分段函数的几种常见题型和解法

微专题20 分段函数问题【题型归纳目录】 题型一：函数三要素的应用 题型二：函数性质与零点的应用 题型三：分段函数的复合题型四：特殊分段函数的表示与应用 【典型例题】题型一：函数三要素的应用例1．已知函数223,0()2,0x x x f x x x x ⎧+=⎨-<⎩，若f （a ）()2f a f --（1），则a 的取值范围是( )A ．[0，8]B ．[8，)+∞C ．(-∞，8]D ．[8-，8]【解析】解：f （1）4=，f ∴（a ）()8f a --，当0a =时，满足条件；0a >时，223[()2]6a a a a +--+-，整理得：8a ， (0a ∴∈，8]0a <时，222[()3]8a a a a ----，整理得：8a ， (,0)a ∴∈-∞综上可得：(a ∈-∞，8] 故选：C ．例2．已知函数22,0(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩，若()f a f -+（a ）2f （1），则a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1][1，)+∞ B ．[0，1] C ．[1-，0] D ．[1-，1]【解析】解：22,0(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩， ()f x ∴为偶函数，()f a f -+（a ）2f （1）， 2f ∴（a ）2f （1）， f ∴（a ）f （1），当0x 时，函数()f x 为增函数， ||1a ∴，11a ∴-，故选：D ．例3．设函数22,0,(),0.x x x f x x x ⎧+<=⎨-⎩若(f f （a ）)2，则实数a 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．(-∞2]D ．(2)+∞【解析】解：()y f x =的图象如图所示，(f f （a ）)2，f ∴（a ）2-，由函数图象可知2a ．故选：C ．变式1．当函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩取得最小值时，(x = ) A 6B ．26C 66 D ．266【解析】解：当1x 时，2()0f x x =； 当1x >时，66()626266f x x x x x=+--=， 当且仅当6x x=，即6x 时等号成立． 2660<，∴函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩取得最小值为266， 对应的x 6． 故选：A ．变式2．已知函数()1f x x =-+，0x <，()1f x x =-0x ，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集( )A ．{|21}x x-B ．{|12}x x +C ．{|12}x x <+D ．{|12}x x >【解析】解：当10x +<即1x <-时，不等式(1)(1)1x x f x +++同解于 (1)[(1)1]1x x x ++-++即21x -此时1x <-当10x +即1x -时，不等式(1)(1)1x x f x +++同解于 2210x x +-解得1221x --此时121x--总之，不等式的解集为{|21}x x -故选：A ．变式3．已知23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩为奇函数，则((1))f g -= ．【解析】解：根据题意，23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩为奇函数，则(1)(1)g f f -=-=-（1）(13)2=--=， 则((1))f g f -=（2）431=-=-， 故答案为：1．变式4．若函数3,0()(3),0log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩，2()g x x =，则f （9）= ，[g f （3）]= ，1[()]9f f = ．【解析】解：3,0()(3),0log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩，2()g x x =，f ∴（9）3log 92==，[g f （3）3](log 3)g g ==（1）211==， 311[()](log )(2)99f f f f f ==-=（1）3log 10==．故答案为：2；1；0变式5．已知函数10()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是 ． 【解析】解：由题意22&,1(1)(1)2&,1x x x x f x x x x ⎧-<-+++=⎨+-⎩当0x <时，有21x -恒成立，故得0x < 当0x 时，221x x +，解得2121x-，故得021x-综上得不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是(21]-∞- 故答案为(-∞21]．变式6．设2,||1(),||1x x f x x x ⎧=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0，)+∞，则()g x 的值域是 ．【解析】解：在坐标系中作出函数()21111x x x f x x x ⎧-=⎨-<<⎩或的图象，观察图象可知，当纵坐标在[0，)+∞上时，横坐标在(-∞，1][0-，)+∞上变化， ()f x 的值域是(1,)-+∞，而(())f g x 的值域是[0，)+∞， ()g x 是二次函数()g x ∴的值域是[0，)+∞．故答案为：[0，)+∞． 题型二：函数性质与零点的应用例4．已知函数7(13)10,7(),7x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是()A ．11(,)32B ．1(3，6]11C ．12[,)23D ．16(,]211【解析】解：若()f x 是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数， 则满足77011307(13)101a a a a a -<<⎧⎪-<⎨⎪-+=⎩，即0113611a a a ⎧⎪<<⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩，即16311a <，故选：B ．例5．已知函数6(13)10,6(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是() A ．15(,)38B ．15(,]38C ．1(,1)3D ．16(,]311【解析】解：函数6(13)10,6(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩，()f x 是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则满足13001681a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-⎩，解得1538a <，故选：B ．例6．函数21,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+=⎨-<⎩在R 上单调，则a 的取值范围为( ) A ．(1,)+∞ B ．(1，2] C ．(,2)-∞ D ．(,0)-∞【解析】解：()f x 在R 上单调； ①若()f x 在R 上单调递增，则： 200101(1)a a a a e >⎧⎪>⎨⎪+-⎩； 12a ∴<；②若()f x 在R 上单调递减，则： 01a a <⎧⎨>⎩； a ∴∈∅；a ∴的取值范围为(1，2]．故选：B ．变式7．已知221,0()(1),0x x x f x f x x ⎧--+<=⎨-⎩，则()y f x x =-的零点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】解：当0x 时，()(1)f x f x =-，()f x ∴在0x 的图象相当于在[1-，0)的图象重复出现是周期函数， [1x ∈-，0)时，22()21(1)2f x x x x =--+=-++对称轴为1x =-，顶点坐标为(1,2)-． 画出函数()y f x =与y x =的图象如图：则()y f x x =-的零点有2个． 故选：B ．变式8．已知定义在R +上的函数33103()13949log x x f x log x x x x ⎧-<⎪=-<⎨⎪>⎩，设a ，b ，c 为三个互不相同的实数，满足，f（a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围为 ． 【解析】解：作出()f x 的图象如图： 当9x >时，由()40f x x ==，得16x =， 若a ，b ，c 互不相等，不妨设a b c <<， 因为f （a ）f =（b ）f =（c ），所以由图象可知039a b <<<<，916c <<， 由f （a ）f =（b ），得331log log 1a b -=-， 即33log log 2a b +=，即3log ()2ab =， 则9ab =，所以9abc c =， 因为916c <<， 所以819144c <<， 即81144abc <<，所以abc 的取值范围是(81,144)． 故答案为：(81,144)．变式9．已知函数3||,03()13,3log x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩，设a ，b ，c 是三个互不相同的实数，满足f （a ）f =（b ）f=（c ），则abc 的取值范围为 ．【解析】解：作出函数3||,03()13,3log x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩的图象如图，不妨设a b c <<，则3423c <<+由f （a ）f =（b ），得33|log ||log |a b =，即33log log a b -=， 3log ()0ab ∴=，则1ab =，abc ∴的取值范围为(3,423)+．故答案为：(3,423)+．变式10．已知()f x 在R 上是奇函数，且当0x <时，2()f x x x =+，求函数()f x 的解析式． 【解析】解：当0x >时，0x -<， 0x <时，2()f x x x =+，22()()()f x x x x x ∴-=-+-=-， 又()f x 为奇函数，22()()()f x f x x x x x ∴=--=--=-+，∴当0x >时，2()f x x x =-+，又(0)0f =符合上式，综上得，22,0(),0x x x f x x x x ⎧-<=⎨-+⎩．变式11．已知函数()(0)h x x ≠为偶函数，且当0x >时，2,04()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩，若()h t h >（2），求实数t 的取值范围．【解析】解：函数()(0)h x x ≠为偶函数，且当0x >时，2,04()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩，当4x >时，()42h x x =-递减，且()4h x <-，当04x <时，2()4x h x =-递减，且()[4h x ∈-，0)，且0x >，()h x 连续，且为减函数， ()h t h >（2），可得(||)h t h >（2）， 即为||2t <，且0t ≠， 解得22t -<<，且0t ≠，则t 的取值范围是(2-，0)(0⋃，2)． 题型三：分段函数的复合例7．设函数,0(),0x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩，若对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x ma m a =+，则正实数m 的最小值是( ) A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】解：由已知条件知：2220ma m a +>，∴若0x ，则()0x f x e =>，(())0x f f x lne x ∴==，∴这种情况不存在，若01x <，则()0f x lnx =，(())1lnx f f x e x ∴==，1x >时，()0f x lnx =>，(())()f f x ln lnx R =∈，∴只有(())1f f x >，即2221ma m a +>时，对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x ma m a =+，(1,)a ∈+∞，221m m ∴+，即2210m m +-，0m >，∴解得12m， ∴正实数m 的最小值是12． 故选：A ．例8．已知函数12,1()2,1x xx f x x x --⎧⎪=⎨⎪<⎩，2()2g x x x =-，若关于x 的方程[()]f g x k =有四个不相等的实根，则实数(k ∈ ) A ．1(2，1)B ．1(4，1)C ．(0,1)D ．(1,1)-【解析】解：对于函数12,1()2,1x xx f x x x --⎧⎪=⎨⎪<⎩，当1x 时，()f x 单调递减且1()1f x -<； 当1x <时，()f x 单调递增且0()1f x <<； 故实数k 一定在区间(0,1)之间， 若2()()g x k g x -=；则可化为22()21g x x x k=-=+； 显然有两个不同的根，若()12g x k -=，则22()21log g x x x k =-=+； 故△2444log 0k =++>； 即14k >； 综上所述，实数1(,1)4k ∈；故选：B ．