图的着色问题

图的平面性与图的着色问题在图论中，图的平面性与图的着色问题是两个重要的研究方向。

图的平面性指的是一种特殊的图的布局方式，使得图的边不相交。

而图的着色问题是指如何给图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。

本文将分别介绍图的平面性和图的着色问题，并对其进行详细讨论。

一、图的平面性（Planarity of Graphs）图的平面性是图论中一个经典的问题，研究的是如何将一个图画在平面上，使得图的边不相交。

具体而言，如果一个图可以被画在平面上，且不同边的交点只有顶点，那么我们称该图是一个平面图。

而对于不能在平面上画出来的图，则被称为非平面图。

定理1：一个图是平面图，当且仅当它不包含任何的子图同构于以下两种图之一：K5（五个没有共同边的顶点）或K3,3（六个节点，其中任意两个节点之间都有边相连但不交叉）。

这个定理被称为Kuratowski定理，它为我们判断一个图是否是平面图提供了一个有效的方法。

根据Kuratowski定理，我们可以使用该定理的逆否命题，即如果一个图中包含K5或K3,3，则该图一定是非平面图。

除了Kuratowski定理之外，还有一种判断图的平面性的方法，称为Euler公式。

Euler公式表达了平面图的顶点数、边数和面数之间的关系：V - E + F = 2其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。

根据Euler公式，对于简单连接图（无环，无孤立点），如果它的顶点数大于等于3且边数大于等于3，且满足Euler公式，则该图是一个平面图。

二、图的着色问题（Graph Coloring）图的着色问题是指如何给一个图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。

