五、数列
（一）填空题
1、（2008江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
按照以上排列的规律，第n行（n》3）从左向右的第3个数为______________ .
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前n —1行共有正整数1 + 2 + •••+（n
2 2
n — n n — n
—1 ）个，即-一n个，因此第n行第3个数是全体正整数中第-一n+ 3个，即为
2 2
n2- n 6
2
2、（2009江苏卷14）设咕,是公比为q的等比数列，|q|・1，令b n二a n • 1（n =1,2,川）,
若数列:b n ?有连续四项在集合「-53,-23,19,37,82?中，则6q = .
【解析】考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。
「a n ?有连续四项在集合:-54, -24,18,36,81，四项-24,36, -54,81成等比数列，公比为
3
q 二匕，6q= -9
3、（2010江苏卷8）函数y=x2（x>0）的图像在点（a k,a k2）处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a1=16，贝U a1+$+a5= __________
［解析］考查函数的切线方程、数列的通项。
a
在点（a k,a k2）处的切线方程为：y-a k2 = 2a k（x-a k）,当y = 0时，解得x k,
2
a
所以a k1打，a1 a3 a5=16 4“21。
4、（2011江苏卷13）设1 =印_a2-川_a7，其中a1 ,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，
a2,a4,a6成公差为1的等差数列，贝U q的最小值是 ___________ .
【解析】由题意：1 =印込a2乞q込a2• 1乞q2込a2• 2岂q3,
a2^a2 1,a2 1 ^q2^a2 2
q3-a2,2-3，而‘為2-1印# ^2 a21 a2 的最小值分别为1,2,3；q min=3-3
本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，考查抽象概括能力和推理能力，本题属难题•
5、( 2012江苏卷6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，_3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是______ .
【解析】组成满足条件的数列为：1,-3,9. 一27,81,—243,729,—2187,6561,—19683.从中随机
取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为
3
5.
【点评】本题主要考查古典概型•在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本
事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特另U注
意.
1
6、 (2013江苏卷14) 14 •在正项等比数列{a n}中，35 , a6 a^3，则满足
2
c•…』n …an的最大正整数n的值为__________________ 。
答案：14 . 12
(二)解答题
1、( 2008江苏卷19) . (I)设31,32,|||HI,a n是各项均不为零的等差数列(nK4),且公差d = 0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列：
①当n =4时，求a1的数值；②求n的所有可能值；
d
(H)求证：对于一个给定的正整数n(n >4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
0,^,1川||,0，其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.
【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。
(I)①当n=4时，a1,a2,a3,a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。
若删去a2,则a32=a a4，即(印吃d ^a 1(a 化简得c +4d=0，得旦=-4
d
若删去a3，则a2^a1 a4，即(a1d)2 = a (q - 3d)化简得a, -d =0，得卑=1
d
综上，得旦--4或旦=1。
d d
②当n=5时，a1,a2,a3,a4,a5中同样不可能删去a1,a2,a4,a5，否则出现连续三项。
若删去a s，则ai a5 =a2 d ,即ai(a1 4d) ^(a1 d) (a1 3d) 化简得3d = 0，因为d =0，所以a3不能删去；
当n A 6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列 &月2, a 3,|)| ,a n_2,a n 」，a n 中，
由于不能删去首项或末项，若删去
a 2，则必有a 1 a n = a 3 -a n 2，这与d = 0矛盾；同样若删
去am 也有a a n 二a 3，这与d =0矛盾；若删去 &3,川，中任意一个，则必有 印a n 二a ? a .二，这与
d =0矛盾。(或者说：当n 》6时，无论删去哪一项，剩余的项中必 有连续的三项)
综上所述，n=4。
(2)假设对于某个正整数
n ,存在一个公差为
d 的n 项等差数列b|,b 2,.….b n ，其中
b x .「b y d ,b z d ( 0 _X ：：： y ：：： z _ n _1 )为任意三项成等比数列，则 b 2y d ^b x1 b z1，即 (b +yd)2 = (b + xd)，(b + zd),化简得(y 2 —xz)d 2 =(x + z —2y)bd
(*)
由b]d =0知，y 2-xz 与x ，z-2y 同时为0或同时不为0 当y —xz 与x • z —2y 同时为0时，有x
= y = z 与题设矛盾。
b
2
故y 2 -xz 与x - z -2y 同时不为0,所以由(*)得= ——xz -
d x+z-2y
因为0乞x ：：： y ：：： z 乞n -1，且x 、y 、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而色为有理数。
d
于是，对于任意的正整数 n(n _4),只要色为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。
d
例如n 项数列1, 12 , 1 2 2 ,……,1 (n-1)2满足要求。 2、( 2009江苏卷17)(本小题满分14分) 设订/是公差不为零的等差数列，
S n 为其前n 项和，满足a 22 a 3
^ a 42 a 52, S 7 = 7。
(1) 求数列f a n ?的通项公式及前n 项和& ；
(2) 试求所有的正整数 m ，使得3m 3m 1为数列 订昇中的项。
a
m 2
【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满 分14分。
(1
)设公差为d ，则£ - a 5 = ai - af ，由性质得- 3d
⑻'a 3) = d ⑻ a 3)，因
7汇6
为 d = 0，所以 a 4 a 3 0，即 2a 1 5^ 0,又由 5=7得 7a 1 d = 7 ,
解
得
印- -5
,
d
_2 —「.：「；門邛匸二丁：「7 丄.j 「C i 「一
a
m 2
⑵
(方法一) a m a m 1 =（2m -7）（2m -5），设？m _3 二
t ,
a
2m
- 3
则
arA 1 二（t -4）（t -2）
所以t 为8的约数
