数学人教版九年级上册中考数学专题复习——动点问题导学案

二次函数专题复习------动点图形的最值问题一、教学目标：1. 利用函数图像的性质解决动点图形，如线段最大值，三角形面积最大值，三角形、四边形周长的最小值2.培养学生阅读理解能力，收集处理信息能力3.培养学生数形结合思想、转化思想二、教学重点：动点三角形面积最大值三、教学难点：动点形成的线段最大值四、教学过程：例1：如图，二次函数322++-=x x y 的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C(1) 求直线BC 的解析式；(2) 点E 抛物线在第一象限上的动点，过点E 作EF ∥y 轴交直线BC 于点F ，求线段EF 长度的最大值；并求出此时E 点的坐标(3) 在直线BC 上方的抛物线上，是否存在一点P ，使得△CBP 的面积最大？若存在，求出△CBP 面积的最大值并求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【归纳】：斜放三角形面积S ABC∆=练习：求三角形面积例2：如图，已知抛物线562+-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （1）求直线BC 解析式（2）点M 是直线BC 下方抛物线上的动点，过点M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ，求线段MN 长度的最大值；并求出此时M 点的坐标（3）在直线BC 下方的抛物线上，是否存在一点P ，使得△CBP 的面积最大？若存在，求出△CBP 面积的最大值并求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(4) 在抛物线对称轴上，是否存在一点Q ，使得△ACQ 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；（5）点C 关于抛物线对称轴的对称点为点D ，点E 、F 为线段OB 上两个动点，且EF=2，使四边形CEFD 周长最小？若存在，求出点E 、F 的坐标练习1： 如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；(3)如图2，若E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2016五区县二模）已知：抛物线l：y=－x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），1交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y2轴于点D（0，- 5/2）．（1）求抛物线l解析式；2（2）点P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l于点N，求点M自点A运动至1点E的过程中，线段MN长度的最大值．五、小结：本节课学习了二次函数中动点图形的最值问题六、教学反思：。

动点问题探究——几何图形中的动点问题知识点图形的平移、图形的旋转、图形的翻折、动点问题的函数图像教学目标会列出函数或方程等解决图形的动点问题教学重点会解决图形的平移、旋转、翻折等问题教学难点会利用函数及方程解决图形的平移、旋转、翻折等问题教学过程一、课堂导入动点所产生的函数及方程问题在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中占到10%到20%的比重。

主要研究在几何图形运动中，伴随着一定的数量关系、图形位置关系的“变”和“不变性”，就运动对象而言，有点动、线动和面动，常常集代数与几何于一体，有较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，静中有动，动静结合．二、复习预习1. 平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。

平移不改变图形的形状和大小。

图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。

2. 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。

3. 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。

这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

三、知识讲解考点1 单点运动及双点运动问题关于点运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特点和规律，作出符合条件的草图。

解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量，用含未知数的代数式去表示所需的线段，根据题意中隐含的条件借助相似等方式构造方程或函数表达式。

考点2 图形运动问题图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图形在运动过程中，对应线段、对应角不变，以三角形、四边形的运动是常见的一种题型。

这里需注意：平移、旋转、翻折都改变了图形的位置，不改变图形的形状和大小。

专题：动点产生的面积最值面积（1）导学案
【例】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （-4，0），B （0，-4），C （2，0）三点。

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 横坐标为m ，△AMB 的面积为S 。

求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值。

【变式1】如图，抛物线22321-2++=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C 。

点D 的坐标为（2,0），点P （m ，n ）是抛物线上一个动点（其中m ＞0，n ＞0），连接DP ，CP ，CD 。

△CDP 的面积是否有最大值？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由。

【变式2】如图1，抛物线1l ：x x y 22
1-2+=经过原点，与x 轴的另一个交点为B(4,0),点A 为顶点，且直线OA 的解析式为y=x.将抛物线1l 绕原点O 旋转180°，将得到抛物线2l ，2l 与x 轴交于点'B ，顶点为'A ，点P 为抛物线上1l 上一动点，连接PO 交2l 于点Q ，连接PA 、'PA 、'
QA 、QA.求：平行四边形的面积S 与P 点横坐标x （2＜x ≤4）
之间的关系式。

【变式3】如图，直线l ：y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 。

把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线过点B ，C 和D （3，0）。

在抛物线上是否存在点P ，使得6=∆PBD S ？ 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

与重叠部分面积有关的动点问题教学设计资源镇初中侯仲球【学习目标】1、经历动点问题的探究过程，初步掌握数学动点问题的存在规律．2、能综合运用初中数学知识解决简单的几何问题.3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