例9．已知函数1|(1)|,1()21,1x ln x x f x x -->⎧=⎨+⎩，则方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解：设()f x t =，可得 3()2()04f t t -+=，分别作出()y f x =和322y x =+的图象， 可得它们有两个交点，即方程3()2()04f t t -+=有两根，一根为10t =，另一个根为2(1,2)t ∈， 由()0f x =，可得2x =； 由2()f x t =，可得x 有3个解，综上可得方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为4．故选：B ．变式12．（多选题）已知函数21,0()log ,0kx x f x x x +⎧=⎨>⎩下列是关于函数[()]1y f f x =+的零点的判断，其中正确的是( )A ．在(1,0)-内一定有零点B ．在(0,1)内一定有零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【解析】解：令[()]10f f x +=得，[()]1f f x =-，令()t f x =，则()1f t =-， ①当0k >时，作出函数()f x 的草图如下，由图象可知，此时()1f t =-的解满足101t <<，20t <，由1()f x t =可知，此时有两个解，由2()f x t =可知，此时有两个解，共4个解，即[()]1y f f x =+有4个零点； ②当0k <时，作出函数()f x 的草图如下，由图象可知，此时()1f t =-的解满足101t <<，由1()f x t =可知，此时有1个解，共1个解，即[()]1y f f x =+有1个零点； 综上，选项BCD 正确． 故选：BCD ．变式13．（多选题）设函数||,0()(1),0x lnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0B ．13C ．12D ．1【解析】解：函数()()g x f x b =-有三个零点，则函数()()0g x f x b =-=，即()f x b =有三个根， 当0x 时，()(1)x f x e x =+，则()(1)(2)x x x f x e x e e x '=++=+， 由()0f x '<得20x +<，即2x <-，此时()f x 为减函数， 由()0f x '>得20x +>，即20x -<<，此时()f x 为增函数， 即当2x =-时，()f x 取得极小值21(2)f e -=-， 作出()f x 的图象如图： 要使()f x b =有三个根， 则01b <， 故选：BCD ．变式14．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<⎩，下列叙述正确的是()A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，但有12()()f x f x >C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =-E ．对任意实数k ，方程()2f x kx -=都有解 【解析】解：因为该函数为奇函数， 所以，222,(2)2322,(20)()0,(0)22,(02)2,(2)23x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----<⎪⎪==⎨⎪-+<⎪⎪>⎪-⎩，该函数图象如下：对于A ；如图所示直线与该函数图象有7个交点，故A 正确； 对于B ；当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误；对于C ；直线1y =，与函数图象交于(1,1)，5(2，1，)，故当()f x 的最小值为1时，[1a ∈，5]2，故C 正确；对于D ；3()2f x =时，若使得其与()f x m =的所有零点之和为0，则32m =-，或317m =-，故D 错误； 对于E ；当2k =-时，函数()f x 与2y kx =+没有交点．故E 错误． 故选：AC ．变式15．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<⎩，下列叙述正确的是( )A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【解析】解：函数()f x 是奇函数，∴若2x <-，则2x ->，则2()()23f x f x x -==---，则2()23f x x =+，2x <-． 若20x -<，则02x <-，则2()22()f x x x f x -=++=-， 即2()22f x x x =---，20x -<， 当0x =，则(0)0f =． 作出函数()f x 的图象如图：对于A ，联立222y kxy x x =⎧⎨=-+⎩，得2(2)20x k x -++=， △22(2)844k k k =+-=+-，存在1k <，使得△0>，∴存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根，故A 正确；对于B ，当1211x x -<<<时，函数()f x 不是单调函数，则12()()f x f x >不成立，故B 不正确； 对于C ，当52x =时，52()152232f ==⨯-，则当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则[1a ∈，5]2，故C 正确；对于D ，函数()f x 是奇函数，若关于x 的两个方程3()2f x =与()f x m =所有根的和为0， ∴函数3()2f x =的根与()f x m =根关于原点对称， 则32m =-，但0x >时，方程3()2f x =有3个根， 设分别为1x ，2x ，3x ，且12302x x x <<<<， 则有23232x =-，得136x =，即3136x =， 122x x +=，则三个根之和为1325266+=， 若关于x 的两个方程3()2f x =与()f x m =所有根的和为0， 则()f x m =的根为256-，此时25263()2561682()36m f =-==-=-⨯-+，故D 错误， 故选：AC ．变式16．已知函数2,0,()1,0,x k x f x x x -+<⎧=⎨-⎩其中0k ．①若2k =，则()f x 的最小值为 ；②关于x 的函数(())y f f x =有两个不同零点，则实数k 的取值范围是 ． 【解析】解：①若2k =，则22,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，作函数()f x 的图象如下图所示，显然，当0x =时，函数()f x 取得最小值，且最小值为(0)1f =-． ②令()m f x =，显然()0f m =有唯一解1m =，由题意，()1f x =有两个不同的零点，由图观察可知，1k <， 又0k ，则实数k 的取值范围为01k <． 故答案为：1-；[0，1)． 题型四：特殊分段函数的表示与应用例10．对a ，b R ∈，记{max a ，()}()a ab b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数(){|1|f x max x =+，2}()x x R ∈的最小值是( )A 35- B 35+ C 15+D 15-【解析】解：当2|1|x x +，即21x x +或21x x +-， 15152x-+时， (){|1|f x max x ∴=+，2}|1|1x x x =+=+，函数()f x 单调递减，1535()(min f x f --==， 当15x -<(){|1|f x max x =+，22}x x =，函数()f x 单调递减，1535()(min f x f --=， 当15x +2()f x x =，函数()f x 单调递增，1535()(min f x f ++== 综上所述：35()min f x -= 故选：A ．例11．已知符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()()3x f x =，()()()g x f kx f x =-，其中1k >，则下列结果正确的是( )A ．(())()sgn g x sgn x =B ．(())()sgn gx sgn x =-C ．(())(())sgn g x sgn f x =D ．(())(())sgn g x sgn f x =-【解析】解：符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()()3x f x =，11()()()()()33kx x g x f kx f x ∴=-=-，其中1k >，11(())[()()]33kx x sgn g x sgn ∴=-，当0x >时，kx x >，11()()033kx x -<，11(())[()()]133kx x sgn g x sgn =-=-，()1sgn x =；当0x =时，0kx x ==，11()()033kx x -=，(())0sgn g x =，()0sgn x =；当0x <时，kx x <，11()()033kx x ->，11(())[()()]133kx x sgn g x sgn =-=，()1sgn x =-．(())()sgn g x sgn x ∴=-．故选：B ．例12．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x Af x x A ∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊂，下列说法错误的是()A ．若AB ⊆，则()()A B f x f x ，对于任意的x U ∈成立 B ．()()()A B A Bf x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立 C ．()()()A B ABf x f x f x =，对于任意的x U ∈成立D ．若UA B =，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立【解析】解：对于A ，因为A B ⊆，若x A ∈，则x B ∈， 因为1,1,()0,0,A U x Ax A f x x A x A ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∉⎩⎩， 1,()0,B U x Bf x x B∈⎧=⎨∈⎩，而UA 中可能有B 中的元素， 但UB 中不可能有A 中的元素，所以()()A B f x f x ，即对于任意的x U ∈，都有()()A B f x f x 成立， 故选项A 正确； 对于B ，因为1,()0,()ABU x A Bf x x A B ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩， 当某个元素x 在A 中且在B 中， 由于它在AB 中，故()1ABf x =，而()1A f x =且()1B f x =，可得()()()A B A Bf x f x f x ≠+，故选项B 错误； 对于C ，1,1,0,()0,()()ABU U U x A B x A Bf x A B x A B ⎧⎧∈∈⎪⎪==⎨⎨∈∈⎪⎪⎩⎩，1,1,1,()()0,0,0,()()A B U U U U x A x B x A Bf x f x x A x B x A B ⎧∈∈∈⎧⎧⎪⋅=⋅=⎨⎨⎨∈∈∈⎪⎩⎩⎩，故选项C 正确；对于D ，因为1,()0,U U A x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩，结合1,1,()0,0,A U x Ax A f x x A x A ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∉⎩⎩， 所以()1()B A f x f x =-， 即()()1A B f x f x +=， 故选项D 正确． 故选：B ．变式17．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，这里UA 表示集合A 在全集U 中的补集，已A U ⊆，B U ⊆，给出以下结论中不正确的是( ) A ．若A B ⊆，则对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x B ．对于任意x U ∈，都有()1()U C A A f x f x =-C ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A Bf x f x f x =D ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A Bf x f x f x =【解析】解：由题意，可得对于A ，因为A B ⊆，可得x A ∈则x B ∈，1,()0,A U x A f x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，1,()0,B U x Bf x x C B ∈⎧=⎨∈⎩，而UA 中可能有B 的元素，但UB 中不可能有A 的元素()()A B f x f x ∴，即对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x 故A 正确； 对于B ，因为1,0,U U C A x C Af x A ∈⎧=⎨∈⎩，结合()A f x 的表达式，可得1()U C A A f f x =-，故B 正确； 对于C ，1,1,()0,()0,()()A BU U U x A B x A Bf x x C A B x C A C B ⎧⎧∈∈⎪⎪==⎨⎨∈∈⎪⎪⎩⎩1,1,()()0,0,A B U U x Ax Bf x f x x C Ax C B ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∈⎩⎩， 故C 正确； 对于D ，1,()0,()ABU x A B f x x C AB ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩当某个元素x 在A 中但不在B 中，由于它在A B 中，故()1ABf x =，而()1A f x =且()0B f x =，可得()()()A B A Bf x f x f x ≠由此可得D 不正确． 