一元二次不等式及其解法

第三章 §3.2
一元二次不等式及其解法
第1课时 简单的一元二次不等式及其解法
学习目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2.掌握图象法解一元二次不等式.
3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
思考
一元二次不等式的概念
我们知道，方程x2＝1的一个解是x＝1，解集是{1，－1}，解集中
称为 一元二次 不等式.
(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解. (3)不等式所有解的 集合 称为解集.
知识点二
“三个二次”的关系
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
ax2＋bx＋Leabharlann ＝0√ 1 D.xx<－2或x＞1
解析 ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
1 ∴由 2x －x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，解得 x>1 或 x<－2，
2
1 ∴不等式的解集为xx<－2或x＞1 .
1
2
3
4
解析
答案
2.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是 A.1 B.2 C.3 √ D.4
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
解答
类型二 “三个二次”间对应关系的应用

§9.2一元二次不等式及其解法对应学生用书第120页1.一元二次不等式的定义形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作一元二次不等式.2.一元二次不等式的解与解集一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.(1)定义的简单应用:判断一个不等式是否为一元二次不等式,应严格按照定义去判断,即未知数只有1个,未知数的最高次数是2,且最高次项的系数不能为0.(2)解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.3.三个“二次”间的关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0( a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=-b2a没有实数根ax2+bx+c>0( a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2+bx+c<0( a>0)的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件(1)不等式ax 2+bx+c>0对任意实数x 恒成立⇔{a =b =0,c >0或{a >0,Δ<0.(2)不等式ax 2+bx+c<0对任意实数x 恒成立⇔{a =b =0,c <0或{a <0,Δ<0.【概念辨析】1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)(1)a>b ⇔ac 2>bc 2.( ) (2)若不等式ax 2+bx+c<0的解集为(x 1,x 2),则必有a>0.( ) (3)若方程ax 2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax 2+bx+c>0的解集为R . ( ) (4)不等式ax 2+bx+c ≤0在R 上恒成立的条件是a<0且Δ=b 2-4ac ≤0.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×【对接教材】2.(北师大版必修5P87习题T4改编)已知不等式x 2-mx+2>0的解集为{x|x<1或x>2},则实数m 的值为( ).A .2B .-3C .1D .3答案 D解析 因为不等式x 2-mx+2>0的解集为{x|x<1或x>2}, 所以1,2是关于x 的方程x 2-mx+2=0的实数根, 所以m=1+2=3.故选D .【易错自纠】3.关于x 的不等式x 2+ax-3<0的解集为(-3,1),则不等式ax 2+x-3<0的解集为( ).A .(1,2)B .(-1,2)C .(-12,1) D .(-32,1)答案 D解析 由题意知,-3,1是关于x 的方程x 2+ax-3=0的两根,可得-3+1=-a ,解得a=2, 故所求不等式为2x 2+x-3<0,即(2x+3)(x-1)<0, 解得-32<x<1,所以不等式的解集为(-32,1). 故选D .4.若关于x 的不等式x 2-(m+2)x+2m<0的解集中恰有4个正整数,则实数m 的取值范围为( ).A .(6,7]B .(6,7)C .