二次函数的图像与性质上下左右平移PPT课件

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二次函数的图像和性质PPT课件

-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都
是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在
空中所经过的路线y .
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
y=x2
y
o
x
y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2.
实际上,二次函数的图像 o
x
都是抛物线.
达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？
(1) y=3x-l (2) y=2x² (3) y=x²+6 (4) y=-3x²-2x+4
（1）一次函数的图象是一条__直__线_， (2) 通常怎样画一个函数的图象？列表、描点、连线 (3) 二次函数的图象是什么形状呢？
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1
2
3
4
5
x
图像.
请画函数y=－x2的图像解:(1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=-x2的图
像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
二次函数的图像和性质PPT课件
创设情境，导入新课
问题：
上面的图片都是二次函数的图片，与我们生活密切相关
你们喜欢篮球吗？：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
今天让我们来研究一下二次函数的图像和性质吧
二次函数:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表

二次函数的图像和性质

+
k
y = a(x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
开口方向对称轴顶点坐标
向上向下向上
直对线称x轴=-3 顶( -点3，坐标
直线x=1 (51)， -
所以该抛物线的表达式为y=-2x2-12x-13.
（2）点A（-1，3）和B(2，-6）的坐标满足抛
物线的表达式，即
解得
a b 6 3， 4a 2b 6 6.
a 3， b 6.
所以该抛物线的表达式为y=3x2-6x-6.
例. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
x<-
b 2a
x>-
b 2a
a>0
向下
x<-
b 2a
x>-
b 2a
当x=
-
b 2a
时，
y有最小值：4a4ca-b2
当x=
-
b 2a
时，
y有最大值：4a4ca-b2
数学核心素养
一、什么是数学核心素养二、如何在数学教学活动中体现数学核心素养三、如何在数学教学评价中考查数学核心素养
一、什么是数学核心素养文件《教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务》
根据这些特点，我们容易画出它的图像．
解
列表：
画出的图像如图26.2.4所示.
一般地，我们可以用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴.
y= ax2+bx+c

专题—二次函数图像平移对称与旋转PPT课件

D．y=x2−2
分析：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数∴ y=（-x）2-2（-x）即：y=x2+2x 答案：B
8
.
3．与y=x2-2x-3的图象关于原点O（0，0）对称
的函数图象的解析式是（ D ）
A．y=（x-1）2-4
B．y=-（x+1）2-4
C．y=（x+1）2+4
D．y=-（x+1）2+4
分析：根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”得变化后解析式: - y=（-x）2-2（-x）-3 即： y=-（x+1）2+4 答案：D
9
.
4.在平面直角坐标系中，函数图象A与二次函数y=x2+x-2 的图象关于x轴对称，而函数图象B与图象A关于y轴对称，那么函数图象B对应的函数关系式为__y_=_-_x_2_+_x_+_2_______
.
二次函数图像平移,对称与旋转
1
.
图像平移
沿Y轴平移
向上平移n个单位：二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为_y_=_a_(x_-_h_)2_+_k+_n_ 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)变为 _y_=_a_x_2_+_bx_+_c_+_n 向下平移n个单位：二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为_y_=_a_(x_-_h_)2_+_k-_n_ 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 变为 __y_=_ax_2_+_bx_+_c_-n_
简称：“左加右减”
3பைடு நூலகம்

5.二次函数的图像和性质课件

大
-1
当x=0时，y取最____值____。
02
知识精讲
平移口诀1
函数y=x2+1的图像可以由函数y=x2的图像向上平移一个单位长度得到；
函数y=x2-1的图像可以由函数y=x2的图像向下平移一个单位长度得到；
函数y=-x2+1的图像可以由函数y=-x2的图像向上平移一个单位长度得到；
函数y=-x2-1的图像可以由函数y=-x2的图像向下平移一个单位长度得到。
的图像和性质
01
情境引入
Q1：用描点法画出y=(x+3)2的图像，并与y=x2作对照
x
…
y=(x+3)2 …
x
y=x2
-6 -5
9 4
…
…
-4
1
-3
9
-3
0
-2
4
-2
1
-1
1
-1
4
0
0
0
9
1
1
…
…
2
4
当自变量偏移3个单位长
将点(1,1)向左平移3个
度时，两个函数的值相同
单位长度得(-2,1)……
3
【平移口诀1】上加下减
02
知识精讲
练一练1：根据平移口诀1，完成下列填空：
下
4
向_____平移_____个单位得到
上
8
向_____平移_____个单位得到
下
3
向_____平移_____个单位得到
上
6
向_____平移_____个单位得到
02
知识精讲
练一练2：根据练一练1平移后的图像，完成下列填空：
5
y=-2x2+3

