电动力学常用矢量公式

数学准备知识§1 矢量代数一．矢量定义（单位矢量）ˆˆ,,A A AAA A AA===在坐标系中直角系31i i i A Ae ==∑z y z A A i A j A k=++方向余弦：cos ,cos ,cos ,cos cos cos x y z Ax Ay Az A e e e A A AAαβγαβγ====++31222221231()ii A A A A A A===++=∑ 二．矢量运算加法： 交换律A B B A +=+结合律()()A B C A B C ++=++满足平行四边形法则31()i i i i A B A B e =+=+∑标量积：31cos i i i A B A B AB θ=⋅==∑ 交换律A B B A ⋅=⋅分配律()A B C A B A C ⋅+=⋅+⋅矢量积：123123123sin n e e e A B AB e A A A B B B θ⨯==分配律()A B C A B A C ⨯+=⨯+⨯不满足交换律A B B A ⨯=-⨯混合积：123123123()()()A A A A B C B C A C A B B B B C C C ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯=双重矢积：()()()()()A B C B A C C A B A C B A B C⨯⨯=⋅-⋅=⋅-⋅（点3乘2，点2乘3）()()A B C A B C⨯⨯≠⨯⨯ 三．矢量微分ˆˆdA dA dAA A dt dt dt=+()d A B dB dA A B dt dt dt ⋅=⋅+⋅()d A B dB dA A B dt dt dt⨯=⨯+⨯四．并矢与张量并矢： (一般 )，有九个分量。

AB AB BA ≠若某个量有九个分量，它被称为张量为单位并矢，张量的九个基。

33,1,i i i j ij i j i j i jT AB A B e e T e e ====∑∑ i j e e矢量与张量的矩阵表示：或123,i i A A Ae A A A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑123(,,)A A A A =13123211223313(,,)i ii B AB A A A B A B A B A B A B B =⎛⎫ ⎪==++= ⎪ ⎪⎝⎭∑ T AB = 111213212223313233T T T T T T T T T T ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭单位张量：31i j i e e ==∑100010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭张量运算： ,()i ij ij ji jT V TV e e +=+∑与矢量点乘： ()()()()AB C A B C A C B AC BC B A C BAB C A B CA⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅()()()C AB C A B B C A B A C BA C⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ 与矢量叉乘：()()AB C A B C C AB C A B ⎧⨯=⨯⎪⎨⨯=⨯⎪⎩并矢并矢两并矢点乘： (并矢)()()()AB CD A B C D A B C AD CD AB ⋅=⋅=⋅≠⋅两并矢二次点乘： 标量()():AB CD B C A D =⋅⋅与单位张量点乘： C C C⋅=⋅=AB AB AB ⋅=⋅=:AB A B =⋅ 课堂练习（15-20分钟）1． 计算()()A B A B +⨯- ()()2B A =⨯2． 求证， 与矢量垂直。

电动力学公式总结电动力学是物理学中研究电荷间相互作用及其相关现象的分支学科。

电动力学公式是描述电场、电势、电流、电荷等电动力学量之间关系的数学表达式。

本文将总结常见的电动力学公式，并进行简要解释。

1. 库仑定律（Coulomb's Law）库仑定律用于描述两个电荷之间的相互作用力。

假设两个电荷分别为q1和q2，它们之间的作用力F由以下公式给出：F = k * (q1 * q2) / r^2其中，k为库仑常数，r为两个电荷间的距离。

2. 电场强度（Electric Field Strength）电场强度描述在给定点附近单位正电荷所受到的力的大小和方向。

电场强度E由以下公式给出：E =F / q其中，F为单位正电荷所受的力，q为正电荷的大小。

3. 电势差（Electric Potential Difference）电势差描述电场对电荷进行的功所引起的状态变化。

电势差V由以下公式给出：V = W / q其中，W为电场对电荷进行的功，q为电荷的大小。

4. 高斯定理（Gauss's Law）高斯定理是一个描写电场线分布和电荷分布之间关系的重要定理。

它表示电场的流出和流入电荷的总和等于电荷总量除以真空介电常数ε0。

该定理由以下公式给出：∮E · dA = (1 / ε0) * Q_enclosed其中，E为电场强度，dA为微元的面积矢量，Q_enclosed为电荷的总量。

5. 法拉第电磁感应定律（Faraday's Law of Electromagnetic Induction）法拉第电磁感应定律描述通过磁场的变化引起的电场变化。

