程组的系数矩阵的行列式不等于0，那么这个方程组有唯一解，且这个解可以通过克拉默法则来求得。

克拉默法则的具体求解方法是通过行列式的计算来求解未知数的值。

对于第i个未知数xi，它的值可以通过以下公式来求得：xi = Di / D。

其中Di是将方程组的系数矩阵中第i列的系数替换为常数项得到的新矩阵的行列式，D是方程组的系数矩阵的行列式。

通过这个公式，我们可以逐个求解出所有的未知数的值，从而得到线性方程组的解。

克拉默法则的优点是它的计算方法相对简单，特别适用于小规模的线性方程组求解。

但是在实际应用中，由于克拉默法则的计算复杂度较高，当方程组的规模较大时，使用克拉默法则求解会变得非常耗时。

因此，在实际应用中，通常会使用其他更高效的方法来求解线性方程组，比如高斯消元法、矩阵求逆法等。

总之，克拉默法则是线性代数中的一个重要定理，它为我们解线性方程组提供了一种简单而直观的方法。

通过克拉默法则，我们可以求解小规模的线性方程组，并且可以通过行列式的计算来直观地理解线性方程组解的存在性和唯一性。

克拉默法则

克拉默法则

7 − 5 13 = − 2 −1 2 7 − 7 12
−3 −5 3 c1 + 2c2 − 0 −1 0 c3 + 2c2 −7 −7 −2
−3 3 = = 27 ≠ 0, 7 −2
上页 下页 返回
8 1 −5 1 9 −3 0 −6 D1 = = 81, − 5 2 −1 2 0 4 −7 6
= (−1)
j +2
(−1)
j −1
Dj = −Dj ,
所以有
即
0 = bi D − ai1 D1 −L− ainDn ,
Dn D1 D2 ai1 + ai 2 + L+ ain = bi , (i = 1,2,L, n). D D D
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例12
解线性方程组
1 + x2 − 5x3 + x4 = 8, x − 3x − 6x = 9, 1 2 4 2x2 − x3 + 2x4 = −5, x1 + 4x2 − 7 x3 + 6x4 = 0.
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对于齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn = 0, a x + a x + L+ a x = 0, 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLL, an1 x1 + an2 x2 + L+ ann xn = 0,
(11)
x1 = x2 = … = xn = 0 一定是它的解。称为齐次方程组 一定是它的解。 (11) 的零解。 零解。 如果一组不全为零的数是(11)的解，则叫做齐次 的解， 如果一组不全为零的数是 的解 方程组的非零解。 方程组的非零解。 方程组(11) 一定有零解，但不一定有非零解。 一定有零解，但不一定有非零解。 方程组

第七节克拉默法则

第七节克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的运算法则，可以用来解决线性方程组的问题。

它是由17世纪的数学家克拉默提出的，可以用来求解n元线性方程组的解。

设有n个未知数和n个线性方程，可以表示成如下形式的方程组：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中a11, a12, ..., ann是系数矩阵，x1, x2, ..., xn是未知数向量，b1, b2, ..., bn是常数向量。

使用克拉默法则求解线性方程组的步骤如下：1.计算系数矩阵的行列式D：D = ，a11, a12, ..., ann2.用常数向量替换系数矩阵的第i列，得到新的n阶矩阵Di：Di = ，a1, a2, ..., ai-1, bi, ai+1, ..., an3.计算新矩阵的行列式Di：Di = ，a1, a2, ..., ai-1, bi, ai+1, ..., an4. 通过D和Di的比值得到未知数xi的值：xi = Di / D使用克拉默法则求解线性方程组的优点是计算简单明了，但是也存在一些缺点。

首先，使用克拉默法则需要对每个未知数分别求解，计算复杂度较高，尤其当未知数的个数较多时，计算量会很大。

其次，克拉默法则只适用于方程组的系数矩阵的行列式不为0的情况，即只有在系数矩阵满秩时才能使用克拉默法则求解。

克拉默法则的一个典型应用是求解二元线性方程组。

设有二元线性方程组：a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2根据克拉默法则，先计算系数矩阵的行列式D：D=，a11,a12a21,a2再计算常数向量替换第1列和第2列分别得到的行列式D1和D2：D1=，b1,a12b2,a2D2=，a11,b1a21,b最后，根据克拉默法则的公式得到未知数x1和x2的值：x1=D1/Dx2=D2/D克拉默法则的应用并不局限于二元线性方程组，同样适用于多元线性方程组。

克拉默法则


解
5 2 2
D 2 6 0 (5 )(2 )(8 )
2 0 4
由D=0,得λ=2, λ=5, λ=8.
总结
1.用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
2.克拉默法则建立了线性方程组的解与已知的系 数与常数项之间的关系，它主要使用于理论推 导。

