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例谈整体与结构化数学思维活动经验的积累作者：姚蕊来源：《教育研究与评论（小学教育教学）》2020年第05期摘要：数学教学要突破课时的限制，引导学生从整体与结构化的角度思考把握数学内容的本质与关联，帮助学生积累整体与结构化的思维活动经验，发展相应的思维能力。
具体地，可以从思想方法、学习策略和基本知识等角度入手，引导学生超越课时内容，经历对单元、板块甚至领域、学科内容的整体和结构化思考。
关键词：数学思维活动经验整体与结构化思想方法学习策略基本知识数学知识具有整体的结构性，表现为内在的统一性和丰富的联系性。
但是，细化到课时的数学教学，容易过分聚焦局部的知识点，而忽视整体的知识结构。
“智慧不是别的，而是组织得好的知识体系。
”因此，数学教学要注意突破课时的限制，引导学生从整体与结构化的角度、思考把握数学内容的本质与关联，帮助学生积累整体与结构化的思维活动经验，发展相应的思维能力，从而使得数学学习化繁为简、化难为易。
具体地，可以从思想方法、学习策略和基本知识等角度入手，引导学生超越课时内容，经历对单元、板块甚至领域、學科内容的整体与结构化思考。
一、渗透思想方法思想方法是对数学探索的理性提炼，是对数学内容的本质认识。
在数学教学中，适时渗透数学思想方法，利用思想方法引领、带动数学内容的学习，串联、梳理形成知识结构，可以促进学生对数学内容的整体与结构化思考。
例如，苏教版小学数学五年级上册《多边形的面积》单元，内容涉及平行四边形、三角形、梯形以及组合图形的面积计算。
这些内容的学习均需以转化思想为指导，借助割补、剪拼等方法把未知转化为已知，然后通过推理获得结论。
所以，引导学生紧扣转化思想这一主线，在思想的感悟、生长和深化中系统建构单元知识，对于学生整体把握图形之间的联系，积累整体与结构化的思维活动经验大有裨益。
首先是对思想方法的感悟：从平行四边形的面积计算开始，通过把平行四边形割补转化成长方形，完成对平行四边形面积公式的推导，感悟转化的方法。
分数意义教学的整体设计——“整体把握”理念下的系列活动设计孙京红;张丹;李红云【摘要】一位数学家在一次数学课改研讨会上指出：数学课程要“削枝强干，返璞归真，突出本质”。
要做到这一点，就需要整体把握小学数学课程。
北京教育学院教授、北师大版小学《数学》教材主编张丹在多年实践研究的基础上提出了“整体把握小学数学课程”的观点，并带领她的研究团队从分数教学入手，进行了深入细致的课堂教学设计研究。
【期刊名称】《小学教学：数学版》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】4页(P11-14)【关键词】分数教学;活动设计;意义教学;数学课程;北京教育学院;《数学》教材;课堂教学设计;返璞归真【作者】孙京红;张丹;李红云【作者单位】【正文语种】中文【中图分类】G623.5编者按：一位数学家在一次数学课改研讨会上指出：数学课程要“削枝强干，返璞归真，突出本质”。
要做到这一点，就需要整体把握小学数学课程。
北京教育学院教授、北师大版小学《数学》教材主编张丹在多年实践研究的基础上提出了“整体把握小学数学课程”的观点，并带领她的研究团队从分数教学入手，进行了深入细致的课堂教学设计研究。
本研究是北京市中小学名师发展工程项目“基于小学生解决分数实际问题思维过程的教学实验研究”的初步成果（指导教师是张丹教授和北京市朝阳区教育研究中心的高萍老师），也是北京市市级学科带头人与骨干教师培训“整体把握小学数学课程工作室”成果的延续。
下面的这组文章是此研究成果的具体体现。
随着对小学数学课程改革和课堂教学实践的深入探讨，需要“整体把握（小学数学课程）”的想法越来越强烈。
