2015年全国高考文科数学试题及答案-北京卷

2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. （2003▪北京▪文）设集合2{|10}A x x =->，2{|log 0}B x x =>，则AB =A.{|1}x x >B.{|0}x x >C.{|1}x x <-D.{|1x x >或1}x <- 2. （2003▪北京▪文）设0.914y =，0.4824y =， 1.531()2y -=，则 A.312y y y >> B.213y y y >> C.123y y y >> D.132y y y >>3. （2003▪北京▪文）“cos 2α=-”是“526k παπ=+，k Z ∈”的 A.必要非充分条件 B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件4. （2003▪北京▪文）已知α，β是平面，m ，n 是直线，下列命题中不正确的是A.若m ∥α，n αβ=，则m ∥nB.若m ∥n ，m α⊥，则n α⊥C.若m α⊥，m β⊥，则α∥βD.若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥ 5. （2003▪北京▪文）直线l ：220x y -+=过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为A.15B.25 C.5 D.56. （2003▪北京▪文）若z C ∈且|22|1z i +-=，则|22|z i --的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.57. （2003▪北京▪文）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为A.2πB.32π D.12π 8. （2003▪北京▪文）若数列{}n a 的通项公式是3(1)32n n nn a --+-=，n =1，2，…，则12lim(n a a →∞++…)n a += A.124 B.18 C.16 D.129. （2003▪北京▪文）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有A.24种B.18种C.12种D.6种10. （2003▪北京▪文）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k .规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令10ij i j a i j ⎧=⎨⎩第号同学同意第号同学当选第号同学不同意第号同学当选，其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为A.1112a a ++…12122k a a a ++++…2k a +B.1121a a ++…11222k a a a ++++…2k a +C.11122122a a a a ++…12k k a a +D.11211222a a a a ++…12k k a a +二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11. （2003▪北京▪文）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为___.12. （2003▪北京▪文）函数2()lg(1)f x x =+，()2||g x x =-，()tan 2h x x =中，______是偶函数． 13. （2003▪北京▪文）以双曲线221169x y -=的右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是________.14. （2003▪北京▪文）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_________.三、解答题：本大题共6小题，共13+13+15+15+14+14=84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （2003▪北京▪文）已知函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =--.⑴求()f x 的最小正周期；⑵求()f x 的最大值和最小值.16. （2003▪北京▪文）已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=.⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵令3n n n b a =，求数列{}n b 前n 项和的公式.17. （2003▪北京▪文）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，AB a =.⑴求证：直线111A D B C ⊥；⑵求点D 到平面1ACC 的距离；⑶判断1A B 与平面1ADC 的位置关系，并证明你的结论.18. （2003▪北京▪文）如图，1(5A -，0)，2(5A ，0)为椭圆的两个顶点，1(4F -，0)，2(4F ，0)为椭圆的两个焦点．⑴写出椭圆的方程及其准线方程；⑵过线段2OA 上异于O ，2A 的任一点K 作2OA 的垂线，交椭圆于1P ，2P 两点，直线11A P 与22A P 交于点M .求证：点M 在双曲线221259x y -=上.19. （2003▪北京▪文）有三个新兴城镇分别位于A 、B 、C 三点处，且AB AC ==13km ，BC =10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处（建立坐标系如图）．⑴若希望点P 到三镇距离的平方和为最小，则P 应位于何处？⑵若希望点P 到三镇的最远距离为最小，则P 应位于何处？20. （2003▪北京▪文）设()y f x =是定义在区间[1-，1]上的函数，且满足条件：①(1)(1)0f f -==；②对任意的u 、[1v ∈-，1]，都有|()()|||f u f v u v -≤-. ⑴证明：对任意[1x ∈-，1]，都有1()1x f x x -≤≤-；⑵判断函数110()101x x g x x x +-≤<⎧=⎨-≤≤⎩是否满足题设条件； ⑶在区间[1-，1]上是否存在满足题设条件的函数()y f x =，且使得对任意的u ，[1v ∈-，1]，都有|()()|||f u f v u v -=-.