二次函数图象的左右上下平移

一元二次函数的平移问题运用二次函数图象的平移变换任意抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0），能够由抛物线y=ax2通过平移取得:①将y＝ax2向上移动k个单位得：y＝ax2＋k，②将y＝ax2向左移动h个单位得：y＝a（x＋h）2，③将y＝ax2先向上移动k（k＞0）个单位，再向右移动h（h＞0）个单位，便得函数y＝a（x－h）2＋k的图象.平移顺序:先上下再左右(上加下减,左加右减)【例1】将二次函数y=-2x2+4x+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的解析式. 【分析】二次函数图象的平移即每一个点的平移，咱们可通过二次函数的特殊点极点坐标的转变来确信平移后的解析式.解：配方式得：y=-2（x2-2x）+6=-2（x2-2x+1-1）+6=-2（x-1）2+8.极点为（1，8），将极点按要求平移得新抛物线极点为（0，6）.∴平移后抛物线解析式为y=-2x2+6.【小结】平移抛物线只改变了抛物线的位置，而不改变它的形状、大小及开口方向，即a值不变.左右平移时横坐标转变，上下平移时纵坐标转变.【例2】（2006·泸州）二次函数y＝x2的图象向右平移3个单位，取得新图象的函数表达式是（）.Ａ. y=x2+3 Ｂ. y=x2+3Ｃ. y=（x＋3）2 Ｄ. y=（x－3）2【分析】二次函数y＝x2的极点坐标为（0，0），极点按要求平移后变成（3，0），选项中只有y=（x－3）2的极点是（3，0）.解：D.【例3】（2006·兰州）已知y=2x2的图象是抛物线，假设抛物线不动，把x轴、y 轴别离向上，向右平移2个单位，那么在新的坐标系下抛物线的解析式为（）. Ａ. y=2（x-2）2+2Ｂ. y=2（x+2）2-2Ｃ. y=2（x-2）2-2Ｄ. y=2（x+2）2+2【分析】假设抛物线不动，把x、y轴别离向上、向右平移2个单位相当于将该抛物线在原坐标系内向下再向左平移两个单位，由此可得该抛物线在x、y平移后得解析式为y=2（x+2）2-2 .解：B【小结】将坐标系平移，实质是将抛物线向相反方向各移动了2个单位，即向下，向左平移2个单位，注意换位试探，逆向思维.【例4】（2006·杭州）有三个二次函数，甲：y＝x2－1；乙：y＝－x2＋1；丙：y ＝x2＋2x－1.那么以下表达正确的选项是（）.A.甲的图形通过适当的平行移动后，能够与乙的图形重合B.甲的图形通过适当的平行移动后，能够与丙的图形重合C.丙的图形通过适当的平行移动后，能够与乙的图形重合D.甲、乙、丙3个图形通过适当的平行移动后，都能够重合【分析】依照函数解析式画出3个函数的草图发觉，甲、乙与乙、丙开口方向均相反，不能够通过平行移动使得图象重合；因此排除A、C、D.函数丙y＝x2＋2x－1能够化成y＝（x＋1）2－2，如此就能够够看出甲的图形通过向左移动1个单位，向下移动1个单位与丙重合.解：B.二次函数图像平移1. 抛物线y=x2+2x1的开口方向是______，极点坐标是______．2. c=______时，抛物线y=x2+3x+c过原点．3. 抛物线y=2x2-6x+1的极点坐标是_______．4. 抛物线y=2x2+x-1的极点坐标是________，对称轴是_______．5. 函数y=ax2+bx+c的图象与函数y=ax2的图象______相同．6. 抛物线y=-x2+2x-1的开口方向是向__________，极点坐标是__________，对称轴是直线_________．7. 二次函数y=(x+2)2-2，当x=______时，y有最小值，且y最小值=_______．8. 二次函数y=-2x2+12x-13的图象开口向______，的极点坐标是_______，对称轴是；9. 函数y=-x2+4x+3的图像开口向______，的极点坐标是_______，对称轴是；10、已知y=x2+6x+m与函数y=(x-n)2是同一个函数，那么它的极点坐标是 [ ]A.(0，-3)B.(0，3)C.(-3，0)D.(3，0)1一、已知图象过(2，-3)，(6，5)，(-1，12)三点，那么二次函数解析式是 [ ]A.y=x2+6x-5B.y=-x2-6x-5C.y=x2-6x+5D.y=-x2-6x+512、已知抛物线y=x2-2(k+1)x+16的极点在x轴上，那么k的值是______．13、假设抛物线的极点为(-2，3)，而且通过(-1，5)，那么解析式为______．14．将抛物线y=-2(x-1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线解析式为______．1五、必需 [ ]A．向上平移3个单位； B．向下平移3个单位；C．向左平移3个单位； D．向右平移3个单位．16．要从抛物线y=-2x2的图象取得y=-2x2-1的图象，那么抛物线y=-2x2必需 [ ]A．向上平移1个单位； B．向下平移1个单位； C．向左平移1个单位； D．向右平移1个单位．17．将抛物线y=-3x2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，那么所得抛物线解析式为 [ ]A．y=-3(x-1)2-2；B．y=-3(x-1)2+2； C．y=-3(x+1)2-2； D．y=-3(x+1)2+2．18．要从抛物线y=2x2取得y=2(x-1)2+3的图象，那么抛物线y=2x2必需 [ ]A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位；D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．1九、=-x2必需 [ ]A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位；D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位． 20、位，那么所得抛物线解析式为___ ２1．抛物线232y x =-向左平移1个单位取得抛物线（ ） A ．2312y x =--Ｂ．2312y x =-+Ｃ．23(1)2y x =-+Ｄ． 22．函数213y x =与2123y x =+的图象的不同的地方是（ ） Ａ．对称轴 Ｂ．开口方向 Ｃ．极点 Ｄ．形状23．把y= -x 2-4x+１化成y= a (x+m)2 +n 的形式是（ ）A ．2(2)3y x =---B ．2(2)5y x =--+C ． 2(2)3y x =-+-D ． 2(2)5y x =-++24. 把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后取得一个新图象，那么新图象所表示的二次函数的解析式是 ( )A. ()522+--=x yB. ()522++-=x yC. ()522---=x y D. ()522-+-=x y 25．关于抛物线22(2)34(2)1y x y x =-+=-+与，以下表达错误的选项是（ ）A.开口方向相同B. 对称轴相同C. 极点坐标相同D. 图象都在x 轴上方26、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，那么此二次函数的解析式为 。

