第四章 留数定理

所以I F cos x,sin x dx
0
2
z z 1 z z 1 dz F( , ) C 2 2i iz
(C : z 1, 逆时针)
数学物理方法
例1
计算积分
I
2
0
1 dx (0 1). 1 cos x
1 z z dz 解：设 z eix 则 cos x ;dx . 2 iz 1 dz 2 1 I 2 dz 1 C 1 ( z z ) / 2 iz i C z (2 / ) z 1
课堂练习
zdz 1 、计算积分 ( z 1)( z 2) (C : z 2 2, 逆时针). C
sin zdz (C : z 2 , 逆时针). 2 、计算积分 2 (2 z )( z ) C
数学物理方法
zdz 1 、计算积分 (C : z 2 2, 逆时针). ( z 1)( z 2) C
(C : z n (n为正整数), 逆时针).
解： f ( z ) tan z
1 sin z z ( k ) (k 0,1,2...) k 的奇点为： 2 cos z
皆为一阶极点，被包围于C中的奇点对应于：
k n, n 1,..., 1,0,1,...n 1,
解：
z1 1, z2 2
皆为一阶极点，并且都被包围于C中
zdz 2i[Re sf ( z1 ) Re sf ( z2 )] ( z 1)( z 2) C 2i[lim ( z 1) f ( z ) lim ( z 2) f ( z )]
z 1 z 2
z 2i z5 4z3

3) lim zf z 0.
z
结果 :

数之和 ] f x dx 2i[ f ( z )在上半平面的所有的留
类型三



f x eimx dx
(m>0)
积分条件: 1) 积分区域为(-∞,∞) 2) f(z)无实的奇点,且在上半平面除有限个 奇点外是解析的, 3)当z→∞时,f(z)→0 结果 : f x eimx dx 2i[ f z eimz在上半平面的留数之和]
1 特别n 1 n!, 2

•
' 1 3). C , 1
2). z 1 z , sin z
• C为欧拉常数.


一个特例若f(z)在z=b点为一阶极点,且 当Pb f z lim z b Qz z b z b Pz P b lim ' Q b z b Q z Q b
m z z 1 z z 1 1 [令F z R 2 , 2i iz ] 2i Re sF ak k ak 为F z 在单单位圆内的奇点 .
类型二 :

f x dx
积分条件 : 1)积分区间是(, );2) f ( z )无实实奇点, 且在上半平面除有限个 奇点外是解析的.
对变换z ei ,
cos 1 1 1 1 dz . z , sin z , d 2 z 2i z iz 2 z z 1 z z 1 dz Rcos , sin d R 2 , 2i iz .(1) 0 z 1
0


0
f x cos m xdx i[ f z e imz在上半平面的留数之和 ]

应用留数定理计算实变函数定积分 §4.2 应用留数定理计算实变函数定积分
围道积分法 基本思想：实变函数定积分↔ 基本思想：实变函数定积分↔复变函数回路积分 y l2
l1 a 0 b x
∫
l
f ( z )dz = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( z )dz
l1 l2
几种类型实变定积分的计算方法
1 d m −1 Res f ( z0 ) = lim m −1 ( z − z0 ) m f ( z ) (m − 1)! z → z0 d z
3. 本性奇点的留数通过洛朗展开来计算 本性奇点的留数通过洛朗展开来计算 通过
ze z 例: Res , 2 z −1
dz 例：计算回路积分 ∫ z =1 2 ε z + 2z + ε
解：由 ε z 2 + 2 z + ε = 0 ⇒ f ( z ) =
( 0 < ε < 1)
1 ε z 2 + 2z + ε
的两个单
极点为： 极点为： −1 + 1 − ε 2 −1 − 1 − ε 2 z01 = , z02 = ε ε
ez 例: Res 2 , ∞ z −1 e 1 Res f (1) = , Res f (−1) = − e −1 2 2 e −1 − e Res f (∞) = 2
1 2 3 f ( z) = 1 − + 2 + 3 , z z z
∞
1 1 Resf (∞) = −Res f ⋅ 2 , 0 = 1 z z
2） f ( z ) = ）
e
2
1z
z −z

+∞
推导
∫
+∞
−∞
f ( x)dx =2πi{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}
+∞ −∞
例：计算 I = ∫
+∞
1 dx （n为正整数） 2 n (1 + x )
黑板
此时，如果f(z)在实轴上存在有限个单极点，则 推导
∫
−∞
f ( x)dx =2πi{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}
+πi{f(z)在实轴上所有奇点的留数之和} 黑板
∑ Res f ( z ) + Res f (∞) = 0
k =1 k
n
1. lim f ( z ) = 0 a Res f (∞) = − lim[ z ⋅ f ( z )] z →∞ z →∞ 1 1 2. lim f ( z ) ≠ 0 a Res．f (∞) = − Res[ f ( ) 2 , 0] z →∞ z z
课堂练习：
∫
| z|= 2
ze z z eZ z − sin z f ( z ) d z; f ( z ) = 2 , 4 , , 2 z − 1 z − 1 z ( z − 1) z6
设∞为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域R<|z|<+∞内 解析，则定义函数f(z)在z=∞处的留数为 1 Res f (∞) = ∫L f ( z )dz 2πi 其中L: 积分方向为顺时针方向（实际上是包含无穷远点 的区域的正方向）.如果f(z)在z=∞的去心邻域R<|z|<+∞内 的洛朗级数为
1 d m −1 (3) Res f ( z0 ) = lim m −1 [( z − z0 ) m f ( z )] (m − 1)! z → z0 d z