最为直接的理由是教学实践中确实存在着仅靠“单节课”解决不了的问题。
比如：教育价值的实现、学生对于重要概念的理解往往需要时间，学生思考的多种可能性带来的课时紧张，单纯强调一种学习方式的不合理性……同时，作为一个区域的骨干教师，需要就一些基本问题展开群体研究，取得比较系统的、对于实践有重要价值的研究成果。
浅谈小学数学计算能力的培养发表时间：2020-12-03T03:35:51.605Z 来源：《教育学文摘》2020年12月总第356期作者：张进瑶[导读] 作为小学教师的我们更有责任引他们“进门”教会他们“技能”再送他们进入数学的“王国”。
四川省成都市新津区实验小学611430摘要：小学数学课标中明确规定要注重发展学生的计算能力。
计算能力的培养是贯穿整个小学阶段的。
计算能力的培养不能只单纯的叫学生计算，既要教给他们方法还要一步一步地引导他们独立正确的计算和验算，以保证计算的准确性。
这样的方法要保证班上学习最困难的孩子都能掌握的方法。
关键词：小学数学计算题教学教学方法北京教育学院张丹老师在《以数的运算为例谈整体把握小学数学课程》中提出学生计算的学习可以细分为三个步骤：1.计算方法的探索及算理的理解。
2.计算方法的形式与内化。
3.计算方法的掌握。
简单概括就是“理解算理，形成方法，掌握技能”。
落实到最后还是要掌握技能，也就是熟练的掌握计算的方法。
很多时候计算的重要性往往被家长和孩子所忽视。
当他们拿到做错的计算题时总是说：“这道题本身是会做的，太粗心把它做错了。
”然后拿起笔改正后以为就没事了，下次考试仍然出错。
他们认为计算题很简单，好像理所当然就会。
其实这就是典型计算能力差的表现，也就是计算能力没过关，将会是以后数学学习道路上的一只“拦路虎”。
会让学生失去对学习数学的兴趣。
计算能力的培养是一个长期的训练过程。
最开始就像学走路一样需要有人扶着走，会了以后再慢慢自己走。
最后熟练了以后才会内化为自己的东西，从而形成技能。
老师就是那个扶着走的人，不仅要教会方法，还要陪伴强化训练，最后还要精神上予以鼓励。
一、我们应该教给孩子计算的具体方法1.在一年级的上期教学中，学生要掌握20以内的加减法。
这一阶段特别重要。
在教材上呈现了各种计算的方法，如加法有“凑十法”，“一个一个”的加……等。
减法“平十法”，一个一个的减……等方法。
Educational Practice and Research一、课前思考“探索乘积最大的规律”是冀教版小学数学四年级下册第九单元探索乐园的教学内容，目的是让学生在用不同的数字组数探索怎样组数乘积最大或最小规律的过程中，体会乘法运算中有许多奥秘，发展数感。
研读教材时，重点做了以下几点思考。
问题一：学生的起点在哪里？学习本课之前，学生已经掌握了三位数乘两位数的笔算方法、积的变化规律、乘法的估算、乘法运算定律等知识，并且对于探索规律类的学习内容有一定的数学活动经验。
通过前测调研发现，用5个数字组乘积最大的三位数乘两位数的乘法算式，90%以上的学生没有头绪，思考处于无序的状态。
后来改用4个数字组乘积最大的两位数乘两位数的乘法算式进行前测调研发现，60%左右的学生能想到这两个乘数的首位数字都要尽可能大，但后面的个位数字如何确定仍有困难。
问题二：如何选择研究的载体和素材？教材中的问题是“用2、3、4、5、6五个数字组成一个三位数和两位数。
怎样组数可使两个数的乘积最大？要使两个数的乘积最小，该怎样组数？”通过前测调研发现，如果直接研究五个数字组乘积最大的三位数乘两位数的问题，超出了大部分学生的最近发展区。
基于学生的认知基础对教材进行教学法的加工，可以先退到研究四个数字或三个数字组乘积最大乘法算式———“探索乘积最大的规律”的教学实践与思考杨磊（沧州市路华小学，河北沧州061000）摘要：在数学教学中，问题是教学的出发点，也是驱动学生积极思考、推动课堂教学的有效载体。