二次函数的平移规律总结与应用技巧二次函数是高中数学中重要的一部分，通过对二次函数的平移规律进行总结和应用技巧的探索，可以更好地理解和应用这个函数形式。

本文将从平移规律的基本概念入手，逐步介绍相关的技巧和应用。

1. 平移规律的基本概念平移是指将函数图像沿着坐标轴平行地移动。

对于二次函数，其标准形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)表示二次函数图像的顶点坐标。

2. 平移规律的总结与应用技巧2.1 平移规律总结根据平移规律，改变二次函数中的参数a, h, k可以对函数图像进行平移。

具体总结如下：- 参数a的变化：a>0时，图像开口向上；a<0时，图像开口向下。

绝对值|a|越大，图像越"瘦长"；|a|越小，图像越"胖宽"。

- 参数h的变化：若h>0，图像向左平移；若h<0，图像向右平移。

绝对值|h|越大，平移距离越长；|h|越小，平移距离越短。

- 参数k的变化：若k>0，图像向上平移；若k<0，图像向下平移。

绝对值|k|越大，平移距离越高；|k|越小，平移距离越低。

2.2 平移规律应用技巧- 技巧1：根据函数参数的变化，确定平移的方向和距离。

例如，对于函数y=2(x-1)^2+3，参数a=2，h=1，k=3，可以知道图像开口向上，向右平移1个单位，向上平移3个单位。

- 技巧2：通过平移规律，根据已知函数图像和顶点坐标，求出函数的表达式。

例如，已知函数图像经向左平移3个单位、向下平移2个单位后，顶点坐标为(3,-2)，可以得到新函数的表达式为y=a(x-3)^2-2。

3. 平移规律的应用举例3.1 平移的图像比较可以通过比较两个函数的图像来观察平移规律。

例如，比较函数y=x^2和y=(x-1)^2+2的图像，可以发现后者相对于前者向左平移了1个单位，向上平移了2个单位。

3.2 解题应用解决实际问题时，可以利用平移规律来建立数学模型并求解。

九年级二次函数平移规律
嘿，同学们！咱今天来聊聊九年级二次函数平移规律这个有趣的事儿哈！
你们看啊，二次函数就像是一个会变魔术的小精灵。

那它的平移呢，就好比这个小精灵在舞台上蹦蹦跳跳地换位置。

比如说，原来的函数图像就好好地在那呢，可要是我们给它来点小变动，向左平移几个单位，嘿，它就乖乖地往左挪了挪。

这就像你在排队，老师说往左移一步，你不就得听话地动一下嘛。

那要是向右平移呢，也一样道理呀，小精灵就往右跳了几步。

再说说向上平移和向下平移。

向上平移就像是小精灵突然蹦高了，图像整体往上抬了；向下平移呢，就是小精灵蹲下了，图像往下沉了。

咱举个例子哈，就像你有个心爱的玩具，你把它放在桌子上，然后你把它往左推一点，它不就到左边去了嘛。

再把它往上抬一点，它不就高了嘛。

这多形象啊！
你们想想，要是平移规律没搞清楚，那不就像小精灵在舞台上乱蹦，你都不知道它要干啥啦！所以啊，可得把这个规律牢牢记住。

咱学这个可不是为了好玩，那是大有用处的呀！以后做题的时候，看到那些二次函数图像，你就能轻松知道它们是怎么挪过来的，这多厉害呀！
而且哦，掌握了这个规律，你就像是掌握了一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢。

到时候，那些难题都不在话下，你就可以笑傲数学江湖啦！
所以啊，同学们，一定要好好理解和记住九年级二次函数平移规律呀，别把这个小精灵给弄丢咯！它可是能帮你在数学的世界里畅游的好伙伴呢！。

二次函数左右平移
二次函数是数学中一个非常重要的函数形式，它的一般形式为
y=a(x-h)²+k，其中a、h、k分别是二次函数的参数。

在二次函数中，参数h和k可以分别对应二次函数的左右平移和
上下平移。

本文将针对二次函数的左右平移进行详细讲解，从而让大
家更好地掌握这一知识点。

首先，我们需要了解二次函数的对称轴。

对称轴是指二次函数图
像的中心轴线，对称轴的方程可以使用h来表示，即x=h。

当我们对二次函数进行左右平移时，实际上就是通过改变h来实
现的。

如果需要将二次函数向左平移k单位，我们只需要将h的值减
少k即可，即h' = h-k；相反，如果需要将二次函数向右平移k单位，我们只需将h的值增加k，即h' = h+k。

在进行左右平移时，需要注意的是，平移后的对称轴和平移前的
对称轴仍然是相等的。

这意味着，二次函数的左右平移不会影响对称
轴的位置，只会改变函数图像的位置。

二次函数的左右平移可以用来实现很多实际应用，比如在数据分
析中，我们可以通过对数据进行左右平移，来进行比较和分析；在图
像处理中，我们可以使用左右平移来调整图像的位置和大小。

总的来说，二次函数的左右平移是一项重要的数学知识点，在学
习中我们需要深入理解它的原理和应用。

同时，我们也需要不断练习，
加深对左右平移的掌握和运用能力，以便在未来的工作和学习中能够更好地利用这一知识点。

二次函数的平移与反转二次函数是一种常见的数学函数，它的一般形式可以表示为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

在二次函数的研究中，平移和反转是两个重要的概念。

一、平移的概念平移是指二次函数在坐标平面上按照一定规律进行的位移操作。

它可以使得函数图像的位置在坐标平面上发生改变，同时保持函数图像的形状不变。

平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。

1. 水平平移水平平移是指二次函数图像在横向方向上的移动。

一般地，我们将向右移动看作是正向的平移，向左移动看作是负向的平移。

设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，若想使函数图像向右平移h个单位，则可以通过将x替换为x - h来实现。

具体地，新的函数表达式为f(x - h) = a(x - h)² + b(x - h) + c。

2. 垂直平移垂直平移是指二次函数图像在纵向方向上的移动。

类似于水平平移，向上移动被看作是正向的平移，向下移动被看作是负向的平移。

设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，若想使函数图像向上平移k个单位，则可以通过将整个函数表达式加上k来实现。

具体地，新的函数表达式为f(x) + k = ax² + bx + c + k。

二、反转的概念反转是指二次函数图像关于某个轴进行对称操作，使得函数图像在该轴上呈现对称关系。

反转可以分为水平反转和垂直反转两种情况。

1. 水平反转水平反转是指二次函数图像关于y轴进行对称操作。

在水平反转后，原二次函数的图像会呈现关于y轴的对称特点。

设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，若想对函数进行水平反转，可以通过将x替换为-x来实现。

具体地，新的函数表达式为f(-x) = a(-x)² +b(-x) + c。

2. 垂直反转垂直反转是指二次函数图像关于x轴进行对称操作。

在垂直反转后，原二次函数的图像会呈现关于x轴的对称特点。

二次函数向上下左右平移规律二次函数可以通过平移来改变其位置，包括向上、向下、向左、向右平移。

在进行二次函数平移时，需要调整函数的常数项和线性项，而二次项保持不变。

首先，我们来讨论二次函数向上平移的规律。

当二次函数向上平移时，整个函数图像相对于标准的二次函数图像整体上移。

要进行向上平移，可以通过增加函数的常数项来实现。

如果标准二次函数为f(x) = ax^2 +bx + c，我们可以将其向上平移h个单位，得到新的二次函数为f(x) =ax^2 + bx + (c + h)。

这样，整个函数图像的每个点都上移了h个单位。

接下来，我们来讨论二次函数向下平移的规律。

当二次函数向下平移时，整个函数图像相对于标准的二次函数图像整体下移。

要进行向下平移，可以通过减少函数的常数项来实现。

如果标准二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以将其向下平移h个单位，得到新的二次函数为f(x) =ax^2 + bx + (c - h)。

这样，整个函数图像的每个点都下移了h个单位。

接下来，我们来讨论二次函数向左平移的规律。

当二次函数向左平移时，整个函数图像相对于标准的二次函数图像整体左移。

要进行向左平移，可以通过增加函数的线性项来实现。

如果标准二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以将其向左平移k个单位，得到新的二次函数为f(x) =a(x + k)^2 + b(x + k) + c。

