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非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
耦合Lorenz振子的同步混沌分岔
马文麒
【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2001(002)004
【摘要】研究了时空混沌系统--耦合Lorenz振子同步混沌的分岔行为.当非对称耦合参数达到临界值,耦合系统的同步混沌态发生Hopf分岔,在同步混沌态上迭加一个周期行波.分岔点的参数可由计算Lyapunov指数得到,分岔产生的行波频率等于分岔前临界横模的广义旋转数.继续增加非对称耦合参数,系统经历准周期、混沌到周期运动的变化.在这个过程中同步混沌发生Hopf分岔时产生的周期行波始终存在.
【总页数】5页(P289-293)
【作者】马文麒
【作者单位】北华大学,师范理学院,吉林,吉林,132013
【正文语种】中文
【中图分类】O415.5
【相关文献】
1.超混沌Lorenz系统的线性与非线性耦合同步 [J], 崔浩;褚衍东;张建刚;李险峰
2.时滞耦合Lorenz-Rossler系统的Hopf分岔和广义同步 [J], 裴利军;李坤花
3.线性双向耦合的非扩散Lorenz系统的混沌同步 [J], 宋娟;卢殿臣;田立新
4.耦合Lorenz振子同步混沌的分岔行为 [J], 额尔敦仓;包刚
5.三个耦合的非扩散Lorenz系统的全局混沌同步 [J], 宋娟;卢殿臣
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一类广义超混沌系统的Hopf分岔及共存吸引子研究陈玉明【摘要】针对一类广义的Lorenz-Stenflo四维超混沌系统,基于中心流形及Hopf 分岔相关理论,研究了该系统在原点平衡点处发生的Hopf分岔行为,得到了系统在Hopf分岔点的特性,包括分岔的周期解、周期解的分岔方向及稳定性等,并借助数值模拟验证了理论分析的正确性.除此之外,借助数值模拟,发现该系统在某些特定参数下存在不同吸引子之间的共存现象,比如超混沌吸引子与周期吸引子共存,混沌吸引子与周期吸引子共存.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2017(038)006【总页数】6页(P43-48)【关键词】Lorenz型系统;超混沌;Hopf分岔;吸引子共存【作者】陈玉明【作者单位】广东技术师范学院数学与系统科学学院,广州510665【正文语种】中文【中图分类】O415.5;O19·基础数学·E. N. Lorenz在研究气象模型时, 在一类确定性系统中发现了类似于随机的动力学现象，即混动行为，并于1963年提出了首个混沌数理模型，Lorenz系统[1].由于混沌行为的特殊性，自从Lorenz系统被提出以后，大量来自于不同领域的数学家、物理学家及工程师们便对混沌的起源、混沌系统的特征与分岔行为、通向混沌的路径等各个方面，都展开了深入地研究[2-4].超混沌，作为另一种复杂动力学行为，它比混沌行为具有更强的复杂性以及更强的应用潜力.由于在自治常微分方程系统中要产生超混沌行为，必须要求系统维数至少为四维，因此，对四维超混沌系统的研究，尤其是对四维Lorenz型超混沌系统的研究，将显得尤为重要.在对混沌系统的研究中，系统分岔行为的研究是非常重要的一部分.随着系统平衡点稳定性的改变，即发生局部分岔行为，系统的局部动力学行为也会随之改变，甚至会引发系统全局动力学行为的变化.Hopf分岔是系统局部分岔中非常基本而又至关重要的一种，随着Hopf分岔的发生，将伴随着系统极限环的产生或者消失.在三维混沌系统的研究中，文献[5]研究了统一Lorenz型系统的Hopf分岔行为，该系统包含了Lorenz，Chen，Lu及Yang等大量的经典三维混沌系统，在此基础上，进一步对退化Hopf分岔的分析，该文献还发现了一种可通向混沌的路径.在四维超混沌系统的研究中，文献[6-8]分别研究了一类四维超混沌系统的Hopf分岔行为，得到了系统在Hopf分岔点的特性，包括分岔的周期解、周期解的分岔方向及稳定性等.混沌及超混沌系统的复杂性主要来源于混沌及超混沌吸引子的存在.一般情形下，相空间中只存在一个稳定的吸引子，除了其它吸引子(都为不稳定)本身外，从相空间中其它点出发的轨线都将趋向于那唯一的一个稳定的吸引子.然而一些研究者最近发现了很多特殊的系统[9-10]，在这些系统中存在着各种不同稳定吸引子的共存现象，这使得系统的相空间变得异常复杂，尤其是这些不同稳定吸引子的吸引盆的边界.在1996年，Stenflo沿着Lorenz模型的方向，提出了描述大气扰动的一个简单模型，其被称为Lorenz-Stenflo系统[11].该系统考虑了地球的旋转，黏度效应及热扩散效应等因素，该系统的方程为其中参数a是普朗特数，c是广义的雷利参数，及是地球旋转的角频率，κ是热耗散系数.