§2无穷积分的性质与收敛判别

§11.2
无穷积分的性质与收敛判别
一、无穷积分的性质 二、非负函数无穷积分的收敛判别法
三、一般函数无穷积分的收敛判别法
一、无穷积分的性质
定理1 (无穷积分收敛的柯西准则)
无穷积分
a
f ( x )dx 收敛的充要条件是:
0, G a , 当u1 , u2 G 时 ,
a
性质3： 若 f ( x ) 在任何有限区间[a, u] 上可积,
且

a
f ( x )dx 收敛 , 则

a

f ( x )dx 也收敛 ,
f ( x )dx .
并且
a

f ( x )dx
a
定义: 若

a
f ( x ) dx 收敛 , 称

a
f ( x )dx 绝对收敛 .

则当 当
a
g( x )dx 收敛时 ,
a
f ( x )dx 也收敛； g( x )dx 也发散 .
a
f ( x )dx 发散时 ,
a
例2、判别 1
5
dx x6 1
的收敛性.
设 f (x), g(x) 是 [a , )上的非负连续函数. 例 3、
a
f ( x )dx 收敛； f ( x )dx 发散 .
( ii )当 p 1 , 0 时,
a
例4、讨论下列无穷积分的收敛性.
(1)
arctan x
1

x
x
2
dx ;
( 2)
0
dx . x5 1
( 3)

1

§2 无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求：掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。

教学重点，难点：无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。

教学内容：本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法一无穷积分的性质由定义知道，无穷积分()dxxfa⎰+∞收敛与否，取决于函数F（u）=()dxxf ua⎰在u→+∞时是否存在极限。

因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。

定理11.1 无穷积分()dxxfa⎰+∞收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G≥a，只要u1、u2＞G，便有()()()2121u u u aa u f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰。

证明: 由于()limau f x dx +∞→+∞=⎰()dx x f u a⎰=(),lim u F u →+∞所以()dxx f a⎰+∞收敛⇔()lim u F u →+∞存在⇔0,G ε∀>∃≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。

性质 1 (线性性质) 若()dxx f a⎰+∞1与()dxx f a⎰+∞2都收敛，k 1、k 2为任意常数，则()()[]dxx f kx f k a⎰+∞+2211 也收敛，且()()[]dx x f k x f k a ⎰+∞+2211=()()dxx f k dx x f k a a ⎰⎰+∞+∞+2211。

（1）证明:记()()111lim uaau J f x dx f x dx+∞→+∞==⎰⎰,()()222lim uaau J f x dx f x dx+∞→+∞==⎰⎰,则()()[]dx x f k x f k a⎰+∞+2211=()()1122lim uau k f x k f x dx→+∞+⎡⎤⎣⎦⎰=1122[()()]lim u uaa u k f x dx k f x dx →+∞+⎰⎰=1122()()lim lim uuaau u k f x dx k f x dx→+∞→+∞+⎰⎰=1122k J k J +=1122()().aakf x dx k f x dx +∞+∞+⎰⎰□性质2 若f 在任何有限区间[a ，u]上可积，a ＜b ，则()dxx f a⎰+∞与()dxx f b⎰+∞同敛态（即同时收敛或同时发散），且有()()()dxx f dx x f dx x f bbaa⎰⎰⎰+∞+∞+=，（2）其中右边第一项是定积分。

若 f ( x)dx 收敛, 则可得 c g( x)dx 收敛,从而
a
a2
g( x)dx 收敛.反之,若 g( x) dx 收敛, 可得
a
a
3c g( x)dx 收敛,从而 f ( x)dx 收敛.
a2
a
(ii)由 lim f ( x) 0, 存在 G a, 使 x G, 有 x g( x) f (x) 1 , g( x)
u [a,), 有
u
f ( x)dx M .
a
定理11.3 (比较判别法) 设定义在 [a,)上的两个
非负函数 f , g 在任何有限区间[a, u]上可积, 且
存在 G a, 满足
f ( x) g( x), x [G,),
前页 后页 返回
则当 g( x)dx 收敛时, f ( x)dx 亦收敛;
a
a
(iii) 若c , 则由 g( x)dx 发散可得 f ( x)dx 发散.
a
a
证 (i) 由 lim f ( x) c 0, 故存在 G a,使 x G,有 x g( x)
f (x)
c
c ,
g( x)
2
即
c g( x) f ( x) 3c g( x).
2
2
前页 后页 返回
a
a
当 f ( x)dx 发散时, g( x)dx 亦发散.
a
a
证 若
g( x)
dx
收敛,
则
M
0,
u [a,),
a
u
a g( x)dx M .
因此
u
f ( x)dx
u
g( x)dx M .
a
a

f ( x) dx 收敛，则 f ( x) dx 也收敛，并 有
a
a
a f ( x) dx a f ( x) dx.
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
非负函数无穷积分的收敛判别法
u1
u1
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
又因为 f ( x) 2 f ( x)dx u2 h( x)dx u2 g( x)dx ,
u1
证 设F(u)
u
f ( x)dx,
u [a, ),
则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F(u). 由函数
u
极限的柯西准则,此等价于
0, G a, u1, u2 G,
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
F (u1) F (u2 ) ,
后退 前进 目录 退出
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）
无穷积分
f ( x)dx
收敛的充要条件是:
a
0, G a, 当 u1, u2 G 时,
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
高等教育出版社
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法