它由以下公式给出：ε = -dΦ/dt其中，ε代表感应电动势，dΦ/dt为磁通量的变化率。

6. 奥姆定律（Ohm's Law）奥姆定律描述了电流、电压和电阻之间的关系。

根据奥姆定律，电流I等于电压V与电阻R的比值，即：I = V / R其中，I为电流，V为电压，R为电阻。

四川省考研物理学复习资料电动力学重点公式整理电动力学是物理学的一个重要分支，研究电荷、电场、电势、电流等电学现象和电磁现象的基本定律。

在四川省考研物理学复习中，电动力学是必不可少的一部分。

为了帮助考生更好地掌握电动力学的知识和公式，本文将对电动力学中的重点公式进行整理和归纳。

一、电荷和电场1.库仑定律：F=k*q1*q2/r^2其中，F为两点电荷之间的电力，k为库仑常数，q1和q2为电荷量，r为两点电荷之间的距离。

2.电场强度：E=F/q其中，E为电场强度，F为电荷所受的电力，q为电荷量。

3.电场线性叠加原理：若在某空间内存在多个电荷，各点的电场强度为各个点上的电场强度矢量的矢量和。

4.电场能：W=q*V其中，W为电场能，q为电荷量，V为电势。

5.高斯定理：Φ=∮E*dA=Q/ε0其中，Φ为电场通量，E为电场强度，dA为面元法向量的微元面积，Q为闭合曲面内的电荷总量，ε0为真空介电常数。

二、电势和电势差1.点电荷电势：V=k*q/r其中，V为点电荷电势，k为库仑常数，q为电荷量，r为点电荷所在位置到参考点的距离。

2.电势差：ΔV=Vb-Va其中，ΔV为电势差，Vb为b点电势，Va为a点电势。

3.电势能：Ep=qV其中，Ep为电势能，q为电荷量，V为电势。

4.电势与电场的关系：E=-dV/dr其中，E为电场强度，V为电势，r为距离。

三、电容和电流1.电容性质：C=Q/V其中，C为电容，Q为电荷量，V为电势差。

2.平行板电容器：C=ε0*A/d其中，C为电容，ε0为真空介电常数，A为平行板面积，d为平行板间距离。

3.电容器的串联和并联：若电容器C1、C2、C3依次串联，则总电容为C=1/(1/C1+1/C2+1/C3)。

若电容器C1、C2、C3依次并联，则总电容为C=C1+C2+C3。

4.电流：I=Q/t其中，I为电流，Q为电荷量，t为时间。

5.欧姆定律：I=U/R其中，I为电流，U为电压，R为电阻。

常用矢量公式矢量是物理学中常常用到的工具，它能够表示一个物理量的大小和方向。

在研究物体运动、力学和电磁学等方面，常常需要使用矢量公式。

以下是一些常用的矢量公式。

1.矢量的加法：如果有两个矢量A和B，它们的和矢量C可以通过将两个矢量的对应分量相加得到：C=A+B。

2.矢量的减法：如果有两个矢量A和B，它们的差矢量C可以通过将第二个矢量的对应分量取相反数，再与第一个矢量相加得到：C=A-B。

3.矢量的数量积：两个矢量A和B的数量积可以通过将两个矢量的对应分量乘积相加得到：A·B=AxBx+AyBy+AzBz。

4.矢量的向量积：两个矢量A和B的向量积可以通过以下公式计算：C=A×B,其中C是结果矢量，Ax、Ay和Az是矢量A的分量，Bx、By和Bz是矢量B的分量。

向量积的结果是一个垂直于两个矢量的平面，并且它的大小等于两个矢量张成的平行四边形的面积。

5.矢量的标量三重积：三个矢量A、B和C的标量三重积可以通过以下公式计算：(A×B)·C,其中×表示向量积，·表示数量积。

标量三重积的结果是一个标量，它可以用来计算三个矢量张成的平行六面体的体积。

6.矢量的分解：一个矢量A可以被分解为垂直于另一个矢量B的分量和平行于矢量B的分量。