这里的相邻指的是有边相连的顶点。

在图论中，颜色通常表示为正整数，颜色数则表示为给定图所需的最小颜色数。

对于任意图G，G的最小颜色数被称为G的色数。

如果图G的色数为k，则称图G是可k着色的。

求解一个图的最小色数是一个复杂的问题，称为顶点着色问题（Vertex Coloring Problem），它是一个NP 完全问题。

图的平面图与图的着色在图论中，图是由边和顶点组成的数学结构，用来描述事物之间的联系和关系。

图论是一门重要且广泛应用的数学分支，涉及到许多重要的概念和问题，其中包括图的平面图与图的着色。

一、图的平面图在图论中，平面图是指可以被画在平面上而不相交的图。

也就是说，图的边不能相交，且在同一个点上，至多只能有两条边相接。

平面图的研究起源于哥尼斯堡七桥问题。

经过数学家的研究，他们发现了一些重要的结论。

如Euler公式，它是平面图论的基础定理之一。

该定理表明，对于连通的平面图，其顶点数、边数和面数之间存在如下关系：v-e+f=2。

其中v代表顶点数，e代表边数，f代表面数。

除了Euler公式，平面图还有其他一些重要的性质，如四色定理。

四色定理指出，任何一个平面图都可以用不超过四种颜色进行着色，使得任意相邻的两个顶点使用不同的颜色。

二、图的着色图的着色是指给图的每个顶点分配一个颜色，使得相邻的顶点颜色不同。

图的着色问题是图论研究中的一个经典问题，在计算机科学和应用领域有广泛的应用。

在图的着色问题中，有两个重要的概念：色数和色法。

色数是指给图的顶点着色所需使用的最少颜色数目，可以用来衡量图的某种特性。

色法是指给图的所有顶点着色的具体方法。

图的着色问题是一个NP完全问题，也就是说，对于大规模的图，要找到一个最佳的着色方案是非常困难的。

因此，人们通常采用一些启发式算法或者近似算法来解决这个问题。

三、图的平面图与图的着色的应用图的平面图与图的着色在实际生活中有着广泛的应用。

在地图设计中，平面图的概念可以帮助我们设计出不相交的道路、铁路和河流等，使得地图更加直观和易于理解。

在电路设计中，平面图的概念可以帮助我们避免电路中的交叉线，从而简化电路的设计和布线。

在时间表安排中，图的着色可以帮助我们安排不同的任务和活动，使得它们之间没有冲突和重叠。

在频谱分配中，图的着色可以帮助我们将不同的无线电信号分配到不同的频段中，以避免信号之间的干扰。

分布式算法与的着色问题分布式算法与图的着色问题在计算机科学中，分布式算法被广泛应用于解决各种复杂问题，其中之一便是图的着色问题。

图的着色问题是指给定一个图，需要为其节点分配颜色，使得相邻节点具有不同的颜色。

本文将介绍分布式算法在解决图的着色问题中的应用，并探讨不同的算法策略和优化技巧。

一、图着色问题的定义和难度在图的着色问题中，给定一个图G=(V,E)，其中V表示图的顶点集合，E表示边集合。

需要为图G的每个节点v∈V分配一个颜色cc(v)，满足相邻节点的颜色不能相同。

着色问题的目标是使用尽可能少的颜色对图的节点进行着色。

图着色问题在计算复杂性理论中被归类为NP-hard问题，这意味着在多项式时间内无法找到一个确切的最优解。

因此，在分布式环境下解决图着色问题需要采用有效的算法策略。

二、分布式算法与图着色问题分布式算法是一种将计算任务分配给多个处理器或计算节点的算法。

在解决图着色问题中，分布式算法可以将图G划分为多个子图，并将子图分配给不同的处理器或计算节点进行计算，最后合并结果得到完整的图着色方案。

1. Greedy算法Greedy算法是一种简单直观的分布式算法，它从第一个节点开始，逐个依次为节点进行着色。

对于每个节点v，Greedy算法选择一个未被相邻节点使用的最小颜色。

尽管Greedy算法易于实现和理解，但其着色结果并不一定是最优的。

在某些情况下，Greedy算法可能需要使用大量的颜色来完成着色，导致整体解决方案变得低效。

2. 基于冲突图的分布式算法为了提高着色效率，研究人员提出了一种基于冲突图的分布式算法。

该算法首先构建一个冲突图，其中节点表示图G的节点，边表示节点间的冲突关系。

然后，将冲突图划分为多个子图，并将子图分配给处理器或计算节点。

在每个子图中，可以使用Greedy算法或其他有效的着色算法进行着色。

最后，将子图的着色结果合并，并进行冲突解决，最终得到完整的图着色方案。

3. 分布式回溯算法除了Greedy算法和基于冲突图的算法外，还有一种重要的分布式算法是分布式回溯算法。

离散数学着色基础知识离散数学是数学的一个重要分支，它关注离散的数学结构和对象。

在离散数学中，图论作为一个重要的研究领域，着色问题受到广泛的关注。

着色问题是指给定一个图的顶点或边，用不同的颜色给它们进行标记的问题。

本文将介绍离散数学中的着色基础知识，包括图的着色、四色定理以及一些常见的着色应用。

1. 图的着色在图的着色问题中，我们通常要求相邻的顶点或边不能使用相同的颜色。

对于给定的图，我们可以用一个函数来为每个顶点或边赋予一个颜色。

这个函数被称为着色函数。

如果对于每个相邻的顶点或边，它们被赋予了不同的颜色，那么这个着色函数就满足着色条件。

图的着色问题可以分为顶点着色和边着色两种情况。

在顶点着色中，我们使用不同的颜色为图中的每个顶点上色；而在边着色中，我们使用不同的颜色为图中的每条边上色。

通常情况下，我们更关注的是顶点着色问题。

2. 四色定理四色定理是图论中的一个著名的定理，它指出任意一个平面图都可以用四种颜色给其顶点进行着色，使得任意相邻的顶点使用不同的颜色。

具体地说，对于任意一个平面图，我们可以用四种颜色对其顶点进行着色，并且一定能够满足着色条件。

这个定理的证明非常复杂，涉及到大量的数学推理和计算。

它的证明分为两个步骤：首先，通过对所有可能的情况进行穷举和排除，证明了五种颜色是充分的；然后，通过反证法证明了四种颜色就足够了。

