高中数学第二章数列2.4等比数列思维导图素材新人教A版必修5

基本初等函数 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 分段探究，整体考察 复合函数的单调性：同增异减 赋值法、典型的函数模型 零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换：������ = ������(������) → ������ = ������(������ ± ������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������) ± ������，������, ������ > 0 函数图象 及其变换 对称变换：������ = ������(������) → ������ = −������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(−������)，������ = ������(������) → ������ = −������(−������) 翻折变换：������ = ������(������) → ������ = |������(������)|，������ = ������(������) → ������ = ������(|������|) 伸缩变换：������ = ������(������) → ������ = ������������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������������)
������
第二部分
角的概念
三角函数与平面向量
弧长公式������ = ������������、扇形面积公式������ = ������������
2 1 π 2

2．用函数的观点看等比数列的通项公式 ． － 等比数列{a 的通项公式 等比数列 n}的通项公式 an＝a1qn 1， 还可以改写 a1 n 当 ＞ ， ≠ ＝ 为 an＝ q q .当 q＞0，且 q≠1 时，y＝qx 是一个指 a1 n 数函数， 数函数，而 y＝ q ·q 是一个不为 0 的常数与指数 ＝ 函数的积．因此等比数列{a 的图象是函数 ＝ 函数的积．因此等比数列 n}的图象是函数 y＝ a1 x ·q 图象上的一些孤立的点． 图象上的一些孤立的点． q
例3
已知数列{a 满足 满足a 已知数列 n}满足 1＝1，an＋1＝2an＋1. ， ＋
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列； 求证：数列 是等比数列； 求证 是等比数列 (2)求数列 n}的通项公式． 求数列{a 的通项公式 的通项公式． 求数列 【思路点拨】 思路点拨】 将递推公式变形， 将递推公式变形，然后利用等比 数列的定义判定． 数列的定义判定． 证明： 【解】 (1)证明：因为 an＋1＝2an＋1， 证明 ， 所以 an＋1＋1＝2(an＋1)． ＝ ． ， ≠ ， ≠ 由 a1＝1，知 a1＋1≠0，可得 an＋1≠0. an＋1＋1 * 所以 ＝2(n∈N )． ∈ ． an＋1 所以数列{a 是等比数列． 所以数列 n＋1}是等比数列． 是等比数列
2. 4.1 等 比 数 列 的 概 念 及 通 项 公 式
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 1．如果一个数列从__________起，每一项与它 ．如果一个数列从 第二项 起 的前一项的差都等于__________， 的前一项的差都等于 同一常数 ，那么这个数列 叫做等差数列． 叫做等差数列． a1＋(n－1)d 是关 － 2．等差数列的通项公式：an＝___________是关 ．等差数列的通项公式： 的一次函数式(或常函数 于n的一次函数式 或常函数 ． 的一次函数式 或常函数)．

根据等比数列的性质 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log10.
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
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4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
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课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，

练一练
3．(1)若等比数列的前三项分别为 5，－15，45，则第
5 项是( )
A．405
B．－405
C．135
D．－135
解析：选 A ∴a5＝405.
∵a5＝a1q4，而 a1＝5，q＝aa21＝－3，
(2) 已知数列{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝230，则数列{an} 的通项公式为________________． 解析：设等比数列的公比为 q，则 q≠0，a2＝aq3＝2q，a4＝a3q ＝2q.∴2q＋2q＝230，解得 q＝13或 q＝3. 当 q＝13时，a1＝18，∴an＝18×13n－1＝2×33－n； 当 q＝3 时，a1＝29，∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.
于 同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比 数列的 公比，公比通常用字母 q 表示(q≠0)．
(2)等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成 等比数列，
那么 G 叫做 a，b 的等比中项，这三个数满足关系式 G＝± ab. (3)等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q(q≠0)，则通项公式
第1课时 等比数列
[核心必知]
1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P48～P49，回答下列问题： (1)观察下面的各组数据 ①由细胞分裂问题，得到数列：1，2，4，8，…； ②由“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，得到数列：1，12，14，18，…； ③由计算机病毒的传播，得到数列：1，20，202，203，…； ④由银行的一种计息方式“复利”，得到数列：10 000×1.019 8， 10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000× 1.019 85.这些数列有什么共同特点？ 提示：从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于一个常数．