基于上述的Lorenz-Stenflo系统，通过将该系统的参数可选取范围进行推广，本文考虑了如下的广义Lorenz-Stenflo系统其中参数满足a>0，b>0，cdrs≠0.当系统参数选取a=22.5，b=1.91，c=29.45，d=-2.86，r=0.23及s=9.64时，系统(1)具有超混沌吸引子，该吸引子所对应的Lyapunov指数为λLE1=0.1217,λLE2=0.0264,λLE3=0.0001,λLE4=-27.6416.该超混沌吸引子在空间的投影相图如图1所示.当系统参数满足(ar+s)(ar(c+d)+ds)≤0时，系统(1)只具有唯一平衡点E0(0,0,0,0).而当(ar+s)(ar(c+d)+ds)>0时，系统(1)除了具有原点平衡点E0之外，还将具有另外两个关于z轴对称的非原点平衡点其中w±=±.另外，当系统参数b=0时，系统(1)则存在一条平衡点直线，即z轴.针对四维广义Lorenz-Stenflo超混沌系统(1)，本文将研究该系统原点平衡点E0处发生的Hopf分岔行为，以及在某些特定参数下，研究系统不同吸引子之间的共存现象.针对一般的n维自治常微分方程系统(n>2)，下面首先介绍一下第一Lyapunov系数l1的计算方法.考虑如下的微分方程系统其中f(X,η)为Rn×Rs中的C∞类函数.假设系统(2)在参数条件η=η0之下具有平衡点X=X0，并且总是将变量X-X0记为进一步地，在参数条件η=η0之下，系统(2)可以被重写为其中‖‖4),以及并且对任意的i=1,2,…n，都有如下展开式成立其中的记号Bi以及Ci分别是向量函数B以及C的第i个分量.假设系统(3)在其原点平衡点处的Jacobian矩阵A，具有一对具有非零虚部的纯虚特征根λ1,2=±iω0(ω0>0)，并且Jacobian矩阵A在该平衡点处的其它特征值都具有非零实部.令Tc为Jacobian矩阵A对应于特征值λ1,2的特征向量所张成的广义特征空间.令向量p,q∈Cn满足下列条件值得注意的是，空间Tc中的任意向量Y均可以表示成为其中v=<p,Y>∈C.为了能够通过变量v以及来将与特征值λ1,2=±iω0有关的这个二维中心流形参数化表示，特考虑如下这个形式上的嵌入其中系数ujk∈Cn，并且满足将表达式(6)代入系统(2)中，可得求解由等式(7)中项的系数所确定的线性方程组，可得复向量uij的表达式.因此，在二维中心流形上通过使用复变量v，系统(7)可以表示成如下形式:其中G21∈C.第一Lyapunov系数l1被定义为其中在如下的定理中，对系统(1)在平衡点E0处所发生的Hopf分岔进行了研究.定理1 令(a+r)(ad(c+d)+acr+d2r)<0，以及并且假设MN≠0成立，则当参数s穿过临界值s0= 时，系统(1)在平衡点E0处发生Hopf分岔.在临界参数值附近，系统还有如下的动力学性质:如果MN>0，则当a+r>0,s>s0时，或a+r<0,s<s0时，相空间中存在由Hopf 分岔所产生的不稳定周期轨;如果MN<0，则当a+r>0,s<s0时，或a+r<0,s>s0时，相空间中存在由Hopf 分岔所产生的稳定周期轨;证明令X=(x,y,z,w)∈R4，η=(a,b,c,d,r,s)∈R6以及f(X,η)=(a(y-x)+sw,cx+dy-xz,-bz+xy,-x-rw),则系统(1)可被改写成系统(2).系统(1)在平衡点E0处的特征方程为假设方程(12)具有一对纯虚特征根λ1,2=±iω0(ω0>0)，即如下等式成立，-a(c+d)r-ds-(a-d+r)=0,-ω0(a(c+d-r)+dr-s+)=0,在参数条件s=s0之下，系统(1)在平衡点E0处的Jacobian矩阵为其所对应的特征值为λ1=iω0,λ2=-iω0,λ3=d-a-r,λ4=-b.经过繁琐地计算过程，可得如下的两个特征向量:其中G=-ac(r+iω0)2+(d-iω0)2(ω0-ir)2.向量p,q满足条件(5)，即由计算公式(4)，可得基于公式(13)，(14)及(15)，通过直接而繁琐地计算，可得B(q,q)=(0,0,2c(d-iω0)(-ir+ω0)2,0)T，S3=d(4d-b)++2i(b-d)ω0,S4=4d2+br++2i(b+r)ω0,S5=ar++s0+2i(a+r)ω0,S6=-+b(d-2iω0)+2id(2id+ω0),S7=-3ac+ad-4d2+-2i(a-d)ω0.再次使用公式(14)，(15)以及(16)，可计算得〈p,B(q,-u11)〉=,将上述三个等式代入(8)式中，可计算得第一Lyapunov系数为l1(s0)=Re[〈p,C(q,q,)〉-2〈p,B(q,-u11)〉+〈p,B(,u20)〉]=,当MN≠0时，有l1(s0)≠0，从而有平衡点E0处Hopf分岔的非退化条件成立.进一步,将验证平衡点E0处Hopf分岔的横截条件也成立.平衡点E0处的特征方程如(12)所示，即P(λ)=(b+λ)(ε0+ε1λ+ε2λ2+λ3)=0,其中ε0=-acr-adr-ds, ε1=-ac-ad+ar-dr+s, ε2=a-d+r.