若存在请举一例，若不存在，请说明理由.2003年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）（2003•北京）设集合A={x|x2﹣1＞0}，B={x|log2x＞0|}，则A∩B等于（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞1或x＜﹣1}【分析】先化简集合，即解一元二次不等式x2＞1，和对数不等式log2x＞0，再求交集．【解答】解：根据题意：集合A={x|x＜﹣1或x＞1}，集合B={x|x＞1}∴A∩B={x|x＞1}．故选A【点评】本题考查集合间的交集的运算，应注意不等式的正确求解，属于基础题．2．（5分）（2003•北京）设，，，则（）A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2【分析】分别将三个幂值进行化简，转化为以2为底的指数幂的形式，然后利用指数函数的单调性进行判断．【解答】解：，，．因为函数y=2x在定义域上为单调递增函数，所以y1＞y3＞y2．故选D．【点评】本题主要考查了指数幂的大小比较，将不同底的指数幂转化为同底的指数幂．然后利用指数函数的单调性进行判断大小是解决本题的关键．3．（5分）（2003•北京）“”是“”的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【分析】利用充分条件和必要条件的定义去判断．【解答】解：由，得，即，所以，是“”的必要不充分条件．故“”是“”的必要不充分条件．故选A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，要求熟练掌握判断充要条件的方法：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．4．（5分）（2003•北京）已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m∥nB．若m∥n，α∩β=n，且mα则m∥αC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β【分析】A．利用线面平行的性质判断．B．利用线线平行和线面垂直的性质判断．C．利用线面垂直的性质判断．D．利用线面垂直的性质判断．【解答】解：A．因为当m∥α时，无法确定直线m的位置关系，所以无法推出m∥n．，所以A错误．B．若α∩β=n，m⊄α，若m∥n，则必有m∥α．所以B正确．C．垂直于同一条直线的两个平面是平行的，所以C正确．D．根据面面垂直的判定定理知，D正确．故选A．【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系的判断，要求熟练掌握平行或垂直的判断条件．5．（5分）（2003•北京）直线l：x﹣2y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】分别令直线方程中y=0和x=0，进而求得b和c，进而根据b，c和a的关系求得a，则椭圆的离心率可得．【解答】解：在l：x﹣2y+2=0上，令y=0得F1（﹣2，0），令x=0得B（0，1），即c=2，b=1．∴a=，e==．故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质和椭圆的标准方程．考查了学生对椭圆基础知识的掌握和灵活运用．6．（5分）（2003•北京）若z∈C，且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据式子|Z+2﹣2i|=1的几何意义，表示以（﹣2，2）为圆心，以1为半径的圆，|Z﹣2﹣2i|的最小值，就是圆上的点到（2，2）距离的最小值，转化为圆心到（2，2）距离与半径的差．【解答】解：由题意知，|Z+2﹣2i|=1表示：复平面上的点到（﹣2，2）的距离为1的圆，即以（﹣2，2）为圆心，以1为半径的圆，|Z﹣2﹣2i|表示：圆上的点到（2，2）的距离的最小值，即圆心（﹣2，2）到（2，2）的距离减去半径1，则|2﹣（﹣2）|﹣1=3故选B．【点评】本题考查复数代数形式有关式子的几何意义，关键是把式子转化为几何意义，考查了转化思想．7．（5分）（2003•北京）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A．2πB．C．D．【分析】设圆台上、下底面圆半径为r、R，则母线l=2（R﹣r），高h=（R﹣r），由此结合圆台侧面积公式和梯形面积公式，即可算出该圆台的侧面积与轴截面面积的比．【解答】解：∵圆台的母线与底面成60°角，∴设上底圆半径为r，下底面圆半径为R，母线为l，可得l=2（R﹣r）因此，圆台的侧面积为S侧=π（r+R）l=2π（R2﹣r2）又∵圆台的高h=（R﹣r）∴圆台的轴截面面积为S轴=（2r+2R）h=（R2﹣r2）由此可得圆台的侧面积与轴截面面积的比为2π（R2﹣r2）：（R2﹣r2）=故选：C【点评】本题给出母线与底面成60°角的圆台，求它的侧面积与轴截面面积的比值．着重考查了圆台侧面积公式、梯形面积公式和解三角形等知识，属于基础题．8．（5分）（2003•北京）若数列{an}的通项公式是，则等于（）A．B．C．D．【分析】先利用分组求和求出a1+a2+…+an，然后再求极限即可．【解答】解：a1+a2+…+an=++…+=（3﹣1+3﹣2+…+3﹣n）+=×+=+，所以={+}=，故选B．【点评】本题考查数列求和及数列求极限，属中档题．9．（5分）（2003•北京）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（）A．24种B．18种C．12种D．6种【分析】根据题意，由于黄瓜必选，故需要再选2种蔬菜，其方法数是C32种，进而由排列的意义，进行全排列，计算可得答案．【解答】解：∵黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33，∴种法共有C32•A33=18种，故选B．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，要注意排列、组合的不同意义，进而分析求解．10．（5分）（2003•北京）某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A．a11+a12+…+a1k+a21+a22+…+a2kB．a11+a21+…+ak1+a12+a22+…+ak2C．a11a12+a21a22+…+ak1ak2D．a11a21+a12a22+…+a1ka2k【分析】先写出同意第1号同学当选的同学，再写出同意第2号同学当选的同学，那么同时同意1，2号同学当选的人数为它们对应相乘再相加．