《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调通过合理设计探究问题促进数学教学活动的开展。
教师在教学中重视在学生的认知起点和最近发展区设计有思维含量、有层次、有梯度的问题链，促进学生思维从无序向有序提升，从点状水平向结构化水平提升，从而促进学生深度思考和深度学习，探寻学科本质，感悟数学思想方法，积累数学活动经验。
关键词：小学数学；问题驱动；变中求本；积累经验中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：1009-010X（2023）28-0016-05162023年第28期/A（10）的问题寻找规律，再研究五个数字的问题，会更顺应四年级小学生的认知特点。
智策教法例谈《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在“教学建议”中指出，“数与运算”主题的教学要让学生在理解整数、分数、小数意义的同时，理解整数、分数、小数基于计数单位表达的一致性。
因此，教师要整体把握“数与运算”的教学内容，深入思考数的概念本质、数的运算的本质以及数与运算之间的关联，注重教学内容的结构化，以计数单位为核心，围绕一致性开展教学。
一、“数的运算”中的一致性内容分析新课标指出，“数与运算”主题包括整数、小数和分数的认识及其四则运算，其教学要让学生“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识”。
可见，“数的运算”与“数的认识”是本主题下的两个相互关联、密不可分的部分，讨论一致性视角下的“数的运算”教学，首先要区分清楚数的概念的一致性与数的运算的一致性分别包含哪些内容。
一致性视角下的“数的认识”，即数的概念的一致性要体现在计数单位的教学中。
教学时，要让学生在理解整数、分数、小数意义的同时，从计数单位的角度理解所学的数，明确读数时，读的是这个数的计数单位及其个数；比较数的大小时，比较的是这两个数的计数单位及其个数。
而对“数的运算”的一致性内容的讨论，必须建立在数的概念的一致性的基础之上。
因为，所有初等运算都是数的运算，最终都追溯到数的意义，其本质都是对计数单位的操作。
从运算意义的角度而言，所有运算都可以还原成加法，加法是所有运算的基础与核心，减法是加法的逆运算，乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算。
从算理的角度而言，其一致性体现在算理的推演既基于计数单位，也基于运算律、等式的基本性质，分配律、交换律、结合律与等式的基本性质是所有算理的基础。
从算法的角度而言，所有运算都可以还原成计数单位与计数单位运算、计数单位的个数与计数单位的个数运算。
例如，乘法运算的本质是计数单位的不断累加，除法运算的本质是计数单位或其个数的不断细分。
抓大放小，实现师生共成长——读《小学数学教学策略》有感上学期，我们学校有幸参加了教育学院校本课例研究，作为基地校之一，我们在张丹老师的带领下，从校本研究六部曲中渐渐前行，结合学校的校本教研课题，我们四年级组进行了《小数减法》教学实践活动，通过张丹教授的指导，不断将我们的研究引向深入。
我们组的研究专题是在学校确定的教研课题下，通过深入分析教材的基础上产生的——有效融合算理和算法。
之前，学校给每个老师一本张丹老师的著作——《小学数学教学策略》，这为我们更好地理解张丹老师的教育教学思想，更好地把握自己的课堂提供了实用性较强的“抓手”。
一读后，我对前两章的印象较深：抓大放小，实现师生共成长。