四色定理在实际应用中具有重要的意义。

它可以用来解决地图着色问题，即给定一幅地图，用尽可能少的颜色对每个行政区域进行着色，使得相邻的行政区域颜色不同。

四色定理的证明为解决这个问题提供了理论支持。

3. 着色的应用着色问题在现实生活中有许多应用。

除了地图着色问题外，还有课程表着色问题、时间表着色问题等等。

在课程表着色问题中，我们需要为学校的每个班级安排一个课程表，并且要求相邻时间段的课程使用不同的颜色。

这个问题可以转化为图的着色问题，其中图的每个顶点代表一个时间段，边代表时间段的相邻关系。

第五节 着色问题定义1. 图G 的顶点着色(V erter Colouring)是给每个顶点赋予一种颜色，使得相邻顶点的颜色不同，给图G 进行顶点着色需要的颜色的最小值称为G 的色数(Chromatic Number)，记为)(G χ. 若κχ=)(G ，则称G 是κ-色的(κ-chromatic)；若κχ≤)(G ，则称G 是可κ-着色的(κ-colourable).例1. 在下图中2)(1=G χ，3)(2=G χ，4)(3=G χ. 注意1G 即为2κ，2G 即为5κ1111111111111111v 1v 2v 1v 2u 1u 2ωG 1G 2G 3v 1v 2v 3v 4v 5u 1u 3u 4u 5ω11u 2111111下面讨论)(G χ的上界和下界，先给出下面的定义.定义2. 图G 中两两不相邻的顶点组成的集合称为独立集(Independent Set)，用)(G α来表示G 中最大独立集的元素个数. 图G 中两两相邻的顶点构成的集合称为团(Clique)，用)(G ω表示G 中最大团的元素个数.注记：（1）显然，G 是可κ-着色的当且仅当)(G V 是κ个独立集的并. 特别的，G 是可2-着色的当且仅当G 是二部图. （2）)()(G G ωχ≥且)()()(G G n G αχ≥（习题1）. （3）对于完全图n κ有：n n n ==)()(κωκχ. 但一般来说)(G χ可以远大于)(G ω. 下面介绍一种构造任意色数的三角形无关图（即不含3κ为子图）的方法，这种方法归功于Mycielski,1955.定义3(Mycielski 构造). 由简单图G 产生一个以G 为子图的简单图'G . 从顶点集为}v ,...,v ,{v n 21的图G开始添加顶点}u ,...,u ,{u n 21和ω；添加边，使得i u 与)(i G v N 中的顶点相邻，ω与}u ,...,u ,{u n 21中的所有顶点相邻.例1中，以2-色图1G 开始，进行二次Mycielski 构造，分别得到3-色图2G 和4-色图3G . 下面的定理告诉我们可以构造一个色数任意大的图G 且2)(=G ω.定理1(Mycielski 1955). 由一个κ-色三角形无关图G ，Mycielski 构造可得到一个1+κ-色三角形无关图'G .定义4. 图G 称为κ-临界的(κ-critical)，如果κχ=)(G 且1)(-=-κχv G))((G V v ∈∀.也即去掉G 的任何一个顶点会使G 的色数减少.下面介绍κ-临界图的一个重要性质.定理2. 如果G 是κ-临界的，则1)(-≥κδG .证明：令G 是κ-临界的且2)(-≤κδG . 设)(G V v ∈且)()(G v d δ=. 由于G 是κ-临界的，故1)(-=-κχv G .由于2)(-≤κv d ，故在对v G -着色的1-κ种颜色中，存在一种颜色没有被v 的至多2-κ个邻接点使用，将这种颜色对v 着色就得到G 是1-κ-着色的. 与κχ=)(G 矛盾.推论①：如果κδ=)(G ，则G 至少有κ个顶点的度数不小于1-κ.证明：如果κδ=)(G ，则G 就有一个κ-临界子图H （删除G 中不影响)(G χ的顶点，直到不能继续为止）.由于κχ=H)(，故H 至少有κ个顶点. 由定理2，1)H (-≥κδ，所有H 至少有κ个顶点的度数不小于1-κ，即这κ个顶点在G 中的度数不小于1-κ.推论②：1)()(+∆≤G G χ.证明：假设1)()(+∆>G G χ，即)(1)(G G ∆>-χ，与定理2矛盾.上述推论中的等号在G 是完全图或奇环时成立，除这两类图之外，我们有下面的结论. 定理3(Brooks,1941). 如果G 是连通图，并且G 既不是完全图也不是奇环，则)()(G G ∆≤χ.习题：1. 证明：)()(G G ωχ≥且)()()(G G n G αχ≥2. 下列各图是否可以3-着色？确定它们的色数.gfedcabfedbacd a111111b 1e111111c3. 新学期安排补考，下表是上学期考试不及格的情况.“×”表示某门课不及格.学生 数分 高代 解析几何英语 张三 × × 李四 × × 王五 × × 赵六 × × × 陈七××问至少需要安排几场考试，使得这五个同学参加完所有的考试（注：每场考试一个学生只能考一门，但考场中的学生可以考不同的科目） 4. 如果G 的度序列为n d d d ≥≥≥ (21)，则}1,{min max 1)(},..,1{-+≤∈i d G i n i χ.5. 图G 的边着色是指将颜色赋予G 的边，如果相邻边的颜色不同，则称这种边着色为正常边着色(proper edge colouring). 边色数记为)('G χ，是对G 进行正常边着色所需要的最小颜色数量.①证明：)()('G G ∆≥χ.举例说明某些图可以取到下界.②证明：对于完全图12-n κ，12)('12-=-n n κχ；对完全图n 2κ，有12)('2-=n n κχ（因此对于任意完全图n κ，有n n n n n =+∆≤≤-=∆1)()('1)(κκχκ. 这个结果不是偶然的，因为更强的一个结果(Vizing 定理)是：对任意图G ，1)()(')(+∆≤≤∆G G G χ）③证明：如果G 是二部图，则)()('G G ∆=χ(Konig,1916).。