《二次函数的平移》课件

01 02 03 04
详细描述
例如，函数$f(x) = x^2$的图像向右平移2个单位后，新的函数表达式变为$f(x) = (x-2)^2$。
详细描述
在坐标系中，原函数$f(x) = x^2$的图像位于(0,0)，当其向右平移2个单位后，新的函数图像将位于(2,0)。
向上平移
总结词
当二次函数图像向上平移时，其函数表达式的常数项会增加。
在物理中的应用
振动和波动
在物理中，二次函数的平移可以用于描述振动和波动现象。例如，在弦振动方程中，通过平移可以描述弦的位移和时间的关系。
引力与势能
电路分析
在电路分析中，二次函数的平移可以用于描述交流电的电压或电流随时间的变化。
在研究引力或势能时，二次函数的平移可以用来描述物体在引力场中的运动轨迹或势能随位置的变化。
总结词详细描述总结词详细描述
当二次函数图像向左平移时，其函数表达式中的x值会增加。
平移后的函数图像与原函数图像在x轴方向上错开，距离等于平移的单位数。
向右平移
总结词
当二次函数图像向右平移时，其函数表达式中的x值会减少。
总结词
平移后的函数图像与原函数图像在x轴方向上错开，距离等于平移的单位数。
详细描述
例如，函数$f(x) = x^2$的图像向上平移3个单位后，新的函数表达式变为$f(x) = x^2 + 3$。
总结词
平移后的函数图像与原函数图像在y 轴方向上错开，距离等于平移的单位数。
详细描述
在坐标系中，原函数$f(x) = x^2$的图像位于(0,0)，当其向上平移3个单位后，新的函数图像将位于(0,3)。
04

二次函数图像上下和左右平移

y x 2
1 个单位，就向___平移___
得到抛物线 y
－4
－2 －2 －4 －6
2
4
1 2 y x 1 2 1 y x2 2
y
1 x 12 2
给单独一个x加上或减去一个数：
课堂练习 1.抛物线y=0.5(x+2)2可以由抛物线 y=0.5x2 向 ( 左 )移2个单位得到。 2.已知s= –(x+1)2，当x为 –1 时，s取最大值为 0 。 3.顶点坐标为(1,0)，且经过(0,-1)的抛物线的函数解析式是( D ) A.y=(x+1)2 C.y=(x–1)2 B. y= –(x+1)2 D. y= –(x–1)2
3 2 3 y x 1 4
(0,–1)
2
向上向上
直线x=2
直线x=0 (Y轴)
直线x=0 (Y轴)
(2, 0)
(0,0)
(0,-3)
3 2 6 y x 3 4
向下
y=a(x+h)² (a≠0) 开口方向顶点坐标对称轴增减性极值
a>0 向上 (-h ,0) x=-h
x ….. y=x2 …… y=x2+1 ……
-2 4
-1 1
0 0
y
8
1 1
2 4
……
5
2
0
2
5
……
y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系? 函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?
5
函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移 1个单位长度得到. 相同

二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)

相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.

二次函数图像和性质课件(1)完整版公开课

• 一般地, y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成 y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位 (当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移) 得到的.
• 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线, 它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
到
二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
y 3x 12 2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向上平移2个单位后得到的.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最大值为k.
小练习: 抛物线
y 1 x2 2
y 5x2 2
y 2(x 1)2
y (x 1)2 2
向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
(3)将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 y=4x2+3 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
回顾:
(1)怎样的抛物线可以通过平移得到? 二次项系数a值相同的抛物线可以通过平移得到
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=3x2类似.

二次函数的平移公开课ppt课件

B、 y=－2（x－1）2
C、 y=－2x2 +1
D、 y=－2x2 －1
C
（）
19
y 2 x 2. （2006年兰州市）已知抛物线
2
的图象是抛物线,若抛物线不动,把x轴分别向
上平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是
____________.
y=2x2-2
0，-2)
20
六、
21
七、作业：
2 ）把二次函数 y a x 2 的图象向下平移 k 个单位后得到的函数解析式为 y a x 2 k
17
四、巩固练习
1 ）把 y 3 x 2 向下平移 4 个单位后的函数解析式为 _ _ _ _ _ _ _ _ 2 )二次函数 ya x2 1 向下平移 2 个单位后经过点
向上
y轴
y=f(x)
对称轴的左侧，y随对称轴的右侧，y随
x的增大而
x的增大而
增大
减小
13
开动脑筋：
结论:
2. y x 2 与 y x 2 1 和 y x 2 1
有何关系? 形状完全相同(开口大小、方向相同)
只是顶点的位置不同.
思考:
我们知道这种形状完全相同的平面图形可以通过平移使之重合.那么怎样由
结论：函数 y=2x2+1的图象可以看作是函数
y=2x2的图象向移动了个单位
上
1
7
二：动手画一画并进行比较：
平移
y
9
8 7 6 54（0，4） 3 2
1
32 1 0 1 2 3 4 5

