三角形四心的向量性质

三角形“四心”的向量性质及其应用 一、三角形的重心的向量表示及应用 命题一 已知ABC，，是不共线的三点，G是ABC△内一点，若

GAGBGC0．则G是ABC△的重心． 证明：如图1所示，因为GAGBGC0， 所以 ()GAGBGC． 以GB，GC为邻边作平行四边形BGCD， 则有GDGBGC， 所以GDGA． 又因为在平行四边形BGCD中，BC交GD于点E， 所以BEEC，GEED． 所以AE是ABC△的边BC的中线． 故G是ABC△的重心． 点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．

例1 如图2所示，ABC△的重心为GO，为坐标原点，OAa，OBb，

OCc，试用abc，，表示OG．

解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点， 





GCOGcGBOGbGAOGa



GCGBGAOGcba 而03OGcba

图2 2

3cbaOG

点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．

变式：已知DEF，，分别为ABC△的边BCACA，，的中点．则

ADBECF0． 证明：如图的所示，







GCCFGBBEGAAD

23232

3



)(23GCGBGACFBEAD 0GCGBGA ADBECF0．． 变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点， 则1()4POPAPBPCPD．

证明：1()2POPAPC，1()2POPBPD， 1()4POPAPBPCPD．

点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P

与O重合，则上式变为OAOBOCOD0． 二、三角形的外心的向量表示及应用 命题二：已知G是ABC△内一点，满足MCMBMA，则点M为△ABC的外心。 例2 已知G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，点A，B的坐标分别

为A（-1，0），B（1，0），且GM∥AB，（1）求点C的轨迹方程；（2）若直

图3 3

线l过点（0，1），并与曲线交于P、Q两点，且满足0OQOP，求直线l的方程。解 （1）设C（x,y），则G（3,3yx），

B A y

x C

M G

图5 其中0,yx，

由于GM∥AB， 故mym， 外心M（0，3y）， 为外心M

MCMA，得222)3(1)3()0(yyyx

轨迹E的方程是3322yx )0(xy （2）略。 三、三角形的垂心的向量表示及应用

命题三：已知G是ABC△内一点，满足GCGBGCGAGBGA，则点G为垂心。（2005全国文12） 证明:由0PCPBPBPAPCPBPBPA得. 即0,0)(CAPBPCPAPB即 则ABPCBCPACAPB,,同理 所以P为ABC的垂心. 点评：本题将平面向量有关运算、“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识巧妙结合。 4

B C

H

A 图6

变式：若H为△ABC所在平面内一点，且222222ABHCCAHBBCHA

则点H是△ABC的垂心 证明: 2222BCCAHBHA

BACBCABAHBHA)()( BACBCAHBHA)(得0 即BAHCHC)(0 HCAB 同理HBAC，HABC 故H是△ABC的垂心

四、三角形的内心的向量表示及应用 命题四：O是内心ABC的充要条件是

0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA 变式1：如果记CA,BC,AB的单位向量为321e,e,e，则O是ABC内心的充要条件是0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131 变式2：如果记CA,BC,AB的单位向量为321e,e,e，则O是ABC内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa。 例4（2003江苏）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三

个点，满足)(ACACABABOAOP，,0，则P的轨迹一定通过△ABC

的内心 。 5

解： 如图APOAOP由已知 )(ACACABABOAOP，

)(

ACACAB

ABAP ，,0



,0

设ADABAB，AEACAC， D、E在射线AB和AC上。 AEADAP

AP是平行四边行的对角线。 又 AEAD ， ADPE是菱形。 点P在EAD 即CAD 的平分线上。 故P点的轨迹一定通过△ABC的内心。

五、三角形外心与重心的向量关系及应用 命题五：设△ABC的外心为O，则点G为△ABC重心的充要条件为：

)(31OCOBOAOG 证明：如图8，设G为重心，连结AG并延长，交BC于D，则D为BC的中点。

∴ )(3132ACABOAADOAAGOAOG

)(31)(31OCOBOAOAOCOAOBOA 反之，若)(31OCOBOAOG，

GDO

CB

A

图8

P E

C O

A B D 图7 6 则由上面的证明可知：)(31ACABAG 设D为BC的中点，则)(21ACABAD， 从而ADAG32， ∴G在中线AD上且AG=32AD，即G为重心。 六、三角形外心与垂心的向量关系及应用 命题六：设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是

OCOBOAOH。

证明：如图2，若H为垂心，以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC，

则 OCOBOD ∵O为外心， ∴OB=OC， ∴平行四边形OBDC为菱形 ∴ OD⊥BC，而AH⊥BC， ∴ AH∥OD，

∴存在实数，使得OCOBODAH

∴ OCOBOAAHOAOH①。 同理，存在实数，，使得 OAOCOBBHOBOH ②

OBOAOCCHOCOH③

比较①、②、③可得，1，

∴ OCOBOAOH 反之，若OCOBOAOH，则OCOBAH，

DHOBC

A

图9 7

∵ O为外心，∴OB=OC ∴0||||)()(22OCOBOCOBOCOBCBAH ∴AH⊥CB，同理，BH⊥AC。 ∴ H为垂心。 例6、已知H是△ABC的垂心，且AH=BC，试求∠A的度数 解：设△ABC的外接圆半径为R，点O是外心。 ∵ H是△ABC的垂心

∴OCOBOAOH ∴OCOBOAOHAH ∴)2cos21(2)(||2222AROCOBAHAH ∵OBOCBC ， ∴)2cos21(2)(||2222AROBOCBCBC ∵AH=BC， ∴ AA2cos212cos21 ∴ 02cosA 而∠A为△ABC的内角， ∴ 0＜2A＜360° 从而2A=90°或270° ∴ ∠A的度数为45°或135°。 七、三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用 命题七：△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G、H三点

共线（O、G、H三点连线称为欧拉线），且OG=21GH。 证明：如图10，由命题五、六知，连结AG并延长，交BC于D，则D为BC的中点。

)(31OCOBOAOG，OCOBOAOH，

∴OGOH3 ∴O、G、H三点共线，且OG=21GH。 例7、已知O（0，0），B（1，0），C（b，c），是OBC的三个顶点。试写

D

GHOBC

A

图10