着色问题matlab
（实用版）
目录
1.着色问题的概述
2.MATLAB 在着色问题中的应用
3.着色问题的解决方案
4.结论
正文
1.着色问题的概述
着色问题是图论中的一个经典问题，它的主要目标是给定一个无向图，确定是否存在一种给图的顶点着色的方式，使得相邻的顶点着不同的颜色。

这个问题在数学、计算机科学和工程领域中具有广泛的应用，例如用于解决网络路由问题、任务分配问题等。

2.MATLAB 在着色问题中的应用
MATLAB 是一种强大的数学软件，可以用来解决许多工程和科学问题。

在着色问题中，MATLAB 可以被用来模拟和求解着色问题，以及进行相关
的分析。

通过使用 MATLAB，研究人员可以更容易地研究着色问题的性质，以及开发新的算法来解决这个问题。

3.着色问题的解决方案
着色问题的解决方案通常是通过计算图的色数来确定是否存在一种
给图的顶点着色的方式。

色数是一个图的最小顶点着色数，也就是最少需要多少种颜色才能使得图的每个顶点着上不同的颜色。

计算色数是 NP 困难问题，因此需要使用高效的算法来解决。

MATLAB 提供了许多用于解决着色问题的算法，例如贪心算法、遗传
算法等。

这些算法可以在短时间内找到一个较优的解，从而帮助研究人员
更好地理解问题的性质。

4.结论
着色问题是图论中的一个重要问题，它具有广泛的应用。

MATLAB 可
以被用来模拟和求解着色问题，从而帮助研究人员更好地理解问题的性质。

回溯算法---例题7.图的m着⾊问题⼀.问题描述给定⽆向连通图G和m种不同的颜⾊.⽤这些颜⾊为图G的各项点着⾊,每个项点画⼀种颜⾊.是否有⼀种着⾊法,使G中每条边的2个顶点有着不同颜⾊?⼆.解题思路图的m⾊判定问题:给定⽆向连通图G和m种颜⾊。