【解答】解：第1，2，…，k名学生是否同意第1号同学当选依次由a11，a21，a31，…，ak1来确定（aij=1表示同意，aij=0表示不同意或弃权），是否同意第2号同学当选依次由a12，a22，…，ak2确定，而是否同时同意1，2号同学当选依次由a11a12，a21a22，…，ak1ak2确定，故同时同意1，2号同学当选的人数为a11a12+a21a22+…+ak1ak2，故选C．【点评】本题主要考查了矩阵的应用，考查学生阅读理解、分析问题解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 11．（4分）（2003•北京）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 3 ．【分析】设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可．【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πr2因为球的体积与其表面积的数值相等，所以=4πr2．解得r=3故答案为：3．【点评】本题考查球的体积与表面积的计算，是基础题．12．（4分）（2003•北京）函数f（x）=lg（1+x2），g（x）=2﹣|x|，h（x）=tan2x 中，f（x），g（x）是偶函数．【分析】利用奇函数和偶函数的定义进行判断．f（x），g（x），满足偶函数的定义，h（x）满足奇函数的定义．【解答】解：①若f（x）=lg（1+x2），则函数f（x）的定义域为R，则f（﹣x）=lg （1+x2）=f（x），所以f（x）是偶函数．②若g（x）=2﹣|x|，则函数g（x）的定义域为R，则g（﹣x）=2﹣|x|=g（x），所以g（x）是偶函数．③若h（x）=tan2x，则函数f（x）的定义域为{x|2x}={x|x}，则h（﹣x）=tan（﹣2x）=﹣tan2x=﹣h（x），所以h（x）是奇函数．故答案为：f（x），g（x）．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，判断函数的奇偶性，先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再判断是否满足关系式f（﹣x）=f（x）或f（﹣x）=﹣f（x），从而确定函数的奇偶性．13．（4分）（2003•北京）以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是y2=﹣36（x﹣4）．【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的右顶点和左焦点，进而根据抛物线的性质可求得抛物线的p，方程可得【解答】解：根据双曲线方程可知a=4，b=3∴c==5，∴右顶点坐标为（4，0），左焦点坐标为（﹣5，0），∵抛物线顶点为双曲线的右顶点，焦点为左焦点，∴p=18，焦点在顶点的左侧，在x轴上∴抛物线方程y2=﹣36（x﹣4）．故答案为：y2=﹣36（x﹣4）．【点评】本题主要考查了双曲线和抛物线的简单性质．考查了学生对圆锥曲线基本知识的理解和掌握．14．（4分）（2003•北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为．【分析】正确理解题意，充分应用正方形的知识和圆的知识，表示出两种图形的面积．构造目标函数后结合目标函数的特点﹣﹣一元二次函数，利用二次函数的性质求最值．【解答】解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1﹣x，半径r=．∴S正=（）2=，S圆=π•．∴S正+S圆=（0＜x＜1）．∴当x=时有最小值．答案：【点评】本题充分考查了正方形和圆的知识，目标函数的思想还有一元二次函数求最值的知识．在解答过程当中要时刻注意定义域优先的原则．三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）（2003•北京）已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的最大值、最小值．【分析】（I）根据平方关系、二倍角、两角和的余弦公式化简解析式，再求出函数的周期；（Ⅱ）根据余弦函数的最大值和最小值，求出此函数对应的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x∴f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由（I）知，，当（k∈z）时，，f（x）取到最大值为，当（k∈z）时，，f（x）取到最小值为﹣．【点评】本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及余弦函数的性质等基本知识，考查运算能力，16．（13分）（2003•北京）已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=an3n（x∈R）．求数列{bn}前n项和的公式．【分析】（I）利用等差数列的通项公式将已知等式用公差表示，列出方程求出公差，利用等差数列的通项公式求出通项．（II）由于数列的通项是一个等差数列与一个等比数列的乘积，利用错位相减法求前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}公差为d，则 a1+a2+a3=3a1+3d=12，又a1=2，d=2．所以an=2n．（Ⅱ）由bn=an3n=2n3n，得Sn=2•3+4•32+…（2n﹣2）3n﹣1+2n•3n，①3Sn=2•32+4•33+…+（2n﹣2）•3n+2n•3n+1．②将①式减去②式，得﹣2Sn=2（3+32+…+3n）﹣2n•3n+1=﹣3（3n﹣1）﹣2n•3n+1．所以．【点评】求数列的前n项和时，首先判断数列的通项的特点，然后选择合适的方法求和．17．（15分）（2003•北京）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a．（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；（Ⅲ）判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．【分析】（Ⅰ）欲证A1D⊥B1C1，由于BC∥B1C1，∴只要证A1D⊥BC，根据点D是正△ABC中BC边的中点，可证AD⊥BC，故问题得证；（Ⅱ）先作出点D到平面ACC1的距离．