故选：D ．变式18．对a ，b R ∈，记,(,),a a bmax a b b a b ⎧=⎨<⎩，函数()(|1|f x max x =+，|2|)()x x R -∈的最小值是 ．【解析】解：由题意得， ()(|1|f x max x =+，|2|)x - 11,212,2x x x x ⎧+⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，故当12x =时，()f x 有最小值13()22f =， 故答案为：32． 变式19．对a ，b R ∈，记{max a ，,},a a b b b a b⎧=⎨<⎩，函数(){|1|f x max x =+，||}()x m x R -∈的最小值是32，则实数m 的值是 ．【解析】解：函数(){|1|f x max x =+，||}x m - |1|,|1|||||,|1|||x x x m x m x x m ++-⎧=⎨-+<-⎩， 由()f x 的解析式可得，11()()22m m f x f x --+=-， 即有()f x 的对称轴为12m x -=， 则113()||222m m f -+==， 解得2m =或4-， 故答案为：2或4-．变式20．设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=，若直线10(0)x ky k -+=>与函数()y f x =的图象恰好有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． 【解析】解：画出函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩和函数1()x g x k+=的图象， 若直线1(0)ky x k =+>与函数()y f x = 的图象恰有两个不同的交点， 结合图象可得：1PA PC k k k<， 112(1)3PA k ==--，111(1)2PC k ==--，故11132k <，求得23k <， 故答案为：23k <．【过关测试】 一、单选题1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）若函数()22,14,1x t x f x tx x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则t的最大值为（ ） A ．32B ．53C ．74D ．95【答案】B【解析】当1x ≤-时，2()2f x x t =-+为增函数，所以当1x >-时，()4f x tx =+也为增函数，所以0124t t t >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503t <≤.故t 的最大值为53， 故选：B.2．（2022·云南师大附中高一期中）已知函数()()e e,1ln 21,1xx f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，若关于x 的不等式()()21f ax f ax <+的解集为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()()2,11,4--⋃-B ．()()1,22,4-C ．[)1,2-D ．[)0,4【答案】D【解析】当1x <时，()e e x f x =-在(),1-∞上单调递增且()()e e 10xf x f =-<=；当1x ≥时，()()ln 21f x x =-在[)1,+∞上单调递增且()()()ln 2110f x x f =-≥=； 所以()f x 在R 上单调递增，又由()()21f ax f ax <+，则有21ax ax <+，由题，可知210ax ax -+>的解集为R ，当0a =时，20010x x ⋅-⋅+>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则有2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩， 解不等式组，得04a <<；综上可得，当[)0,4a ∈时，210ax ax -+>的解集为R . 故选：D.3．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知函数()()23++2,<1=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．()0,3B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()()23++2,<1=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减， ∴3<0>011221+1a a a a a -≤-≥-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得233a ≤<， 即a 的取值范围是2,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：C.4．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知数学符号{}max ,a b 表示取a 和b 中最大的数，若对任意R x ∈，函数()231max 3,,4322f x x x x x ⎧⎫=-++-+⎨⎬⎩⎭，则()f x 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】在同一直角坐标系中，画出函数2123313,,4322y x y x y x x =-+=+=-+的图象，根据{}max ,a b 的定义，可得()f x 的图象（实线部分），由()f x 的图象可知，当=1x 时，()f x 最小，且最小值()12f =， 故选：D5．（2022·山西太原·高一阶段练习）设()()2,0=1+++4,>0x a x f x x a x x-≤⎧⎪⎨⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,3 B ．()0,3 C ．(]0,3 D ．[)0,3【答案】A【解析】当0x >时，由基本不等式可得()114246f x x a x a a x x=+++≥⋅+=+， 当且仅当=1x 时，等号成立；当0x ≤时，由于()()0f x f ≥，则0a ≥，由题意可得()()2min 06f x f a a ==≤+，即260a a --≤，解得23a -≤≤，故03a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]0,3. 故选：A.6．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）已知函数()()22,f x x g x x =-+=，令()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩，则不等式()74h x >的解集是（ ）A ．1<2x x -⎧⎨⎩或17<<24x ⎫⎬⎭B ．{<1x x -或71<<4x ⎫⎬⎭C ．11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭D ．{1<<1x x -或7>4x ⎫⎬⎭【答案】C【解析】由()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩可知，()h x 的图像是()f x 与()g x 在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出()h x 的图像，联立2=+2=y x y x -⎧⎨⎩，解得=2=2x y --⎧⎨⎩或=1=1x y ⎧⎨⎩，故12x =-，21x =，所以()2,2=+2,2<<1,>1x x h x x x x x ≤---⎧⎪⎨⎪⎩，又由()74h x >可知，其解集为()h x 的函数值比74大的那部图像的所在区间，结合图像易得，()74h x >的解集为{34<<x x x x 或}5>x x联立2=+27=4y x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=27=4x y -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩或1=27=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故312x =-，412x =，联立=7=4y x y ⎧⎪⎨⎪⎩，解得7=47=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故574x =，所以()74h x >的解集为11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭.故选：C..7．（2022·浙江·高一阶段练习）设函数1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，则方程2(1)4x f x -=-的解为（ ）A ．2x =-B ．3x =-C ．=2xD ．=3x【答案】A【解析】因为1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，由2(1)4x f x -=-知，2-1>01=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1=00=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1<0(-1)=-4x x ⋅⎧⎨⎩， 解得2x =-. 故选：A ．8．（2022·湖北黄石·高一期中）已知函数()f x x x =，若对任意[,1]x t t ∈+，不等式()24()f x t f x +≤恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．15[-- B ．15-+ C ．1515[---+ D ．15[-+ 【答案】B【解析】()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，因为2yx 在0x ≥上单调递增，2y x =-在0x <上单调递增，所以()f x x x =在R 上单调递增，因为)24(2)4(2x x x x x x f f ===，且()24()f x t f x +≤，所以()2(2)f x t f x +≤，所以22x t x +≤，即()222110x x t x t -+=-+-≤在[,1]x t t ∈+恒成立，所以()()22201210t t t t t t ⎧-+≤⎪⎨+-++≤⎪⎩即22010t t t t ⎧-≤⎪⎨+-≤⎪⎩，解得150t -+≤≤， 所以实数t 的取值范围是15-+， 故选：B9．（2022·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知函数()21,=,2x c f x xx x c x ⎧-<⎪⎨⎪-≤≤⎩ ，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的范围是（ ） A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】当=2x 时，()()221112422,244f f x x x x ⎛⎫=-==-=--≥- ⎪⎝⎭，()f x 值域为1,2,4⎡⎤-∴⎢⎥⎣⎦当x c <时，由()12f x x =-=，得12x =-，此时12c ≤-，由()22f x x x =-=，得220x x --=，得=2x 或=1x -，此时112c -≤≤-，综上112c -≤≤-，即实数c 的取值范围是11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选：A 二、多选题10．（2022·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）我们用符号min 示两个数中较小的数，若x ∈R ，(){}2min 2,f x x x =-，则()f x （ ）A ．最大值为1B ．无最大值C ．最小值为1-D ．无最小值【答案】AD【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数22y x =-，y x =的图象，如图：根据题意，图中实线部分即为函数()f x 的图象. 由22x x -=，解得12x =-，21x =，所以()222,2,212,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪->⎩，∴当1x =时，()f x 取得最大值，且()max 1f x =，由图象可知()f x 无最小值， 故选：AD.11．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[,]m n 长度可以是（ ）A ．74B ．72C ．114D ．