当参数s在临界值s0附近时，假设特征方程(12)具有特征值λ1,2=α±iβ，λ3=γ以及λ4=-b，其中α,β及γ为系统参数的实函数.将这些特征值代入方程(12)中，并且整理与α相关的部分，可得由于α|s=s0=0，将(17)式对参数s求偏导数，可得又由于从而，当a+r>0时，则有|s=s0<0，Hopf分岔的横截性条件成立，并且在由复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中，分别当s<s0及s>s0时，平衡点E0为不稳定及稳定的.否则，当a+r<0时，则有|s=s0>0，Hopf分岔的横截性条件依然成立，并且在由复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中，分别当s<s0及s>s0时，平衡点E0为稳定及不稳定的.综上所述，系统(1)限制在由平衡点E0的复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中时，具有如下的动力学行为:如果MN>0，则当a+r>0,s>s0时，或a+r<0,s<s0时，相空间中存在由Hopf分岔所产生的不稳定周期轨;如果MN<0，则当a+r>0,s<s0时，或a+r<0,s>s0时，相空间中存在由Hopf分岔所产生的稳定周期轨;为了验证定理1中关于系统(1)平衡点E0处Hopf分岔理论结果的正确性，特给出了如下基于四阶Runge-Kutta方法的数值仿真结果.选择参数a=3,b=3,c=6.1,d=-3,r=1，根据定理1，可得s0=3.45，ω0=0.387 298>0及l1(s0)=-5.933 71<0，这意味着系统(1)在平衡点E0处的Hopf分岔能够产生出稳定的周期轨.由于a+r>0，当s<s0时，Hopf分岔产生稳定周期解，如图2(a)所示; 而当s>s0时，平衡点E0为稳定焦点，如图2(b)所示.选取恰当的系统参数，通过详细的数值分析，可发现系统(1)存在多种吸引子共存的现象，即同组参数条件下，系统(1)满足不同初始条件的解有可能呈现出完全不同的动力学行为.具体可包括超混沌吸引子与周期吸引子的共存，混沌吸引子与周期吸引子共存等.固定参数a=22.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64，对初始条件(51,-28,-96,76)，系统(1)的解将会收敛于一个周期解，其在y-z-w空间的投影如图3(a)所示，该周期吸引子所对应的Lyapunov指数为在同一组参数下，对于初始条件(42,-22,46,77)，系统(1)的解则收敛于一个超混沌吸引子，在y-z-w空间的投影相图如图3(b)所示，该超混沌吸引子所对应的Lyapunov指数为因此，当参数满足a=22.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64时，系统(1)的相空间中存在着超混沌吸引子与周期吸引子的共存，其在y-z-w空间的投影如图3(c)所示.在同一组参数下，对于初始条件(-57,-22,-6,-59)，系统(1)的解则收敛于一个混沌吸引子，在y-z-w空间的投影相图如图4(b)所示，该混沌吸引子所对应的Lyapunov指数为因此，当参数满足a=12.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64时，系统(1)的相空间中则存在着混沌吸引子与周期吸引子的共存，其在y-z-w空间的投影如图4(c)所示.【相关文献】[1] E.N. Lorenz. Deterministic non-periodic flow[J].J. Stmos. Sci.,1963,20:130-141.[2] M.W. Hirsh, S. Smale, R.L. Devaney. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos[M].New York: Elsevier Academic Press,2007.[3] L.P. Shilnikov, A.L. Shilnikov, D.V. Turaev, et al. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics[M].Singapore:World Scientific,2001.[4] S. Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Second Edit[M].New York:Springer-Verlag,1990.[5] Q. Yang, Y. Chen. Complex dynamics in the unified Lorenz-type systems[J].Int. J. Bifurcat. Chaos,2014,24:1450055(30 pages).