平行分量可以通过数量积来计算：A\，B=(A·B)B/，B，^2，其中\，表示平行于。

垂直分量可以通过减去平行分量得到：A⊥B=A-A\，B。

7.矢量的模长：一个矢量A的模长可以通过以下公式计算：，A，=√(Ax^2+Ay^2+Az^2)，其中Ax、Ay和Az是矢量A的分量。

8.矢量的单位矢量：一个矢量A的单位矢量可以通过以下公式计算：Ā=A/，A，其中Ā是单位矢量。

9. 矢量的投影：一个矢量A在另一个矢量B上的投影可以通过以下公式计算：Proj_A(B) = (A · Ā)Ā，其中Ā是单位矢量。

10. 矢量的夹角：两个矢量A和B之间的夹角可以通过以下公式计算：cosθ = (A · B)/(，A，B，)，其中θ是夹角。

洛伦兹力公式洛伦兹力公式是一个物理学公式，描述了带电粒子在电场和磁场中所受到的力。

这个公式是由欧洲物理学家亨利·洛伦兹在19世纪末和20世纪初提出的，被广泛应用于电动力学和磁动力学的研究中。

洛伦兹力公式可以用数学公式表达为：F = q(E + v × B)其中，F 是粒子所受力的矢量表示；q 是粒子的电荷量；E 是电场强度矢量；v 是粒子的速度矢量；B 是磁场矢量。

这个公式的意义在于描述了电荷粒子在电场和磁场中受力的规律。

在一个电场中，粒子沿电场的方向受力；而在一个磁场中，粒子的受力方向是与粒子速度和磁场方向都垂直的方向。

这个公式是电动力学和磁动力学的基础，为我们理解电磁现象和应用电磁力提供了重要的数学工具。

洛伦兹力公式的推导需要借助于电场和磁场的基本原理和规律。

首先，我们知道电场是由带电粒子所产生的，而磁场则是由运动带电粒子所产生的。

当一个带电粒子同时处于电场和磁场中时，它将同时受到电场力和磁场力的作用。

对于电场力，根据库仑定律，两个带电粒子之间的电场力与它们之间的电荷量和距离相关。

当一个带电粒子被放置在一个电场中时，它将受到相应电场力的作用。

这个电场力的方向是沿着电场强度矢量的方向。

因此，这个电场力可以用 Eq 表示，其中 E 是电场强度矢量，q 是带电粒子的电荷量。

对于磁场力，根据洛伦兹力的定义，磁场力与带电粒子的速度和磁场的强度有关。

当一个带电粒子以速度 v 运动时，它将受到相应磁场力的作用。

这个磁场力的方向是与速度和磁场都垂直的方向。

这个磁场力可以用 qvB 表示，其中 q 是带电粒子的电荷量，v 是带电粒子的速度，B 是磁场强度矢量。

因此，当一个带电粒子同时处于电场和磁场中时，它将同时受到电场力和磁场力的作用。

这两个力的矢量和即为粒子所受到的洛伦兹力，可以用F = q(E + v × B) 表示。

洛伦兹力公式的重要性在于它揭示了电磁力的本质和规律。

通过洛伦兹力公式，我们可以理解带电粒子在电场和磁场中如何运动，从而解释了很多电磁现象。

电场中的物理量及其计算公式: 一、 电场力F （单位：N ）1.公式：221r q q KF= F=qE2.特点：矢量，有大小和方向,计算时q 带绝对值，F 的方向要进行判断，计算结果中要注明方向 二、电场强度E （单位：N/C 或 V/m ）1.公式：qF E=2r Q KE =dU E =2.特点：矢量，有大小和方向,计算时q 、U 带绝对值，E 的方向要进行判断，计算结果中要注明方向 三、电势能E P (单位：J 或 eV) 相对量 （类似于重力势能） 1.公式：MO PMW E = E P =q ϕ E P W E -=∆ 2.特点：标量，有大小无方向，但有正负之分，计算时W, q ，ϕ带代数值。