这样，整个函数图像的每个点都左移了k个单位。

最后，我们来讨论二次函数向右平移的规律。

当二次函数向右平移时，整个函数图像相对于标准的二次函数图像整体右移。

要进行向右平移，可以通过减少函数的线性项来实现。

如果标准二次函数为f(x) = ax^2 +bx + c，我们可以将其向右平移k个单位，得到新的二次函数为f(x) = a(x - k)^2 + b(x - k) + c。

这样，整个函数图像的每个点都右移了k 个单位。

二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax2+c向上平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m；向下平移m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m；向左平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象，⑤沿x轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3．⑥沿y 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c，若沿y轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，将二次函数y=-2x+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=221221x-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c．（备用图如下）1、（202*桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2 B．y=-（x－1）2+4C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+42、（202*浙江宁波中考）把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．3、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A．600m B．300mC．1200mD．400m4、（202*襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．5、已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c<0，④2a－b+l＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________．6、已知二次函数y＝ax2（a≥1）的图像上两点A、B的横坐标分别是－1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为。

二次函数的平移问题关于二次函数的平移变换问题二次函数的平移变换可以分为上下平移和左右平移两种情况。

1.上下平移对于原函数y=ax²+bx+c，若要进行上下平移，可以进行以下变换：向上平移m个单位，得到平移后的函数y=ax²+bx+c+m；向下平移m个单位，得到平移后的函数y=ax²+bx+c-m。

需要注意的是，m为正数，若m为负数，则对应的加（减）号需要改为减（加）号。

一般称这种变换为上加下减或上正下负。

2.左右平移对于原函数y=ax²+bx+c，若要进行左右平移，可以进行以下变换：先将函数化为顶点式y=a(x-h)²+k；向左平移n个单位，得到平移后的函数y=a(x-h+n)²+k；向右平移n个单位，得到平移后的函数y=a(x-h-n)²+k。

需要注意的是，n为正数，若n为负数，则对应的加（减）号需要改为减（加）号。

一般称这种变换为左加右减或左正右负。

例题：1.将抛物线y=-x²向左平移一个单位，再向上平移三个单位，平移后的表达式为（）A。

y=-(x-1)²+3B。

y=-(x+1)²+3C。

y=-(x-1)²-3D。

y=-(x+1)²-32.抛物线y=x²+bx+c向右平移两个单位，再向下平移三个单位，得到的抛物线表达式为y=x²-2x-3，则b、c的值分别为（）A。

b=2，c=2B。

b=2，c=0C。

b=-2，c=-1D。

b=-3，c=23.将函数y=x²+x的图像向右平移a（a>0）个单位，得到函数y=x²-3x+2的图像，则a的值为（）A。

1B。

2C。

3D。

44.已知二次函数y=x²-bx+1（-1≤b≤1），当b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。

下列关于抛物线移动方向的描述中，正确的是（）A。

二次函数专题（3）——函数图像的平移我们知道图像的平移，图像本身不会发生改变，只是图像的位置发生改变。

函数图像的平移也是遵循这样原理，只是我们在平移过程中函数的解析式也发生改变，这节专题主要就是探讨函数平移与解析式的计算。

1. 基础情境：点坐标平移①水平平移：纵坐标不变横坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往右平移2个单位到A’，很明显A’的纵坐标不变，但是横坐标变为了1+2=3，即A’（3,2）；同理把A往左平移2个单位到A’’（-1，2）②竖直平移：横坐标不变，纵坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往上平移三个单位到A’，很明显A’的横坐标不变，但是纵坐标变为了2+3=5，即A’（1,5）；同理把A往下平移三个单位到A’’（1，-1）,如下图：2. 函数平移：一次函数图像平移①水平平移问题：我们以y=2x+2为例，把它向右平移2个单位，那么新的图像函数解析式为何？分析：由于平移过后仍然是条直线，两点决定一条直线，所以我们选取两个特殊点就可以算出新的函数表达式。

解答：选取原一次函数上两点（0,2）、（-1,0），经过平移后这两点坐标变为（2,2）和（1,0），计算得y=2x-2.观察：平移后，一次函数的系数k（2）不变，b减小了两倍（由2变为-2）推广：对于所有一次函数y=kx+b，向右平移2个单位的函数解析式怎么求？分析：可以按照上面的思路，取特殊点求取新的一次函数解析式解答：方法一：坐标法取两个特殊点（0，b）、（1，k+b），经过平移后这两点坐标变为（2,b）和（3,k+b），计算函数表达式得y=kx+b-2k。

这个式子我们还可以改写成这样y=（k-2）x+b。

反思：解析法特殊点法虽然可以帮助我们解决问题，但是需要计算，有没有更加快速的计算一次函数解析式方法？有！我们回到最初函数的定义，比如坐标系中有一个点A（x,y）,其中y=kx+b 代表是x与y之间的等量关系。