D4 D

27 27

1.
二、齐次与非齐次线性方程组的定义
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
(11)
an1x1 an2 x2 L ann xn bn
定义:线性方程组(11)右端的常数项b1, b2 , ∙ ∙ ∙, bn不 全为零时,线性方程组(11)叫做非齐次线性方程
定理3′ 如果齐次线性方程组(12)有非零解,则它的系 数行列式必为零.
定理4 齐次线性方程组（12）有非零解得充分必要 条件是它的系数行列式为零。
例 问λ取何值时,齐次线性方程组有非零解？
5 x 2 y 2z 0,

2x 6 y 0,

2x 4z 0
an1 L an, j1 bn an, j1 L ann
关于克拉默法则的等价命题
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LL
L
b2 L
(11)
an1x1 an2 x2 L ann xn bn

第七节 克莱姆法则(new)


解
2 1 −5 1 1 − 3 0 − 6 r1 − 2 r2 D= 0 2 − 1 2 r4 − r2 1 4 −7 6
7 − 5 13 −3 c1 + 2c2 = −2 −1 2 c 3 + 2c 2 − 0 7 − 7 12 −7
− 5 13 1 −3 0 −6 0 2 −1 2 0 7 − 7 12 0 7
1 2 22 23
1 3 32 33
1 4 42 43
D = (2 − 1)(3 − 1)(4 − 1)(3 − 2)(4 − 2)(4 − 3)
于是 D = (2 − 1)(3 − 1)(4 − 1)(3 − 2)(4 − 2)(4 − 3) = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅1⋅ 2 ⋅1 = 12 0 1 0 0 3 1 1 1
1 −(λ + 1) λ − 3 (3 − λ )(λ + 1) = ( λ − 3) = 1 − λ 2λ − 1 1− λ 2λ − 1
= λ( 3 − λ)( λ − 2)
时齐次方程组有非零解. 所以 λ = 0 , λ = 2 或 λ = 3时齐次方程组有非零解
六、小结
1. 可用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数,(系数可写为行列式); (1)方程个数等于未知量个数,(系数可写为行列式); 方程个数等于未知量个数,(系数可写为行列式 (2)系数行列式不等于零. (2)系数行列式不等于零. 系数行列式不等于零 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系. 数与常数项之间的关系.它使得求解线性方程组公 式化,它为后边章节的学习奠定了重要的理论基础. 式化,它为后边章节的学习奠定了重要的理论基础. 齐次线性方程组有非零解的充要条件 有非零解的充要条件是 3. 齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系 数行列式等于零。 数行列式等于零。

克拉默法则


142
线性代数讲稿
⎧λx1 + x 2 + x3 = 0 ⎪ ⎨ x1 + λx 2 + x3 = 0 ⎪ x + x + λx = 0 2 3 ⎩ 1
有非零解． 解：按题意要求方程组的系数行列式为零，即
λ 1 1 0 = 1 λ 1 ====== (λ + 2) 1 λ 1 再c1 ÷( λ + 2 ) 1 1 λ 1 1 λ === (λ + 2) 1 λ − 1 0 = (λ + 2)(λ − 1) 2 , j = 2,3 1 0 λ −1
线性代数讲稿
§1.4
一.基本概念
克拉默（Cramer）法则
关于 n 个待求量 xi 的 n 个线性方程联立而成的线性方程组：
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪a x + a x + L + a x = b ⎪ 21 2 22 2 2n n 2 ⎨ M M ⎪ ⎪ ⎩ a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
xj = Dj D
( j = 1,2, L , n)
（2）
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列换成（1）中右端的 b1,b2,…,bn 所构成的 n 阶行列式，
即
Dj =
a11 L a1 j −1 a 21 L a 2 j −1
b1 b2
a1 j +1 L a1n a 2 j +1 L a 2 n M a n j +1 M M L an n
c j −c1 c1 + ( c2 + c3 )
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a L a b a L a 11
1, j−1
1
1, j+1
1n
Dj = L L L L L L L L L L L
a L a b a L a n1
n , j−1
n
n , j+1
nn
证明
用D中第j列元素的代数余子式 A1 j , A2 j ,L , Anj
依次乘方程组 (1)的n个方程 , 得
( ) a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn A1 j = b1 A1 j
解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0
La21Lx1L+
a L
x 22 L
2 +L LL
+ L
a2 L
xn n LL
=0 L
(2)
an1 x1 + an2 x2 + L + ann xn = 0
定理 如果齐次线性方程组(2) 的系数行列式 D ≠ 0 则齐次线性方程组 (2) 没有非零解.
(2)
当 D ≠ 0 时,方程组 (2) 有唯一的一个解
x1
=
D1 D
,
x2
=
D2 D
,
x3
=
D2 D
,L
, xn
=
Dn D
.
由于方程组 (2) 与方程组 (1) 等价, 故
x1
=
D1 D
,
x2
=
D2 D
,
x3
=
D2 D
,L
, xn
=
Dn D
.
也是方程组的 (1) 解.
二、重要定理
定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0, 则 (1)一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 (1) 无解或有两个不同的
04 D2 = 1 11 6
0 1
4 = 0, 1
5 6 −1 −3 2
1 5 6 −3 2
35 3 1
35 2 3
0 D3 = 1
3 1
4 11 6
4 = 67 , 12
0 D4 = 1
3 1
04
= 67,
1 11 6
1 −1 5 6 2
1 −1 −3 5 6
∴
x1
=
D1 D
=
67 3
67
=
1 3
非齐次与齐次线性方程组的概念
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1
设线性方程组