[6,7)D .(6,+∞)答案 A解析 原不等式可化为(x-2)(x-m )<0, 若m ≤2,则不等式的解是m<x<2,此时不等式的解集中不可能有4个正整数,所以m>2, 所以不等式的解是2<x<m ,所以不等式的解集中的4个正整数分别是3,4,5,6, 故实数m 的取值范围是(6,7].【真题演练】5.(2019年天津卷)已知a ∈R .设函数f (x )={x 2-2ax +2a(x ≤1),x -alnx(x >1).若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立,则a的取值范围为( ). A .[0,1]B .[0,2]C .[0,e]D .[1,e]答案 C解析 当x ≤1时,f (x )=x 2-2ax+2a ,函数f (x )图象的对称轴为直线x=a ,又f (x )≥0在R 上恒成立, 所以当a ≥1时,f (x )min =f (1)=1>0恒成立, 当a<1时,f (x )min =f (a )=2a-a 2≥0,∴ 0≤a<1. 综上,a ≥0.当x>1时,f (x )=x-a ln x ,所以f (x )≥0在R 上恒成立,即a ≤xlnx恒成立. 设g (x )=xlnx,则g'(x )=lnx -1(lnx)2.令g'(x )=0,得x=e,所以当1<x<e 时,g'(x )<0;当x>e 时,g'(x )>0. 所以g (x )min =g (e)=e,所以a ≤e .综上,a 的取值范围是0≤a ≤e,即[0,e].故选C .对应学生用书第121页一元二次不等式的求解【考向变换】考向1 不含参数的一元二次不等式解不等式:(1)3+2x-x 2≥0;(2)1-2xx+1>0. 解析 (1)原不等式可化为x 2-2x-3≤0,即(x-3)(x+1)≤0,故所求不等式的解集为{x|-1≤x ≤3}. (2)原不等式可化为(1-2x )(x+1)>0,解得-1<x<12,故所求不等式的解集为{x|-1<x <12}.变—把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式判—计算对应方程的判别式求—求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根写—利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集【追踪训练1】解不等式:3x -52x -3≤2. 解析 原不等式可化为x -12x -3≥0,即{x -1≥0,2x -3>0或{x -1≤0,2x -3<0,解得x>32或x ≤1.故所求不等式的解集为{x|x >32或x ≤1}.考向2 含参数的一元二次不等式已知函数f (x )=ax 2-(a+1)x+1. (1)当a=-2时,解关于x 的不等式f (x )<0; (2)当a>0时,解关于x 的不等式f (x )>0. 解析 (1)当a=-2时,f (x )=-2x 2+x+1<0, 即2x 2-x-1>0,解得x<-12或x>1,∴不等式的解集为{x|x <-12或x >1}.(2)当a>0时,由f (x )>0,得ax 2-(a+1)x+1>0, 即(ax-1)(x-1)>0,①当1a =1,即a=1时,解得x ≠1;②当1a >1,即0<a<1时,解得x<1或x>1a ; ③当1a <1,即a>1时,解得x<1a 或x>1.综上所述,当a=1时,不等式的解集为{x|x ≠1}; 当0<a<1时,不等式的解集为{x|x <1或x >1a}; 当a>1时,不等式的解集为{x|x <1a或x >1}.点拨 解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数,则应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.(3)当确定方程无根时,可直接写出解集;当确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定不等式的解集.【追踪训练2】解关于x 的不等式ax -1x -3>0. 解析 不等式等价于(ax-1)(x-3)>0. 当a<0时,不等式的解集为{x|1a<x <3}; 当a=0时,不等式的解集为{x|x<3};当0<a<13时,不等式的解集为{x|x <3或x >1a}; 当a=13时,不等式的解集为{x|x ≠3};当a>13时,不等式的解集为{x|x >3或x <1a}.一元二次不等式恒成立问题【考向变换】考向1 在实数集R 上恒成立问题若一元二次不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( ).A .(-3,0]B .[-3,0)C .[-3,0]D .(-3,0)答案 D解析 因为2kx 2+kx-38<0为一元二次不等式,所以k ≠0.又2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立, 则{2k <0,Δ=k 2-4×2k ×(-38)<0,解得-3<k<0.