如果把A（x,y）向右平移2单位变成A’（m,y），此时m=x+2。

一元二次函数的平移问题运用二次函数图象的平移变换任意抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0），可以由抛物线y=ax2经过平移得到:①将y＝ax2向上移动k个单位得：y＝ax2＋k，②将y＝ax2向左移动h个单位得：y＝a（x＋h）2，③将y＝ax2先向上移动k（k＞0）个单位，再向右移动h（h＞0）个单位，便得函数 y＝a（x－h）2＋k的图象.平移顺序:先上下再左右(上加下减,左加右减)【例1】将二次函数y=-2x2+4x+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的解析式.【分析】二次函数图象的平移即每一个点的平移，我们可通过二次函数的特殊点顶点坐标的变化来确定平移后的解析式.解：配方法得：y=-2（x2-2x）+6=-2（x2-2x+1-1）+6=-2（x-1）2+8.顶点为（1，8），将顶点按要求平移得新抛物线顶点为（0，6）.∴平移后抛物线解析式为y=-2x2+6.【小结】平移抛物线只改变了抛物线的位置，而不改变它的形状、大小及开口方向，即a值不变.左右平移时横坐标变化，上下平移时纵坐标变化.【例2】（2006·泸州）二次函数y＝x2的图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是（）.Ａ. y=x2+3Ｂ. y=x2+3Ｃ. y=（x＋3）2Ｄ. y=（x－3）2【分析】二次函数y＝x2的顶点坐标为（0，0），顶点按要求平移后变为（3，0），选项中只有 y=（x－3）2的顶点是（3，0）.解：D.【例3】（2006·兰州）已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把 x轴、y轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新的坐标系下抛物线的解析式为（）. Ａ. y=2（x-2）2+2Ｂ. y=2（x+2）2-2Ｃ. y=2（x-2）2-2Ｄ. y=2（x+2）2+2【分析】若抛物线不动，把x、y轴分别向上、向右平移2个单位相当于将该抛物线在原坐标系内向下再向左平移两个单位，由此可得该抛物线在x、y平移后得解析式为y=2（x+2）2-2 .解：B【小结】将坐标系平移，实质是将抛物线向相反方向各移动了2个单位，即向下，向左平移2个单位，注意换位思考，逆向思维.【例4】（2006·杭州）有三个二次函数，甲：y＝x2－1；乙：y＝－x2＋1；丙：y ＝x2＋2x－1.则下列叙述正确的是（）.A.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合B.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合C.丙的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合D.甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合【分析】根据函数解析式画出3个函数的草图发现，甲、乙与乙、丙开口方向均相反，不能够经过平行移动使得图象重合；所以排除A、C、D.函数丙y＝x2＋2x－1可以化成y＝（x＋1）2－2，这样就可以看出甲的图形经过向左移动1个单位，向下移动1个单位与丙重合.解：B.二次函数图像平移1. 抛物线y=-x2+2x-1的开口方向是______，顶点坐标是______．2. c=______时，抛物线y=x2+3x+c过原点．3. 抛物线y=2x2-6x+1的顶点坐标是_______．4. 抛物线y=2x2+x-1的顶点坐标是________，对称轴是_______．5. 函数y=ax2+bx+c的图象与函数y=ax2的图象______相同．6. 抛物线y=-x2+2x-1的开口方向是向__________，顶点坐标是__________，对称轴是直线_________．7. 二次函数y=(x+2)2-2，当x=______时，y有最小值，且y最小值=_______．8. 二次函数y=-2x2+12x-13的图象开口向______，的顶点坐标是_______，对称轴是；9. 函数y=-x2+4x+3的图像开口向______，的顶点坐标是_______，对称轴是；10、已知y=x2+6x+m与函数y=(x-n)2是同一个函数，则它的顶点坐标是 [ ]A.(0，-3)B.(0，3)C.(-3，0)D.(3，0)11、已知图象过(2，-3)，(6，5)，(-1，12)三点，则二次函数解析式是 [ ]A.y=x2+6x-5B.y=-x2-6x-5C.y=x2-6x+5D.y=-x2-6x+512、已知抛物线y=x2-2(k+1)x+16的顶点在x轴上，则k的值是______．13、若抛物线的顶点为(-2，3)，并且经过(-1，5)，则解析式为______．14．将抛物线y=-2(x-1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析式为______．15、必须 [ ]A．向上平移3个单位； B．向下平移3个单位；C．向左平移3个单位； D．向右平移3个单位．16．要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1的图象，则抛物线y=-2x2必须 [ ]A．向上平移1个单位； B．向下平移1个单位； C．向左平移1个单位； D．向右平移1个单位．17．将抛物线y=-3x2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ]A．y=-3(x-1)2-2；B．y=-3(x-1)2+2； C．y=-3(x+1)2-2； D．y=-3(x+1)2+2．18．要从抛物线y=2x2得到y=2(x-1)2+3的图象，则抛物线y=2x2必须 [ ]A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位；D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．19、=-x2必须 [ ] A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位；D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位．20、位，则所得抛物线解析式为___２1．抛物线232y x =-向左平移1个单位得到抛物线（ ） A ．2312y x =--Ｂ．2312y x =-+Ｃ．23(1)2y x =-+Ｄ． 22．函数213y x =与2123y x =+的图象的不同之处是（ ） Ａ．对称轴 Ｂ．开口方向 Ｃ．顶点 Ｄ．形状23．把y= -x 2-4x+１化成y= a (x+m)2 +n 的形式是（ ）A ．2(2)3y x =---B ．2(2)5y x =--+C ． 2(2)3y x =-+-D ． 2(2)5y x =-++24. 把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( )A. ()522+--=x yB. ()522++-=x yC. ()522---=x y D. ()522-+-=x y 25．对于抛物线22(2)34(2)1y x y x =-+=-+与，下列叙述错误的是（ ）A.开口方向相同B. 对称轴相同C. 顶点坐标相同D. 图象都在x 轴上方26、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。

二次函数的像平移与翻转二次函数是数学中一个常见的函数类型，具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的特点。

在二次函数中，像平移与翻转是两个重要的概念，它们可以让我们对二次函数的图像进行变换和调整。

本文将介绍二次函数的像平移和翻转的概念以及相应的计算方法。

一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是常数。

二、二次函数的像平移1. 横向平移当二次函数的自变量向右平移h个单位时，函数的表达式变为f(x - h)。

具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，横向平移h个单位后的函数可以表示为f(x - h) = a(x - h)^2 + b(x - h) + c。

2. 纵向平移当二次函数的因变量向上平移k个单位时，函数的表达式变为f(x) + k。

具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，纵向平移k个单位后的函数可以表示为f(x) + k = a(x - h)^2 + b(x - h) + c + k。

三、二次函数的像翻转1. 横向翻转当二次函数的自变量取相反数时，函数的表达式变为f(-x)。

具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，横向翻转后的函数可以表示为f(-x) = a(-x)^2 + b(-x) + c。

2. 纵向翻转当二次函数的因变量取相反数时，函数的表达式变为-f(x)。

具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，纵向翻转后的函数可以表示为-f(x) = -ax^2 - bx - c。