四、电势ϕ （单位：V ） 相对量 （类似于高度） 1.公式：qE P =ϕB A AB U ϕϕ-=（由此公式求B ϕϕ和A ）2.特点：标量，有大小无方向，但有正负之分，计算时E P ,q,U AB ，ϕ带代数值（含正负号） 五、电势差U (单位：V) 绝对量 （类似于高度差） 1.公式:qW U AB AB=B A AB U ϕϕ-=U=Ed2.特点：标量，有大小无方向，但有正负之分，计算时W AB ,q,U AB, ϕ带代数值（含正负号）六、电场力做功W （单位：J 或 eV ） 电场力做功与路径无关1.公式： W AB =qU AB W AB =qEL W AB =－∆E P =E PA －E pB（任何电场）（匀强电场）2.特点：标量，有大小无方向，但有正负之分，计算时U AB, E P,q 带代数值（含正负号） 电场中处理电荷运动问题的方法:1.受力分析：（分析各种力：重力场：重力、弹力、摩擦力、其他力电场： 库仑力，电场力）2.运动状态分析：粒子做直线、曲线运动――――判断F 合与V 是否共线 加速、减速运动―――――――判断a(F 合)与V 的方向 匀变速、非匀变速―――――――判断a 或 (F 合)是否为定值最小电场力的方向―――――――电场力F （或场强E ）与速度或拉线垂直3.应用的规律：（1）牛顿运动定律及其运动学公式 （2）动能定理（3）能量守恒定律 （4）运动的合成和分解规律（带电粒子做类平抛运动）电场中的功能关系：1. 只有电场力做功，电势能和动能之和保持不变2. 只有电场力和重力做功，电势能、重力势能和动能之和保持不变电场中的物理量及其计算公式:二、 电场力F （单位：N ）1.公式：221r q q KF= F=qE2.特点：矢量，有大小和方向,计算时q 带绝对值，F 的方向要进行判断，计算结果中要注明方向 二、电场强度E （单位：N/C 或 V/m ）1.公式：qF E =2r Q KE =dU E =2.特点：矢量，有大小和方向,计算时q 、U 带绝对值，E 的方向要进行判断，计算结果中要注明方向 三、电势能E P (单位：J 或 eV) 相对量 （类似于重力势能） 1.公式：MO PMW E = E P =q ϕ E P W E -=∆2.特点：标量，有大小无方向，但有正负之分，计算时W, q ，ϕ带代数值。

数学准备知识§1 矢量代数一．矢量定义垐,,AA AAA A A A===（单位矢量） 在坐标系中 31i ii A Ae ==∑ 直角系 z yz A A i Aj A k =++方向余弦：cos ,cos ,cos ,cos cos cos x y z Ax Ay Az Ae e e A A AAαβγαβγ====++31222221231()ii A A A A A A===++=∑二．矢量运算加法： A B B A +=+ 交换律 ()()A B C A B C ++=++ 结合律 31()iiii A B A B e =+=+∑ 满足平行四边形法则标量积：31cos i ii A B A BAB θ=⋅==∑A B B A ⋅=⋅ 交换律 ()A B C A B A C ⋅+=⋅+⋅ 分配律矢量积：123123123sin n e e e A B AB e A A A B B B θ⨯== ()A B C A B A C ⨯+=⨯+⨯ 分配律A B B A ⨯=-⨯ 不满足交换律 混合积： 123123123()()()A A A A B C B C A C A B B B B C C C ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯=双重矢积：()()()()()A B C B A C C A B A C B A B C ⨯⨯=⋅-⋅=⋅-⋅（点3乘2，点2乘3）()()A B C A B C ⨯⨯≠⨯⨯三．矢量微分ˆˆdA dA dAA A dt dt dt=+ ()d A B dB dAA B dt dt dt ⋅=⋅+⋅ ()d A B dB dAA B dt dt dt⨯=⨯+⨯ 四．并矢与张量并矢： AB (一般 AB BA ≠)，有九个分量。