⽤这些颜⾊为图G的各顶点着⾊. 问是否存在着⾊⽅法, 使得G中任2邻接点有不同颜⾊。

图的m⾊优化问题:给定⽆向连通图G,为图G的各顶点着⾊, 使图中任2邻接点着不同颜⾊,问最少需要⼏种颜⾊。

所需的最少颜⾊的数⽬m称为该图的⾊数若图G是可平⾯图,则它的⾊数不超过4⾊(4⾊定理).4⾊定理的应⽤:在⼀个平⾯或球⾯上的任何地图能够只⽤4种颜⾊来着⾊使得相邻的国家在地图上着有不同颜⾊例如:[这⾥有⼀个适⽤于任意图着⾊的Welch Powell法,感兴趣的同学可以看看.](#Welch Powell)回到该问题,我们可以很清晰地看出问题的解空间树是⼀棵排列树,因为我们确定n个元素满⾜某种性质的排列,这个性质就是⼀条边的两个点颜⾊不相同.⽽不是说找到n个元素的⼀个⼦集,这是要做的第⼀步.具体的算法实现上:设图G=(V, E), |V|=n, 颜⾊数= m, ⽤邻接矩阵a表⽰G, ⽤整数1, 2…m来表⽰m种不同的颜⾊。

顶点i所着的颜⾊⽤x[i]表⽰。

问题的解向量可以表⽰为n元组x={ x[1],...,x[n] }. x[i]Î{1,2,...,m},解空间树为排序树,是⼀棵n+1层的完全m叉树.在解空间树中做深度优先搜索, 约束条件: x[i] ≠ x[j], 如果a[j].[i] = 1.代码如下:// 图的m着⾊问题#include<bits/stdc++.h>using namespace std;class Color{friend int mColoring(int, int, int **);private:bool CanDraw(int k);void Backtrack(int i);int n, //图的顶点数m, //可⽤颜⾊数**a, //图的邻接矩阵*x; //当前解long sum; //当前已经找到的可m着⾊⽅案数};bool Color::CanDraw(int i) //检查第i层填写的颜⾊x[i]是否可⽤{for(int j=1; j<i; j++){if(a[i][j]==1 && x[j]==x[i])return false;}return true;}void Color::Backtrack(int i){if(i > n){sum++;cout<<"第"<<sum<<"个解:";for(int i=1; i<=n; i++)cout<<x[i]<<" ";cout<<endl;return;}for(int k=1; k<=m; k++) //依次从m种颜⾊中选择,由于每⼀个分⽀的处理⽅法⼀样,所以直接⽤⼀个循环,⽽不需要分别写{x[i] = k;if(CanDraw(i)){cout<<"颜⾊"<<k<<"可⾏,深⼊⼀层,将到达"<<i+1<<"层"<<endl;Backtrack(i+1);cout<<"回溯⼀层到达第"<<i<<"层"<<endl;}else{if(k==m) cout<<"当前层所有颜⾊选完,没有可⾏颜⾊,故将回溯⼀层到达第"<<i-1<<"层"<<endl;else cout<<"颜⾊"<<k<<"不可⾏,继续选择颜⾊"<<k+1<<endl;}x[i] = 0;}}int mColoring(int n, int m, int **a){Color X;// 初始化XX.n = n;X.m = m;X.a = a;X.sum = 0;int *p = new int[n+1];for(int i=0; i<=n; i++) p[i] = 0;X.x = p;X.Backtrack(1);delete[] p;return X.sum;}int main(){cout<<"请输⼊顶点个数和颜⾊种数:";int n, m;while(cin>>n>>m && n && m){cout<<"请输⼊邻接矩阵"<<endl;int **a = new int*[n+1];for(int i=0; i<=n; i++) a[i] = new int[n+1];for(int i=1; i<=n; i++)for(int j=1; j<=n; j++)cin>>a[i][j];int ans = mColoring(n, m, a);cout<<"图的"<<m<<"着⾊⽅案共有"<<ans<<"种"<<endl;for(int i=0; i<=n; i++) delete[] a[i];delete[] a;cout<<"请输⼊顶点个数和颜⾊种数:";}system("pause");return 0;}运⾏结果:由此可以结合排列树看⼀看,⼗分清晰明了.参考毕⽅明⽼师《算法设计与分析》课件.欢迎⼤家访问个⼈博客⽹站---,和我⼀起加油吧!针对任意图着⾊问题,Welch Powell⽅法:将G的结点按照度数递减的次序排列⽤第⼀种颜⾊对第⼀个结点着⾊,并按照结点排列的次序对与前⾯着⾊点不邻接的每⼀点着以相同颜⾊⽤第⼆种颜⾊对尚未着⾊的点重复步骤2,⽤第三种颜⾊继续这种作法,直到所有点着⾊完为⽌例如:。