四、计算实例举例来说，考虑二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1。

如果要进行横向平移3个单位，那么平移后的函数为f(x - 3) = (x - 3)^2 + 2(x - 3) + 1。

如果要进行纵向平移4个单位，那么平移后的函数为f(x) + 4 = x^2+ 2x + 1 + 4。

一元二次函数的平移问题运用二次函数图象的平移变换任意抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0），可以由抛物线y=ax2经过平移得到:①将y＝ax2向上移动k个单位得：y＝ax2＋k，②将y＝ax2向左移动h个单位得：y＝a（x＋h）2，③将y＝ax2先向上移动k（k＞0）个单位，再向右移动h（h＞0）个单位，便得函数 y＝a（x－h）2＋k的图象.平移顺序:先上下再左右(上加下减,左加右减)【例1】将二次函数y=-2x2+4x+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的解析式.【分析】二次函数图象的平移即每一个点的平移，我们可通过二次函数的特殊点顶点坐标的变化来确定平移后的解析式.解：配方法得：y=-2（x2-2x）+6=-2（x2-2x+1-1）+6=-2（x-1）2+8.顶点为（1，8），将顶点按要求平移得新抛物线顶点为（0，6）.∴平移后抛物线解析式为y=-2x2+6.【小结】平移抛物线只改变了抛物线的位置，而不改变它的形状、大小及开口方向，即a值不变.左右平移时横坐标变化，上下平移时纵坐标变化.【例2】（2006·泸州）二次函数y＝x2的图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是（）.Ａ. y=x2+3Ｂ. y=x2+3Ｃ. y=（x＋3）2Ｄ. y=（x－3）2【分析】二次函数y＝x2的顶点坐标为（0，0），顶点按要求平移后变为（3，0），选项中只有 y=（x－3）2的顶点是（3，0）.解：D.【例3】（2006·兰州）已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把 x轴、y轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新的坐标系下抛物线的解析式为（）. Ａ. y=2（x-2）2+2Ｂ. y=2（x+2）2-2Ｃ. y=2（x-2）2-2Ｄ. y=2（x+2）2+2【分析】若抛物线不动，把x、y轴分别向上、向右平移2个单位相当于将该抛物线在原坐标系内向下再向左平移两个单位，由此可得该抛物线在x、y平移后得解析式为y=2（x+2）2-2 .解：B【小结】将坐标系平移，实质是将抛物线向相反方向各移动了2个单位，即向下，向左平移2个单位，注意换位思考，逆向思维.【例4】（2006·杭州）有三个二次函数，甲：y＝x2－1；乙：y＝－x2＋1；丙：y ＝x2＋2x－1.则下列叙述正确的是（）.A.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合B.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合C.丙的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合D.甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合【分析】根据函数解析式画出3个函数的草图发现，甲、乙与乙、丙开口方向均相反，不能够经过平行移动使得图象重合；所以排除A、C、D.函数丙y＝x2＋2x－1可以化成y＝（x＋1）2－2，这样就可以看出甲的图形经过向左移动1个单位，向下移动1个单位与丙重合.解：B.二次函数图像平移1. 抛物线y=-x2+2x-1的开口方向是______，顶点坐标是______．2. c=______时，抛物线y=x2+3x+c过原点．3. 抛物线y=2x2-6x+1的顶点坐标是_______．4. 抛物线y=2x2+x-1的顶点坐标是________，对称轴是_______．5. 函数y=ax2+bx+c的图象与函数y=ax2的图象______相同．6. 抛物线y=-x2+2x-1的开口方向是向__________，顶点坐标是__________，对称轴是直线_________．7. 二次函数y=(x+2)2-2，当x=______时，y有最小值，且y最小值=_______．8. 二次函数y=-2x2+12x-13的图象开口向______，的顶点坐标是_______，对称轴是；9. 函数y=-x2+4x+3的图像开口向______，的顶点坐标是_______，对称轴是；10、已知y=x2+6x+m与函数y=(x-n)2是同一个函数，则它的顶点坐标是 [ ]A.(0，-3)B.(0，3)C.(-3，0)D.(3，0)11、已知图象过(2，-3)，(6，5)，(-1，12)三点，则二次函数解析式是 [ ]A.y=x2+6x-5B.y=-x2-6x-5C.y=x2-6x+5D.y=-x2-6x+512、已知抛物线y=x2-2(k+1)x+16的顶点在x轴上，则k的值是______．13、若抛物线的顶点为(-2，3)，并且经过(-1，5)，则解析式为______．14．将抛物线y=-2(x-1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析式为______．15、必须 [ ]A．向上平移3个单位； B．向下平移3个单位；C．向左平移3个单位； D．向右平移3个单位．16．要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1的图象，则抛物线y=-2x2必须 [ ]A．向上平移1个单位； B．向下平移1个单位； C．向左平移1个单位； D．向右平移1个单位．17．将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ]A ．y=-3(x-1)2-2；B ．y=-3(x-1)2+2；C ．y=-3(x+1)2-2；D ．y=-3(x+1)2+2．18．要从抛物线y=2x 2得到y=2(x-1)2+3的图象，则抛物线y=2x 2必须 [ ]A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位；D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位． 19、=-x 2必须 [ ] A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位；D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位． 20、位，则所得抛物线解析式为___ ２1．抛物线232y x =-向左平移1个单位得到抛物线（ ） A ．2312y x =--Ｂ．2312y x =-+Ｃ．23(1)2y x =-+Ｄ． 22．函数213y x =与2123y x =+的图象的不同之处是（ ） Ａ．对称轴 Ｂ．开口方向 Ｃ．顶点 Ｄ．形状23．把y= -x 2-4x+１化成y= a (x+m)2 +n 的形式是（ ）A ．2(2)3y x =---B ．2(2)5y x =--+C ． 2(2)3y x =-+-D ． 2(2)5y x =-++24. 把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( )A. ()522+--=x yB. ()522++-=x yC. ()522---=x y D. ()522-+-=x y 25．对于抛物线22(2)34(2)1y x y x =-+=-+与，下列叙述错误的是（ ）A.开口方向相同B. 对称轴相同C. 顶点坐标相同D. 图象都在x 轴上方26、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。