即：整体把握课堂，注重联系，教师提供给学生足够的思考探究的空间，努力实现教学相长。
具体如下：一、削枝强干，返璞归真，突出本质。
以上是某数学家的观点。
张丹老师认为，整体把握小学数学课程包括这样四个要素：数学课程目标、数学课程内容、学生的数学学习、数学学习活动的系列设计及教学策略。
通过几次张老师的面授讲座，我都感受到了教学目标的重要性，也就是我们要引导学生“到哪里去”的问题。
目标不清，过程再精彩，都貌似无本之水，无根之木。
数学课程的目标是通过数学学习促使人的全面发展，即数学课程应当体现整体性的教育目标。
在这一根本目标下，单元目标，具体的课时目标都不能离开基础知识和基本技能、基本活动经验、基本思想、发现和提出问题、分析和解决问题以及情感态度价值观等设计。
也就是四基的重要性。
反思自己的课堂，对基本活动经验、发现和提出问题分析问题关注不够，这也是今后需要改进的地方。
二、培养学生独立思考的能力是创新教育的核心。
张丹老师在本书的第一章提出的教学实施的基本策略的第二点就明确指出——激发学生思考：激发学生的思考兴趣，营造思考的环境，有效提问和举例都是教师应该具备的有效激发学生思考的策略。
书中有效问题的认识较深：是那些学生能够积极回答而且积极参与学习过程的问题。
从2020年开始，为了实现素养导向、能力立意的“教—学—评”一致性课堂教学改革，引导一线教学从碎片化走向整体化，加强知识关联与衔接，让学生在深度学习中提高课堂教学质量，我们太原市开启了大单元整体备课的本土化实践。
课改多年，在我们的思维中，对教学方式的选择过度重视，而对教学内容的理解关注不够。
有些老师甚至认为只要课堂放得够开，对学生的主体地位足够尊重，无论讲什么，都是一堂好课。
当老师对“教什么”理解不深的时候，“怎么教”就会受到很大制约。
我相信，以知识与技能为载体到底要教什么的立意越深远，学生的获益就越大。
2022年版课标颁布后，核心素养作为数学课程的统领性目标，明确强化了育人导向，要想让学生整体性思考、结构化学习，教师就先要成为这样的人。
下面以苏教版教材三年级上册“两、三位数乘一位数”拓展课为例展开具体说明。
一、课前思考1.相关的教学事实。
郑毓信教授在《如何很好地发挥数学教育的文化价值》一文中讲述了我国台湾地区一位小学教师的真实困惑——“女儿为什么变笨了”。
大致情况是：这位教师带着儿女去吃每人199元的比萨，然后问他们一共要付多少元。
小学三年级的儿子口算有困难，向妈妈要纸和笔记录“进位”的过程，幼稚园大班的女儿却借助数数很快得出了结果——“199接着就是200，三个人一共要给600元，柜台阿姨应该再找3元给我们”；可是两年后，三人去吃每人380元的“沙拉吧”，再次计算总价时，两人同时提出需要纸和笔的要求，女儿明确表示没有纸和笔就算不出来。
在一线听课和调研的过程中，我发现类似的情况在我们学生身上也司空见惯，尤其是在学习了笔算乘法并进行大量训练之后就更为明显。
有一年太原市提供的四年级期末测评中有这样一道题：实验小学用水缸收集雨水，用来浇花、浇树和打扫卫生。
一场大雨后，学校共收集到雨水5000多升。
大扫除时，平均每个教室用水102升，这些雨水够36个教室使用吗？解决这个问题，借助口算、估算就可以，102×36=100×36+2×36，或者102×36=102×6+102×30，无论怎么算，得数都只有3000多，连4000都不到，学校收集的雨水绝对够用。
文|徐丹红徐晓良细研《数学课程标准（2011年版）》，我们发现从计算能力到运算能力，不只是换了名称，而是从核心素养的高度进行了重新定位，内涵和外延都发生了变化：运算能力不等同于“计算能力”，不再是单纯的“能计算”“会计算”。
运算能力是一种综合能力的体现，是运算技能与逻辑思维能力等的一种独特的结合。