1【答案】AD【解析】令23333x x x -+≤--+①，当3x ≥时，不等式可整理为2230x x --≤，解得13x -≤≤，故3x =符合要求， 当3x <时，不等式可整理为2430x x -+≤，解得13x ≤≤，故13x ≤<， 所以不等式①的解为13x ≤≤；由上可得，不等式23333x x x -+>--+的解为1x <或3x >， 所以()233,1333,13x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--+⎪⎩或，令23334x x -+=，解得32x =，令27334x x -+=，解得52x =或12， 令3334x --+=，解得34x =或214，令7334x --+=，解得74x =或174，所以区间[],m n 的最小长度为1，最大长度为74.故选：AD.12．（2022·四川省宣汉中学高一阶段练习）设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数m ，定义函数(),()(),()m f x f x m f x m f x m ≥⎧=⎨<⎩，若函数()2211f x x x =-++，则下列结论正确的是（ ）A ．()338f =B ．()3f x 的值域为[]3,12C ．()3f x 的单调递增区间为[]2,1-D ．()31f x +的图像关于原点对称【答案】ABC【解析】由22113x x -++≥， 解得：24x -≤≤，故23211,24()3,42x x x f x x x ⎧-++-≤≤=⎨><-⎩或，A ．23(3)323118f =-+⨯+=，本选项符合题意；B ．当24x -≤≤时，2321112x x ≤-++≤； 当42x x -或><时，3()3f x =， 故值域为[3,12]，本选项符合题意；C ．当24x -≤≤时，23()211f x x x =-++，图像开口向下，对称轴为1x =， 故3()f x 在[]2,1-上单调递增，本选项符合题意；D ．2312,33(1)3,33x x y f x x x ⎧-+-≤≤=+=⎨><-⎩或，故函数3(1)y f x =+为偶函数，本选项不符合题意．故选：ABC ．13．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数()f x ，存在一个点0x ，使()00=f x x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，0x 为函数的不动点，则下列说法正确的（ ）A ．()1f x x x -=为“不动点”函数B ．()253f x x x -=+的不动点为2±C ．()221,1=2,>1x x f x x x ≤⎧-⎪⎨-⎪⎩为“不动点”函数D ．若定义在R 上有且仅有一个不动点的函数()f x 满足()()()22f f x x x f x x x --+=+，则()2+1f x x x -= 【答案】ABC【解析】对于A ，令()f x =x ，得1x x x -=，解得2x =22f =⎝⎭（有一个满足足矣），所以()1f x x x-=为“不动点”函数，故A 说法正确；对于B ，令()f x =x 253x x x -+=253x +=，即259x +=，解得2x =±，即()22f =和()22f -=-，所以()253f x x x -=+的不动点为2±，故B 说法正确；对于C ，当1x ≤时，()221f x x -=，令()f x =x ，得221x x -=，解得12x =-或=1x ；当1x >时，()2f x x -=，令()f x =x ，得2x x -=，即2x x -=±，解得=1x （舍去）； 综上：1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和()11f =，所以()f x 为“不动点”函数，故C 说法正确；对于D ，不妨设该不动点为t ，则()f t t =，则由()()()22f f x x x f x x x --+=+得()()()22f f t t t f t t t --+=+，即()22++f t t t t t t --=，整理得()2222f t t t t --+=+，所以22t t -+也是()f x 的不动点，故22t t t -+=，解得=0t 或1t =-，即0,1都是()f x 的不动点，与题设矛盾，故D 说法错误. 故选：ABC 三、填空题14．（2022·广东·高一期中）已知函数(2),1(),1aa x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是________． 【答案】)1,2⎡⎣【解析】由已知，函数(2),1(),1aa x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩是定义为在R 上的增函数， 则(2)y a x =-为单调递增函数，a y x =为单调递增函数，且(2)11a a -⨯≤，所以20021a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得12a ≤<，所以a 的取值范围是：)1,2⎡⎣. 故答案为：)1,2⎡⎣.15．（2022·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）若函数222,0(),0x ax x f x bx x x ⎧+≥=⎨+<⎩为奇函数，则a b +=__________. 【答案】1-【解析】利用奇函数的定义()()f x f x -=-，求．当0x <时，则0x ->，所以222()2()()f x x ax f x bx x bx x -=-=-=-+=--， 所以2b =-，1a =，即2,1b a =-= 故1a b +=-． 故答案为：1-．16．（2022·安徽淮南·高一阶段练习）若函数()()2,113,1ax x x f x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩满足对1x ∀，2x ∈R ，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，任意实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 是R 上的减函数，则分段函数的每一段单调递减且在分界点处113a a a -≥--，所以0112130113a a a a a a ≥⎧⎪-⎪-≥⎪⎨⎪-<⎪-≥--⎪⎩，解得2152a ≤≤，所以实数a的取值范围是21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．（2022·广东·深圳市高级中学高一期中）已知()22f x x x =-，()1g x x =+，令()()(){}max ,M x f x g x =，则()M x 的最小值是___________.513- 【解析】令221x x x -≥+，解得313x +≥313x -≤ 则()()(){}23133132,max ,313313x x x x M x f x g x x x ⎧+--≥⎪⎪==⎨-+⎪+<<⎪⎩，当313x +≥313x -≤()min 313513M x M --==⎝⎭， 313313x -+<<513- 513- 513- 四、解答题18．（2022·四川·宁南中学高一阶段练习）已知函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩.(1)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)若()2f a =，求a 的值；【解析】（1）函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩． 11115222f ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）因为()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩且()2f a =，所以3+5=20a a ≤⎧⎨⎩，解得1a =-；或+5=20<<1a a ⎧⎨⎩，解得3a =-（舍去）； 或2+8=2>1a a -⎧⎨⎩，解得=3a .综上：1a =-或=3a ．19．（2022·浙江·玉环市玉城中学高一阶段练习）（1）已知函数()f x 是一次函数，且满足()()3+121=2+17f x f x x --，求()f x 的解析式；（2）已知函数()2+2,1=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩①求()2f ，()()1f f -②若()3f a =，求a 的值【解析】（1）设()=+,0f x kx b k ≠，则：()+1=++f x kx b k ，()1=+f x kx b k --，故()()3++2+=2+17kx b k kx b k x --，即++5=2+17kx b k x ，故=2k ，=7b .所以()27f x x =+（2）函数()2+2,1=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩，①()2=2?2=4f ，()()()()1=1+2=1=3f f f f --．②当1a ≤时，()=+2=3f a a ，解得=1a ，成立；当12a <<时，()2==3f a a ，解得3a =3a =-；当2a ≥时，()=2=3f a a ，解得3=2a （舍去）． 故a 31． 20．（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数()22122f x x x a a =+++，()22122g x x x a a =-+-，R a ∈．设函数()()()()()()(),,f x f x g x M x g x g x f x ⎧≥⎪=⎨>⎪⎩. (1)若1a =，求()M x 的最小值；(2)若()M x 的最小值小于52，求a 的取值范围． 【解析】（1）由题意可得，当()()f x g x ≥时，()()2222112224022f x g x x x a a x x a a x a ⎛⎫-=+++--+-=+≥ ⎪⎝⎭，当()()f x g x <时，()()2222112224022f x g x x x a a x x a a x a ⎛⎫-=+++--+-=+< ⎪⎝⎭， 所以()()(),2,,2.f x x a M x g x x a ⎧≥-⎪=⎨<-⎪⎩当1a =时，()2213,2,211, 2.2x x x M x x x x ⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩作出()M x 的图象，如图1： 由图可知()M x 的最小值为()512f -=．（2）()222212,2,212,2,2x x a a x a M x x x a a x a ⎧+++≥-⎪⎪=⎨⎪-+-<-⎪⎩且()f x ，()g x 图象的对称轴分别为直线=1x -，1x =．①如图2，当21a -≤-，即12a ≥时，()M x 在(),1-∞-上随x 的增大而减小，在()1,-+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 1122M x f a a =-=+-，由215222a a +-<，解得31a -<<，故112a ≤<．②如图3，当121a -<-≤，即1122a -<≤时，()M x 在(),2a -∞-上随x 的增大而减小，在()2,a -+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 23M x f a a =-=，则2532a <，解得3030a <<1122a -<≤．③如图4，当21a ->，即12a <-时，()M x 在(),1-∞上随x 的增大而减小，在()1,+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 1122M x g a a ==--，由215222a a --<，解得13a -<<，故112a -<<-． 综上，a 的取值范围为()1,1-．21．（2022·全国·高一课时练习）定义域为R 的函数f （x ）满足2(f x f x k k ∈Z)（）＝（＋）及f （－x ）＝－f （x ），且当()0,1x ∈时2()41xx f x =+．(1)求()f x 在[1,1]-上的解析式；(2)求()f x 在[]21)1,2(k k k Z -+∈上的解析式；(3)求证：()f x 在区间()0,1上单调递减．【解析】（1）∵当(1,0)x ∈-时，(0,1)x ， ∴22()()4141x xx x f x f x --=--=-=-++． 由题意，知(0)0f =，又()()11f f -=-，()()()1121f f f -=-+=， ∴()()110f f -==，∴()()()2,1,0412,0,1410,1,0,1xx xx x f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪=-⎪⎪⎩，（2）当[21,21]x k k ∈-+时，2[1,1]x k -∈-， ∴()()()22222,21,2412()(2),2,21410,21,2,21x kx k x kx k x k k f x f x k x k k k Z x k k k ----⎧-∈-⎪+⎪⎪=-=∈+∈⎨+⎪=-+⎪⎪⎩（3）设任意的1x ，2(0,1)x ∈，且12x x <， ∵2211221212122(22)(21)()()4141(41)(4)x x x x x x x x x x f x f x ++---=-=+++，且21220x x ->，12210x x +->， ∴12()()f x f x >，即()f x 在区间()0,1上单调递减．。