作DE⊥AC于E，由于平面ACC1⊥平面ABC，所以DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的距离．在Rt△ADC中，可求（Ⅲ）直线A1B∥平面ADC1．欲证A1B∥平面ADC1．只需证明DF∥A1B，连接A1C 交AC1于F，则F为A1C的中点，因为D是BC的中点，所以DF∥A1B，利用线面平行的判定定理可证．【解答】解：（Ⅰ）∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1．（Ⅱ）作DE⊥AC于E，∵平面ACC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的距离．在Rt△ADC中，AC=2CD=．∴所求的距离．（Ⅲ）答：直线A1B∥平面ADC1，证明如下：连接A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A1B，又DF⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．【点评】本题的考点是点、线、面间距离的计算，主要考查点、线、面之间的位置关系，考查点线距离，关键是正确利用线面平行与垂直的判定与性质．18．（15分）（2003•北京）如图，A1，A为椭圆的两个顶点，F1，F2为椭圆的两个焦点．（Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P1两点，直线A1P与AP1交于点M．求证：点M在双曲线上．【分析】（I）根据图形，确定几何量，即可写出椭圆的方程及准线方程；（Ⅱ）设出直线A1P，P1A的方程，求出直线A1P与AP1的交点M的坐标，验证即可．【解答】（Ⅰ）解：由图可知，a=5，c=4，∴．该椭圆的方程为，准线方程为．（Ⅱ）证明：设K点坐标（x0，0），点P、P1的坐标分别记为（x0，y0），（x0，﹣y0），其中0＜x0＜5，则，…①直线A1P，P1A的方程分别为：（x0+5）y=y0（x+5），…②（5﹣x0）y=y0（x﹣5）．…③②式除以③式得，化简上式得，代入②式得，于是，直线A1P与AP1的交点M的坐标为．因为．所以，直线A1P与AP1的交点M在双曲线上．【点评】本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）（2003•北京）有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km．今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？【分析】（I）设P的坐标为（0，y），表示出P至三镇距离的平方和，利用配方法，即可得到建立；（II）P至三镇的最远距离为解法一：确定函数的单调性，即可求最值，从而可得点P的坐标；解法二：作出函数的图象，结合图象，可得结论；解法三：结合图形，分类讨论，确定点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小．【解答】解：（Ⅰ）设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为f（y）=2（25+y2）+（12﹣y）2=3（y﹣4）2+146．所以，当y=4时，函数f（y）取得最小值．答：点P的坐标是（0，4）．（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为g（y）=由解得，记，因为在[y*，+∞）上是增函数，而|12﹣y|在（﹣∞，y*]上是减函数．所以y=y*时，函数g（y）取得最小值．答：点P的坐标是；解法二：P至三镇的最远距离为 g（y）=由解得，记，函数x=g（y）的图象如图（a），因此，当y=y*时，函数g（y）取得最小值．答：点P的坐标是；解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13，且，．所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为，且AM=BM=CM．当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小．答：点P的坐标是；【点评】本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．20．（14分）（2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（﹣1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[﹣1，1]，都有|f（u）﹣f（v）|≤|u﹣v|．（Ⅰ）证明：对任意的x∈[﹣1，1]，都有x﹣1≤f（x）≤1﹣x；（Ⅱ）判断函数是否满足题设条件；（Ⅲ）在区间[﹣1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[﹣1，1]，都有|f（u）﹣f（v）|=u﹣v．若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．【分析】（I）利用（ii），可得当x∈[﹣1，1]时，有|f（x）|=|f（x）﹣f（1）|≤|x﹣1|=1﹣x，从而可得结论；（II）分类讨论，验证满足条件（i），（ii）即可；（III）利用反证法，结合条件，引出矛盾即可．【解答】（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当x∈[﹣1，1]时，有|f（x）|=|f（x）﹣f（1）|≤|x﹣1|=1﹣x，即x﹣1≤f（x）≤1﹣x．（Ⅱ）解：函数g（x）满足题设条件．验证如下：g（﹣1）=0=g（1）．对任意的u，v∈[﹣1，1]，当u，v∈[0，1]时，有|g（u）﹣g（v）|=|（1﹣u）﹣（1﹣v）|=|u﹣v|；当u，v∈[﹣1，0]时，同理有|g（u）﹣g（v）|=|u﹣v|；当u•v＜0，不妨设u∈[﹣1，0），v∈（0，1]，有|g（u）﹣g（v）|=|（1+u）﹣（1﹣v）|=|u+v|≤|v﹣u|．所以，函数g（x）满足题设条件．（Ⅲ）解：这样满足的函数不存在．理由如下：假设存在函数f（x）满足条件，则由f（﹣1）=f（1）=0，得|f（1）﹣f（﹣1）|=0，①由于对任意的u，v∈[﹣1，1]，都有|f（u）﹣f（v）|=|u﹣v|．所以，|f（1）﹣f（﹣1）|=|1﹣（﹣1）|=2．②①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．【点评】本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．参与本试卷答题和审题的老师有：733008；maths；zhwsd；gongjy；ywg2058；wyz123；danbo7801；zwx097；minqi5；ying_0011；wdnah；刘长柏（排名不分先后）菁优网2017年5月28日。