若某个量有九个分量，它被称为张量33,1,i i ijij i ji j i jT AB A B e e T e e====∑∑ i j e e 为单位并矢，张量的九个基。

电动力学重点知识总结(期末复习必备).doc 电动力学重点知识总结（期末复习必备）第一部分：电场与电势1. 电场强度（E）定义：单位正电荷在电场中所受的力。

公式：[ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} ]性质：矢量，方向为正电荷受到的力的方向。

2. 电势（V）定义：单位正电荷从无穷远处移动到某点所需的能量。

公式：[ V = \frac{W}{q} ]性质：标量，与参考点的选择有关。

3. 电势能（U）定义：电荷在电场中的能量状态。

公式：[ U = qV ]4. 电场线的绘制规则从正电荷出发，指向负电荷。

电场线不相交。

第二部分：高斯定理1. 高斯定理的表述通过闭合表面的电通量等于闭合表面内总电荷量除以电常数。

2. 高斯定理的应用计算对称性电场问题，如球对称、圆柱对称等。

第三部分：电容器与电容1. 电容器定义：两个导体板之间用绝缘介质隔开的装置。

功能：存储电荷和能量。

2. 电容（C）定义：电容器存储电荷的能力。

公式：[ C = \frac{Q}{V} ]单位：法拉（F）。

3. 电容器的充电与放电充电过程：电容器两端电压逐渐增加至电源电压。

放电过程：电容器两端电压逐渐降低至零。

第四部分：电流与电阻1. 电流（I）定义：单位时间内通过导体横截面的电荷量。

公式：[ I = \frac{Q}{t} ]2. 电阻（R）定义：导体对电流的阻碍作用。

公式：[ R = \frac{V}{I} ]3. 欧姆定律表述：在恒定温度下，导体的电阻与其两端电压成正比，与通过的电流成反比。

第五部分：磁场与磁力1. 磁场（B）定义：对运动电荷产生力的场。

性质：矢量场。

2. 磁感应强度（B）公式：[ \vec{B} = \frac{\vec{F}}{IL} ]单位：特斯拉（T）。

3. 安培环路定理表述：通过闭合回路的磁通量等于通过回路的电流乘以常数。

4. 洛伦兹力（F）公式：[ \vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) ]性质：力的方向垂直于电荷的速度和磁场。

内容：1. 勒维-齐维塔记号2. 基本矢量运算公式3. 亥姆霍兹定理的两种表述形式1. 勒维-齐维塔记号定义勒维-齐维塔（Civita Levi -）记号ijk ε为：ijk ε+1ijk 是123的偶排列 (1)-1 ijk 是123的奇排列 0ijk 中有两个指标相同勒维-齐维塔记号的一个重要等式：jm in jn im kmnk ijkδδδδεε-=∑ (2)2. 基本矢量运算公式 2.1 两矢量叉乘的矩阵表示用i e 、j e 和k e 分别表示直角坐标系x 、y 和z 轴的单位向量，则可知有如下关系成立i j ijk k ke e e ε⨯=∑ (3)因此()()()()i i j j i j i j ijiji j ijk k ijk i j kijkijky z z y x z x x z y x y y x zA B Ae B e A B e e A B e A B e A B A B e A B A B e A B A B e εε⨯=⨯=⨯===-+-+-∑∑∑∑∑∑即有xy z xy zij kA B A A A B B B ⨯= (4) 2.2 三个矢量间的混合积和双重矢量积利用标量积和矢量积的定义，可以证明两个很有用的公式： 三个矢量的混合积()()()A B C B C A C A B ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯ (5)双重矢量积()()()A B C B A C C A B ⨯⨯=⋅-⋅⋅ (6)上述两公式的证明如下： 混合积公式的证明()()ij k ijk j k i ijk j k i ijk i j k ij k ijkijkijkijkA A A ABC A B C e B C A e A B C B B B C C C εεε⋅⨯=⋅=⋅==∑∑∑ 由行列式可以看出混合积对A 、B 和C 具有轮换对称性，即有：()()()A B C C A B B C A ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯ (7)双重矢量积公式的证明()()()()()()()()j j mnk m n k j mnk mnk m n j j k j mnkmnk m n j jki i mnk m n j ijk i ij mnkij mnkmnk ijk m n j i im jn in jm m n j iij mnkijmni j j j i j i i ijA B C A e B C e B C A e e B C A e B C A e B C A e B C A e B C A B C A e B A C εεεεεεεεδδδδ⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯====-=-=⋅∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑()()()i iiC A B e B A C C A B ⎡⎤-⋅⎣⎦=⋅-⋅∑即有：()()()A B C B A C C A B ⨯⨯=⋅-⋅ (8)上式证明中用到了勒维-齐维塔记号的性质(2)式。