2014-05教学实践分段函数对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

它是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

由于课本没有明确给出分段函数的定义，只以例题的形式出现，不少学生对它的认识肤浅模糊，以致解题常常出错。

本文归类介绍分段函数的若干种题型及其解法，以供大家参考.题型一：求函数值例1.（2012年山东高考卷8）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +6）=f （x ），当-3≤x <-1时，f （x ）=-（x +2）2，当-1≤x <3时，f （x ）=x 。

则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2012）=（A ）335（B ）338（C ）1678（D ）2012分析：本题为已知分段函数求值问题，此函数有两段表达式，利用函数的周期性将自变量化到已知段上来求值.解析：（-3）=-1，f （-2）=0，f （-1）=-1，f （0）=0，f （1）=1，f （2）=2，而函数周期为6，f （1）+f （2）+···+f （2012）=335（-1+0-1+0+1+2）+f （1）+f （2）=335+3=338.答案应选B.例2.已知函数f （x ）=-x 3，x ≤0x 2+2x ，x >0,若f(a )=8，求a.分析：本题为已知函数值求自变量，应分段求a 值，将符合要求的a 值并起来即可，a =±2。

题型二：求函数值域或最值例3.已知函数f （x ）=2x-x 2，0≤x ≤3x 2+6x ，-2≤x <0的值域为分析：分段函数的值域为各段函数值域的并集，分别求出各段的值域即可，值域为［-8，1］例4.设a >0，函数f （x ）=x 2+a ln x -1，求函数f （x ）在［1，+∞）的最小值.分析：去绝对值后可化为分段函数，然后分段求最小值，再比较各段的最小值确定函数的最小值。

例2：已知函数212,(1)()1,(1)1x x f x x x⎧--≤⎪=⎨>⎪+⎩，求1[()]2f f解析：113()12222f =--=- 21314[()]()322131()2f f f ∴=-==+- 三、求分段函数的最值例3：求函数43,(0)()3,(01)5,(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值解析：当0x ≤时，max ()(0)3f x f ==， 当01x <≤时，max ()(1)4f x f ==，当1x >时，5x -+<154-+=，综上有max ()4f x =四、求可输入分段函数解析式例4：在同一平面直角坐标系中，函数()y f x =和()y g x =的图像关于直线y x =对称，现将()y g x =的图像沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图像是由两条线组成的折线（如图所示），则函数()f x 的表达式为（ ）22,(10)()2,(02)2x x A f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩、 22,(10)()2,(02)2x x B f x x x --≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩、22,(12)()1,(24)2x x C f x x x -≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩、 26,(12)()3,(24)2x x D f x x x -≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩、 解析：当[2,0]x ∈-时，12x y =+，将其图像沿x 轴向右平移2个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得解析式为11(2)11122y x x =-+-=-，所以()22,([1,0])f x x x =+∈- 当[0,1]x ∈时，21y x =+，将其图像沿x 轴向右平移2个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得解析式为2(2)1124y x x =-+-=-，所以1()2,[0,2]2f x x x =+∈ 综上可得22,(10)()2,(02)2x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩，故选A：0()1f x >1200x >时，。

