大学控制工程基础 课件第4章3二阶系统.

插值计算可大致确定闭环截止频率为 b
=1.3rad／s。
非单位反馈系统的闭环频率特性
对于非单位反馈系统，其闭环频率特性可
写为
X X
o i
j j
1
G j G j H
j
H
1
j
1
G j H j G j H j
在求取闭环频率特性时，在尼柯尔斯图上画
出 G j H j 的轨迹，由轨迹与M轨线和N轨
频域法是一种工程上广为采用的分析 和综合系统间接方法。另外，除了电路 与频率特性有着密切关系外，在机械工 程中机械振动与频率特性也有着密切的 关系。机械受到一定频率作用力时产生 强迫振动，由于内反馈还会引起自激振 动。机械振动学中的共振频率、频谱密 度、动刚度、抗振稳定性等概念都可归 结为机械系统在频率域中表现的特性。 频域法能简便而清晰地建立这些概念。
如果M=1，由式（4.26）可求得X=-1/2，即为
通过点（-1/2，0）且平行虚轴的直线。
如果M≠1，式（4.26）可化成
X
M M2
2
2
1
Y
2
M2 M 2 1 2
(4.27)
该式就是一个圆的方程，其圆心为
M2
，半径为 M 。如下图。
[
M
2
, 1
j0]
M 2 1
在复平面上，等M轨迹是一族圆，对于给定 的M值，可计算出它的圆心坐标和半径。下 图表示的一族等M圆。由图上可以看出，当 M>1时，随着M的增大M圆的半径减小，最后 收敛于点（-1,j0）。当M＜1时，随着M的 减小M圆的半径亦减小，最后收敛于点 （ 0 , j0）。M=1 时 ， 其 轨 迹 是 过 点 （ 1/2,j0）且平行于虚轴的直线。

C(t)
n 1
2
exp(nt) sin(d t).
(4 34)
(2) 临界阻尼 1
响应函数 C(s) G(s)R(s)
2 n
(s n )2
拉氏逆变换 c(t) n2t exp(nt)
(4 35) (4 36)
（3） 过阻尼 1
C(s)
2 n
(s n n 2 1)(s n n 2 1)
M
p
C(t p ) C() C()
100%
C(t p ) 1
exp( ) 1 2
可见，超调量仅与阻尼比有关。
（4）调整时间ts
对欠阻尼二阶系统，瞬态响应为
C
(t
)
1
exp(n2t 1 2
)
sin(d
t
arctan
1 2
), t 0.
(4 28)
其包络线方程为 f (t) 1 exp(nt) / 1 2
s
2 n
)(s
)
a1 y a0 y b0 x （2）对应方程 a2 y a1 y a0 y b0 x
a3y a2 y a1 y a0 y b0 x
(4 39)
（3）单位阶跃响应
C(s) G(s)R(s)
2 n
1,
(s 2
2n s
2 n
)(s
)
s
令 ，作拉氏逆变换，得 n
B 2 4mk 2m
n2
k m
,
2 n
B m
G(s) 1
n2
k
s
2
n
s
2 n
(4)二阶系统的标准形式及方块图
G(s)
Xo(s) Xi(s)

tg(dt )
1 2
因为
1 2 tg
dtp 0, , 2 , 根据峰值时间定义，应取 dtp
一定时，n （闭环极点离负实轴的距离越远） tp
（3）超调量 M p
超调量是描述系统相对稳定性的一个动态指标。它用下式定义：
Mp
xo (t p ) xo () xo ()
100%
得
Mp
1
2 1
2 1
A3 2
1
2 1
2 1
xho (t) 1
2
1
2 1(
e ( 2 1)nt
1
2 1)
2 2 1(
e( 2 1)nt
2 1)
t0
响应曲线： ＞ ＞ 1时的近似处理，此时
可近似地等效为具有时间常数 为 的一阶系统。 时域响应式为：
xo (t)
调节时间为：
阻尼比 不同，其特征根和相应的瞬态响应也有很大的差异。 0 有两个正实部的特征
根 ,系统发散
1 ，有一对相等的负实根
临界阻尼状态
1，有两个不相等的负实根
过阻尼状态
0 ，有一对纯虚根，瞬态
响应变为等幅振荡。零阻尼状态
下面讨论在不同 值时二阶系统的瞬态响应！
一、二阶系统的单位脉冲响应
(2)零阻尼( =0 )二阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃响应拉氏变换式： X o (s)
时域响应式：
系统处于无阻尼 振荡状态，暂态响应 为恒定振幅的周期函 数，频率为n。
二阶系统单位阶跃响应（ =0 ）
(3)临界阻尼( 1 )二阶系统的单位阶跃响应
xi (t) 1(t)
Xi
(s)
1 s

⇒ x o (t ) = 1 − cos wn t
总结：
ξ =0
0 <ξ <1
0
t
1
ξ =1
ξ >1
0
t
G (s) =
2 wn 1 − ξ
( s +ξ wn) 2 + ( wn 1 − ξ 2 ) 2
⋅
wn 1−ξ 2
,
记 wd = wn 1 − ξ 2，称为二阶系统有阻尼固有频率。 wd wn G (s) = ⋅ ( s +ξ wn) 2 + wd 2 1 − ξ 2 ⇒ x o (t ) = L−1[G ( s )] =
2 1
t
t
1 0 t
2)ξ = 1, 系统为临界阻尼系统，1,2 = −ξ wn = − wn。 s
1 s + 2 wn 1 1 (s) = − = − − wn 2 Xo s (s + wn )2 s (s + wn ) (s + wn ) ⇒ x o (t ) = 1 − e − wn t − wn t e − wn t = 1 − e − wn t (1 + wn t ) 3） < ξ < 1, 系统为欠阻尼系统。 0
L
⇒ x o (t ) = L−1[G ( s )] = L−1[
s 2 + 2ξ wn s + w2 n
2 wn) = L−1[ 2 s + 2ξ wn s + w2 n
w2 n
1 ξ > 1，系统为过阻尼系统。s1,2 = −ξ wn ± ξ 2 − 1 wn , ） wn 2 1 1 wn G (s) = =( − ) ( s − s1)( s − s 2) s − s1 s − s 2 2 ξ 2 − 1 ⇒ x o (t ) = wn 2 ξ 2 −1 (e s1t − e s 2t )