高一数学课件：两角和与差的正切公式的应用.ppt

4
22
又因为sin 2 5 , 13
注意 2 的范围
所以cos 2 1 sin2 2 1 ( 5 )2 12 . 13 13
tan 4 sin 4 ( 120) 169 120 . cos 4 169 119 119
练习：课本135页 5(1)(3)
例2 (1) sin15cos15
44 . 117
2
练习：课本223页 3
解：∵sin 2 sin ,sin 2 sin 0,
即：2sin cos sin 0,
∵ ( , ),sin 0,2 cos 1 0,
2
cos 1 , 2 ,
2
3
tan tan 2 3
3
练习：课本223页 4
解：∵tan 2
tan 22.5 （3）1 tan2 22.5 ；
（2）cos2 π sin2 π ；
8
8
（4）2cos2 22.5°－1．
(1).原式=
1 2
sin30°=
1 4
(3).原式=
1 2
tan45°=
1 2
(2).原式=cos
π 4
=
2
2
(4).原式= cos45°=
2
2
3. 2 sin2 2 cos 4的值是( )
变形公式
升幂公式：1＋cos 2 1 cos 2
2 cos2 2sin 2
降幂公式：scions22＝＝11－＋cco2o2ss22
例1. 已知sin 2 5 , ，
13 4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4的值.
分析：先求 cos2的值，再利用公式求值.
解：由 , 得 2 .

＝－ 3.
● 3．六个和与差三角函数公式之间的逻辑关系
题型一 两角和与差的正切公式的应用 例1 已知 tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求 tan 2α，
tan 2β，tan(2α＋π4)． 【解】 tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannαα－－ββ
● 【名师点评】 对于这类问题，以下两个步骤缺一不可： ● (1)根据题设条件求角的某一三角函数值； ● (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．
题型二 两角和与差的正切公式活用 例2 求下列各式的值
(1)1t＋ant7a5n°7－5°ttaann1155°°； (2)1＋3－3ttaann1155°°； (3)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40°. 【解】 (1)原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3. (2)原式＝1t＋ant6a0n°6－0°ttaann1155°°＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.
● 【名师点评】 (1)解答此类题型一般要用诱导公式把角化正、化小、化切为弦(统一函数 名称)，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．
● (2)公式的变形运用：
● 只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，就要有灵活应用公式T(α±β)的意识，从而不难获 得解题思路．
题型三 给值求角 例3 已知 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且 α，β∈(0，π)，
● 做一做
tan 70°＋tan 50°－ 3tan 70°tan 50°等于( )
A. 3
B.
3 3
C．－
3 3

tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.





练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin

第五章 三角函数
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于

栏目 导引
给值求角(值)
第三章 三角恒等变换
已知 tan α＝2，tan β＝－13，其中 0＜α＜π2，π2＜β＜π. (1)求 tan(α－β)； (2)求 α＋β 的值．
栏目 导引
【解】 (1)因为 tan α＝2，tan β＝－13，
第三章 三角恒等变换
所以 tan(α－β)＝1t＋antaαn－αttaannββ＝21＋ －1323＝7.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
已知 cos θ＝－1123，θ∈π，32π，则 tanθ－π4＝ ________． 解析：因为 cos θ＝－1123，θ∈π，32π，所以 sin θ＝－ 1－cos2θ ＝－153，所以 tan θ＝csions θθ＝152. 所以 tanθ－π4＝1t＋antaθn－θttaann π4π4＝1152＋－1521＝－177. 答案：－177
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
2．已知 tan(α＋β)＝7，tan α＝34，且 β∈(0，π)，则 β 的值为 ________． 解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋ant（anα（＋αβ＋）β－）ttaannαα ＝1＋7－734×34＝1， 因为 β∈(0，π)，所以 β＝π4.
所以 tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
公式 T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略
(1)“1”的代换：在 T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用 1＝tan π4来 代换，以达到化简求值的目的，
如11－＋ttaann αα＝tanπ4－α；
)
答案：(1)× (2)√ (3)×
栏目 导引

(5)∵(1+tan 21°)(1+tan 24°)=1+tan 21°+tan 24°+tan 21°tan 24°
=1+tan(21°+24°)(1-tan 21°tan 24°)+tan 21°tan 24°
=1+(1-tan 21°tan 24°)tan 45°+tan 21°tan 24°
4
变式训练1
sin50°-sin20°cos30°
求
的值.
cos20°
解
sin(20°+30°)-sin20°cos30°
原式=
cos20°
sin20°cos30°+cos20°sin30°-sin20°cos30°
=
cos20°
cos20°sin30°
=
=sin
cos20°
1
30°= .
2
探究点二 利用两角和与差的三角函数公式解决给值求值问题
角和与差的正弦吗？
π


π

sin(α＋β)＝cos 2－α＋β ＝cos 2－α－β 利用两角差的余弦公式展开





即可，或者
π




sin(α＋β)＝－cos2＋α＋β利用两角和的余弦展开即可.



对于 sin(α－β)我们可利用已知的三种表示方法得到 sin(α－β)＝sin[α＋
也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,从某种意义上来说,
是一种整体思想的体现,如cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=

两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
cos( ) cos sin( )sin
2
2
sin cos cos sin
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin 两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
3.已知cos
3
,
(
,
), 求 c os ()的值.52 Nhomakorabea4
解：cos 3 , ( , ),
5
2
sin 1 cos2 4
5
cos( ) cos cos sin sin
4
4
4
2 ( 3) 2 4 2 2 5 2 5 10
课本P217练习
4..已知sin 15 ,是第二象限角，求cos( )的值.
17
3
解：sin 15 ,是第二象限角，
17
cos 1 sin2 8
17
cos(
)
cos
cos
sin
sin
3
3
3
( 8 ) 1 15 3 15 3 8
17 2 17 2
34
课本P217练习
5.已知 sin 2 , ( , 3 ), cos 3 , (3 ,2 ),
( 3) ( 5 ) 4 (12) 15 48 33
5 13 5 13 65
65
课本P217练习
2.利用公式求 cos150的值.
cos150 cos(450 300 ) cos450 cos300 sin 450 sin 300

10 ,
10
2
10
cos( ) coscos sinsin 2
2
又0 .
2
三、能力训练题
§4.6两角和与差的正弦、余弦、正切(2)
例 7.已知 si n1,cos()11 ,
7
14
且 ,(0,),求 cos的.值
2
分析 :(),
则coscos[()]
cos()cos sin( )sin
1 2
(6) cos70 cos20 sin110 sin20 0.
例4.化简 :
(1)co6s(0 )co6s(0 ); (2)cos()cossin()sin
(3)1coxs 3sinx
2ห้องสมุดไป่ตู้
2
(1)cos;(2)cos;
(3)cosx( 60).
二、基础训练题
§4.6两角和与差的正弦、余弦、正切(2)
重点:余弦的和(差)角公式的应用. 难点:“活用”公式(正用、逆用、变用）.
一、复习与回固
§4.6两角和与差的正弦、余弦、正切(2)
两角(和 差)的余弦公: 式
co ) s c( c oo s ss i sn i(Cn ())
公式的: 特点
(1)公式 、对 取任意值 ; 都成立
(2)公式中右,边 中有 间两 符项 号与的 左符 边号 两 ;
51351365
(2)若 在第,一 在 象 第 限 ,四 co 象 s4, 限
5
sin5,则 cos()41 23(5)3.3
13
5135 1365
(3)若在第二,象 在限第一,象限
则cos()33.
65
(4)若在第二,象 在限第四,象限