其主要的表现是：正确运算、理解算理、方法合理。
也就是说能正确计算只是运算能力培养的基础，同时要理解计算过程中方法后面隐含的算理，最终达到能灵活选择计算策略解决问题的目的，所以运算能力也是一种高阶能力。
一、以测观能：学生运算能力现状分析通过对四年级学生运算能力的测试，发现学生单项计算类题型正确率较高，基本算法和算理掌握得较好。
但当计算与其他知识融合进行综合考查时，正确率就明显下降。
问题主要集中在以下几个方面：一是数据敏感程度较低：只计算不观察，无数据分析意识。
二是算理深度理解不够：知技能不明理，无深度理解能力。
三是算法灵活选择缺乏：无要求不选择，无策略选择习惯。
四是运算综合能力薄弱：单计算不相联，无沟通运用思维。
二、以生思行：教师运算教学问题思考1.计算教学“独立化”，不利于学生理解能力和选择能力的培养。
无论是整数、小数还是分数的运算教学，教材均将其清晰地分为口算、估算、笔算、简算进行独立编排，以便让学生清晰地掌握每一板块的知识。
但教材的独立编排并不意味着教学也是独立的，特别是面对学生单一能力强、综合能力弱的情况，教师更应做到知识间的融通。
2.难度设置“小步化”，不利于学生迁移能力和推理能力的形成。
通过课堂我们发现：运算教学中教师将知识点分解太细，难度设置太小步化。
这样于一节课的教学而言，容易出现思维的断层，学生难以形成整体性思考；于单元教学内容而言，分割细、课时多，容易形成枯燥、乏味、课与课之间缺乏沟通和联系的情况，使得学生迁移、推理能力的形成难度较高。
3.教学目标“单一化”，不利于学生观察能力和分析能力的养成。
张丹：再谈“整体把握”数的计算教学我国数学课程一直将数的运算作为小学数学的主要内容，重视培养学生的运算能力，并且取得了很多优秀的成绩和宝贵的经验。
但长期以来，一些人对运算能力的理解并不全面，将其仅仅等同于运算技能（即算得又对又快），并且由于考试等原因对运算难度和速度的要求越来越高。
在信息技术如此发达的今天，是否还需要学生计算那样难的题目，并且算得那样快？当然，基本的运算技能是必需的，但“基本”的标准是什么？学生是否应将精力放在其他有价值的内容上？还有哪些有价值的内容？实际上，数的运算和运用运算解决问题是具有天然联系的，因此《义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）将其整合在一起。
于是，数的运算就包括如下几条主线：第一，数的运算的意义及四则运算之间的关系；第二，获得运算的结果（包括估算、精确计算）；第三，运算律及运算性质；第四，运用运算解决实际问题。
限于文章篇幅，本文将集中阐述“获得运算的结果”中有关精确计算的内容。
进一步，我和我的团队认为，精确计算的学习又可以细分为四条线索：第一，计算方法的探索及算理的理解；第二，计算法则的形成与内化；第三，计算法则的熟练；第四，使用计算器进行计算。
本文将集中于前三条线索。
一、计算方法的探索及算理的理解曾经有一些教师有这样的想法，对于计算教学，只要让学生把法则背诵下来，反复练习就可以达到又对又快，似乎没有必要花时间去讨论这些法则背后的道理（即算理）。
那么，算理是否重要？什么是算理？学生想法中所呈现的算理又是什么呢？我们在教材和教学中如何帮助学生理解算理呢？1.重视算理的教学。
这里首先需要明确的是算理、法则的内涵以及二者的关系。
算理是四则运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的；运算法则是四则运算的基本程序和方法。
运算是基于法则进行的，而法则又要满足一定的道理。
所以，算理为法则提供了理论依据，法则又使算理可操作化。
由此不难看出，教学中既要重视法则的教学，还要使学生理解法则背后的道理。