[6] Y. Chen, Q. Yang. Dynamics of a hyperchaotic Lorenz-type system[J].Nonlinear Dynam,2014,77:569-581.[7] 陈玉明.基于Lorenz型系统的四维超混沌系统的复杂动力学研究[D].广州:华南理工大学,2014.[8] 刘永建,程俊芳.四维超混沌Lorenz系统的Hopf分岔. 河南大学学报[J].2013,43(1):11-16.[9] Y. Chen, Q. Yang. A new Lorenz-type hyperchaotic system with a curve of equilibria[J].Math. Comput. Simulat.,2015,112:40-55.[10] Z. Wei. Dynamical behaviors of a chaotic system with no equilibria[J].Phys. Lett. A,2011,376:102-108.[11] L. Stenflo. Generalized Lorenz equations for acoustic-gravity waves in the atmosphere[J].Phys. Scr.,1996,53:83-84.。
一个新混沌纠缠系统的Hopf分岔分析Kutorzi Edwin Yao;张建刚;秦爽【摘要】文章基于混沌纠缠方法构造了一个新的混沌系统,通过理论和数值分析验证了该系统存在混沌吸引子.此外,利用非线性动力学理论分析了该系统平衡点的稳定性以及Hopf分岔的存在性和稳定性.经过计算系统在平衡点的第一Lyapunov 系数判断Hopf分岔的方向及其稳定性,最后进行数值仿真验证理论分析的正确性.【期刊名称】《重庆文理学院学报（社会科学版）》【年(卷),期】2016(035)005【总页数】5页(P24-28)【关键词】混沌纠缠;稳定性;Lyapunov系数;Hopf分岔【作者】Kutorzi Edwin Yao;张建刚;秦爽【作者单位】兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070;兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070;兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O415.5近年来，人为构造混沌系统已经成为研究热点.混沌的研究开始于1963年，当时洛伦兹对一个天气预报数学模型进行研究[1].该模型表示即便是详细的大气模型也不能做相对长期的天气预测，而当时人们只能预测一个星期的天气[2]．混沌通常被定义为一个相对来说比较庞大的非线性现象，它与缺席微观量子领域以及经典物理学的关系非常密切．最近几年，许多学者热衷于对人工混沌系统的设计和构造，并且已经成为一个重要的研究领域[3-7]．文献[8]给出了一种被称为混沌纠缠的新的构造混沌的研究方法.这个方法的基本理论是运用纠缠函数的方式纠缠两个或多个稳定的线性子系统并且使其产生出一个人为构成的新混沌系统．混沌纠缠这种方法利用一种更为方便的手段构造并产生新的混沌吸引子．我们完全可以运用混沌纠缠的方法更加简单地构建出一类新的混沌系统. 学者们近几年在认识和研究混沌现象时，发现并构建了许多种混沌系统，许多人专注于这些混沌系统动力学特征的研究[9-10]．本文运用混沌纠缠的方法重新构建一个新的超混沌系统，并运用理论推导和数值仿真的方式对该系统存在混沌吸引子的结论做了进一步验证，同时对此系统的动力学行为进行了分析．考虑两个线性的子系统其中(x,y,z)为状态变量．当a<0,c<0并且d<0时，显然两个子系统是稳定的．经过正弦函数纠缠 (1) 与 (2) 两个线性子系统将会得出以下混沌系统其中a<0,c<0,d<0,(b,b1,d1,e)∈R4,纠缠函数为(sinx,siny,sinz)．当a=-2,b=6,c=3,d=-4,e=20,d1=40,b1=38时，系统(3)存在一个如图1所示的混沌吸引子．2.1 耗散性与吸引子的存在性根据系统(3)的向量场散度我们可以得到系统(3)是耗散的，也就是体积元v0在t时刻收缩到体积元V0e(2a+d)(t-t0)，并且当t→∞时，系统(4)轨线的每个小体积元都以指数率2a+d 收缩到0.系统(4)的轨线最终将被限制到体积为0的极限子集上，且被固定到1个吸引子上．2.2 对称性和不变性显然，系统(3)具有对称性，也就是说当变换(x,y,z)→(-x,-y,-z)时对全部的参数而言都具有不变性，若)是系统(3)的平衡点，则一定也是它的平衡点；若Γ(x,y,z)是系统(3)的一条轨道线，则Γ(-x,-y,-z)同样也是它的轨道线．2.3 有界性若一个系统是有界的，并且它有一个正的Lyapunov指数，则我们称这个系统是混沌的．定理1 当a<0,c<0,d<0时，系统(3)有界．证明把系统(3)写成下面的形式其中我们定义那么有‖x‖2+2e‖F‖‖x‖,其中,由于则令，并且定义当‖x‖≥M时,我们得到‖x‖‖x‖=0这说明系统(3)是有界的．