分段函数的四⼤类型函数是⾼中数学的核⼼内容，分段函数是其中重要的⼀类，它能有效的考查函数的概念、符号及性质，分段函数也有⾃⼰的特点并在⽣活实际中有着⼴泛的应⽤。

下⾯就分段函数常见的形式进⾏归纳整理，便于复习。

⼀、常数型常数分段函数就是指所给的每段上都是常数，这看似简单却有着⾃⼰特殊的功能。

例1、已知则不等式的解集是__________。

分析：对于要解的不等式，关键是要解决的问题。

原分段函数实际上是对x的⼀种分类讨论。

原不等式等价不等式组：，原不等式的解为：⼆、解析型所谓分段函数中最常见的形式，它在不同的范围内定义了不同的解析式，这类问题的解决，主要是要求要逐段的思考分析。

例2、设函数则使得的⾃变量x的取值范围为（）A.B.C.D.分析：此题涉及两个不等式，它已知了解析式，我们可以分段来求解。

等价于不等式组：，解得：，故选A。

三、关系型所谓关系型分段函数就是所给的某个区间是⼀个确定的关系式，但同时在其他区间上是⼀组关系式，解决它的问题需要不同区间上的关系互相转化。

例3、设，若有且只有两个实数解，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.分析：由于问题涉及参数的问题，⼜是⼀个周期模型，所以我们⽤草图来分析。

根据条件：时，将图像进⾏上下的平移，⽽在上是⼀周期为1的周期函数，且函数在（0，1）与（－1，0）的图像相同。

注意图像特点恰好经过A、B两点，结合直线可将点（0，1）下移⾄（0，－1）即可。

解得：。

故选A。

四、情景型有些分段函数来源于特殊的背景，可以是数学的背景，也可以是⽣活实际的背景，这种问题往往需要我们结合实际来进⾏分类。

例4、某服装⼚⽣产⼀种服装，每件服装成本为40元，出⼚单价为60元，该⼚为⿎励销售商订购，决定当⼀次订购量超过100件时，每多订购⼀件，订购的全部服装的出⼚单价降低0.02元，根据市场调查，销售商⼀次订购量不会超过500件。

（1）设⼀次订购量为x件，服装的实际出⼚价为p元，写出函数的表达式；（2）当销售商⼀次订购450件时，该服装⼚获得的利润是多少元？（服装⼚售出⼀件的利润＝实际出⼚价－成本）分析：（1）当时，；当时，所以，（2）设销售商的⼀次购量为x（）件时，⼯⼚获得利润L元，则，那么，，当时，L＝5850。

初二数学分段函数知识点详解分段函数是数学中一个非常重要的概念，在初二数学学习中也是一个重要的知识点。

本文将详细解释分段函数的概念、性质以及解题方法。

1. 概念分段函数是由两个或多个函数组成的函数，根据自变量所属的不同区间而有不同的表达式。

它的定义域分为多个不相交的区间，每个区间上都有一个函数与之对应。

常见的分段函数形式为以下两种：- 若自变量x属于[a, b]，则函数f(x) = g(x)，其中g(x)为定义在[a, b]上的函数。

- 若自变量x属于[a, b]，则函数f(x) = h(x)，其中h(x)为定义在(a, b)上的函数。

2. 性质分段函数具有以下几个性质：- 分段函数的定义域是所有子函数定义域的并集。

- 分段函数是连续函数的一个特例，它在每个子函数定义域内连续，但可能在定义域之间的交界处不连续。

- 分段函数的图像由各个子函数的图像拼接而成，形状可以是折线、曲线或是其他形式。

3. 解题方法解题时，我们需要分析函数的定义域以及每个子函数在其定义域内的表达式。

下面将通过一个具体的例子展示解题步骤：例题：已知函数f(x)由以下两个子函数组成：- 当x ≤ -2时，f(x) = 2x - 1；- 当x > -2时，f(x) = x^2 + 3x + 2。

解题步骤：- 首先，我们需要确定函数的定义域。

根据题目中的条件，可得到整个实数集作为函数的定义域，即f(x)的定义域为(-∞, +∞)。

- 其次，我们根据不同的定义域范围，写出子函数的表达式。

当x ≤ -2时，f(x) = 2x - 1；当x > -2时，f(x) = x^2 + 3x + 2。

- 最后，我们根据定义域的范围和子函数的表达式，可以画出函数f(x)的图像。

在x = -2这个点，需要考虑到分段函数的不连续性。

4. 例题解析我们将例题中的两个子函数进行分析：- 子函数1：f(x) = 2x - 1。

它的定义域为(-∞, -2]。

分段函数的几种常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.【解析】作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.2．求分段函数的函数值例2．（05年浙江理）已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .【解析】 因为311222()|1|2f =--=-, 所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-. 3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.【解析】当0x ≤时,max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时,max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）【解析】当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位,再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)()2(02)xx x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .5．作分段函数的图像 例5．函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ） 6．求分段函数得反函数 例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时,()31x f x =-, 设()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.【解析】设0x <, 则0x ->, 所以()31xf x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数, 所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13xf x -=-, 因此31(0)()0(0)13(0)x x x f x x x -⎧->⎪==⎨⎪-<⎩, 从而可得33log (1)(0)()0(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.7．判断分段函数的奇偶性 例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.【解析】当0x >时, 0x -<,22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->,22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.【解析】 显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立,()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数;或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.【解析】121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-.9．解分段函数的方程例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩,则满足方程1()4f x =的x 的值为【解析】 若142x -=, 则222x --=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =, 则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.10．解分段函数的不等式x例11．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,若0()1f x >, 则x 得取值范围是（ ）【解析1】首先画出()y f x =和1y =的大致图像易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.【解析2】 因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x -->, 解得01x <-,当00x >时, 121x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例12．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（ ）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】 当1x <时,2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时,()141310f x x ≥⇔⇔⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.【点评：】xy以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.。

认清分段函数,解决收费问题定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X之间存在k1x+b1 x≤a1y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。

K3x+b3 a2≤x≤a3…………应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1,k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。

所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。

(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例函数和常数函数。

(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。

(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。

分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。

在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。

收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.一、话费中的分段函数例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？图1分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x≥100时, 月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；（2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b由图上知：x=100时,y=40；x=200时,时，y=60则有4010060200k bk b=+⎧⎨=+⎩,解之得1520kb⎧=⎪⎨⎪=⎩所求函数关系式为1205y x=+..（3）把x=280代入关系式1205y x=+,得128020765y∴=⨯+=即月通话为280分钟时，应交话费76元．二、水费中的分段函数例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2.(1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时,y与x的函数关系式;(2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x≤15时y是x 的正比例函数; x≥15时,y是x的一次函数.解: (1)当0≤x ≤15时,设y =kx ,把x =15,y =27代入,得27=15k ,所以k =591527=,所以y =59x ;当x ≥15时,设y =ax +b ,将x =15,y =27和x =20,y =39.5代入,得⎩⎨⎧=+=+5.3920,2715b a b a 解得a =2.5,b =-10.5所以y =2.5x -10.5 图2(2) 当该用户该月用21吨水时,三、电费中分段函数例3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？图3分析:从函数图象上看图象分为两段,当0≤x ≤100时,电费y 是电量x 的正比例函数,当x ≥100时,y 是x 的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.解: (1)设当0≤x ≤100时,函数关系式为y =kx ,将x =100,y =65代入,得k =0.65,所以y =0.65x ;设当x ≥100时,函数关系式为y =a x +b,将x =100,y =65和x =130,y =89代入,得⎩⎨⎧=+=+.89130,65100b a b a 解得a=0.8,b=-15.所以y =0.8x -15综上可得0.65(0100)0.815(100)x x y x x ⎧=⎨-⎩≤≤≥ (2)用户月用电量在0度到100度之间时,每度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.(3)用户月用电62度时,用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150度电.谈谈中考中的分段函数分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。

1.2.2(2)分段函数知识点及例题解析-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII2分段函数常见题型例析所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下： １．求分段函数的定义域、值域例１．求函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧->-≤+)2(,2)2(,42x x x x x 的值域．解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４． 当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞22-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝．评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．２．作分段函数的图象例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-⎧⎪=+∈-⎨⎪∈+∞⎩，，，，，，，画函数解：函数图象如图１所示．评注其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围；二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实．３．求分段函数的函数值例３．已知)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>+)0.(0)0(,)0(,1x x x x π 求(((3)))f f f -的值．x 图3解：∵ －３＜０ ∴f （－３）＝０， ∴ f （f （－３））＝f （０）＝π又π＞０ ∴(((3)))f f f -＝f （π）＝π＋１．评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值．４．求分段函数的最值例４．已知函数)(x f ＝22(0)(0)x x x ⎧⎨<⎩，≥， 求出这个函数的最值． 解：由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象没有最大值．５．表达式问题例５． 如图３，动点P 从边长为１的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B C D ，，再回到A ，设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长度，求y 关于x 的表达式．解：如图3所示，当P 点在AB 上运动时，PA x =；当P 点在BC上运动时，由PBA △Rt ，求得PA =；当P 点在CD 上运动时，由PDA Rt △求出PA =当P 点在DA 上运动时，4PA x =-， ABP图３所以y关于x的表达式是01122343 4.x xxyxx x⎧<=<-<⎩，≤≤，≤，≤，，≤在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的各段合并成一个整体，必须用符号“｛”来表示，以纠正同学们的错误认识．4。