二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题目录题型01二次函数平移问题题型02二次函数翻折问题题型03二次函数对称问题题型04二次函数旋转问题题型05二次函数折叠问题题型01二次函数平移问题1. 二次函数的平移变换平移方式(n>0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y=a(x-h)2+k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.1(2023·上海杨浦·统考一模)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a≠0与x轴交于点A、点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是线段BC 上一点，如果∠PAC =45°，求点P 的坐标；(3)在第(2)小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D 平移至点E 处，过点E 作EF ⊥直线AP ，垂足为点F ，如果tan ∠PEF =12，求平移后抛物线的表达式．【答案】(1)y =x 2-2x -3(2)P 53,-43(3)y =x +1792-4【分析】(1)设点A 的横坐标为x A ，点B 的横坐标为x B ，根据对称轴，AB =4，列式x A +x B2=1,x B -x A =4，利用根与系数关系计算确定a 值即可．(2)过点C 作AC ⊥MN 于点C ，交AC 右侧的AP 的延长线于点M ，交AC 左侧的AP 的延长线于点N ，利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可．(3)设抛物线向左平移了t 个单位，则点E 1-t ,-4 ，过点F 作x 轴的平行线交过点P 和y 轴的平行线于点H ，交过点E 和y 轴的平行线于点G ，证明Rt △FGE ∽Rt △PHF ，根据相似三角形的性质得出GEHF=GF HP =EF FP =1tan ∠PEF =2即可求解．【详解】(1)解：∵抛物线y =ax 2-2ax -3a ≠0 与x 轴交于点A 、点B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，且AB =4，∴x A +x B 2=1,x B -x A =4，解得x B =3,x A =-1，∴-3a=3×-1 ，解得a=1，故抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．(2)过点C 作AC ⊥MN 于点C ，交AC 右侧的AP 的延长线于点M ，∵∠PAC =45°，∴AC =CM ，过点M 作MT ⊥y 轴于点T ，∴∠ACO =90°-∠ECM =∠CMT ∵∠ACO =∠CMT ∠AOC =∠CTM AC =CM，∴△AOC ≌△CTM AAS ，∴AO =CT ,OC =EM ，∵抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，x B =3,x A =-1，∴AO =CT =1,OC =TM =3，A -1,0 ,C 0,-3 ,B 3,0 ，∴OE =2,TM =3∴M 3,-2 ，设AM 的解析式为y =kx +b ，BC 的解析式为y =px +q ∴-k +b =03k +b =-2 ,3p +q =0q =-3 ，解得k =-12b =-12,p =1q =-3 ∴AM 的解析式为y =-12x -12，BC 的解析式为y =x -3，∴y =x -3y =-12x -12 ，解得x =53y =-43，故P 53,-43；(3)∵y =x 2-2x -3=x -1 2-4，点D 1,-4 ,设抛物线向左平移了t 个单位，则点E 1-t ,-4 ，过点F 作x 轴的平行线交过点P 和y 轴的平行线于点H ，交过点E 和y 轴的平行线于点G ，由(2)知，直线AP 的表达式为：y =-12x -12，P 53,-43设F m ,-12m -12 ∵∠EFP =90°，∴∠GFE +∠HFP =90°，∵∠GFE +∠GEF =90°，∴∠GEF =∠HFP ，∴Rt △FGE ∽Rt △PHF ，∴GE HF =GF HP =EF FP =1tan ∠PEF=2，∵GE =y F -y E =-12m -12+4，HF =x P -x F =53-m ，GF =x F -x G =m -1-t ，HP=y F -y P =-12m-12+43，∴-12m -12+453-m =m -1-t -12m -12+43=2，解得：t =269，∴y =x -1+269 2-4=x +179 2-4．【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助线是解题的关键．2(2023·广东湛江·校考一模)如图1，抛物线y =36x 2+433x +23与x 轴交于点A ，B (A 在B 左边)，与y 轴交于点C ，连AC ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点D 作DE ∥AC 交抛物线于点E ，交y 轴于点P．(1)点F 是直线AC 下方抛物线上点一动点，连DF 交AC 于点G ，连EG ，当△EFG 的面积的最大值时，直线DE 上有一动点M ，直线AC 上有一动点N ，满足MN ⊥AC ，连GM ，NO ，求GM +MN +NO 的最小值；(2)如图2，在(1)的条件下，过点F 作FH ⊥x 轴于点H 交AC 于点L ，将△AHL 沿着射线AC 平移到点A 与点C 重合，从而得到△A H L (点A ，H ，L 分别对应点A ，H ，L )，再将△A H L 绕点H 逆时针旋转α(0°<α<180°)，旋转过程中，边A L 所在直线交直线DE 于Q ，交y 轴于点R ，求当△PQR 为等腰三角形时，直接写出PR 的长．【答案】(1)4+23975(2)1733-3或833【分析】(1)作FH ∥y 轴交DE 于H ．设F m ,36m 2+433m +23 ，求出直线DE 的解析式，联立方程得到x =-3时，FH 的值最大，求出答案；作点G 关于DE 的对称点T ，TG 交DE 于R ，连接OR 交AC 于N ，作NM ⊥DE 于M ，连接TM ，GM ，此时GM +MN +NO 的值最小，求出答案即可；(2)当△PQR 是等腰三角形时，易知∠QPR =120°，易知直线RQ 与x 轴的夹角为60°，得到直线RQ 的解析式为y =3x +3-3，进而求出答案，当△QPR 是等腰三角形，同理求出答案．【详解】(1)如图1中，作FH ∥y 轴交DE 于H ．设F m ,36m 2+433m +23 ．由题意可知A (-6,0)，B (-2,0)，C (0,23)，∵抛物线的对称轴x =-4，C ，D 关于直线x =-4对称，∴D (-8,23)，∴直线AC 的解析式为y =33x +23，∵DE ∥AC ，∴直线DE 的解析式为y =33x +1433，由y =33x +23y =33x +1433，解得x =8y=23 或x =2y =1633，∴E 2,1633 ，H m ,33m +1433，∵S △DEF =S △DEG +S △EFG ，△DEG 的面积为定值，∴△DEG 的面积最大时，△EFG 的面积最大，∵FH 的值最大时，△DEF 的面积最大，∵FH 的值最大时，△EFG 的面积最大，∵FH =-36m 2-3m +833，∵a <0．开口向下，∴x =-3时，FH 的值最大，此时F -3,-32．如图2中，作点G 关于DE 的对称点T ，TG 交DE 于R ，连接OR 交AC 于N ，作NM ⊥DE 于M ，连接TM ，GM ，此时GM +MN +NO 的值最小．∵直线DF 的解析式为：y =-32x -23，由y =-32x -23y =33x +23，解得x =-245y =235，∴G -245,232 ，∵TG ⊥AC ，∴直线GR 的解析式为y =-3x -2235，由y =33x +1433y =-3x -2235 ，解得x =-345y =1235，∴R -345,1235，∴RG =4,OR =23975，∵GM =TM =RN ，∴GM +MN +ON =RN +ON +RG =RG +ON =4+23975．∴GM +MN +NO 的最小值为4+23975．(2)如图3中，如图当△PQR 是等腰三角形时，易知∠QPR =120°，PQ =PR易知直线RQ 与x 轴的夹角为60°，L 3-32,23+32，直线RQ 的解析式为y =3x +3-3，∴R (0,3-3)，∴PR =1433-(3-3)=1733-3．如图4中，当△QPR 是等腰三角形，∵∠QPR =60°，∴△QPR 是等边三角形，同法可得R (0,23)，∴PR =OP -OC =1433-23=833综上所述，满足条件的PR 的值为1733-3或833．【点睛】本题属于二次函数证明题，考查了二次函数的性质，一次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题．3(2023·广东潮州·校考一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A (-2,0),B (4,0)两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，连接OP 交BC 于点Q ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当PQ OQ 的值最大时，求点P 的坐标和PQ OQ的最大值；(3)把抛物线y =-12x 2+bx +c 沿射线AC 方向平移5个单位得新抛物线y ，M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N 点的坐标，并把求其中一个N 点坐标的过程写出来．【答案】(1)抛物线的函数表达式为y =-12x 2+x +4(2)当m =2时，PQ OQ取得最大值12，此时，P (2,4)(3)N 点的坐标为N 12,52 ,N 22,-112 ,N 32,-52.其中一个N 点坐标的解答过程见解析【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；(2)运用待定系数法求得直线BC 的解析式为y =-x +4，如图1，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ，设P m ,-12m 2+m +4 ，则D (m ,-m +4)，证明△PDQ ∽△OCQ ，得出：PQ OQ =PD OC=-12m 2+2m 4=-18(m -2)2+12，运用求二次函数最值方法即可得出答案；(3)设M t -12t 2+2t +92,N (2,s )，分三种情况：当BC 为▱BCN 1M 1的边时；当BC 为▱BCM 2N 2的边时；当BC 为▱BM 3CN 3的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答案．【详解】(1)∵抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A (-2,0),B (4,0)两点(点A 在点B 的左侧)，∴-12×(-2)2-2b +c =0-12×42+4b +c =0,解得：b =1c =4 ，∴抛物线的函数表达式为y =-12x 2+x +4；(2)∵抛物线y =-12x 2+x +4与y 轴交于点C ，∴C (0,4)，∴OC =4，设直线BC 的解析式为y =kx +d ，把B (4,0),C (0,4)代入，得：4k +d =0,d =4 解得：k =-1d =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4，如图1，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ，设P m ,-12m 2+m +4 ，则D (m ,-m +4)，∴PD =-12m 2+2m ，∵PD ∥OC ，∴△PDQ ∽△OCQ ，∴PQ OQ =PD OC=-12m 2+2m 4=-18(m -2)2+12,∴当m =2时，PQ OQ取得最大值12，此时，P (2,4)．(3)如图2，沿射线AC 方向平移5个单位，即向右平移1个单位，向上平移2个单位，∴新的物线解析式为y =-12(x -2)2+132=-12x 2+2x +92，对称轴为直线x =2，设M t ,-12t 2+2t +92,N (2,s )，当BC 为▱BCN 1M 1的边时，则BC ∥MN ,BC =MN ，∴t -2=4s =-12t 2+2t +92+4解得：t =6s =52，∴N 12,52;当BC 为▱BCM 2N 2的边时，则BC ∥MN ,BC =MN ，∴t -2=-4s =-12t 2+2t +92-4 ,解得：t =-2s =-112，∴N 22,-112;当BC 为▱BM 3CN 3的对角线时，则t +2=4-12t 2+2t +92+s =4，解得：t =2s =-52，∴N 32,-52;综上所述，N 点的坐标为：N 12,52 ,N 22,-112 ,N 32,-52.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．4(2023·湖北襄阳·校联考模拟预测)坐标综合：(1)平面直角坐标系中，抛物线C 1：y 1=x 2+bx +c 的对称轴为直线x =3，且经过点6,3 ，求抛物线C 1的解析式，并写出其顶点坐标；(2)将抛物线C 1在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线C 2：y 2=x 2-2mx +m 2-1，①如图1，设自变量x 在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1．此时，若y 2的最大值比最小值大12m ，求m 的值；②如图2，直线l ：y =-12x +n n >0 与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点.过点A 、点C 分别作两坐标轴的平行线，两平行线在第一象限内交于点B ．设抛物线C 2与x 轴交于E 、F 两点(点E 在左边)．现将图中的△CBA 沿直线l 折叠，折叠后的BC 边与x 轴交于点M ．当8≤n ≤12时，若要使点M 始终能够落在线段EF (包括两端点)上，请通过计算加以说明：抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向左还是向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？