四柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系图1－4－1如图1－4－1所示，建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点．它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示．建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ<2π，z ∈R .2．球坐标系图1－4－2建立如图1－4－2所示的空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ.设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)．有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记做P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π)．3．空间直角坐标与柱坐标的转化空间点P (x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.4．空间直角坐标与球坐标的关系空间点P (x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.1．要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？【提示】 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离．2．在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r ＝1分别表示空间中的什么曲面？【提示】 ρ＝1表示以z 轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r ＝1表示球心在原点的单位球面．3．空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别有哪些？【提示】 (1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角刻画点的位置．(2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.(2)设点N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出ρ，θ即可．(2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出x ，y ，z 即可．【自主解答】 (1)设M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得，ρ＝2，θ＝π4.因此，点M 的柱坐标为(2，π4，1)．(2)设N 的直角坐标为(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝πcos π，y ＝πsin π，z ＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－π，y ＝0，z ＝π.因此，点N 的直角坐标为(－π，0，π)．1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求ρ；也可以利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)(2，5π6，3)；(2)(2，π4，5)．【解】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ＝2cos5π6＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 5π6＝1，z ＝3，因此所求点的直角坐标为(－3，1,3)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝5.故所求点的直角坐标为(1,1,5)．已知点M 的球坐标为(2，4π，4π)，求它的直角坐标．【思路探究】 球坐标――→x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ 直角坐标【自主解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin 34πcos 34π＝2×22－22＝－1，y ＝2sin 34πsin 34π＝2×22×22＝1，z ＝2cos 34π＝－22＝－ 2.因此点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r ，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ<2π.2．化点的球坐标(r ，φ，θ)为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cosφ.转化为三角函数的求值与运算．若例2中“点M 的球坐标改为M (3，56π，53π)”，试求点M 的直角坐标．【解】 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝3sin5π6cos 5π3＝34，y ＝r sin φsin θ＝3sin 5π6sin 5π3＝－334，z ＝r cos φ＝3cos 5π6＝－332.∴点M 的直角坐标为(34，－334，－332)．图1－4－3已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面正方形ABCD 的边长为1，棱AA 1的长为2，如图1－4－3所示，建立空间直角坐标系Axyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标和球坐标．【思路探究】 先确定C 1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标．【自主解答】 点C 1的直角坐标为(1,1，2)．设C 1的球坐标为(r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π， 由x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋22＋12＝2. 由z ＝r cos φ，∴cos φ＝22，φ＝π4又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4，从而点C 1的球坐标为(2，π4，π4)1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.求出r，θ，φ.2．利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝z r.特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误．若本例中条件不变，求点C 的柱坐标和球坐标． 【解】 易知C 的直角坐标为(1,1,0)．设点C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r ，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π.(1)由于ρ＝x 2＋y 2＝12＋12＝ 2. 又tan θ＝y x＝1， ∴θ＝π4.因此点C 的柱坐标为(2，π4，0)． (2)由r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋0＝ 2. ∴cos φ＝z r＝0， ∴φ＝π2.故点C 的球坐标为(2，π2，π4)．已知点P 1的球坐标是P 1(23，3，4)，P 2的柱坐标是P 2(6，6，1)，求|P 1P 2|.【思路探究】 可把两点坐标均化为空间直角坐标，再用空间两点间的距离公式求距离． 【自主解答】 设P 1的直角坐标为P 1(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝23sin π3cos π4＝322，y 1＝23sin π3sin π4＝322，z 1＝23cos π3＝3，∴P 1的直角坐标为(322，322，3)．设P 2的直角坐标为P 2(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6cos π6＝322，y 2＝6sin π6＝62，z 2＝1，∴P 2的直角坐标为(322，62，1)．∴|P 1P 2|＝0＋322－622＋3－2＝30－102.柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解决．在球坐标系中，求两点P (3，π6，π4)，Q (3，π6，3π4)的距离．【解】 将P 、Q 两点球坐标转化为直角坐标．设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin π6·cos π4＝342，y ＝3sin π6sin π4＝342，z ＝3cos π6＝3×32＝323.∴P (324，324，332)．