a21 L
x1 L
+ L
a22 x2 + L LLLL
+ L
a2n xn = b2 LLLL
an1 x1 + an2 x2 + L + ann xn = bn
若常数项b1,b2 ,L ,bn不全为零, 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 ,L ,bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
( ) a21 x1 + a22 x2 + L + a2n xn A2 j = b2 A2 j

LLLLLLLLLLLL
( ) an1 x1 + an2 x2 + L + ann xn Anj = bn Anj
在把 n 个方程依次相加，得
∑ ∑ ∑
n
ak1 Akj x1 + L
D= 0 2 −1 2
r4 − r2
0 7 − 5 13 1 −3 0 −6 0 2 −1 2
1 4 −7 6
0 7 − 7 12
7 − 5 13 = −2 −1 2
7 − 7 12
c1 + 2c2 c3 + 2c2
−3 −5 3 − 0 −1 0
−7 −7 −2
−3 3
=
= 27,
−7 −2
8 1 −5 1
所以 λ = 0,λ = 2 或 λ = 3时齐次方程组有非零解.
三、小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1

a
21
L
x1 L
+ a22 x2 + L LLLLL
+ a2n xn LLLL
= L
b2
(1)
an1 x1 + an2 x2 + L + ann xn = bn
a11 a12 L a1n
定理 如果齐次线性方程组 (2) 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D = 0
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0

a21 x1 + LLL
a22 x2 + L LLLL
+ a2n xn LLLL
= L
0
an1 x1 + an2 x2 + L + ann xn = 0
解
1−λ
D= 2 1
−2
3−λ
1
4 1−λ
1= 2 1−λ 1
−3+λ 1−λ
0
4 1
1−λ
= (1 − λ )3 + (λ − 3) − 4(1 − λ ) − 2(1 − λ )(− 3 + λ )
= (1 − λ )3 + 2(1 − λ )2 + λ − 3
齐次方程组有非零解，则 D = 0
+
n
akj Akj
xj
+L
+
n
akn Akj xn
k=1

k=1

k=1

n
∑ = bk Akj , k =1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
而其余xi (i ≠ j)的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dx j = Dj ( j = 1,2,L , n).
9 −3 0 −6 D1 = − 5 2 − 1 2
0 4 −7 6 = 81,
2 8 −5 1 1 9 0 −6 D2 = 0 − 5 − 1 2 1 0 −7 6 = −108,
21 8 1 1 −3 9 −6 D3 = 0 2 − 5 2 14 0 6
= −27,
∴
x1
=
D1 D
=
81 27
的系数行列式不等于零，即D = a21 a22 L a2n ≠ 0
LLLLLLL
an1 an2 L ann
那么线性方程组(1) 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
=
D1 D
,
x2
=
D2 D
,
x3
=
D2 D
,L
, xn
=
Dn D
.
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
思考题解答
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.

3x2 + 4x4 = x1 + x2 + x3
4, + x4
=
11
6,
x1 − x2 − 3 x3 + 2 x4 = 5 6.
35 21
解
03 D=
0 4 = 67 ≠ 0,
11 11
1 −1 −3 2
3 5 21
3 3 21
43 D1 = 11 6 1
0 1
4 = 67 , 13
,
x3
=
D3 D

,
x2
=
D2 D
=
0 67
=
0,
x4
=
D4 D
=
67 67
=
1.
例3 问 λ 取何值时，齐次方程组
(1 −

2
x1
λ )x1 + (3
− 2x2 + 4x3
− λ )x2 + x3
= =
0, 0,
x1 + x2 + (1 − λ )x3 = 0,
有非零解？
=
3,
x3
=
D3 D
=
− 27 27
=
−1,
2 1 −5 8 1 −3 0 9 D4 = 0 2 − 1 − 5 1 4 −7 0
= 27,
x2
=
D2 D
=
− 108 27
=
−4,
x4
=
D4 D
=
27 27
=
1.
例2 用克拉默法则解方程组
3 x1 + 5 x2 + 2 x3 + x4 = 3,
有非零解.
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 + x2 − 5 x3 + x4 = 8,