【答案】(1)抛物线C 1的解析式为y 1=x 2-6x +3，抛物线C 1的顶点坐标为3,-6(2)①m 的值为2或9-154；②抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向右平移，最少平移2个单位，最多平移7个单位【分析】(1)根据对称轴为直线x =3，可得b =-6，再把把6,3 代入，即可求解；(2)①根据配方可得当x =m 时，函数有最小值-1，再由自变量x 在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1，可得1≤m ≤2，然后两种情况讨论，即可求解；②先求出点A ，C 的坐标，可得点B 的坐标，再根据图形折叠的性质可得CM =AM ，在Rt △COM 中，根据勾股定理可得CM =54n ，从而得到点M 的坐标，继而得到n 的取值范围，然后根据点M 始终能够落在线段EF (包括两端点)上，可得m 取值范围，即可求解．【详解】(1)解：∵y 1=x 2+bx +c 的对称轴为直线x =3，∴-b2=3，解得：b =-6，把6,3 代入y 1=x 2-6x +c ，得3=62-6×6+c ，解得：c =3，∴抛物线C 1的解析式为y 1=x 2-6x +3，当x =3时，y 1=32-6×3+3=-6，∴抛物线C 1的顶点坐标为3,-6 ；(2)解：①∵y 2=x 2-2mx +m 2-1=x -m 2-1，∴抛物线C 2的对称轴为直线x =m ，当x =m 时，函数有最小值-1，∵在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1，∴1≤m ≤2，当1≤m ≤32时，x =2时y 2有最大值为m 2-4m +3，∴m 2-4m +3+1=12m ，解得m =9±154，∴m =9-154；当32≤m ≤2时，x =1时y 2有最大值为m 2-2m ，∴m 2-2m +1=12m ，解得m =2或m =12(舍)，综上所述：m 的值为2或9-154；②直线l ：y =-12x +n 与x 轴的交点A 2n ,0 ，与y 轴的交点C 0,n ，∴B 2n ,n ，∵△CBA 沿直线l 折叠，∴∠BCA =∠ACM ，∵∠BCA =∠CAM ，∴∠ACM =∠MAC ，∴CM =AM ，在Rt △COM 中，CM 2=CO 2+OM 2，即CM 2=n 2+2n -CM 2，解得CM =54n ，∴OM =34n ，∴M 34n ,0 ，∵8≤n ≤12，∴6≤34n ≤9，当x 2-2mx +m 2-1=0时，解得：x =m +1或x =m -1，∴E m -1,0 ，F m +1,0 ，∵点M 始终能够落在线段EF 上，∴m +1≥6，m -1≤9，∴5≤m ≤10，∵y 1=x 2-6x +3=x -3 2-6，y 2=x -m 2-1，当m =5时，抛物线C 1沿x 轴向右平移2个单位，向上平移5个单位，当m =10时，抛物线C 1沿x 轴向右平移7个单位，向上平移5个单位，∴抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向右平移，最少平移2个单位，最多平移7个单位．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，轴对称图形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．5(2023·浙江湖州·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =x 2-4x +c 的图象与y 轴的交点坐标为0,5 ，图象的顶点为M ．矩形ABCD 的顶点D 与原点O 重合，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，顶点B 的坐标为1,5 ．(1)求c 的值及顶点M 的坐标，(2)如图2，将矩形ABCD 沿x 轴正方向平移t 个单位0<t <3 得到对应的矩形A B C D ．已知边C D ，A B 分别与函数y =x 2-4x +c 的图象交于点P ，Q ，连接PQ ，过点P 作PG ⊥A B 于点G ．①当t =2时，求QG 的长；②当点G 与点Q 不重合时，是否存在这样的t ，使得△PGQ 的面积为1？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)c =5，顶点M 的坐标是2,1(2)①1；②存在，t =12或52【分析】(1)把0,5 代入抛物线的解析式即可求出c ，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；(2)①先判断当t =2时，D ，A 的坐标分别是2,0 ，3,0 ，再求出x =3，x =2时点Q 的纵坐标与点P 的纵坐标，进而求解；②先求出QG =2，易得P ，Q 的坐标分别是t ,t 2-4t +5 ，t +1,t 2-2t +2 ，然后分点G 在点Q 的上方与点G 在点Q 的下方两种情况，结合函数图象求解即可．【详解】(1)∵二次函数y =x 2-4x +c 的图象与y 轴的交点坐标为0,5 ，∴c =5， ∴y =x 2-4x +5=x -2 2+1，∴顶点M 的坐标是2,1 ．(2)①∵A 在x 轴上，B 的坐标为1,5 ，∴点A 的坐标是1,0 ．当t =2时，D ，A 的坐标分别是2,0 ，3,0 ．当x =3时，y =3-2 2+1=2，即点Q 的纵坐标是2，当x =2时，y =2-2 2+1=1，即点P 的纵坐标是1．∵PG ⊥A B ，∴点G 的纵坐标是1， ∴QG =2-1=1． ②存在．理由如下：∵△PGQ 的面积为1，PG =1，∴QG =2．根据题意，得P ，Q 的坐标分别是t ,t 2-4t +5 ，t +1,t 2-2t +2 ．如图1，当点G 在点Q 的上方时，QG =t 2-4t +5-t 2-2t +2 =3-2t =2，此时t =12(在0<t <3的范围内)，如图2，当点G 在点Q 的下方时，QG =t 2-2t +2-t 2-4t +5 =2t -3=2，此时t =52(在0<t <3的范围内)．∴t =12或52．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．6(2023·江苏·统考中考真题)如图，二次函数y =12x 2+bx -4的图像与x 轴相交于点A (-2,0)、B ，其顶点是C ．(1)b =；(2)D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，tan ∠AOD =52；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点(k ,0)作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k 的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P 落在原抛物线上，连接PC 、QC 、PQ ．已知△PCQ 是直角三角形，求点P 的坐标．【答案】(1)-1；(2)k ≤-3；(3)3,-52 或-1,-52 ．【分析】(1)把A (-2,0)代入y =12x 2+bx -4即可求解；(2)过点D 作DM ⊥OA 于点M ，设D m ,12m 2-m -4 ，由tan ∠AOD =DM OM=-12m 2+m +4-m =52，解得D -1,-52，进而求得平移后得抛物线，平移后得抛物线为y =12x +3 2-92，根据二次函数得性质即可得解；(3)先设出平移后顶点为P p ,12p 2-p -4 ，根据原抛物线y =12x -1 2-92，求得原抛物线的顶点C 1,-92 ，对称轴为x =1，进而得Q 1,p 2-2p -72，再根据勾股定理构造方程即可得解．【详解】(1)解：把A (-2,0)代入y =12x 2+bx -4得，0=12×-2 2+b ×-2 -4，解得b =-1，故答案为-1；(2)解：过点D 作DM ⊥OA 于点M ，∵b =-1，∴二次函数的解析式为y =12x 2-x -4设D m ,12m 2-m -4 ，∵D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，tan ∠AOD =52，∴tan ∠AOD =DM OM=-12m 2+m +4-m =52，解得m =-1或m =8(舍去)，当m =-1时，12m 2-m -4=12+1-4=-52，∴D -1,-52，∵y =12x 2-x -4=12x -1 2-92，∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为y =12x +a 2-92，把D -1,-52 代入y =12x +a 2-92得-52=12-1+a 2-92，解得a =3或a =-1(舍去)，∴平移后得抛物线为y =12x +3 2-92∵过点(k ,0)作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，在y =12x +3 2-92的对称轴x =-3的左侧，y 随x 的增大而减小，此时原抛物线也是y 随x 的增大而减小，∴k ≤-3；(3)解：由y =12x -1 2-92，设平移后的抛物线为y =12x -p 2+q ，则顶点为P p ,q ，∵顶点为P p ,q 在y =12x -1 2-92上，∴q =12p -1 2-92=12p 2-p -4，∴平移后的抛物线为y =12x -p 2+12p 2-p -4，顶点为P p ,12p 2-p -4 ，∵原抛物线y =12x -1 2-92，∴原抛物线的顶点C 1,-92，对称轴为x =1，∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，∴Q 1,p 2-2p -72，∵点Q 、C 在直线x =1上，平移后的抛物线顶点P 在原抛物线顶点C 的上方，两抛物线的交点Q 在顶点P 的上方，∴∠PCQ 与∠CQP 都是锐角，∵△PCQ 是直角三角形，∴∠CPQ =90°，∴QC 2=PC 2+PQ 2，∴p 2-2p -72+92 2=p -1 2+12p 2-p -4+922+p -1 2+12p 2-p -4-p 2+2p +722化简得p -1 2p -3 p +1 =0，∴p =1(舍去)，或p =3或p =-1，当p =3时，12p 2-p -4=12×32-3-4=-52，当p =-1时，12×-1 2+1-4=-52，∴点P 坐标为3,-52 或-1,-52．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．7(2023·湖北宜昌·统考模拟预测)如图，过原点的抛物线y 1=ax (x -2n )(a ≠0,a ,n 为常数)与x 轴交于另一点A ，B 是线段OA 的中点，B -4,0 ，点M (-3,3)在抛物线y 1上．(1)点A 的坐标为；(2)C 为x 轴正半轴上一点，且CM =CB ．①求线段BC 的长；②线段CM 与抛物线y 1相交于另一点D ，求点D 的坐标；(3)将抛物线y 1向右平移(4-t )个单位长度，再向下平移165个单位长度得到抛物线y 2，P ，Q 是抛物线y 2上两点，T 是抛物线y 2的顶点．对于每一个确定的t 值，求证：矩形TPNQ 的对角线PQ 必过一定点R ，并求出此时线段TR 的长．【答案】(1)-8,0(2)①BC =5；②D -54,2716 (3)证明见解析，RT =5【分析】(1)根据中点公式求C 点坐标即可；(2)①设C x ,0 ，根据CM =CB ，建立方程(x +3)2+9=x +4，求出C 点坐标即可求BC ；②求出直线CM 的解析式为y =-34x +34，将A -8,0 代入y 1=ax (x -2n )，求出n =-4，将M 点代入y 1=ax (x +8)，求出a =-15，从而求出抛物线y 1=-15x (x +8)，直线CM 与抛物线的交点即为点D -54,2716；(3)根据平移的性质可求y 2=-15(x +t )2，则T (-t ,0)，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，P m ,-15(m +t )2 ，Q n ,15(n +t )2 当kx +b =-15(x +t )2时，整理得x 2+(2t +5k )x +5b +t 2=0，由根与系数的关系可得m +n =-2t -5k ，mn =5b +t 2，过点P 作PF ⊥x 轴交于F 点，过Q 点作QE ⊥x 轴交于E 点，证明△FPT ∽△ETQ ，则PF TE =FT EQ ，即15(m +t )2n +t =-t -m 15(n +t )2，整理得，(m +t )(n +t )=-25，求出b =kt -5，所以直线PQ 的解析式为y =kx +kt -5=k (x +t )-5，对于每一个确定的t 值，直线PQ 必经过定点R (-t ,-5)，RT =5．【详解】(1)∵B 是线段OA 的中点，B -4,0 ，∴OA =8，∴A -8,0 ，故答案为：-8,0 ；(2)①设C x ,0 ，∵CM =CB ，∴(x +3)2+9=x +4，解得x =1，∴BC =5；②设直线CM 的解析式为y =k 'x +b '，∴k '+b '=0-3k '+b '=3 ，解得k '=-34b '=34，∴直线CM 的解析式为y =-34x +34，将A -8,0 代入y 1=ax (x -2n )，∴-8a (-8-2n )=0，∵a ≠0，∴-8-2n =0，解得n =-4，∴y 1=ax (x +8)，将M 点代入y 1=ax (x +8)，∴-3a (-3+8)=3，解得a =-15，∴抛物线y 1=-15x (x +8)，当-34x +34=-15x (x +8)时，解得x =-3或x =-54，∴D -54,2716；(3)证明：∵y 1=-15x (x +8)=-15(x +4)2+165，∴y 2=-15(x +t )2，∴T (-t ,0)，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，P m ,-15(m +t )2 ，Q n ,15(n +t )2 ，当kx +b =-15(x +t )2时，整理得x 2+(2t +5k )x +5b +t 2=0，∴m +n =-2t -5k ，mn =5b +t 2，过点P 作PF ⊥x 轴交于F 点，过Q 点作QE ⊥x 轴交于E 点，∵四边形TPNQ 是矩形，∴∠PTQ =90°，∴∠FTP +∠ETQ =90°，∵∠FTP +∠TPF =90°，∴∠ETQ =∠TPF ，∴△FPT ∽△ETQ ，∴PF TE =FTEQ，即15(m +t )2n +t=-t -m15(n +t )2，整理得，(m +t )(n +t )=-25，∴mn +t (m +n )+t 2=-25，∴b -kt =-5，即b =kt -5，∴直线PQ 的解析式为y =kx +kt -5=k (x +t )-5，∴对于每一个确定的t 值，直线PQ 必经过定点R (-t ,-5)，∴RT =5．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系，题型02二次函数翻折问题二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。

