高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法学案 新人教A版选修2-2

2.3 数学归纳法

学习目标：1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．数学归纳法的定义

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行

归纳奠基 证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立

归纳递推 假设n＝kk≥n0，k∈N*时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．

思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?

[提示]不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.

2．数学归纳法的框图表示

[基础自测]

1．思考辨析

(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( )

(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )

(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )

[答案] (1)× (2)× (3)√

2．下面四个判断中，正确的是( )

A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1

B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋k

C．式子1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋12＋13

D．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋1(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4 C [A中，n＝1时，式子＝1＋k；

B中，n＝1时，式子＝1；

C中，n＝1时，式子＝1＋12＋13；

D中，f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1.故正确的是C.]

3．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n＝________成立.

【导学号：31062162】

[答案] 2

4．已知Sn＝11·3＋13·5＋15·7＋…＋1n－n＋，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________.

[解析] 分别将1,2,3,4代入得S1＝13， S2＝25，S3＝37，S4＝49，观察猜想得Sn＝n2n＋1.

[答案] 13 25 37 49 n2n＋1

[合 作 探 究·攻 重 难]

用数学归纳法证明等式

(1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________.

【导学号：31062163】

(2)用数学归纳法证明：

121×3＋223×5＋…＋n2n－n＋＝nn＋n＋(n∈N*)．

[解析] (1)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则

f(k)＝(k＋1) (k＋2)…(k＋k)，

f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以fk＋fk＝k＋k＋k＋1＝2(2k＋1)．

[答案]

2(2k＋1)

(2)证明： ①当n＝1时，121×3＝1×22×3成立．

②假设当n＝k(n∈N*)时等式成立，即有

121×3＋223×5＋…＋k2k－k＋＝kk＋k＋， 则当n＝k＋1时，121×3＋223×5＋…＋k2k－k＋＋k＋2k＋k＋＝kk＋k＋＋k＋2k＋k＋

＝k＋k＋k＋，

即当n＝k＋1时等式也成立．

由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立．

[规律方法] 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：

弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；

弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；

证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形.

[跟踪训练]

1．求证：1－12 ＋13 －14 ＋… ＋12n－1 －12n ＝1n＋1 ＋1n＋2 ＋… ＋12n (n∈N*)．

[证明] ①当n＝1时，左边＝1－12＝12，

右边＝12，所以等式成立．

②假设n＝k(k∈N*)时， 1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k成立．

那么当n＝k＋1时，

1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋1k＋－1－1k＋＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－1k＋

＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋1k＋1－1k＋

＝1k＋＋1＋1k＋＋2＋…＋1k＋＋k＋1k＋，

所以n＝k＋1时，等式也成立．

综上所述，对于任何n∈N*，等式都成立.

归纳—猜想—证明

已知数列11×4，14×7，17×10，…，1n－n＋，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明. 【导学号：31062164】

[解] S1＝11×4 ＝14 ；

S2＝14 ＋14×7 ＝27 ；

S3＝27 ＋17×10 ＝310 ；

S4＝310 ＋110×13 ＝413 .

可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.

于是可以猜想Sn＝n3n＋1 .

下面我们用数学归纳法证明这个猜想．

(1)当n＝1时，左边＝S1＝14 ，

右边＝n3n＋1 ＝13×1＋1 ＝14 ，

猜想成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即

11×4 ＋14×7 ＋17×10 ＋… ＋1k－k＋ ＝k3k＋1 ，

当n＝k＋1时，

11×4 ＋14×7 ＋17×10 ＋… ＋1k－k＋ ＋1k＋－k＋＋1]

＝k3k＋1 ＋1k＋k＋ ＝3k2＋4k＋1k＋k＋

＝k＋k＋k＋k＋

＝k＋1k＋＋1，

所以，当n＝k＋1时猜想也成立．

根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．

[规律方法]

(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节

(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型

①已知数列的递推公式，求通项或前n项和．

②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．

③给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．

[跟踪训练]

2．数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明.

【导学号：31062165】

[解] 由a1＝2－a1，得a1＝1；

由a1＋a2＝2× 2－a2，得a2＝32 ；

由a1＋a2＋a3＝2× 3－a3，得a3＝74 ；

由a1＋a2＋a3＋a4＝2× 4－a4，得a4＝158 .

猜想an＝2n－12n－1 .

下面证明猜想正确：

(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立．

(2)假设当n＝k时猜想成立，

则有ak＝2k－12k－1 ，

当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1，

∴ak＋1＝12[]k＋－Sk＝k＋1－12 (2k－2k－12k－1 )＝2k＋1－12k＋－1 ，

所以，当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)和(2)可知，an＝2n－12n－1 对任意正整数n都成立.

用数学归纳法证明不等式

[探究问题] 1．你能指出下列三组数的大小关系吗？

(1)n，nn－，nn＋；

(2)1n2，1nn－，1nn＋；

(3)12k＋1＋12k，12k－1.

提示：(1)nn－

(2)1nn＋<1n2<1nn－；

(3)∵12k＋1＋12k<12k＋12k＝22k＝12k－1，

∴12k＋1＋12k<12k－1.

2．结合探究点1，试给出一些常见的不等式放缩方法？

提示：在不等式证明时，我们可以使分母变大(小)，从而实现数值变小(大)．如：

(1)1k＝2k＋k>2k＋k＋1

＝2()k＋1－k()k∈N*，k>1，

1k＝2k＋k<2k＋k－1

＝2()k－k－1()k∈N*，k>1；

(2)1k2<1kk－＝1k－1－1k (k≥2), 1k2>1kk＋＝1k－1k＋1；

(3)1k2<1k2－1＝1k－k＋＝12(1k－1－1k＋1)(k≥2)．

用数学归纳法证明1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．

[思路探究] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．

[证明] (1)当n＝1时，左式＝1＋12，

右式＝12＋1，所以32≤1＋12≤32，命题成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，

即1＋k2 ≤ 1＋12 ＋13 ＋… ＋12k ≤ 12 ＋k，

则当n＝k＋1时， 1＋12 ＋13 ＋… ＋12k ＋12k＋1 ＋12k＋2 ＋… ＋12k＋2k >1＋k2 ＋2k·12k＋1 ＝1＋k＋12 .

又1＋12 ＋13 ＋… ＋12k ＋12k＋1 ＋12k＋2 ＋… ＋12k＋2k <12 ＋k＋2k·12k ＝12 ＋(k＋1)，

即当n＝k＋1时，命题成立．

由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立．

母题探究：1.(变条件)用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n－11)．

[证明] (1)当n＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边

(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k－1

所以，当n＝k＋1时不等式成立．

由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．

2．(变条件)用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n2<2－1n(n≥2)．

[证明] (1)当n＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．

(2)假设n＝k时命题成立，即

1＋122＋132＋…＋1k2<2－1k.

当n＝k＋1时，

1＋122＋132＋…＋1k2＋1k＋2

<2－1k＋1k＋2

<2－1k＋1kk＋

＝2－1k＋1k－1k＋1＝2－1k＋1.命题成立．

由(1)和(2)知原不等式在n≥2时均成立．

[规律方法] 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知fk＞gk，求证fk＋＞gk＋时应注意灵活运用证明不等式的一般方法比较法、分析法、综合法具体证明过程中要注意以下两点：