人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质》PPT

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质
y
o
x
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的形状相同，位置不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上，当a﹤0时，开口向下，
2.对称轴是直线X=h ；
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。
方∵9对向/a4于=，）-1y，求＜=与a出0x,y2它∴轴+开b的交x口+点对c向我坐称下标们轴，为可、顶以顶点确坐点定标坐（它标2的、.5开，与口y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点（时0），，- 4这），样与就x可轴以交画点为出（它1的,0)大、致(4,图0）象，。
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
a x
b
2
4ac
b2
.
2a 4a
函数y=ax2+bx+c的顶点式
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
（- b ，4ac - b2 ） 2a 4a
快速反应：火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与时间 t (s) 的关系为h = - 5 t ²+ 150 t +10 经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
的顶点都在
（ B）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上

第1讲二次函数的图象和性质复习课件(共39张PPT)

全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置．左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置．上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1，即2a＋b＝0，故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0，故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a，故③正确；
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
第一章二次函数
第1讲二次函数的图象和性质
全效优等生
全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
诺贝尔为什么没有设数学奖诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对此，外界流传着两种说法．第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．

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平移，可以得到抛物线y a(x h)2 k。
平移的方向、距离要根据h__、__k_的值来决定。
抛物线y a(x h)2 k有如下特点：（1）当a 0时，开口向__上__；当a 0，开口向__下_；（2）对称轴是直线_x_=_h_；
（3）顶点坐标是（__h_，__k_）。
开口向上
开口向下
对称轴是x=-3
对称轴是x=1
顶点是（-3，5）
顶点是（1，-2）
（3）y （4 x 3）2 7；（4）y （5 x 2）2 6.
开口向上
开口向下
对称轴是x=3 顶点是（3，7）
对称轴是x=-2 顶点是（-2，-6）

1 2
x2向1个左单平位移y

1 (x 1)2 2
向下平移 1个单位
y

1 2
(x 1)2
1
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
二次函数的图像与性质上下左右平移
例3.画出函数 y 1 (x 1)2 1的图像.指出它的开口 2
方向、顶点与对称轴、
解: 先列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
2
再描点画图.
形状相同，
开口方向相同.
y 1 (x 1)2 1 2
y 1 x2, 2
y 1 x2 1, 2
顶点不同，对称轴不同.
抛物线y 1 x2 怎样移动就可以得到抛物线 y 1 (x 1)2 1 ？
2
2
归纳小结
一般地，抛物线y a(x h)2 k与y ax2形状相__同___，位置不__同__。把抛物线y ax2向上（下）向左（右）
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y 1 (x 1)2 1
2
观在察同二一次直函角数坐标系y 中的12 x图2, 象y ， 12思x2考1,这y三条12 (抛x 物1)2线1 有什么关系？
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值根据图形填表：
抛物线顶点坐标
对称轴
y=a(x-h)2+k(a>0)
（h，k）
直线x=h
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）直线x=h
位置
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
开口方向
向上
向下
解得:
a=－
3 4
1
因此抛物线的解析式为:
y=－43 (x－1)2＋3 (0≤x≤3) O 1 2
当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
C(3,0)
3x
1.完成下列表格:
二次函数开口方向对称轴顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上直线x=－3 (－3,5)
y=－3(x－1)2－2 向下直线x=1 (1,－2)
y = 4(x－3)2＋7 向上直线x=3 (3,7)
y=－5(2－x)2－6 向下直线x=2 (2,－6) 2.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到吗? 3.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y= 4x2 怎样平移得到?
4、抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），
则a=
。
5、设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），求它的解析式。
6、抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移
2个单位得到的抛物线是
。
7、抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是
。
练习
8、说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（1）y （2 x 3）2 5；（2）y （3 x 1）2 2；
有什么关系? 平移方法1:
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
y 1 (x 1)2 1
-2
2
-3yΒιβλιοθήκη 1 2x
2向下平移 1个单位
y

1 2
x2
1
-4 -5 -6
向左平移 y 1 (x 1)2 1
1个单位
2
-7
-8 -9
平移方法2:
-1x0=－1
y
水柱在与池中心的水平距离为1m处
达到最高,高度为3m,水柱落地处离
池中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系, 点(1,3) y 是图中这段抛物线的顶点.因此可 3
B(1，3)
设这段抛物线对应的函数是
A
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 2
∵这段抛物线经过点(3,0)
∴
0=a(3－1)2＋3
平移方法:
y=ax2向左(右)平移y=a(x－h)2 向上(下)平y=a(x－h)2+k
|h|个单位
移|k|个单位
y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x－h)2+k
移|k|个单位
移|h|个单位
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中
心竖直安装一根水管.在水管的顶端
安装一个喷水头,使喷出的抛物线形
解: 先列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
2
再描点、连线
直线x=－1
(1)抛物线 y 1 (x 1)2 1
2
的开口方向、对称轴、顶点?
抛物线 y 1 (x 1)2 1 的开口向下, 2
增减性最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最大值为k.
(2)抛物线 y 1 (x 1)2 1
2
y 1 x2 2
y 1