二次函数的特殊情况与变化规律二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在各个领域有着广泛的应用。

在二次函数的研究中，我们发现了一些特殊情况和变化规律，它们对于我们理解和应用二次函数都起到了重要的指导作用。

一、特殊情况1. 常数项为0的情况当二次函数的常数项为0时，我们可以将其表示为f(x) = ax²，其中a是一个实数。

这种情况下，二次函数经过原点(0,0)，其图像关于原点对称。

并且，如果a大于0，则二次函数的图像开口向上；如果a小于0，则二次函数的图像开口向下。

这个特殊情况在实际问题中常常出现。

例如，当我们研究抛物线的轨迹时，如果不考虑任何外力因素，那么抛物线的形状就可以用常数项为0的二次函数来描述。

2. 线性函数的情况线性函数是一次函数的特殊情况，它在二次函数中也有一种特殊的表示形式。

当二次函数的系数a为0时，我们可以将其表示为f(x) = bx，其中b是一个实数。

这样的二次函数实际上就是一条直线。

线性函数的特殊情况在解决一些简单的数学问题时非常有用。

例如，在一个简单的物理问题中，若要求物体在匀速直线运动中的位移与时间的关系，我们可以用线性函数来描述。

二、变化规律1. 平移变化在二次函数的研究中，我们经常需要对其进行平移变化。

平移变化可以让二次函数的图像在平面上上下左右移动，而不改变其形状。

对于一般的二次函数f(x) = ax² + bx + c，平移变化可以表示为f(x - h) = a(x - h)² + b(x - h) + c，其中h是一个实数。

当h大于0时，表示二次函数图像向右平移；当h小于0时，表示二次函数图像向左平移。

平移变化能够帮助我们更好地理解二次函数的图像特征。

例如，在研究抛物线的轨迹时，我们可以通过平移变化将抛物线的顶点平移到坐标原点，这样可以更方便地进行计算和分析。

2. 缩放变化二次函数的缩放变化是改变其图像的形状和大小，但不改变其顶点的位置和开口的方向。