伯努利方程推导
在图1-13所示的流管内取截面A1到截面A2的一段液流，两端的通流截面积各为A 1、A 2。在此液流中取出一微小流束，
两端的通流截面积各为d A 1 和d A 2，其相应的压力、流速和高度分别为p 1、u 1、z 1和p 2、u 2、z 2。
（一）理想液体的运动微分方程
在此微小流束上取出一段通流截面积为d A 、长度为d s 的微元体，如图1-12所示。在一维流动情况下，对理想液体来说，作用在微元体上的外力有以下两种 ：
1） 压力在两端截面上所产生的作用 力：
()A dt t p ds s p A dp p pdA d )(
d ∂∂+∂∂-=+- (1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=dt t p ds s p dp 2） 作用在微元体上的重力
A s g d d ρ-
重力在流线S 上分力：
ds
dz gdsdA
A s g ρθρ-=-cos d d （2） ⎪⎭⎫ ⎝⎛=ds dz θcos 微元体的流速： ),(t s f u =
dt t
u ds s u du ∂∂+∂∂= 图1-12 理想液体的一维流动
图1-13 流管内液流能量方程推导简图
微元体的加速度 t
u s u u dt du a ∂∂+∂∂==
（3） m=A s d d ρ, 根据牛顿第二定律ΣF =ma ，有
)(d d d )(t
u s u u A s ds dz gdsdA A dt t p ds s p ∂∂+∂∂=-∂∂+∂∂-ρρ (4) 用A s d d ρ遍除（4）式各项，得
t u s u u ds dz g dt t p ds s p ∂∂+∂∂=-∂∂-∂∂-ρρ11 （5）
恒定流动， )(s f p =，)(s f u =，01=∂∂dt t p ds ρ，0=∂∂t
u ， 则式（5）变为：
udu gdz dp =--ρ1
（6）
这就是理想液体沿流线作恒定流动时的运动微分方程。它表示了单位质量流体的力平衡方程 。
（二）理想流体的能量方程
将式（6）沿流线s 从截面1积分到截面2（见图1-12），便可得到微元体流动时的能量关系式，即：
u u gdz dp d 21212212
1⎰⎰⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=--ρ 上式移项，两遍同除以g ，得
g
2g g 2g 22222111u z p u z p ++=++ρρ （1-33） 由于截面1、2是任意取的，故上式也可写成 ：
常数=++g
u z g p 22ρ (1-34) 式（1-33）或式（1-34）就是理想液体微小流束作恒定流动时的能量方程或伯努利方程。它与液体静压基本方程〔式（1-23）〕相比多了一项单位重力液体的动能u2/2g （常称速度水头）。
(三)实际液体的能量方程
实际液体流动时还需克服由于粘性所产生的摩擦阻力，故存在能量损耗。设图1-12中微元体从截面1流到截面2因粘性而损耗的能量为h’w ，则实际液体微小
流束作恒定流动时的能量方程为 ：
'w 2222211122h g
u z g p g u z g p +++=++ρρ （1-35） 将式（1-35）的两端乘以相应的微小流量d q （d q =u 1d A 1= u 2d A 2），然后各自对液流的通流截面积A 1和A 2进行积分， 得：
q h A u g u A u z g p A u g u A u z g p q A A A A d d 2d d 2d 'w 22222222112111112211⎰⎰⎰⎰⎰++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ρρ (1-36)
为使式（1-36）便于实用，首先将图1-13中截面A 1和A 2处的流动限于平行流动（或缓变流动），这样，通流截面A 1、A 2可视为平面，在通流截面上除重力外无其他质量力，因而通流截面上各点处的压力具有与液体静压力相同的分布规律，即p/(ρg )+z =常 数。
其次，用平均流速v 代替通流截面A 1或A 2上各点处不等流速u ，且令单位时间内截面A 处液流的实际动能和按平均流速计算出的动能之比为动能修正系数 α ， 即
A v A u Avv A u u A A 332
2
d 2
1d 2⎰⎰==ρρα (1-37) 此外，对液体在流管中流动时因粘性磨擦而产生的能量损耗，也用平均能量损耗的概念来处理，即令
q
q h h q d w
w ⎰'= 将上述关系式代入式（1-36），整理后可得
w 222222111122h g
v z g p g v z g p +++=++αραρ （1-38） 式中 α1、α2分别为截面A 1、A 2上的动能修正系数 。
式（1-38）就是仅受重力作用的实际液体在流管中作平行（或缓变）流动时的能量方程。它的物理意义是单位重力实际液体的能量守恒。其中h w 为单位重力液体从截面A 1流到截面A 2过程中的能量损耗 。