2.4 平衡点的稳定性平衡点是分析新系统的动力学特性的重要元素，首先我们要找到系统的平衡点. 因为系统(3)存在很多个平衡点，并且找到它的精确解非常困难.为便于研究，只考虑当平衡点为E0=(0,0,0)时的情况．引理1 多项式p(λ)=λ3+p1λ2+p2λ+p3的所有根都有负实部的充分且必要条件为p1,p2,p3都为正数，且满足不等式p1p2>p3．定理2 当满足条件时，平衡点E0就是渐进稳定的．证明因为系统 (3) 在E0=(0,0,0)处的Jacobian 矩阵为并且相应的特征多项式为由引理1可以得到，平衡点E0是局部渐进稳定的充分必要条件是使公式(6)有负实部的特征根不等式，即a2+2ad+bc+be>0,2a+d>0,a2d-bcd-bde-b1d1(c+e)<0，且,成立．因此当条件(7)满足时，我们可以得到E0=(0,0,0)是渐进稳定的．系统(3)在平衡点E0处的Jacobian矩阵为可以得到以下的线性函数：A0的特征值为可得其中,,另外得,h11=(0,0,0)T,B(q,h11)=(0,0,0)T,.其中,以及假设系统是随着参数b的变化而变化的，在临界值b=b0处我们有ξ′(b0)=Re若ξ′(b0)≠0，那么Hopf 分岔横截性条件成立．定理3 系统(3)在平衡点E0处的第一Lyapunov系数为当l1≠0时，系统(3)在平衡点E0处发生Hopf分岔．特别地，若l1<0，系统发生超临界Hopf分岔；若l1>0，系统发生亚临界Hopf分岔．为了更好地验证上面的分析结果，选a=-2,c=2,d=-2,e=1,b1=15, d1=-3，则Hopf分岔临界值b0=3.437 5. 当b=6.55>b0时，系统的平衡点是稳定的；当b=1.705>b0时，平衡点是不稳定的，分别如图2、4所示．通过计算得l1=128.311 62>0,ζ′(b0)=-0.224 6，也就是说横截条件成立．所以，系统(3)此时在平衡点E0处发生亚临界Hopf分岔，且产生一个不稳定的极限环，如图3所示．本文通过混沌纠缠的方法人为构建了一个新的混沌系统，通过详细的理论推导和数值分析得出该系统存在混沌吸引子．此外，利用非线性动力学理论知识讨论了该系统平衡点的稳定性．通过Hopf分岔理论，对系统的Hopf分岔行为进行了详细分析，并且推导出系统产生Hopf分岔的参数条件．通过计算系统在平衡点的第一Lyapunov系数，判断了Hopf分岔的方向及其稳定性．【相关文献】[1]LORENZ E N.Deterministic non periodic flow[J].Journal of the Atmospheric Sciences, 1963(20)：130-141.[2]WATTS R. Global warming and the future of the earth[M].Morgan & Claypool, 2007.[3]唐良瑞,李静,樊冰，等．新三维混沌系统及其电路仿真[J]．物理学报, 2009, 58(2)：785-793．[4]李险峰,张建刚,褚衍东．一个新自治系统的动力学分析[J]．复杂系统与复杂性科学,2008,5(1):1672-3813．[5]杜文举.Vander Pol-Duffing系统的Hopf分岔分析及岔控制研究[D].兰州:兰州交通大学,2014.[6]HU D P, CAO H J. Bifurcation and chaos in a discrete-time predator-prey system of holling and leslie type[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2015,22:702-715.[7]ZALMAN B, HU Q W. Wieslaw K. Global hopf bifurcation of differential equations with threshold type state-dependent delay[J]. Journal of Differential Equations, 2014,257:2622-2670.[8]ZHANG H T, LIU X Z, SHEN X, et al. Chaos entanglement: a new approach to generate chaos[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2013, 23(5):1330014.[9]HU Z Y, TENG Z D, ZHANG L. Stability and bifurcation analysis in a discrete SIR epidemic model[J].Mathematics and Computers in Simulation, 2014,97:80-93.[10]WANG F X. Bifurcations of nonlinear normal modes via the configuration domain and the time domain shooting methods[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2015,20:614-628.。