设点Q 的直角坐标为(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin π6cos3π4＝－324，y ＝3sin π6sin 3π4＝324，z ＝3cos π6＝323.∴点Q (－324，324，332)．∴|PQ |＝324＋3242＋324－3242＋332－3322＝322， 即P 、Q 两点间的距离为322.(教材第17页思考1)给定一个底面半径为r ，高为h 的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位置．(2013·长春检测)在柱坐标系中，点M 的柱坐标为(2，23π，5)，则|OM |＝________.【命题意图】 本题主要考查柱坐标系的意义，以及点的位置刻画． 【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )．由(ρ，θ，z )＝(2，23π，5)知x ＝ρcos θ＝2cos 23π＝－1，y ＝2sin 23π＝ 3.因此|OM |＝x 2＋y 2＋z 2＝－2＋32＋52＝3.【答案】31．在空间直角坐标系中，点P 的柱坐标为(2，π4，3)，P 在xOy 平面上的射影为Q ，则Q 点的坐标为( )A ．(2,0,3)B ．(2，π4，0)C ．(2，π4，3)D ．(2，π4，0)【解析】 由点的空间柱坐标的意义可知，选B. 【答案】 B2．已知点A 的柱坐标为(1,0,1)，则点A 的直角坐标为( ) A ．(1,1,0) B ．(1,0,1) C ．(0,1,1) D ．(1,1,1)【解析】 ∵x ＝ρcos θ＝1·cos θ＝1，y ＝ρsin θ＝0，z ＝1. ∴直角坐标为(1,0,1)，故选B. 【答案】 B3．已知点A 的球坐标为(3，π2，π2)，则点A 的直角坐标为( )A ．(3,0,0)B ．(0,3,0)C ．(0,0,3)D ．(3,3,0)【解析】 ∵x ＝3×sin π2×cos π2＝0，y ＝3×sin π2×sin π2＝3，z ＝2×cos π2＝0，∴直角坐标为(0,3,0)．故选B. 【答案】 B4．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，则点M 的柱坐标为________，球坐标为________．【解析】 由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x ＝1，θ＝π4(点(1,1)在平面xOy 的第一象限)，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋22＝2.由r cos φ＝z ＝2，得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4.∴点M 的柱坐标为(2，π4，2)，球坐标为(2，π4，π4)．【答案】(2，π4，2)(2，π4，π4)(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．空间直角坐标系Oxyz 中，下列柱坐标对应的点在平面yOz 内的是( )A ．(1，π2，2)B ．(2，π3，0)C ．(3，π4，π6)D ．(3，π6，π2)【解析】 由P (ρ，θ，z )，当θ＝π2时，点P 在平面yOz 内．【答案】 A2．设点M 的直角坐标为(2,0,2)，则点M 的柱坐标为( ) A ．(2,0,2) B ．(2，π，2)C ．(2，0,2)D ．(2，π，2)【解析】 设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )， ∴ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x＝0， ∴θ＝0，z ＝2.∴点M 的柱坐标为(2,0,2)． 【答案】 A3．在空间球坐标系中，方程r ＝2(0≤φ≤π2，0≤θ＜2π)表示( )A ．圆B ．半圆C ．球面D ．半球面【解析】 设动点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，由于r ＝2，0≤φ≤π2，0≤θ＜2π.动点M 的轨迹是球心在点O ，半径为2的上半球面．【答案】 D4．已知点M 的直角坐标为(0,0,1)，则点M 的球坐标可以是( ) A ．(1,0,0) B ．(0,1,0) C ．(0,0,1) D ．(1，π，0)【解析】 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则r ＝x 2＋y 2＋z 2＝1，θ＝0，又cos φ＝z r＝1，∴φ＝0.故点M 的球坐标为(1,0,0)． 【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知点M 的球坐标为(4，π4，3π4)，则点M 到Oz 轴的距离为________．【解析】 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则由(r ，φ，θ)＝(4，π4，34π)，知x ＝4sin π4cos 34π＝－2，y ＝4sin π4sin 34π＝2，z ＝r cos φ＝4cos π4＝2 2.∴点M 的直角坐标为(－2,2,22)．故点M 到OZ 轴的距离－2＋22＝2 2. 【答案】 2 26．已知点M 的球坐标为(4，π4，3π4)，则它的直角坐标是________，它的柱坐标是________．【解析】 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )．则x ＝r sin φcos θ＝4×sin π4×cos 3π4＝－2，y ＝r sin φsin θ＝4×sin π4×sin 3π4＝2，z ＝r cos φ＝4×cos π4＝2 2.∴点M 的直角坐标为(－2,2,22)． 又⎩⎨⎧－2＝ρcos θz ＝ρsin θ，z ＝22，解之得ρ＝22，θ＝3π4，z ＝2 2.∴点M 的柱坐标为(22，3π4，22)．【答案】 (－2,2,22) (22，3π4，22)三、解答题(每小题10分，共30分)7．已知点P 的柱坐标为(2，π4，5)，点B 的球坐标为(6，π3，π6)，求这两个点的直角坐标．【解】 设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝2cos π4＝2×22＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝5.设点B 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y ＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z ＝6cos π3＝6×12＝62. 所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为(364，324，62)．8．在柱坐标系中，求满足⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝10≤θ<2π0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )围成的几何体的体积．【解】 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )的轨迹如图所示，是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱．圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2，∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π.9．经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标．【解】 在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O 为原点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系．由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°＝49π.由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°＝π12，由航天器离地面 2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r ＝2 384＋6 371＝8 755千米．所以点P 的球坐标为(8 755，π12，4π9)．教师备选10．已知在球坐标系Oxyz 中，M (6，π3，π3)，N (6，2π3，π3)，求|MN |.【解】 法一 由题意知，|OM |＝|ON |＝6，∠MON ＝π3，∴△MON 为等边三角形，∴|MN |＝6. 法二 设M 点的直角坐标为(x ，y ，z )则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6sin π3cos π3＝332，y ＝6sin π3sin π3＝92，z ＝6cos π3＝3.故点M 的直角坐标为(332，92，3)， 同理得点N 的直角坐标为(332，92，－3)， ∴|MN |＝323－3232＋92－922＋＋2 ＝0＋0＋62＝6.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
