【高考地位】圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础. 【方法点评】方法1 定义法解题模板：第一步 根据题目条件求出,a c 的值 第二步 代入公式ce a=，求出离心率e .例1. 若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A .43 B . 32C . 21D . 41【变式演练1】点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21方法2 方程法解题模板：第一步 设出相关未知量；第二步 根据题目条件列出关于,,a b c 的方程； 第三步 化简，求解方程，得到离心率.例2. 已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是（ ）ＡＢＣ．2Ｄ．3例3. 已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为 （ ）A ．65 B . 75C . 58D . 95【变式演练2】设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于（ ）（A （B ）2 （C （D【变式演练3】如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .方法3 借助平面几何图形中的不等关系解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步 将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式，第三步 解不等式，确定离心率的范围.例4已知椭圆的中心在O ,右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22B .⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0 C .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 D .⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【变式演练4】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．1[,1)2 B ．[]22 C ．[,1)2D ．[2方法4 借助题目中给出的不等信息解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等；第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.例5已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 .【答案】[23【变式演练5】【2014江西赣州期末联考】过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若31＜k ＜21, 则椭圆的离心率的取值范围是 .方法5 借助函数的值域求解范围解题模板：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；第二步 通过确定函数的定义域；第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.例6.已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．(,1)2 B ．(0,2C ．(0,1)D ．1(0,)2【答案】A【变式演练6】已知两定点(2,0)A -和(2,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ） AB C D【高考再现】1.【2012高考真题浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：22221x ya b-=（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是（）A. B C D.【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,by a x b x cb y 得点Q ),(ac bc a c ac --，联立2.【2012高考真题新课标理】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【答案】C 【解析】3.【2012高考真题江西理】椭圆 )0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1，F 2.若1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.【答案】55 【命题立意】本题考查椭圆的几何性质，等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率.4【2013年高考新课标1（理）】已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>),则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±5【2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）】如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）（ ）A ．2B ．3C ．23 D ．26∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a .6【2013年高考湖南卷（理）】设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___.7.【2014高考广东卷理第4题】若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ）A .离心率相等B .虚半轴长相等C .实半轴长相等D .焦距相等8.【2014高考湖北卷理第9题】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A B C .3 D .29.【2014江西高考理第16题】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 .10.【2014山东高考理第10题】 已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为12222=+by a x ，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（ ） A .02=±y x B .02=±y x C .02=±y x D .02=±y x11.【2014浙江高考理第16题】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________12.【2014重庆高考理第8题】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ）A.34B .35C .49 D .313.【2014高考北京理第19题】已知椭圆C ：2224x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.考点：椭圆的性质，直线与圆的位置关系.14.【2014高考福建理第19题】已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一， 四象限），且OAB 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公 共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由.若存在满足条件的双曲线E ,则E 的方程只能为221416x y -=.以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件.【反馈练习】1.【广州市珠海区2014年高三8月摸底考试7】已知抛物线24y x =与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为( ).A 2B 1C 1+D2.【四川省成都市2015届高中毕业班摸底测试10】如图，已知椭圆221:111x C y +=，双曲线22222:1y x C a b-=(a ＞0，b ＞0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为( ).A 、5 BC D3.【河北省“五个一名校联盟” 2015届高三教学质量监测（一）15】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 _______ ．.考点：双曲线的性质，两直线的位置关系4. 【湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试13】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>相交于A ,B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 .5.【福建省安溪一中、德化一中2015届高三9月摸底考试，理9】已知21,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，以21F F 为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，若双曲线的离心率为5，则21cos PF F ∠等于( ).A ．35B ．34C ．45D ．566.【河南省开封市2015届高三上学期定位考试模拟试题.理3】已知双曲线方程224312x y -=，则双曲线的离心率为（ ）A .73 B .3C .7D .2考点：双曲线方程、离心率.7.【云南省玉溪一中2015届高三上学期第一次月考试卷，理12】已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ,则当12PF F 的面积等于2a 时，双曲线的离心率为 （ ）A .2B .3C .26D .28.【冀州中学高三上学期第一次月考，理11】已知双曲线12222=-by a x 的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则 ( ).A . ||||OA e OB = B . ||||OB e OA =C . ||||OA OB =D . ||OA 与||OB 关系不确定考点：1.双曲线定义；2.三角形内切圆.9.【河南八校2014-2015学年上学期第一次联考，理13】已知双曲线22215x y a -=的右焦点为（3,0），,则该双曲线的离心率等于 .10.【福建省安溪一中、德化一中2015届高三9月摸底考试，理19】（本小题满分13分）如图，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为21,F F ，上顶点为A ，点2,F B 关于1F 对称，且2AF AB ⊥（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知P 是过2,,F B A 三点的圆上的点，若21F AF ∆的面积为3，求点P 到直线033:=--y x l 距离的最大值.11.椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[33，22]B ．[22，1] C ．[33，1] D ．[13，12]12.已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)13.（2014山东济南一模）已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 1与双曲线C 2有共同的焦点，设左右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 1与C 2在第一象限的交点，∆PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是（ ） (A )(19，+∞) (B )(15，+∞) (C ) (13，+∞) (D )(0，+∞) 【答案】C 【解析】14.已知F 1，F 2是双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的左右两个焦点，过点F 1作垂直于x 轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）(A )(1，2) (B )(1 （C ）(1,5) (D )(+∞)15.从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2,4b 2]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是________．16.F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________． 【答案】22≤e <117.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：12PF F △的面积只与椭圆的短轴长有关．18.【广东省华附、省实、广雅、深中2014届联考】在平面直角坐标系中，已知点F及直线:0l x y+=，曲线1C是满足下列两个条件的动点(,)P x y的轨迹：①,PF=其中d是P到直线l的距离；②0.225xyx y>⎧⎪>⎨⎪+<⎩(1) 求曲线1C的方程;(2) 若存在直线m与曲线1C、椭圆22222:1(0)x yC a ba b+=>>均相切于同一点，求椭圆2C离心率e的取值范围.故2222411a bea t-==-，得2150,16e <<又01,e <<故04e <<所以椭圆2C 离心率e 的取值范围是(0,4所以椭圆2C 离心率e 的取值范围是(0,419.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c )的两个焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，且满足F 1M →·F 2M →＝0. (1)求椭圆的离心率e 的取值范围 ；(2)当离心率e 取得最小值时，点N (0,3)到椭圆上的点的最远距离为52，求此时椭圆的方程．20.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与直线x＋y＝1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．(1)求1a2＋1b2的值；(2)若椭圆的离心率e满足33≤e≤22，求椭圆长轴的取值范围．。