时滞扰动类Lorenz系统的Hopf分岔李文娟;牛潇萌;李旭超;俞元洪【摘要】通过非线性动力学理论,对时滞类Lorenz系统在平衡点的稳定性问题和发生Hopf分岔的条件进行了研究.首先计算得到系统的平衡点,然后通过分析系统在平衡点处的相应特征方程根的分布,得到系统在平衡点局部渐近稳定和产生Hopf 分岔的时滞临界点.以时滞为分叉参数,研究了时滞系统存在Hopf分岔的条件.最后,利用Matlab程序进行仿真验证所得结论与理论分析一致.本文的结论是对一些已有文献研究成果的推广.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2017(033)005【总页数】11页(P475-485)【关键词】时滞;类Lorenz系统;稳定性;Hopf分岔【作者】李文娟;牛潇萌;李旭超;俞元洪【作者单位】赤峰学院数学与统计学院,内蒙古赤峰024000;赤峰学院数学与统计学院,内蒙古赤峰024000;赤峰学院计算机与信息工程学院,内蒙古赤峰024000;赤峰学院计算机与信息工程学院,内蒙古赤峰024000【正文语种】中文【中图分类】O175自1963年,美国气象学家Lorenz在研究区域小气候时提出了第一个经典的Lorenz系统[1]以来,混沌系统得到了更广泛的研究和应用.此系统在混沌学历史上有着重要的地位,特别是对它的分析在了解非线性方程如何出现混沌解方面很有意义.随着对Lorenz系统研究的不断深入,各种新的类Lorenz混沌系统大量产生,这种新的类Lorenz混沌系统在保密通信、激光物理、控制工程、化学反应和生物医学等领域应用广泛[2-4].现有的各种新的类Lorenz混沌系统仍无法满足各领域应用的需要,于是人们开始寻找新的类Lorenz混沌系统,在此期间,很多学者得到一些行为复杂的系统,例如Chen系统、Lu系统、Liu系统、Qi系统、Chua系统等[5-9].但是上述研究主要是混沌的同步和控制,对分岔的研究相对较少.对于时滞类Lorenz系统的研究更是不多.2015年,文献[10]提出了一类新的类Lorenz系统其中x,y,z是状态变量，a,b,c,d为系统参数．2015年,文献[11]提出了一类带时滞的类Lorenz系统其中x,y,z是状态变量;a,b,c,d为系统参数;τ＞0为系统常量时滞．本文的主要结果是将文献[11]的系统(2)中第一个非线性方程中的a(y−x)改为第二个非线性方程中的bx(t−τ)改为bx,第三个非线性方程中的dx2改为得到一类新的双时滞类Lorenz系统.通过对一类新的双时滞类Lorenz系统在零平衡点的线性化系统的特征方程的分析给出该系统在零平衡点的稳定性问题和发生Hopf分岔的条件.最后通过数值拟真验证所得结论的正确性.本文研究的是双时滞类Lorenz系统,文献[10]研究的是没有时滞的类Lorenz系统,文献[11]研究的是单时滞的类Lorenz系统.当本文中的时滞为零时即为文献[10]研究的系统.本文考虑时滞类Lorenz系统:其中x,y,z是状态变量;a,b,c,d,h为系统参数;τ＞0为系统常量时滞,可理解为信号传输的阻碍时间等.设系统参数系统(3)的平衡点满足下列条件:由(4)式知系统(3)的平衡点有三个,它们分别为定理 2.1 假设τ=0,则系统(3)在平衡点处是不稳定的.证明在平衡点处,系统(3)的Jacobian矩阵为:矩阵(5)对应的特征方程为:即其中当τ=0时,(6)式转化为因为系统参数 a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,h＞0,所以 2abch＜0根据罗斯 -霍维兹(Routh-Hurwitz)判据可知,(7)式的特征根具有正实部.所以当τ=0时,系统(3)在平衡点处是不稳定的.注 2.1 因为在变换S:(x,y,z)−→(−x,−y,z)的作用下具有不变性,即关于z具有对称性.所以只讨论系统(3)在平衡点的稳定性.下面讨论在平衡点O(0,0,0)处的稳定性.在平衡点O(0,0,0)处易求得线性化系统线性化系统(8)对应的特征方程为特征方程(9)可化为其中引理 2.1 假设τ=0,则系统(3)在平衡点O(0,0,0)处是渐近稳定的.证明当τ=0时,(10)式转化为因为系统参数a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,h＞0,所以(a+c)＞0,−abch＞0且有根据罗斯 -霍维兹 (Routh-Hurwitz)判据可知,(11)式的所有特征根都具有负实部.所以当τ=0时,系统(3)在平衡点O(0,0,0)处是局部渐近稳定的.接下来讨论在平衡点O(0,0,0)处的Hopf分岔存在的条件.