图着⾊问题⼀、图着⾊问题（1）图的m可着⾊判定问题给定⽆向连通图G和m种不同的颜⾊。

⽤这些颜⾊为图G的各顶点着⾊，每个顶点着⼀种颜⾊。

是否有⼀种着⾊法使G中每条边的2个顶点着不同颜⾊。

（2）图的m可着⾊优化问题若⼀个图最少需要m种颜⾊才能使图中每条边连接的2个顶点着不同颜⾊，则称这个数m为该图的⾊数。

⼆、m可着⾊判定问题的解法【算法】（1）通过回溯的⽅法，不断的为每⼀个节点着⾊，在前⾯cur-1个节点都合法的着⾊之后，开始对第cur-1个节点进⾏着⾊，（2）这时候枚举可⽤的m个颜⾊，通过和第cur-1个节点相邻的节点的颜⾊，来判断这个颜⾊是否合法（3）如果找到那么⼀种颜⾊使得第cur-1个节点能够着⾊，那么说明m种颜⾊的⽅案在当前是可⾏的。

（4）cur每次迭代加1，如果cur增加到N并通过了检测，说明m种颜⾊是可满⾜的。

（5）注意，这⾥只是要求判断m种颜⾊是否可满⾜，所以找到任何⼀种⽅案就可以了。

【代码实现】#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;const int maxn = 105;int G[maxn][maxn];int color[maxn];bool ans;int n,m,k;void init(){ans = 0;memset(G, 0 , sizeof G);memset(color, 0 , sizeof color);}void dfs(int cur){if(cur > n) {ans = 1;return;}for(int i=1; i<=m; i++){ //对cur结点尝试使⽤每⼀种颜⾊进⾏涂⾊bool flag = 1;//cur之前的结点必被涂⾊for(int j=1; j<cur; j++){if(G[j][cur] == 1 && color[j] == i){flag = 0;//只要有⼀个冲突都不⾏break;}}//如果可以涂上i颜⾊，则考虑下⼀个结点的情况if(flag){color[cur] = i;dfs(cur + 1);}//如果到这⼀步第cur个结点⽆法着⾊，则返回探寻其他⽅案else color[cur] = 0;//回溯 ;}}int main(){while(cin>>n>>k>>m){init();for(int i=1; i<=k; i++){int x,y;cin>>x>>y;G[x][y] = G[y][x] = 1;}dfs(1);cout<<ans<<endl;}return0;}三、m可着⾊拓展【问题】在上述基础上，求出m种颜⾊能够给图G涂⾊的总总⽅案数量【算法】由于这个时候要求总⽅案数量，所以在找到⼀种可⾏⽅案后，总是进⾏回溯再搜索其他的解决⽅案，与上⾯不同，上⾯是只需要找出⼀种⽅案即可，所以如果找到了就不需要再回溯了，所以在这⾥只需要把回溯语句的位置写到dfs语句的后⾯即可。