2016年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合,，则（A ）｛1，3} (B ）{3,5｝ （C ）｛5,7｝ (D){1，7} （2）设的实部与虚部相等,其中a 为实数，则a=(A ）－3 (B)－2 (C ）2 (D ）3（3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(A ） （B) (C ） （D ）（4)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，,，则b=（A ） （B ）(C ）2 (D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的l 距离为其短轴长的41，则该椭圆的离心率为 (A)31 (B ）21 （C ）32 (D ）43（6）若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移41个周期后,所得图像对应的函数为 (A ）y =2sin(2x +4π） （B ）y =2sin （2x +3π) (C ）y =2sin （2x –4π) （D ）y =2sin （2x –3π)(7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。

若该几何体的体积是328π,则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（8）若a>b>0，0〈c<1，则(A)log a c<log b c （B）log c a<log c b （C）a c〈b c （D)c a〉c b（9）函数y=2x2–e｜x｜在[–2,2]的图像大致为(A）（B）（C）（D)（10）执行右面的程序框图,如果输入的n=1，则输出的值满足（A）（B）(C) (D ）（11）平面过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，, ,，则m ，n 所成角的正弦值为（A) (B) （C ） (D ）(12）若函数在单调递增，则a 的取值范围是（A ） （B ） （C ） （D ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13）设向量a =（x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，则x =（14）已知θ是第四象限角，且sin （θ+）=，则tan(θ–）= .（15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay —2=0相交于A ,B 两点，若32AB ，则圆C 的面积为（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文科数学本试卷共19题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I = (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}2．在复平面内，复数65,23i i +−+对应的点分别为,A B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．48i +B ．82i +C ．24i +D ．4i +3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（A ）45 (B)35 （C ）25(D)154．若a 、b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠r r，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅−是A ．一次函数且是奇函数B ．一次函数但不是奇函数C ．二次函数且是偶函数D ．二次函数但不是偶函数5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．6．给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =−，④12x y +=，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 7．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2αα−+； （B ）sin 3αα+（C ）3sin 1αα+ （D ）2sin cos 1αα−+第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题8．已知函数2log ,22,2{x x x x y ≥−<=，右图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图，①处应填写 ；②处应填写 ．9．在ABC ∆中。

2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞ （C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞（2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53 （D ）85（4）若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5（D ）9（5）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数 （6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）60 （B）30 （C）20 （D）10（7）设m, n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m·n<0”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。