当τ＞0时,由于只考虑虚根,方程(10)等价于下面方程设λ=iω(ω是大于零的常数）是(10)式的一个纯虚根,则虚部ω满足根据复数相等可得由三角函数的等式推得(13)式可化为对(14)式有以下结论.引理 2.2 (14)式至少有一个正实根.证明令u=ω2,则式(14)可化为设由(16)式得根据函数零点存在定理,至少存在一个实数u0∈(0,+∞),使得f(uo)=0.所以(15)式至少有一个正实根．因为u=ω2,从而(14)式至少有一个正实根.设ω0为(14)式的正实根,则(10)式有一纯虚根iω0.又由(13)式得将ω=ω0代入方程(17),则时滞τ的值为因此(iω0,τk)是 (10)式的解,即当时滞τ=τk时,λ=±iω0是 (10)式的一对共轭的纯虚根.设τ0=min{τk},则时滞τ=τ0是(10)式出现纯虚根λ=±iω0时τ的最小值.故可得如下的引理3.引理2.3 如果那么(10)式有一对纯虚根设(10)式的特征根满足引理 2.4 对于任意的τ=τk/=0,则证明对(10)式两边关于τ求导，可得由(10)式可得易得由(21)式和可得由于同号.证毕.根据引理2.1-引理2.4和Hopf分岔理论可得下面结论．定理2.2 如果那么(1)当τ∈[0,τ0)时,系统(3)在平衡点O(0,0,0)是渐近稳定的;(2)当τ＞τ0时,系统(3)在平衡点O(0,0,0)是不稳定的;(3)当时,系统(3)在平衡点O(0,0,0)处发生Hopf分岔,产生极限环.注 2.2 定理的结论可以由下部分的数值仿真来验证.文献[1]的系统是系统(3)中时的特例.此外,定理也推广了文献[2]的结果.时滞类Lorenz系统(3)的参数a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,令这时系统(3)可化为利用Matlab软件计算得(11)式的正实根和(15)式中故,由定理可得下面的推论.推论3.1 如果则(1)当τ∈[0,0.7111)时,系统(23)在平衡点O(0,0,0)是渐近稳定的;(2)当τ＞0.7111时,系统(23)在平衡点O(0,0,0)是不稳定的;(3)当时,系统(23)在平衡点O(0,0,0)处发生Hopf分岔,产生极限环.下面用Matlab软件绘出时滞τ取不同值时,系统(23)的状态变量随时间t的轨线图和相图,验证所得结论的正确性.从图 1-1、图1-2、图1-3可以看出，当时滞τ=0.7时,系统(23)的状态变量x,y,z 的值随时间t的增大而趋于平衡点O(0,0,0),所以系统(23)在平衡点O(0,0,0)是渐近稳定的．从图2-1、图 2-2、图 2-3可以看出,当时滞τ=0.7111时,系统(23)的状态变量x,y,z的值随时间t的增大保持等周期震荡,所以系统(23)在平衡点O(0,0,0)处发生Hopf分岔,产生极限环.从图3-1、图3-2、图3-3可以看出,当时滞τ=0.72时,系统(23)的状态变量x,y,z 的值随时间t的增大而逐渐远离平衡点O(0,0,0),说明系统(23)在平衡点O(0,0,0)是不稳定的.图 1-4、图 2-4、图 3-4可以看出,当时滞τ＜τ0,τ=τ0,τ＞τ0时,系统 (23)xoy 平面内的相图.【相关文献】[1]Lorenz E N.Deterministic non-periodic fl ows[J].J.Atmos.Sci.,1963,20:130-141.[2]刘式适,刘式达.物理学中的非线性方程[M].北京:北京大学出版社,2012:341-345.[3]王兴元.混沌系统的同步及在保密通讯中的应用[M].北京:科学出版社,2012:356-385.[4]刘扬正.超混沌Lü系统的电路实现[J].物理学报,2008,57(3):1439-1443.[5]Wenxin Q,Gangrong C.On the boundedness of solutions of the Chensystem[J].J.Math.Anal.Appl.,2007,329(1):445-451.[6]Mkaouar H,Boubaker O.Chaos synchronization for master slave piecewise linear systems application to Chua’s circuit[J].Commun Nonlinear Sci.NumerSimulat.,2012,17(3):1292-1302.[7]Chongxin L,Tao L,Ling L,et al.A new chaotic attractor[J].Chaos,Solitons andFractals,2004,22:1031-1038.[8]Yongguang Y,Suochun Z.Hopf bifurcation in the Lü system[J].Chaos,Solitons and Fractals,2003,17(5):901-906.[9]Guoyuan Q,Gangrong C,Shengzhi D,et al.Analysis of a new chaotic system[J].Physica A,2005,352:295-308.[10]官国荣,吴成茂,贾倩.一种改进的高性能Lorenz系统构造及其应用[J].物理学报,2015,64(2):1-14.[11]李德奎,连玉平.单时滞类Lorenz系统的Hopf分岔分析[J].数学杂志,2015,35(3):633-642.。
