第二章习题解答
2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为
43230049U d x ρε--=-，式中阴极板位于0x =，阳极板位于x d =，极间电
压为0U 。如果040V U =、1cm d =、横截面210cm S =，求：（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。
解
（1）
4323000
4d ()d 9d
Q U d x S x τρτε--==-=⎰⎰11004
4.7210C 3U S d ε--=-⨯
（
2
）
432002
4d ()d 9d
d Q U d x S x τρτε--'
'==
-=⎰
⎰11004(10.9710C 3U S d ε--=-⨯ 2.2 一个体密度为732.3210C m ρ-=⨯的质子束，通过1000V 的电
压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
解 质子的质量271.710kg m -=⨯、电量191.610C q -=⨯。由
2
12
mv qU = 得
61.3710v ==⨯ m s 故0.318J v ρ== 2A m
26(2)10I J d π-== A
2.3 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球内的电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球内任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为 sin r φωθ=⨯=v r e ω
球内的电荷体密度为
3
43
Q
a ρπ=
故 33
3sin sin 434Q Q r r a a
φφω
ρωθθππ===J v e e 2.4 一个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度ω
绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球面上任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为 sin a φωθ=⨯=v r e ω
球面的上电荷面密度为
2
4Q a σπ=
故 2
sin sin 44S Q Q a a a
φ
φω
σωθθππ===J v e e 2.5 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C q =-位于y 轴上4y =处，求(4,0,0)处的电场强度。
解 电荷1q 在(4,0,0)处产生的电场为
1113014q πε'-=='-r r E r r
电荷2q 在(4,0,0)处产生的电场为
22230244
4q πε-'-=='-e e r r E r r 故(4,0,0)处的电场为
122+-=+=
e e e E E E
2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷l ρ，求垂直于圆平面的轴线
上z a =处的电场强度(0,0,)a E ，设半圆环的半径也为a ，如题2.6 图所示。
解 半圆环上的电荷元d d l l l a ρρφ''=在轴线上z a =处的电场强度为
d φ'
'=
=E
(cos sin )
φφφ''-+'e e e
在半圆环上对上式积分，得到轴线上z a =处的电
场强度为
(0,0,)d a ==⎰E E
2
[(cos sin )]d z x
y ππφφφ'''-+=⎰e e
e 2.7 三根长度均为L ，均匀带电荷密度分别
为1l ρ、2l ρ和3l ρ地线电荷构成等边三角形。设1l ρ=22l ρ=32l ρ，计算三角形中心处的电场强度。
解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为
3tan 3026
L d L =
= 则
11
1003(cos30cos150)42l l
y
y
d L
ρρπεπε=-=E e e 21
20033(cos30sin 30)()
28l l x y y L L
ρρπεπε=-+
=-E e e e e
题 2.6图
31
30033(cos30sin 30)
()
28l l x y
y L L
ρρ
πεπε=-=E e e e e 故等边三角形中心处的电场强度为
123=++=E E E E
111000333()()288l l l y y y L L L ρρρπεπεπε-+=e e e e e 1
034l y
L
ρπεe 2.8 －点电荷q +位于(,0,0)a -处，另－点电荷2q -位于(,0,0)a 处，
空间有没有电场强度0=E 的点？
解 电荷q +在(,,)x y z 处产生的电场为
12
2
232
0()4[()]
x y z x a y z
q
x a y z πε+++=
+++e e e E
电荷2q -在(,,)x y z 处产生的电场为
222232
0()24[()]x y z x a y z q x a y z πε-++=-
-++e e e E (,,)x y z 处的电场则为12=+E E E 。令0=E ，则有
22232()[()]x y z x a y z x a y z +++=+++e e e 22232
2[()]
[()]
x y z x a y z x a y z -++-++e e e 由上式两端对应分量相等，可得到
222322223()[()]2()[()]x a x a y z x a x a y z +-++=-+++
①
222322232[()]2[()]y x a y z y x a y z -++=+++
②
2223222232[()]2[()]z x a y z z x a y z -++=+++
③
当0y ≠或0z ≠时，将式②或式③代入式①，得0a =。所以，当0y ≠或0z ≠时无解；
当0y =且0z =时，由式①，有
33()()2(
)()x a x a x a x a +-=-
+
解得
(3x a =-±
但3x a =-+不合题意，故仅在(3,0,0)a --处电场强度0=E 。
2．9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为σ。证明：垂直于平面的z 轴上0z z =处的电场强度E 中，有一半是有平面上半径
为03z 的圆内的电荷产生的。
解 半径为r 、电荷线密度为d l r ρσ=的带电细圆环在z 轴上0z z =处的电场强度为
022
3200d d 2()
z
r z r
r z σε=+E e 故整个导电带电面在z 轴上0z z =处的电场强度为