点拨 对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外,问题常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.【追踪训练3】设a 为常数,对于任意x ∈R,ax 2+ax+1>0恒成立,则实数a 的取值范围是( ). A .(0,4) B .[0,4)C .(0,+∞)D .(-∞,4)答案 B解析 对于任意x ∈R,ax 2+ax+1>0恒成立, 则{a >0,Δ=a 2-4a <0或a=0,所以0≤a<4.考向2 在给定区间上恒成立问题(一题多解)设函数f (x )=mx 2-mx-1(m ≠0),若对于任意x ∈[1,3],f (x )<-m+5恒成立,求m 的取值范围. 解析 要使f (x )<-m+5在[1,3]上恒成立,则mx 2-mx+m-6<0,即m (x -12)2+34m-6<0在x ∈[1,3]上恒成立. (法一)令g (x )=m (x -12)2+34m-6,x ∈[1,3],当m>0时,g (x )在[1,3]上是增函数,所以g (x )max =g (3)=7m-6<0,所以m<67,则0<m<67; 当m<0时,g (x )在[1,3]上是减函数,所以g (x )max =g (1)=m-6<0,所以m<6,所以m<0. 综上所述,m 的取值范围是{m|0<m <67或m <0}. (法二)因为x 2-x+1=(x -12)2+34>0, 又因为m (x 2-x+1)-6<0,所以m<6x 2-x+1.因为函数y=6x 2-x+1=6(x -12)2+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m<67即可.因为m ≠0,所以m 的取值范围是{m|0<m <67或m <0}.点拨 解决恒成立问题时一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.【追踪训练4】若对任意m ∈[-1,1],函数f (x )=x 2+(m-4)x+4-2m 的值恒大于零,求x 的取值范围. 解析 f (x )=x 2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x 2-4x+4, 令g (m )=(x-2)m+x 2-4x+4,由题意知,在[-1,1]上,g (m )的值恒大于零,所以{g(-1)=(x -2)×(-1)+x 2-4x +4>0,g(1)=(x -2)×1+x 2-4x +4>0,解得x<1或x>3.故x 的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).对应学生用书第122页转化与化归思想在分式不等式中的应用解分式不等式的关键是先将给定不等式移项、通分,整理成一边为商式,另一边为0的形式,再通过等价转化成整式不等式(组)的形式进行求解.注意分母不为零.已知函数f (x )=2ax -bx -1(a ,b ∈R). (1)若关于x 的不等式2ax-b>0的解集为(12,+∞),求f (x )<0的解集; (2)若a=12,求不等式f (x )>0的解集.解析 (1)∵不等式2ax-b>0的解集为(12,+∞),∴a>0,a=b>0,∴f (x )<0,即a(2x -1)x -1<0,∴a (2x-1)(x-1)<0,解得12<x<1, ∴f (x )<0的解集为(12,1).(2)当a=12时,不等式f (x )>0,即f (x )=x -bx -1>0, ∴(x-b )(x-1)>0,当b>1时,不等式f (x )>0的解集为(-∞,1)∪(b ,+∞); 当b=1时,不等式f (x )>0的解集为{x|x ≠1}; 当b<1时,不等式f (x )>0的解集为(-∞,b )∪(1,+∞).对于分式不等式或高次不等式,常用的方法是穿针引线法,首先分解因式,判断各个因式的正负,然后根据各个因式的零点分析求解.【突破训练】(2021辽宁辽阳模拟)不等式x+61-x ≥0的解集为( ).A .{x|-6≤x ≤1}B .{x|x ≥1或x ≤-6}C .{x|-6≤x<1}D .{x|x>1或x ≤-6}答案 C 解析 不等式x+61-x≥0等价于{(x +6)(1-x)≥0,1-x ≠0,解得-6≤x<1.对应《精练案》第56页1.(2021山东聊城期中)一元二次不等式(x-1)(x+2)<0的解集为( ).A .{x|x<-2或x>1}B .{x|x<-1或x>2}C .{x|-2<x<1}D .{x|-1<x<2}答案 C解析 (x-1)(x+2)<0, 即{x -1>0,x +2<0或{x -1<0,x +2>0,解得-2<x<1.∴一元二次不等式(x-1)(x+2)<0的解集为{x|-2<x<1}.故选C .2.(2021山东临沂期中)若不等式4x 2+ax+4>0的解集为R,则实数a 的取值范围是( ).A .(-16,0)B .(-16,0]C .(-∞,0)D .