K电械场能童守恒定律的推导应用麦克斯韦方程组vp = p- dBdtV ^ = 0VxH = J + ^dt和洛仑兹力公式f = pE + P^^B及/=丙，结合公式V(ExH) = (Vx£)H-(VxH)-E可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为/ ・ 0 = (pE + /?vx5)-v = pv ・ E-一 _ -=J・E = (VxH-——)Edt_ _ 60 -= (TxH)・E ——— E dt=[-V.(E X//)+(V X E)-H]--^.E=-N ——& dtS = ExHdw dD - dB -—=—• E H --------- Hdt dt dt那么给出电磁场能量守恒定律的微分形式为对应的积分形式为dw dD讐方给出对于各向同性线性介质，"迅B = pH ,由&一 & 能量密度为w = -(E D + H ・P)2而S = ExH为能流密度矢量，或称为坡印亭(Poynting)矢量。

************************************************练习：将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧，试山两个高斯定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。

2.铮电势0满足湎松方程的推导对于各向同生线性介质，将E = -代入▽•D = Q得V - (sE) =^E E+^E=-V S V(p-^-(p = p t 即V2^? + —V^-V^ = -p Is£ '此即为静电势0满足的泊松(poisson)方程，其中血为自由电荷体密度。

注释：当厂£ = 0,或£时，均有▽「▽© = 0, 0仍满足泊松方程。

3.欝电场能童公式的推导在线性介质中，电场总能量为W=L(EDdV2i对于静电场，利用给出E ・ Z) = 一▽ © ・0 = -[V ・(Q)一©▽・b\ = -V ・(沥)+ p(p所以{E DdV = -[ V.(^5)JV+f pcpclV = -f 泌広+f pcpdVJx Joe Joe Joe Joe,{ <pb • ds =0 乂Jx注释: 2(1)电场能量分布于空间电场中。

永磁同步电机矢量控制原理公式。

永磁同步电机矢量控制是一种高级的控制技术，用于精确控制电机的转速和转矩。

其原理公式可以分为两个部分，电动势方程和电磁转矩方程。

首先，电动势方程描述了永磁同步电机的电动势与电流和转子位置之间的关系。

其一般形式如下：
e = kω + kᵢi.
其中，e表示电动势，k是电动势常数，ω表示转子角速度，kᵢ是电流常数，i表示电流。

其次，电磁转矩方程描述了电磁转矩与电流和转子位置之间的关系。

其一般形式如下：
Tᵢ = kᵢiᵢq.
其中，Tᵢ表示电磁转矩，kᵢ是转矩常数，iᵢq表示电流的q轴分量。

在矢量控制中，需要使用Park变换和Clarke变换将三相电流
转换为dq轴分量，然后根据电动势方程和电磁转矩方程来控制dq
轴电流，从而实现对电机的精确控制。

总的来说，永磁同步电机矢量控制的原理公式涉及电动势方程、电磁转矩方程以及Park变换和Clarke变换的数学表达，这些公式
和变换关系构成了永磁同步电机矢量控制的基本原理。

通过对这些
公式的理解和运用，可以实现对永磁同步电机的高性能控制。