曲线运动之：匀速圆周运动
（一）基础知识
1. 匀速圆周运动的基本概念和公式
（1）线速度大小，方向沿圆周的切线方向，时刻变化；（2）角速度，恒定不变量；
（3）周期与频率；
（4）向心力，总指向圆心，时刻变化，向心加速度，方向与向心力相同；
2. 质点做匀速圆周运动的条件
（1）具有一定的速度；
（2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力）与速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆心。
3. 向心力有关说明
向心力是一种效果力。任何一个力或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以认为是向心力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合力，总是指向圆心；做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变，所以向心力不一定是物体所受的合外力。
（二）解决圆周运动问题的步骤
1. 确定研究对象；
2. 确定圆心、半径、向心加速度方向；
3. 进行受力分析，将各力分解到沿半径方向和垂直于半径方向；
4. 根据向心力公式，列牛顿第二定律方程求解。
基本规律：径向合外力提供向心力
（三）常见问题及处理要点
1. 皮带传动问题
例1：如图所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则（）
A. a点与b点的线速度大小相等
B. a点与b点的角速度大小相等
C. a点与c点的线速度大小相等
D. a点与d点的向心加速度大小相等
解析：皮带不打滑，故a、c两点线速度相等，选C；c点、b点在同一轮轴上角速度相等，半径不同，由，b点与c点线速度不相等，故a与b线速度不等，A错；同样可判定a与c角速度不同，即a与b角速度不同，B错；
设a点的线速度为，则a点向心加速度，由，，所以，故，D正确。本题正确答案C、D。
点评：处理皮带问题的要点为：皮带（链条）上各点以及两轮边缘上各点的线速度大小相等，同一轮上各点的角速度相同。
2. 水平面内的圆周运动
转盘：物体在转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，物体与转盘间分无绳和有绳两种情况。无绳时由静摩擦力提供向心力；有绳要考虑临界条件。
例1：如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳
刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的倍。求：
（1）当转盘的角速度时，细绳的拉力。（2）当转盘的角速度时，细绳的拉力。
解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为，则，解得
（1）因为，所以物体所需向心力小于物与盘间的最大摩擦力，则物与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即。
（2）因为，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力，由牛顿第二定律得，解得。
圆锥摆：圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重
力互为平衡力）。
例2：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的（小球与半球球
心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。（小球的半径远小于R）。
解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图3所示有
由此可得，，可见，越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。
3. 竖直面内的圆周运动
竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及题型分类。
（1）绳子约束模型：
（2）杆约束模型：
例3：如图所示，杆长为，球的质量为，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为，求这时小球的瞬时速度大小。
解析：小球所需向心力向下，本题中，所以弹力的方向可能向上也可能向下。
（1）若F向上，则，；（2）若F向下，则，
（四）难点问题选讲
1. 极值问题
例6：如图所示，用细绳一端系着的质量为的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通
过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为的小球B，A的重心到O点的距离为。若A
与转盘间的最大静摩擦力为，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度的
取值范围。（取）
解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度。A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成。角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O。
对于B：，对于A：，
联立解得，，所以
【模拟试题】
一、选择题：
1．下列各种运动中，属于匀变速运动的有（）
A．匀速直线运动 B．匀速圆周运动C．平抛运动D．竖直上抛运动
2．水滴自高处由静止开始下落，至落地前的过程中遇到水平方向吹来的风，则（）
A．风速越大，水滴下落的时间越长 B．风速越大，水滴落地时的瞬时速度越小
C．水滴着地时的瞬时速度与风速无关D．水滴下落的时间与风速无关
3．一物体以初速度v0水平抛出，经时间t，其竖直方向速度大小与v0大小相等，则t（）
A．v0/g B．2v0/g C．v0/2g D．2v0/g
4．做平抛运动的物体，每秒钟的速度增量是（）