(-8,8)答案 D解析 ∵不等式4x 2+ax+4>0的解集为R,∴Δ=a 2-4×4×4<0,解得-8<a<8, ∴实数a 的取值范围是(-8,8).故选D .3.(2021河北沧州模拟)已知不等式x 2+bx+c ≤0的解集是[1,2],则b+c 的值为( ).A .-1B .1C .-2D .2答案 A解析 因为不等式x 2+bx+c ≤0的解集是[1,2], 所以关于x 的方程x 2+bx+c=0的实数根为1和2, 所以{1+2=-b,1×2=c,即{b =-3,c =2,所以b+c=-3+2=-1. 故选A .4.(2021福建泉州模拟)设f (x )=x 2+bx+1,且f (-1)=f (3),则f (x )>0的解集是( ).A .(-∞,-1)∪(3,+∞)B .RC .{x|x ≠1}D .{x|x=1}答案 C解析 ∵f (x )=x 2+bx+1,且f (-1)=f (3),∴-b 2=-1+32,解得b=-2.∴f (x )=x 2-2x+1=(x-1)2, ∴f (x )>0的解集为{x|x ≠1}.5.(2021重庆南开检测)已知集合A={x|0≤x ≤1},B={x|x 2-2(m+1)x+m<0},若A ⊆B ,则实数m 的取值范围是( ).A .(-∞,-1)B .(-1,0)C .[-1,0)D .(-∞,0) 答案 B解析 令f (x )=x 2-2(m+1)x+m , 若要满足A ⊆B ,则需满足{f(0)<0,f(1)<0,即{m <0,1-2(m +1)+m <0,解得-1<m<0.6.(2021陕西延安期中)已知不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x 2+bx+a<0的解集为( ).A .{x|-1<x <12} B .{x|x <-1或x >12}C .{x|-2<x<1}D .{x|x<-2或x>1}答案 A解析 ∵不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},∴关于x 的方程ax 2+bx+2=0的两根分别为-1,2,且a<0,即{-1+2=-ba,(-1)×2=2a,解得{a =-1,b =1,则所求不等式可化为2x 2+x-1<0, 解得{x|-1<x <12}. 故选A .7.(2021广东东莞期中)已知函数y=lg[(a 2-1)x 2-2(a-1)x+3]的值域为R,则实数a 的取值范围是( ).A .[-2,1)B .[-2,-1]C .(-2,1)D .(-∞,-2)∪[1,+∞)答案 B解析 ∵函数y=lg[(a 2-1)x 2-2(a-1)x+3]的值域为R,∴当a 2-1=0时,a=1或a=-1,验证可知a=1时不成立,a=-1时成立;当a 2-1≠0时,{a 2-1>0,Δ=4(a -1)2-12(a 2-1)≥0,解得-2≤a<-1.综上,-2≤a ≤-1,∴实数a 的取值范围是[-2,-1].故选B .8.(2021江苏南通期中)对于实数x ,规定[x ]表示不大于x 的最大整数,那么不等式4[x ]2-36[x ]+45<0成立的x的范围是( ). A .(32,152) B .[2,8] C .[2,8) D .[2,7]答案 C解析 由4[x ]2-36[x ]+45<0,得32<[x ]<152, 又[x ]表示不大于x 的最大整数,所以2≤x<8.9.(2021重庆南开检测)二次不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),若f (x )=cx 2+bx+a ,则( ).A .f (2)>f (0)>f (1)B .f (2)>f (1)>f (0)C .f (0)>f (1)>f (2)D .f (0)>f (2)>f (1)答案 A解析 因为不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞), 所以1和2是关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两实数解,且a>0, 所以{1+2=-b a,1×2=c a ,解得{b =-3a,c =2a,所以f (x )=cx 2+bx+a=a (2x 2-3x+1),所以f (x )是二次函数,且其图象开口向上,对称轴是直线x=34, 且|1-34|<|0-34|<|2-34|, 所以f (1)<f (0)<f (2). 故选A .10.(2021湖南长沙模拟)定义运算:{x,xy ≥0,y,xy <0.例如=3,(-=4.则函数f (x )=x x-x 2)的最大值为 .答案 4解析 由已知得f (x )=x x-x 2)={x 2,x 2(2x -x 2)≥0,2x -x 2,x 2(2x -x 2)<0={x 2,0≤x ≤2,2x -x 2,x <0或x >2,易知函数f (x )的最大值为4.11.(2021湖北黄冈调考)设A :x x -1<0,B :0<x<m ,若B 是A 成立的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为 .