不仅要让学生知道该怎么计算，而且还应该让学生明白为什么要这样计算，使学生不仅知其然，而且还知其所以然，在理解算理的基础上掌握运算法则。
为了进一步说明重视算理教学的重要性，这里不妨举一个例子。
我们在 2009 年对三年级学生的一次测试中设计了如下两道题目：题目 1：计算42×25。
（目的是考查三年级学生是否掌握了两位数乘两位数的法则）题目 2：如图 1，在34 ×12 的竖式中，箭头所指的这一步表示的是（）。
A． 10 个 34 的和 B． 12 个 34 的和C． 1 个 34 的和 D． 2 个 34 的和（本题考查的是三年级学生是否理解两位数乘两位数竖式中每一步的含义）设计题目 2 是源于笔者与学生的一次谈话。
在笔者与一名三年级学生讨论如何计算两位数乘两位数的题目时，他很快利用竖式给出正确结果。
笔者进一步追问竖式的“第二层”（即题目中箭头所指的这一步）是怎么得到的，他快速地回答道：“是老师告诉的，用 1 乘 34，乘完向左移一位，我也不知道为什么。
”这次简短的谈话引起了笔者的深思：到底有多少学生真正理解了法则，而不仅仅是机械套用？在 2009 年所作的全国常模抽样测试中随机抽取了1664 份样本，学生在题目 1 和题目 2 上的得分率分别是70.10%和 43.09% ，二者有显著性差异。
与题目 1 相比，题目 2 的得分率低可能是由于学生对这类题目不熟悉，但不得不说确实有不少学生并不真正理解法则的意义，特别是本题错误地选择选项 C 的人数最多更加说明了这一点。
因为在实际教学中，或者不少教师不重视学生探索如何计算的过程，或者当学生刚刚探索出方法后，老师立即就引导学生学习竖式，在对竖式还未真正内化的情况下，教师又开始引导学生学习“简化”的竖式（即箭头所指的那一步，要把340 末尾的 0 写成虚的，意思是可以省略不写，最后再把 0 省略掉）。
这样仓促地同时完成几个内容的教学，就可能造成学生因为没有真正理解竖式每一步的道理而只好记住法则了。
再加上，教师又没有在后面的练习中注意促进学生在记忆基础上再次理解，学生产生“老师让我们这么做就这么做”的想法就不足为奇了。
所以，在教学中教师应在学生探索算法的基础上，切实引导学生将法则进行内化，重视运算道理的教学。
同时也建议在教材和教学中无须强调“虚0”，更不必去掉竖式“第二层”末尾的 0。
2.了解学生想法中所蕴涵的道理。
在教学中我们要鼓励学生自己探索如何进行运算，并且尝试说明自己这样算的道理，在这些学生的想法中往往蕴涵着算理。
为此，我们不妨来看一个课堂教学片段[1]：【案例】关于“0.3×0.2”的讨论。
课上通过一个问题情境“长 0.3 米、宽 0.2 米的长方形花坛的面积是多少”，引出了“0.3×0.2=？”。
首先，学生进行了猜想。
一部分学生认为是 0.6 ，另一部分学生认为是 0.06，产生了分歧。
教师给学生充分思考探索运算结果的空间，交流时学生发言踊跃。
生 1：（用画图表示0.3×0.2=0.06，如图 2）我是这样想的，宽是 0.2 米，不到 1 米，所以结果不会是 0.3（平方米）。
我用百格图，这里的 0.3 米表示花坛的长，0.2 米表示花坛的宽，表示面积的这些方格是 6 个，是 6 个 0.01 ，占百格图的百分之六，所以 0.3 乘 0.2 的结果是 0.06。
生 2 ：我还有一种方法。
把 0.2 看成 2，把 0.3 看成 3 ，2 乘 3 得 6。
因为我刚才扩大了 100 倍，所以现在要缩小为它的百分之一，得 0.06 。
生 3：我没有那么麻烦，不用把两个数都扩大，我只把 0.2 扩大 10 倍，2 乘 0.3 得 0.6 ，再把 0.6 缩小到原来的十分之一，就是 0.06。
生 4：我用竖式。
