高等数学第八章多元函数积分学优秀课件

第八章 多元函数积分学 基 本 课 题 ：8 1 二重积分的概念与性质 目 的 要 求 ：理解二重积分的概念与性质 重 点 ：二重积分的性质 难 点 ：8 1 二重积分的概念 教 学 方 法 ： 讲授与讨论结合 教 学 手 段 ： 电子课件、黑板 教 参 ：《高等数学》(人大理工类本科教材) 教学环节及组织： 复习并引入新课

一、二重积分的概念 1 曲顶柱体的体积 设有一立体 它的底是xOy面上的闭区域D 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面 它的顶是曲面zf(x y) 这里f(x y)0且在D上连续 这种立体叫做曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先 用一组曲线网把D分成n个小区域：  1  2      n  分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于z轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体 在每个 i中任取一点( i   i) 以f ( i   i)为 高而底为 i的平顶柱体的体积为 ： f ( i   i) i (i1 2     n )

这个平顶柱体体积之和：iiinifV),(1 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限 即 iiinifV),(lim10 其中是个小区域的直径中的最大值 定义 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域  1  2      n  其中 i表示第i个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一点( i i) 作和

iiinif),(1

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的二重积分 记作dyxfD),( 即