学习重点：掌握数学动点问题的存在规律学习难点: 掌握数学动点问题的解题技巧。

【学习过程】一、合作探究如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ．点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，连接DE 、DF ，动点P ，Q 分别从点A 、B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，点P 沿A F D 的方向运动到点D 停止；点Q 沿BC 的方向运动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．在运动过程中，过点Q 作BC 的垂线交AB于点M ，以点P ，M ，Q 为顶点作平行四边形PMQN ．设平行四边形边形PMQN 与矩形FDEC 重叠部分的面积为y （这里规定线段是面积为0有几何图形），点P 运动的时间为x （s ）（1）当点P 运动到点F 时，CQ= cm ；（2）在点P 从点F 运动到点D 的过程中，某一时刻，点P 落在MQ 上，求此时BQ 的长度；（3）当点P 在线段FD 上运动时，求y 与x 之间的函数关系式．【解析】 （1）如图（1）CQ=BC-BQ(BQ=AF)(2) 如图（2）BQ=BC-CQCQ=PF=AP-3=BQ-3=8-CQ-3CQ 可求2cm（3）解题关键是要明确：1、运动路线；2、运动速度；3、运动时间；4、运动拐点（重叠部分的图形发生变化的点位）相等关系：路程=速度×时间线段的长：用含字母的代数式表示线段的长故本题要分如图四种情况分类讨论① 当0＜x ＜4时重叠部分为平行四边形，可用三角形相似求出MQ ，易知PD= 7-x②当4＜x ＜5.5时重叠部分为巨形.Y=3（BC-BQ-PF ）③当x =5.5时重叠部分为线段PQ.Y=0④当5.5＜x ＜7时重叠部分为巨形.Y=3（AP-3-CQ）•点评：本题考查了相似三角形性质，线段的和差，平行四边形的性质，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生的作图能力和计算能力，用了分类讨论思想．二、课堂小结这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流三、作业：（见作业设计）四、教学反思：由于本节课信息量大，精到全面，高度概括。

中考数学专题复习 ：中点的运动路径导学案 第 2 页

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2、如图：A是定点，动点B从O(0,0)运动到C(8,0). 动点B和M的关系： B叫做主动点，M叫做从动点. 画出线段AB的中点M运动的路径 M运动的路径的长是 . 3、如图所示：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，BM=EM，AN=FN。 点E从A运动到C，画出线段BE的 中点M运动的路径，点M运动的 路径的长是 点F从D运动到C，画出线段AF的 中点N运动的路径，点N运动的 路径的长是 随堂小结： 如果： 动点的初始位置 动点的中途位置 动点的终止位置 三点在一条直线上，那么可以初步判断动点的运动路径是 3、如图所示：E为x负半轴上一点，B(0,2)， 等腰直角△BDC的直角端点 D从D(0,0)运动到D(2,0)时， 画出线段EC的中点M运动的路径 EC的中点M运动的路径的长是 . 4、如图所示：等腰直角△ABC的 直角边AC=BC=4，D在AC上， 第 5 页

作等腰直角△BDE，M是AE的 中点，D从C运动到A时，则 M的运动路径的长是 随堂小结： 注意画图分析：

第一步：画出△BDE的初始位置和终止位置 第二步：标出点的初始位置 点的中途位置 点的终止位置 第三步：判断动点的运动路径，计算其长度 5、如图所示：等边△ADE的端点D 从B点运动到C点时，CE的中点 M运动的路径的长是 6、如图所示：等腰直Rt△ABC中， AB=AC=4，当等腰直Rt△AMD 的直角端点M从B运动到C时， AD的中点N运动的路径的长 是 . 7、如图是一台摆钟的部分示意图： OA=8绕O点摆动，A的摆动最高点 是E和F，∠EOF=90°，当A点 从E点摆动到F点，AO的中点 M运动的路径的长是 . 8、如图所示：线段AB=4，当B从B(0,0)运动到B(4,0),同时 A从A(0,4)运动到A(0,0),线段AB的中点M运动的路径 第 6 页

动点及动图形的专题复习教案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. 2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+= AEDCB 图2HM NGPOAB图1x y(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 如三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

数学人教版九年级上册二次函数动点问题专题《动点问题》专题教学设计29中黄昌军《动点问题》专题地位概述：动点问题是最常见的综合题，而且纵观近年来的宜昌中考压轴题中，动点问题几乎是必考题。

函数的概念，一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质，一次函数、二次函数、反比例函数与方程（组）、不等式、三角形、四边形和圆有紧密的联系，形成了函数常规综合题，主要涉及的数学思想有函数思想、方程思想（如：利用一元二次方程的根与系数的关系求已知一根的方程的另一根）、特殊到一般思想、建模思想、数形结合、转化思想（例如：解析式联立解方程组求图象交点坐标等）、分类与整合思想、配方法以及待定系数法等。

学情分析：学生在解答动点问题时主要体现出信心不够，总认为压轴题不是自己能解决的，这些学生往往把解压轴题和做选择题的效果等同起来，认为做不出最后的结果就是没做出来，不如不做，殊不知，综合题的解答是分步得分的，不像选择题那么主观；而且入手第一问的设计往往面向全体学生，非常简单，根据几何直观、数形结合直接得到答案，相当于一个选择题水平；第二问在前一问基础上进一步拓展；第三、四问往往是在在运动变化中去解决问题，几个问题的设计难度呈螺旋上升，由特殊到一般，第一二问的相对单一的过程阅读评价到第三、四问综合能力要求相结合。

因此动点问题不是什么令人望而生畏的问题，而是全体学生都能有所作为的，是用来贯彻体现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的新课标理念的载体。

一、教学目标知识与能力目标：1.进一步理解一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象和性质，掌握根据具体条件判断函数类型，列出函数关系式的方法；2.能够从已知条件和函数图象中获取相关信息，结合几何图形之间的位置关系，“以形析数，以数释形”，根据数与形的相互转化来建立方程或不等式，提高解决函数综合问题的能力。

过程与方法目标：通过对实际问题的分析，让学生体会解决问题的通性通法．情感态度与价值观目标：通过解答分步设问的综合题，让学生体会一些应考得分技巧，增强学生学好数学的愿望与信心．二、教学重难点从已知条件和函数图象中获取相关信息，结合几何图形之间的位置关系，“以形析数，以数释形”，根据数与形的相互转化来建立方程或不等式，提高解决函数综合问题的能力。