专题二 函数考点3 分段函数的4种求法【方法点拨】分段函数的4种求法1. 求函数值或解不等式：由自变量所属区间，选定相应的解析式求解.2. 求函数值域：分别求每一段的值域取并集.3. 求函数最值：分别求每一段的最值，然后比较大小.4.求参数的值(或参数范围)：分段处理，分类讨论，综合作答. 三、【高考模拟】1．已知函数()2,0x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()4f f =（ ）A ．-4B ．14-C ．14D ．4【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，先求()4f ，再求()2f -即可求解.【解析】由()2,0x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()42f ==-，所以()()()214224ff f -=-==. 故选：C2．已知函数(2),2()(2),2x x x f x f x x +⎧=⎨+<⎩，则(1)f =（ ）A ．3B ．6C ．15D ．12【答案】C 【分析】根据分段函数解析式代入计算即可； 【解析】解：因为(2),2()(2),2x x x f x f x x +⎧=⎨+<⎩，所以()()()11233215f f =+=⨯+=故选：C3．已知函数()()1,1 23,1xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则()1f -=（ ）A ．12B ．2C ．14D ．18【答案】C 【分析】根据函数的解析式，代入计算，即可求解. 【解析】由题意，函数()()1,1 23,1xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，可得()()()211113224f f f ⎛⎫-=-+=== ⎪⎝⎭.故选：C.4．已知20()(1)0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()1f -=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【分析】根据分段函数各段的定义域求解. 【解析】因为20()(1)0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，所以()()()110122f f f -====，故选：C 5．已知5,6()(4),6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(1)f -的值为（ ）A ．6-B ．2-C ．2D ．3【答案】C【分析】利用解析式可有()()(1)37f f f -==，利用已有的解析式可得(1)f -的值. 【解析】由题设有()()(1)372f f f -===， 故选：C.6．已知21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()2f f =（ ）A ．26B ．17C ．8D ．-10【答案】B 【分析】利用分段函数的解析式，将自变量代入即可求解. 【解析】由21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()2224f =-⨯=-， 所以()()()()2244117ff f =-=-+=.故选：B7．已知函数()222,12,1x x x f x x ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()()0f f =（ ）A ．4B ．16C ．32D ．64【答案】D 【分析】直接根据分段函数解析式代入计算可得； 【解析】解：因为()222,12,1x x x f x x ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，所以()0022f =+=，()()()2226022264f f f +==== 故选：D8．已知1,(1)()3,(1)x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，那么12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是（ ）A ．52 B ．32C ．92D ．12-【答案】B 【分析】 先根据12所在区间计算出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果，然后再根据12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭所在区间计算出12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【解析】 因为112≤，所以1131222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又因为312>，所以133332222f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.9．设函数()()2221log (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则()()0f f （ ）A ．0B ．3C ．1D ．2 【答案】C 【分析】将自变量代入对应的分段函数中，即可求得答案. 【解析】由题意得2(0)022f =+=，所以2((0))(2)log 21f f f ===，故选：C10．已知函数()2,125,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．2a <C ．2a >D ．R【答案】A 【分析】首先确定1x ≤时()f x 的对称轴2a x =，分别在12a <和12a≥两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果. 【解析】当1x ≤时，()2f x x ax =-+是开口方向向下，对称轴为2ax =的二次函数， ①当12a<，即2a <时，由二次函数对称性知：必存在12x x ≠，使得()()12f x f x =； ②当12a≥，即2a ≥时，若存在12x x ≠，使得()()12f x f x =，则函数图象需满足下图所示：即125a a -+>-，解得：4a <，24a ∴≤<； 综上所述：4a <. 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据()()12f x f x =可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果.11．已知函数24,2()25,2x x x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),0-∞ B ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】转化条件为()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，结合二次函数及一次函数的性质分类讨论即可得解. 【解析】当2x ≤时，2()4f x x x =-+，由二次函数的性质可得()f x 单调递增且(](),4f x ∈-∞；若要满足题意，只需使()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集， 当2x >时，若0a >，则()()2545,f x ax a =-=-+∞， 则454a -<，解得94a <，此时904a <<；若0a =，()5f x =-，符合题意；若0a <，则()()25,45f x ax a =-=-∞-，符合题意； 综上，实数a 的取值范围为9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，再结合一次函数、二次函数的性质即可得解.12．已知()()()23200x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，方程()()2210f x f x +-=⎡⎤⎣⎦的根x 的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【分析】画出函数的图象，求出22[()]()10f x f x +-=的根，结合函数的图象，求解即可．【解析】232(0)()(0)x x x f x x x ⎧-=⎨<⎩的图象如图：方程22[()]()10f x f x +-=，可得()1f x =-，或1()2f x =， 由函数的图象可知：()1f x =-，有2个x 的值，1()2f x =，有一个x 的值， 所以方程22[()]()10f x f x +-=的根x 的个数是3．故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点与方程根问题，考查分段函数的图象，解决本题的关键点是先由关于()f x 的一元二次方程解出方程根()1f x =-或1()2f x =，再画出分段函数的图象可得与1y =和12y =的交点个数，即为根x 的个数，考查学生数形结合思想和计算能力，属于中档题． 13．已知函数()1,01,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，若()()2f f a =，则（ ）A ．1a =±B ．1a =-C ．0a ≤D ．0a <【答案】C 【分析】分0a <，0a =，0a >三种情况求解即可 【解析】当0a <时，()1f a =，得()()()12f f a f ==，当0a =时，()01f =，()()()12ff a f ==，成立，当0a >时，()1f a a =+，得()()()1112ff a f a a =+=++=，得0a =，不成立；所以0a ≤. 故选：C14．已知函数()22,1,,12,2,2,x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f a =，则a =（ ）A ．1 BC．D ．32【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，将各段等于3，解方程即可得出结果. 【解析】当1a ≤-时，由23a +=，得1a =，舍去； 当1a 2-<<时，由23a =得a =a =当2a ≥时，由23a =得32a =舍去，综上，a =故选：B.15．已知函数()232,1,1x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩若()()06f f a =，则实数a =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】由函数解析式，先计算()0f 的值，然后将其代入，由此得到关于a 的方程，求解即可. 【解析】 (0)2f =2((0))(2)226f f f a a ==+=，解得：1a =故选：A 【点睛】方法点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()ff a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.16．设f （x ）＝,012(1),1x x x x ⎧<<⎪⎨-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ）A ．14B ．54C ．14或54D ．2【答案】C 【分析】根据解析式分段讨论可求出. 【解析】解：∵(),012(1),1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a a <<⎧⎪⎨=⎪⎩或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得14a =或54a =. 故选：C ． 17．已知函()f x ={222,0,,0,x mx m x x m x -+≤+>，若()()12ff =，则实数m的值为（ ） A ．1- B ．12C ．1D ．2【答案】B 【分析】首先求()11f m =+，分1m ≤-和1m >-，两种情况求()()1f f ，再计算实数m 的值.【解析】()11f m =+，当1m ≤-时，()10f ≤，此时()()()()()221112112f f f m m m m m =+=+-++=≠，故不成立；当1m >-时，()10f >，此时()()()()1112f f f m m m =+=++=，解得：12m =，成立. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数求自变量，本题的关键是求出()11f m =+后，需分两种情况，求实数m 的值.18．已知函数222,0,()1,0,x x f x x x ⎧->=⎨+⎩，若()2f a =，则a =（ ）A ．2B ．1C ．2或1-D ．1或1-【答案】C 【分析】分类讨论a ，代入解析式可解得结果. 【解析】当0a >时，()222af a =-=，解得2a =；当0a 时，2()12f a a =+=，解得1a =-．综上，2a =或1a =-． 故选：C19．