• 188•本文研究动力学特性更为复杂的新三维混沌系统。
首先利用数值建模分析了三维混沌系统的基本动力学特性，然后搭建新混沌系统硬件电路，通过Multisim软件进行硬件电路仿真模拟，最后验证了系统的物理可行性，结果表明仿真实验与理论分析结论吻合。
1963年MIT(Massachusetts Institute of Technology)气象学家Loren 发现已确定的三阶微分方程具有不规则的解，提出了“蝴蝶效应”理论，开启了研究混沌现象的序幕。
混沌作为非线性动力学的一个分支，在很多领域具有广泛应用。
复杂混沌系统的产生、分析和控制近年来引起了国内外同行的广泛关注。
经典的混沌系统诸如：Rössler 系统、Chen 系统及Lü系统等被提出，一些新的混沌系统被发现，它们具有更大的Lyapunov 指数和更强的混沌特性。
本文基于文献中Lorenz-Like 系统，搭建了新三维混沌系统，发现此系统的混沌特性比原系统复杂，在不同参数值下不仅折叠吸引子的涡卷数增加；并且发现在4.28＜b ＜10.5时，系统产生新的两翼折叠混沌吸引子，其最大Lyapunov 指数高达6.7872，比上述文献中混沌系统的Lyapunov 指数值均大。
1 混沌系统模型及特性分析1.1 混沌系统模型本文基于Lorenz-Like 系统构建了一个新三维自治混沌系统，该系统的数学模型可描述为：（1）式中，x ，y ，z 为状态变量。
当初值为(10，10，60)，参数a =10、b =3、c =50、h =-1时，系统存在一个典型混沌吸引子如图1所示。
图1 系统(1)相图1.2 三维系统参数的影响系统动力学特性随参数的变化而变化，系统的运行状态可以直观的由Lyapunov 指数谱及分岔图反映。
当固定参数a 、c 、h ，参数b 变化。
图2(a)反映在0＜b ≤2.256及b ＞12.39区域Lyapunov 指数谱符号为(-，-，-)或(0，-，-)，系统处于周期运动状态；在2.257＜b ≤12.35区域Lyapunov 指数谱符号为(+，0，-)，系统处于混沌运动状态。
一类Lorenz型系统中的混沌分析
杨文杰;张帆;郑前前
【期刊名称】《许昌学院学报》
【年(卷),期】2022(41)2
【摘要】首先,分析了一类Lorenz型混沌系统平衡点的局部稳定性,得到了超临界Hopf分岔的存在条件.然后,推导了Hopf分支的一些公式,它可以帮助通过Hassards方法找到Hopf分岔的形式和分岔周期解的稳定性.再次,证明了带时滞的此类Lorenz型模型在经历一个超临界Hopf分岔时,会发生混沌,这表明了时滞对此类Lorenz型系统有一定的影响作用.最后,通过模拟仿真分析验证理论研究结论的正确性.
【总页数】4页(P8-11)
【作者】杨文杰;张帆;郑前前
【作者单位】许昌学院数理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O193
【相关文献】
1.一类衍生Lorenz混沌系统的混沌分析
2.一类四维超混沌Lorenz型系统的动力学行为
3.一类具有忆阻器的Lorenz 型混沌系统稳定性及余维一分岔分析
4.一类具有时滞的Lorenz型系统中的混沌现象
5.一类具有忆阻器的Lorenz型混沌系统余维二分岔及无穷远处动力学分析
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具扩展时滞反馈控制Lorenz方程的Hopf分支分析时滞反馈控制方法已经成为控制领域中的一类重要的方法,越来越多的实例表明在控制器的设计时综合考虑当前以及历史状态的影响能够有效地发挥反馈的作用。
对于一些本身具有混沌现象的系统,研究时滞反馈控制对混沌的作用也已经成为非线性动力学中一个重要的课题。
本文研究的主要内容是具扩展时滞反馈控制的微分方程模型的分支分析。
此外,为研究该类型的反馈控制对混沌现象的作用,选取洛伦兹系统为基本模型进行分析。
首先,对问题进行转化。
通过分析,可以得到如下结论:具扩展时滞反馈控制的微分方程系统可以转化为无穷时滞的滞后型泛函微分方程组或者中立型泛函微分方程组。
其次,对具扩展时滞反馈控制的洛伦兹方程进行局部分析。
通过对中立型泛函微分方程的线性化特征方程根的分布分析,给出了系统的平衡点稳定性结果以及Hopf分支存在的充分条件,进而发现该系统存在对于时滞的稳定性开关的结论。
另外数值仿真表明伴随着平衡点稳定性的变化,洛伦兹方程的混沌现象呈成开关状出现。
为了得到系统在分支点附近更多的动力学性质,应用中心流形理论和规范型方法对得到的Hopf分支进行了分支方向和分支周期解稳定性的计算公式。
最后,对所得结果进行数值仿真,对已有的理论结果给予实例支撑。