02 与 3 相乘得 06，任何数和 0 相乘都得 0，所以 02 和 0 相乘得 00，加起来就是 0.06。
（生 4 边说边写出了下面的竖式）生 4 的方法得到同学们热烈的掌声。
随即有同学问：“为什么不把小数点加在 0 和 6 之间呢？”生 5：我们学过两位数乘两位数了，我看成是 03 乘02，得数应当是 006。
小数点点在哪儿呢？我认为不会是00.6，如果小数点前有两个 0，前边的 0 就没有意义了，小数点前只能是一个 0，所以是 0.06。
生 6：0.3 乘 0.2 就是把 0.3 平均分成 10 份，取其中的两份。
0.3 的十分之一是 0.03，也就是一份是 0.03，两份就是 0.06。
生 7：0.2 不到 1，如果是 1 乘 0.3，得 0.3，而 0.2 比 1小，所以应当是比 0.3 还小。
仔细分析学生这么多的方法，不难发现其中的不少方法蕴涵着朴素的道理。
比如生 2 和生 3 的方法都是运用积的变化规律将小数乘小数转化为以前学过的内容（整数乘整数或整数乘小数）；生 6 的方法则运用了小数的意义和分数的意义，也得到了结果；生 1 的方法看起来有点“ 麻烦”耽误不少时间，但这个方法借助“ 百格图”，直观地呈现了乘法的意义，即先得到6 个小格（实际上就是算3×2），再分析每个小格是 0.01 （实际上就是算0.1×0.1），6 个小格就是 0.06。
这就启发我们思考算法多样化的一个重要价值。
实际上算法多样化不仅可以鼓励学生个性化、主动地学习，同时，学生在自主探索运算方法的过程中，将运用已有的概念、定律、法则等尝试解决新问题，这就是一个寻找“合乎道理”的运算方法的过程。
这些多样化的运算方法往往蕴涵着学生心目中的“算理”，并且呈现形式是多样的（如数的、图的），解释的途径也不尽相同（如生 2 和生 6 的方法），对这些方法的比较和交流无疑为学生理解算理奠定了基础。
在此基础上教师再加以总结归纳，学生对于算理的理解就会加深了。
以上，虽然针对的是小数乘法的一个案例，但为教师教学提供了共通的策略。
第一，重视学生自主探索计算方法的过程，因为这种探索往往体现了学生对于算理的初步理解。
在此基础上，教师组织学生对各种方法进行比较，凸显其中蕴涵的算理。
第二，作为教师，要梳理小学阶段各种运算的算理，特别是梳理学生常见的方法背后是否蕴涵着算理，这样就能从容地面对学生的多种方法。
第三，要鼓励学生运用自己的语言有条理地表达自己的思考，即数的运算也是讲道理的，不是按照程序机械运行。
实际上，上面几位学生在阐述自己的方法时，都在进行着推理，都在有条理地进行表达。
3.通过多种方式帮助学生理解算理。
为了帮助学生更好地理解算理，教师要善于选择多种方式。
常用的理解算理的方式有实物原型、直观模型、已有知识等。
其中实物原型指的是具有一定结构的实物材料，如元、角、分等人民币，千米、米、分米等测量单位；而直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料，如小棒、计数器、长方形或圆形图、数直线。
为了更好地帮助大家理解，不妨举两个教材中的例子。
如图 3，在小数除以整数的运算中，法则的关键一步是“商的小数点要和被除数的小数点对齐”。
为了帮助学生理解这样做的道理，人教版教材首先运用了测量单位的原型帮助学生理解，然后又联系小数的意义和表示方法，帮助学生理解关键的一步“24 个十分之一，除以 4 后结果为 6 个十分之一，所以结果为0.6”。
如图 4，在分数乘分数的运算中，北师大版教材运用了长方形模型帮助学生理解：实际上是将“1”平均分成了 16 份，取了其中的 3 份，从而是“分母乘分母、分子乘分子”。
关于直观模型的重要性，详见另文《例谈直观模型在计算教学中的作用》。