已知()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()()1f f a =，则实数a 的值是（ ）A ．0或2B ．4C ．1或4D ．1【答案】C 【分析】讨论()1f a ≤与()1f a >先计算()f a 的值；再讨论1a ≤与1a >计算a 值. 【解析】 由()()1ff a =，当()1f a ≤时，有()21f a=，则()0f a = ；当()1f a >时，有()2log 1f a =，则()2f a = ；由()0f a =，当1a ≤时，有20a =，a 无解；当1a >时，有2log 0a =，1a =不符合； 由()2f a =，当1a ≤时，有22a =，1a =；当1a >时，有2log 2a =，4a =； 综上所述：1a =或4a = 故选：C20．已知函数()221,031,0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，若()()18f a f +-=，则实数a 的值是（ ） A ．52B ．213±或52 C．21或52D ．213-或52 【答案】D 【分析】分0a >和0a ≤两种情况求解 【解析】 解：当0a >时，因为()()18f a f +-=，所以2213(1)18a ++⨯--=，解得52a =， 当0a ≤时，因为()()18f a f +-=，所以22313(1)18a -+⨯--=，解得21a =（舍去），或21a =-， 综上52a =或213a =-， 故选：D21．某数学兴趣小组从商标中抽象出一个函数图象如图，其对应的函数()f x 可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()11tan2f x xπ=-D ．()211f x x =+ 【答案】A 【分析】根据函数对称性及定义域，直接利用排除法求出结果. 【解析】选项A ：函数的图象的渐近线为 1x =或1x =-与原图象相符； 选项B ：1x =-时，()111112-==--f 与原图不相符； 选项C ：3x =时，函数无意义与原图不相符； 选项D ：1x =时，()111112f ==+与原图不相符； 故选：A22．函数图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．1()|||1|f x x =-B ．1()|1|f x x =-C ．21()1f x x =- D ．21()1f x x =+ 【答案】A 【分析】根据定义域可排除BD ，根据()01f =可排除C. 【解析】由图可知()f x 的定义域为{}1x x ≠±，故BD 错误；()01f =，故C 错误.故选：A.23．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()212x f x x -=⋅ B ．()212x f x x -=⋅C ．()()1)f x x x =⋅- D ．()221x f x x =-【答案】A 【分析】利用()10f >可排除CD ，利用奇偶性可排除B ，由此得到结果. 【解析】当1x =时，()10f >，CD 中的函数()10f =，可排除CD ；由图象关于原点对称可知()f x 为奇函数，A 中()()212x f x x f x --=-⋅=-，满足奇函数定义；B中()()221122x x f x x x f x ---=⋅-=⋅=，满足偶函数定义，可排除B.故选：A.24．已知函数2()121()f x ax x ax a =+++-∈R 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值，则a 的取值范围为___________. 【答案】122675a <≤ 【分析】令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，得到()()()2,()()2,()()g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，结合函数()g x 和()h x 的图象，根据()f x 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值求解. 【解析】因为函数2()121()f x ax x ax a =+++-∈R ，令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩， 解得22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 所以()()()2,()()()()()()2,()()g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩，其中()g x 过点()()0,0,,0a -，()h x 过点()()1,0,1,0-，因为2()121()f x ax x ax a =+++-∈R 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值，当0a -≤，即0a ≥时，3933916,1525552525g a h ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3355h g ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在3,05⎛⎫- ⎪⎝⎭上取不到最小值，要在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上取到最小值，则2233g h ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2335g h ⎛⎫⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即425939a +>，且42169325a +≤， 解得122675a <≤， 当0a ->，即0a <时，242245,1393399g a h ⎛⎫⎛⎫=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2233g h ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上取不到最小值，要在3,05⎛⎫- ⎪⎝⎭上取不到最小值， 则3355g h ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且3253g h ⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即931625525a ->，且9352559a -≤， 即715a <-，且44135a ≥-时，无解， 综上：a 的取值范围为122675a <≤.故答案为：122675a <≤ 【点睛】关键点点睛：本题关键是由函数()f x 解析式的结构特征，令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，将函数转化为()()()2,()()2,()()g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，利用二次函数22(),()1g x x ax h x x =+=-的图象和性质求解.25．已知函数22,0(),0x a x f x x ax x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()f x 的最小值是a ，则a 的值为__________.【答案】4- 【分析】利用指数函数的单调性，可得0x ≥时，()f x 的最小值为1a +，由题意可得()f x 在(),0-∞时取得最小值a ，求得对称轴，可得224a a f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得即可； 【解析】解：当0x ≥时，()2xf x a =+在定义域上单调递增，所以()()01f x f a ≥=+即0x =时，()f x 的最小值为1a +；当0x <时，()22224a a f x x ax x ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭ 由题意可得()f x 在(),0-∞时取得最小值a ，即有02a<，所以0a <，则224a a f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得4a =- 故答案为：4-26．已知函数2223,2()log ,2x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为__________． 【答案】[2,3) 【分析】函数()f x 有最小值，所以求出1a ≥，则有101a<≤，代入()f x 求出()f x 的取值范围. 【解析】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当x 2>时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥．101a ∴<≤，21112[2,3)f a a ⎛⎫⎛⎫∴=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：[2,3). 【点睛】本题考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值； （2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.27．已知函数21(),0()22,04x a x f x x x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪-+≤≤⎩的值域是[]8,1-，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[3,0)- 【分析】由二次函数的性质可得当04x 时，函数的值域刚好为[8-，1]，故只需1()2xy =-，0a x <的值域为[8-，1]的子集，可得a 的不等式，结合指数函数的单调性可得． 【解析】解：当04x 时，22()2(1)1f x x x x =-+=--+，图象为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，故函数在[0，1]单调递增，[1，4]单调递减，011()8,()122a ---当1x =时，函数取最大值1，当4x =时，函数取最小值8-，又函数()f x 的值域为[8-，1]，1()2xy ∴=-，0a x <的值域为[8-，1]的子集，1()2x y =-，0a x <单调递增，∴只需0182112a⎧⎛⎫--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得30a -<故答案为：[3,0)-．28．设函数()()222,0,21,0.x a a x f x x x a x ⎧--+≤⎪=⎨-++->⎪⎩若()0f 是()f x 的最大值，则a 的取值范围为__________．【答案】[)2+∞，【分析】由题可得要使()0f 是()f x 的最大值，只需满足020a a ≥⎧⎨-≤⎩即可.【解析】()0=0f ，当0x ≤时，()22y x a a =--+，对称轴为x a =，开口向下，当0x >时，221y x x a =-++-对称轴为1x =，开口向下，则此时在1x =取得最大值为2a -，要使()0f 是()f x 的最大值，则020a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得2a ≥，则a 的取值范围为[)2+∞，. 故答案为：[)2+∞，. 【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题及其应用，其中解答题中涉及到二次函数的图象与性质的应用，以及分段函数的最值问题的求解方法，此类问题解答的关键在于正确理解分段的性质，合理列出相应的不等关系式.29．函数()2,12,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____________．【答案】54a ≤ 【分析】根据分段函数的解析式，先求出1≥x 时，函数的值域；再求出1x <时，函数的值域；根据题中条件，即可得出结果. 【解析】由题意，当1≥x 时，()2f x x =-显然单调递减，则()(]2,1f x x =-∈-∞；当1x <时，()2f x x x a =++是开口向，对称轴为12x =-的二次函数，则()1124f x f a ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，又函数()2,12,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨-≥⎩的值域为R ，所以只需114a -≤，解得54a ≤. 故答案为：54a ≤.30．设函数31,0,()1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()1f f 的值为______．【答案】1 【分析】先计算(1)f ，再计算()()1f f 可得．【解析】由题意(1)110f =-=，所以((1))(0)1==f f f ． 故答案为：1．。