答案 (1,+∞) 解析 由题意得,xx -1<0,则0<x<1.要使得B 是A 成立的必要不充分条件,则(0,1)⫋(0,m ), 所以m>1.12.(2021江西抚州模拟)若关于x 的不等式x 2+mx-4>0在区间[2,4]上有解,则实数m 的取值范围为( ).A .(-3,+∞)B .(0,+∞)C .(-∞,0)D .(-∞,-3) 答案 A解析 因为关于x 的不等式x 2+mx-4>0在区间[2,4]上有解,所以22+2m-4>0或42+4m-4>0, 解得m>0或m>-3,所以实数m 的取值范围是(-3,+∞). 故选A .13.(2021河北张家口模拟)已知使不等式2ax 2+ax-3>0对任意的a ∈[1,3]恒成立的x 的取值集合为A ,使不等式mx 2+(m-1)x-m>0对任意的x ∈[1,3]恒成立的m 的取值集合为B ,则有( ). A .A ⊆(R B )B .A ⊆BC .B ⊆(R A )D .B ⊆A答案 D解析 令f (a )=(2x 2+x )a-3,因为f (a )>0对任意的a ∈[1,3]恒成立,所以{f(3)>0,f(1)>0,解得x<-32或x>1,即A=(-∞,-32)∪(1,+∞),又mx 2+(m-1)x-m>0,即m (x 2+x-1)>x.因为当x ∈[1,3]时,x 2+x-1>0,所以m>xx 2+x -1对任意x ∈[1,3]恒成立,又y=xx 2+x -1=1x -1x +1在[1,3]上单调递减,故y max =1,故m>1,即B=(1,+∞).综上,B ⊆A.14.(2021广东佛山模拟)(1)解关于x 的不等式ax 2-3x+2>5-ax (a ∈R).(2)若对于m ∈[-2,2],不等式mx 2-mx-1<-m+5恒成立,求x 的取值范围.解析 (1)不等式ax 2-3x+2>5-ax 可化为ax 2+(a-3)x-3>0,即(x+1)(ax-3)>0,①当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}. ②当a ≠0时,方程的两根为-1和3a ,当a>0时,不等式的解集为{x|x <-1或x >3a}, 当a<0时,a.若3a>-1,即a<-3,原不等式的解集为{x|-1<x <3a }; b.若3a<-1,即-3<a<0,原不等式的解集为{x|3a<x <-1}; c .若3a =-1,即a=-3,原不等式的解集为⌀,综上所得,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}; 当a>0时,原不等式的解集为{x|x <-1或x >3a}; 当a<-3时,原不等式的解集为{x|-1<x <3a}; 当-3<a<0时,原不等式的解集为{x|3a<x <-1}; 当a=-3时,原不等式的解集为⌀.(2)若对于m ∈[-2,2],不等式mx 2-mx-1<-m+5恒成立,即mx 2-mx+m-6<0恒成立,所以(x 2-x+1)m-6<0恒成立,令函数f (m )=(x 2-x+1)m-6,m ∈[-2,2], 因为(x 2-x+1)=(x -12)2+34>0恒成立, 所以函数f (m )=(x 2-x+1)m-6在m ∈[-2,2]上单调递增, 所以只需要函数的最大值小于0即可, 所以f (2)=(x 2-x+1)×2-6<0,即x 2-x-2<0, 解得-1<x<2,即x 的取值范围是(-1,2).15.(2021思明区校级月考)已知函数f (x )=ax 2+(b-8)x-a-ab ,f (x )>0的解集为(-3,2),(1)求f (x )的解析式;(2)当x>-1时,求y=f(x)-21x+1的最大值; (3)若不等式ax 2+kx-b>0的解集为A ,且(1,4)⊆A ,求实数k 的取值范围.解析 (1)由题可知{a <0,f(-3)=0,f(2)=0,解得{a =-3,b =5. 则f (x )=-3x 2-3x+18.(2)由(1)知,y=f(x)-21x+1=-3x 2-3x -3x+1, 令t=x+1,x>-1,则t>0,y=-3(t +1t -1)≤-3,当且仅当t=1t,即t=1时,等号成立,则x=0, 故y=f(x)-21x+1的最大值为-3. (3)由题可知,不等式ax 2+kx-b>0在x ∈(1,4)上恒成立, 即kx>3x 2+5在x ∈(1,4)上恒成立, 即k>3x+5x 在x ∈(1,4)上恒成立.令g (x )=3x+5x ,则g'(x )=3x 2-5x 2, 令g'(x )=0,解得x=√153, 当x ∈(1,√153)时,g'(x )<0,当x ∈(√153,4)时,g'(x )>0. ∵g (1)=8,g (4)=534,∴g (x )max =g (4)=534,则k ≥534.。

2
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学点 四
根的分布问题
关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根
都大于2，求实数m的取值范围.
