2011、2012年华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛真题及详解

2011、2012年华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛真题及详解

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题A （小学组） （时间: 2011年4月16日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10分, 共80分） 1. 135713572468+++= . 2. 工程队的8个人用30天完成了某项工程的31, 接着增加了4个人完成其余的工程, 那么完成这项工程共用了 天. 3. 甲乙两人骑自行车同时从A 地出发去B 地, 甲的车速是乙的车速的1.2倍. 乙骑了5千米后, 自行车出现故障, 耽误的时间可以骑全程的61. 排除故障后, 乙的速度提高了60%, 结果甲乙同时到达B 地. 那么A, B 两地之间的距离为 千米. 4. 在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟, 在圆形钟面的边界, 每分钟的刻度处都有一个小彩灯. 晚上9时35分20秒时, 在分针与时针所夹的锐角内有 个小彩灯. 5. 在边长为1厘米的正方形ABCD 中, 分别以A , B , C , D 为圆心, 1厘米为半径画四分之一圆, 交点E , F , G , H , 如图所示. 则中间阴影部分的周长为 厘米.（取圆周率 3.141π=） 6. 用40元钱购买单价分别为2元、5元和11元的三种练习本, 每种至少买一

本, 而且钱恰好花完. 则不同的购买方法有 种.

7. 已知某个几何体的三视图如右图,

根据图中标示的尺寸（单位: 厘米）,

这个几何体的体积是 （立方

厘米）.

学校____________

姓名__

_______

参赛证号

密

封

线

内

请

勿

答

题

8. 将自然数1~22分别填在下面的“□”内(每个“□”只能填一个数), 在形

成的11个分数中, 分数值为整数的最多能有 个.

二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）

9. 长方形ABCD 的面积是2011平方厘米. 梯形AFGE

的顶点F 在BC 上, D 是腰EG 的中点. 试求梯形

AFGE 的面积.

10. 公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数,

其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示,

如右图所示. 某公交车的数字显示器有两支坏了的荧光管不亮, 显示的线路号为“351”, 则该公交车的线路号有哪些可能?

11. 设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数, 则这个月的20日可能是

星期几?

12. 以[]x 表示不超过x 的最大整数, 设自然数n 满足

201115151153152151>⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n , 则n 的最小值是多少?

三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）

13. 在右面的加法竖式中, 不同的汉字代表不同的

数字. 问: 满足要求的不同算式共有多少种?

14. 如图, 两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点A , 而一只

爬虫处在A 的体对顶点G . 假设蜘蛛和爬虫均以同样

的速度沿正方体的棱移动, 任何时候它们都知道彼此

的位置, 蜘蛛能预判爬虫的爬行方向. 试给出一个两

只蜘蛛必定捉住爬虫的方案.

2011年“华杯赛”复赛小学组试题及详解

第16届华杯赛复赛小学组试题及详解

1. 原式=(2+4+6+8)-(1/2+1/4+1/6+1/8)=20-(1+1/24)=18+23/24。

2. 8个人用30天完成了工程的1/3，那么8个人完成剩余工程（2/3）应该用60天，

增加4个人变成12个，应该用60÷12×8=40天，共用70天。

3. 甲乙的速度比为6:5，乙提速后的速度为5×1.6=8份。假设乙耽误的时间也在

以5的速度前进，则乙总共可以前进全程的7/6。也就是说相当于乙在用甲的速度

的5/6和8/6两种速度来骑甲的7/6的路程，根据十字相乘法，两种速度所用的时间

之比为1:2。也就是说，乙用5/6的速度行驶了5/6×1/3=5/18的路程，那么全程的

5/18-1/6=1/9就是5千米，全程45千米。

4. 因为35分20秒比一小时的3/5（36分钟）小一点，所以时针没有超过9后面的第

三个刻度线（即48分的刻度线）；而分针在35分和36分之间。因此，两针所夹的

锐角内有36分~47分的刻度线，共47-36+1=12条。

5. △FAB是等边三角形，所以弧AF是六分之一圆，同理弧GC也是六分之一圆，则

弧GF是1/6+1/6-1/4=1/12圆，四条弧是1/3圆，长度为2×π×1÷3=2.094。

6. 每种先都减去1本，剩余40-2-5-11=22元。

如果再买2本11元的，恰好用完，1种方法；

如果再买1本11元的，剩余11元，可以买1本5元和3本2元，1种方法；

如果不再买11元的，22元最多买4本5元的，5元的本数可以是4，2，0，3种方法。

共有1+1+3=5种方法。

7. 该几何体是一个四棱锥，底面积为20×20=400，高为20，所以体积为

400×20÷3=8000/3（立方厘米）。

8. 大于11的质数13，17，19都只能作为分母为1的数的分母，如果它们作为同一

个分数的分子和分母，则剩余的10个可以都是整数。下面举例说明可以只有一个

不是整数：

13/1 22/11 20/10 18/9 16/8 14/7 15/5 21/3 4/2 12/6 19/17

共9个是整数。

9. 本题很类似另一个长方形和正方形的题。长方形的面积等于△ADF的2倍，如果

能说明梯形的面积也等于△ADF的2倍，则梯形的面积也等于2011平方厘米。过D作DH∥AF交FG于H，把△DGH剪下来，DG边和DE边拼起来，因为∠E和∠G加起来

等于180°，所以可以拼成一个平行四边形，它和△ADF同底（AF）同高，所以面

积是△ADF的2倍。

10. 如果坏的两根就是本来不亮的，是351；

如果只有百位的不是3，则百位最多坏两根，可能是951或851；

如果只有十位的不是5，则十位最多坏两根，可能是361，391或381；

如果只有个位的不是1，则个位最多坏两根，可能是357或354；

如果百位十位都是错的，则这两位各坏一根，可能是961或991；

如果百位个位都是错的，则这两位各坏一根，可能是957；

如果十位个位都是错的，则这两位各坏一根，可能是367或397。

综上所述，可能是351，354，357，361，367，381，391，397，851，951，957，961，991。共13种可能性。

11. 星期数相同且奇偶性相同，则相差14天。

如果是1号，15号，29号是星期日，则20号是星期五；

如果是3号，17号，31号是星期日，则20号是星期三；

一个月最多31天，所以不能再往下讨论了。

12. 这个加法算式中，从第一个大于0的项开始，依次有15个1，15个2，……如果15(1+2+3+...+n)>2011，则1+2+3+...+n至少为135，也就是说n(n+1)至少为

270，n至少为16。

15(1+2+3+...+16)=2040，减去一个16为2024，仍大于2011，再减去一个16为2008，

小于2011了。所以最多减去一个16，还有14个16，n至少为15×16+14-1=253。

13. 显然华=1。根据弃九法，5不能出现。则0+1+2+3+4+6+7+8+9=40，2+0+1+1=4，减少了36=4×9，所以共进4位。百位肯定向千位进1位，下面就十位和个位的进位

情况讨论：

如果十位向百位进2，个位向十位进1，则百位数字之和为8，十位数字之和为20，