图3-2-1
【解析】
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图3-2-2
【评析】二次方程根的分布问题多借助根的判别式、 韦达定理或者用数形结合法由二次函数图象求解.
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3.如何研究根的分布问题？ 实数k取何值时，含参数m的二次方程ax2+bx+c=0 （1）有实根、无实根、有两个相等实根. （2）有两正根、两负根，一正一负根. （3）有零根. （4）有两个大于k的根，有两个小于k的根，一根大 于k另一根小于k…的一般讨论方法通常考虑以下几个方 面:①求根公式.②判别式.③对称轴.④开口方向.⑤区间 端点处的函数值. 方法有三类：（一）判别式、韦达定理法；（二） 判别式、对称轴、构造函数法；（三）求根公式法. 以下几类是常见问题：（在a≠0条件下） （1）方程ax2+bx+c=0有实根，有两不等实根，无实 根.主要考虑判别式Δ和二次项系数a的符号. 返回目录
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m<-5或m>1， ≨ ≨1<m<19. 1<m<19，
综上1≤m<19. 【评析】（1）ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件为

a>0,
Δ<0.
（2）ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件为 a<0, Δ<0.
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不等式(a+1)x2+ax+a>m(x2+x+1)对任意x∈R恒成立，求 a与m之间的关系. 解：

2
2 1 ∴原不等式的解集为{x|－ ≤ x≤ }． 3 2 (2)∵ Δ＝(－ 4)2－ 4× 2× 7＝－ 40<0 ∴原不等式的解集为 Ø.
例2
1 1 已知不等式 ax ＋bx＋2>0 的解为－ <x< ， 2 3
2
求 2x2＋bx＋a<0 的解．
1 1 变式练习 2 已知不等式 ax ＋5x＋c>0 的解集为{x| <x< }， 3 2
2．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是(
)
A．(0,2)
C．(2，＋∞)
B．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的 解集，解得0<x<2，故选A. 答案：A
3．不等式－ 6x2－ x＋ 2≤ 0 的解集为( 2 1 A． {x|－ ≤ x≤ } 3 2 1 C． {x|x≥ } 2
2
1 1 故①当 0<a<1 时，(x－1)(x－ )<0⇔1<x< ； a a 1 ②当 a＝1 时，(x－1)(x－ )<0⇔(x－1)2<0⇔x∈Ø； a 1 1 ③当 a>1 时，(x－1)(x－ )<0⇔ <x<1. a a
1 综上所述：当 a<0 时，解集为{x|x< 或 x>1}；当 a a 1 ＝0 时， 解集为{x|x>1}； 当 0<a<1 时， 解集为{x|1<x< }； a 1 当 a＝1 时，解集为 Ø；当 a>1 时，解集为{x| <x<1}． a
)
2 1 B．{x|x≤－ 或 x≥ } 3 2 2 D． {x|x≤－ } 3